高中数学函数与方程
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高中数学函数与方程范文第1篇
函数的零点问题是近几年高考题的高频考点和重难点.许多函数问题要用方程的知识与方法来支持；许多方程的问题，需要用函数的知识与方法去解决.函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，方程问题的函数视角就是利用函数的图像、性质来研究方程的根及范围问题.
1.1.与函数的零点或方程的根或函数图像的交点个数问题
例题1.1.（1）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[-1，1]时，f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有（ ）
A. 10个 B. 9个 C. 8个 D. 1个
综上所述，原方程有4个实根.
点评：函数零点问题的解题思路主要有两个方向，一是算出来，即利用方程求根，运用方程的思想求解，二是画出来，即转化为函数图像与轴的交点问题或者两个函数图像的交点问题，运用函数的思想以及数形结合的思想求解.在解题过程中，函数与方程相互转化.本题根据分段函数不同区间的特征，综合运用解方程、构造函数，讨论单调性等方法求解.
1.2求参数的值或取值范围问题
例题1.2. 已知函数f（x）=|x2-1|，g（x）=x2+ax+2，x∈R，若函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个零点x1，x2求实数a的取值范围.
点评：运用函数的思想转化零点问题，构造的函数不同，解法也不同，但用到的思想方法是相同的，在解题中要注意函数与方程的相互转化.
1.3.借助零点，考查导数探究函数的性质
例题1.3. 设函数f（x）=e2x-alnx.
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）的零点的个数；
值范围，体现了函数的思想.解题时要注意自变量c的取值范围，即函数定义域的确定.
三、立体几何中的函数方程思想
函数方程思想不仅在代数解题中发挥着重要的作用，而且在立体几何中也有着巧妙的应用.在立体几何的动点问题、最值问题和逆向问题中，通常要运用函数与方程的思想求解.
3.1利用函数的图像及性质解决立几中动点的轨迹问题
例题3.1. 如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上. 过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N. 设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图像大致是（ ）
点评：本题是一道立体几何与函数图像相结合的题目，主要考查了函数图像的变化.由于题目中给出了自变量和因变量，如能求出函数解析式，问题即可获解.因此，可根据几何体的特征和条件分析两个变量的变化情况，通过M，N，P作底面的垂线作出M，N在平面ABCD内的正投影，保持其长度不变，从而把空间问题平面化，建立一次函的P.
3.2利用方程的思想解立体几何逆向题
例题3.2. 如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上.
（1）若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；
（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.
解析：由题设知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A（0，0，0），B1（3，0，6），D（0，6，0），D1（0，3，6），Q（6，m，0），其中m=BQ，0≤m≤6.
点评：本题是一道立体几何逆向题.通过设定变量m，λ利用二面角PQDA的余弦值为以及PQ∥平面ABB1A1的条件建立等量关系，求出变量m，λ的值，体现了方程的思想.
3.3运用函数的思想解决立几中的最值问题
例题3.3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.
（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长.
高中数学函数与方程范文第2篇
【关键词】函数思想；高中数学；解题
引 言
高中数学思想方法包括两类，即知识性的数学方法和思维性的数学方法。在知识性的思维方法中，最重要的就是函数思想。所谓的函数思想，就是以函数的观点去分析数学问题、解决数学问题，帮助学生形成数学建模的思想观念。在高中数学的教学内容中，函数板块是教学的核心，因此将函数思想应用于高中数学解题势在必行。
一、用函数思想指导高中数学的方程式问题
高中数学的方程式问题，主要是将不等式中的未知数解出，虽然方程式和函数的概念有较大的差异性，但是二者之间也存在着密切联系。当我们用一个解析式来表示函数的时候，函数可以等同于方程。因此把函数思想应用在方程式问题的解题中，可以把函数作为一个方程，且方程的函数量为零。这样做题可以把复杂的知识简单化，达到举一反三的目的[1]。将方程问题转化成为函数问题之后，方程中未知数的解，实际上就是函数图像的交点。
比如，在解答方式式问题的过程中，具体分为两种解答方法。第一种方法是针对简单题目而言的，有直接求解的方程方法，但是耗费的解题时间比较多，而且解答的难度也相对较大。第二种方法是针对复杂题目而言的，是将方程问题转换呈函数问题的方法，在解答的过程中需要应用函数思想，对函数的图像和性质进行分析，最终求出方程的解，也就是函数图像的交点。
二、用函数思想指导高中数学的不等式问题
函数是用来表述两个变量关系的数学模型，因此在解决不等式问题中发挥着很大的指导作用。函数在不同的区间有着不同的正负关系，将函数的正负放在不等式中，可以有效解决不等式的问题。
以下面这道题目为例：p是一个实数，且p大于等于0，小于等于4，那么x2+px+3大于4x+p恒成立，求x的取值范围。我们在分析这道题目的时候，习惯以x作为自变量，构成一个y的函数，求出的结果是y=x2+（p-4）x+3-p。从题目条件中已知P大于等于0，小于等于4，y大于0恒成立，求x的范围，此时可以应用函数的有关思想，利用二次方程区间实根分布来解决数学问题，但是这个过程比较复杂。如果设函数为（x-1）p+（x2-4x+3），且这个函数大于0，当p大于等于0小于等于4时恒成立，那么对于这个一次函数来说，只需保证大于0而且小于4即可，最终求出的x范围是（-∞，-1）U（3，+∞）。
三、用函数思想指导高中数学的数列问题
高中数学的数列问题多是以一组按照顺序排列的数字作为对象，而且其中的每个数字都是数列之中的项，在解决高中数列的问题时，可以把数列问题看成项数的函数问题，那么数列的通项公式就变成了函数公式[2]。在解答高中数学问题的过程中，应用函数思想解决数列问题，可以把函数的性质作为解题依据，将复杂的解决过程简单化，提高做题效率。
以下面的题目为例：等差数列的前n项和等于m，m项和即Sm=n，且m不等于n，那么m+n项的和，即Sm+n应该是多少。在这道题目中应用函数思想，首先要理解等差数列前n项和满足的关系式。从函数的角度来看，这是一个必过原点的二次函数，因此在解题的过程中可以设Sn=An2+Bn，则Am2+Bm=n，An2+Bn=m。将两个式子进行相减，最终可以得出A（m+n）+B=-1，因此A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），最K求出来的结果是Sm+n=-（m+n）。在这道题目的解答中，主要是应用了等差数列求和公式是二次函数的函数思想，把A（m+n）+B看成一个函数，这样可以简化计算步骤，有效解答难题。
四、用函数思想指导高中数学的优化问题
函数思想在高中数学的实际优化问题解答中也具有重要作用，可以解决实际问题，为数学问题提供简单化和系统化的解答方法。在我们的实际生活中，存在许多量和量之间的相互关系，如路程问题，要考虑路程、时间、速度的关系，如生产问题，要考虑单价、时间、总数的关系，而其他的价格问题、采购问题等实际问题，也都涉及了函数的变量。在高考的数学试卷中，实际问题占有很大的比值，用函数思想来指导高中数学的实际优化问题，可以引导学生正确地解答题目。
比如，以路程问题为例，我们在解答路程问题时，可以把总路程设为y，把其中的时间变量或是速度变量设为x，让实际问题的解答成为函数问题的解答。通过数量的相互关系，建立一个基本的数学模型，然后再代入其中的数值，利用相关知识求出结果[3]。大部分的数学实际问题在解答时都要利用函数的图像进行分析，因此在做题时可以把变量关系以图像的形式描绘出来。在求出结果后，要把结果代入到实际问题中去，有很多问题在解答之后有两个结果，此时要根据题目的要求筛选出最合适的结果。
结 论
函数思想是数学思想中的重要思想，对锻炼数学思维，提高数学学习水平具有重要作用，将函数思想应用于高中数学的解题中，可以提高解题效率，提升数学成绩。因此高中数学教师应该在解答方程式问题、不等式问题、数列问题和实际优化问题时应用函数思想，让学生对这种思想有更好的掌控能力。
参考文献：
[1]韩云霞，马旭.浅谈函数思想在高中数学解题中的应用[N].宁夏师范学院学报，2016，03：92-95.
高中数学函数与方程范文第3篇
方法。
关键词：高中数学；解题；方法
一、函数方法
在高中数学课程的学习中，函数思想是最普遍也是最基本的思想。世界上的万事万物都处在不断的变化中，而通俗地来说，函数就是研究一个物体会随着另一个物体的变化而进行怎样的变化。举个例子来说，二次函数y=2x2+3x+5，当x进行变化时，y就会随之发生相应的变化，那么我们就可以称y是x的函数。把数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律，会使复杂的数学问题变得简单起来。
二、数形结合方法
把代数和几何相结合，用代数的方法解决几何问题，也是高中数学常用的解题方法。例如，求■+■+■■+■的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点到（0，1）（1，0）（0，0）（1，1）四点的距离，就可以求出它的最小值。而不用再进行复杂的计算，因此，数形结合思想是要巧妙地将代数与几何相结合，寻求最简单的解题方法。
三、分类讨论方法
“事物的正确答案不止一个。”分类讨论思想就是这句真理的证明。当一个问题因为某个量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，就需要对这个量的各种情况进行分类讨论。比如，解不等式|a-2|>3的时候，就要以a的取值情况进行分类讨论，当a>2和a5和a
四、方程思想
我们在小学学习数学时就开始接触方程了，当把数学问题用方程的形式表达出来，那么这个数学问题就变得清晰而直接了。在学习各种曲线方程时，要把方程的思想与曲线的图形结合起来，
理解曲线表达的意义。
五、概率统计方法
高中数学函数与方程范文第4篇
关键词：高中数学；函数教学；有效对策
在高中数学教学中，数学思想的培养在倡导新课程教育的大环境下显得尤为重要，这不仅关系到教学效率的提高，对增强学生的文化素养也大有裨益。经过多年的教育教学总结了几点高中数学函数教学的有效对策：
一、在概念中渗透
高中学生要掌握数学知识，就必须经历一个阶段，即学生“吸收”数学知识的过程，特别是在形成概念的阶段，数学教师应给予学生更多的解释和正确的引导。如，以偶函数与自变量的关系来说，在一定定义域中的自变量互为相反时，经相应函数关系式的对应后，即能够在某解析公式中得到相应的证明，进而在这个基础之上概括出包括偶、奇函数的部分函数定义，从这个例子中能够使从具体到抽象的函数充分体现出来。
二、在教学中强化
在实际的高中数学教学时，教师可在学生初步认识数学时就加入一定的实例，从而使学生理解的数学概念得到强化。比如，在对数函数教学中加入图形案例，就能够使学生更为清楚、直观地对函数发生以及后续变化过程进行了解。
三、方程教学的应用
要使高中生对数学思想方法进行充分掌握，函数与方程是必不可少的，同时在实际运用中，函数与方程经常需要互相转化，因此对其加以合理利用，就能够实现复杂问题的简单化，并互相作用。
四、函数图象的应用
函数图象能够将函数性质直观地反映出来，并能够通过研究图像与图形，有效解决函数问题，是数形结合应用的重要组成部分。另外在函数图象问题的解决过程中，必须具备函数意识与分析意识，才能找到最为合理的解决方式。
五、函数分类的应用
在高中函数教学中，分类不同函数是具体应用之一。可通过例题在教学中对解题思想进行展示，从而使学生分类不同函数的能力得到训练与培养。大多数数学思想的解决方法只有在实际的数学题中通过实际解析，才能实现深化理解，进而使应用的灵活性与准确性得到提升。
在高中数学函数教学过程中，教师应根据实际情况，将高中函数中的知识点理清，从高中函数的形式与概念入手，引导学生深刻认识函数的本质，随后拓展学生的眼界，找出与函数关联的若干知识点，让学生掌握利用函数思想对其他问题进行解决的方法，同时在这个阶段中，强化学生理解函数的程度，真正实现高中函数相关知识点的全面掌握。
参考文献：
高中数学函数与方程范文第5篇
1.高等数学教学方法在高中数学教学中的应用
（1）微积分方法的应用
微积分是研究函数的微分、积分以及应用其解决实际问题的数学分支，微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的.微积分是一种数学思想，简单说“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分，无限就是极限思想，并用“以直代曲”的理念解决实际问题.极限的思想是微积分的基础，他是用一种运动的思想考察问题.数学教师在高中数学教学要充分应用上述微积分的思想、理念贯穿平时的课堂教学，让学生在不断的潜移默化中逐渐培养起微积分的思维的理念.
（2）极限思想方法的应用
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科.所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.
在高中数学中极限思想方法典型的应用有：球的表面积公式推导，经过（1）分割，（2）求近似和，（3）用极限推得准确和.而双曲线的渐近线，也是极限思想的具体应用.教学可以利用高中数学中这些相关内容很好的在教学中贯穿极限的思想.
（3）向量方法的应用
向量是新课标下高中数学内容之一，向量法在代数方面的应用就是用代数的方法来研究几何问题，通过建立坐标系把几何中的点与坐标对应起来，把几何中的图形化为代数方程，用代数运算来发现各种几何量之间的关系，进而由代数方法来认识对应的几何图形的几何形态，这种方法又被称为几何学的解析方法.向量法在平面几何上的应用十分广泛，近年来，在高考命题中常常会见到平面向量与解析几何结合的相关试题，如夹角、垂直、共线、轨迹等问题的处理.
向量作为近代数学的基本概念之一，是一种重要的数学工具，他的理论及应用，是近代数学的基础知识.给高中生培养用向量解决几何问题思维就显得有实际意义.
2.高等数学教学与高中数学教学内容衔接存在的问题
（1）脱节问题
在现实中，由于高考指挥棒的影响，一些在大学数学中作为基础的知识，在高考的考纲中没有重点明确要求，这就使较多高中学生在学习的过程中，往往忽视这些知识点，影响了学生在进入大学后，学习高等数学的过程出现知识理解障碍.
如在高数的二阶常系数线性齐次微分方程y"+py'+qy=0中，需先求出其特征方程r2+pr+q=0的根，后根据特征方程根的情况，写出原微分方程方程的通解.在实际学习中，学生对一元二次方程r2+pr+q=0主要思维固化在Δ=p2-4q≥0有实数解,Δ=p2-4q<0无实数解的认知水平上.从而为微分方程课程的学习设下误区.
（2）逻辑严密性问题
高度抽象性和严谨的逻辑性是数学的两个基本性特点.高中数学课程在有些知识点上面逻辑性就显得有点缺乏.如在高中教材中没有给出极限的定义，只是一种描述性表述，但在涉及导数的概念时又利用了极限的概念.高中教师为了教学的需要，会在课堂上对极限作直观的介绍，造成学生对极限的理解较模糊甚或是错误的认识，没有从极限的本质上得到认识.由于缺乏逻辑严密性，学生在高中阶段对这些知识点的掌握完全就停留在表面及依葫芦画瓢的层面上，给高数的学与教带来了负面的影响.
二、对策与建议
1.加快高等数学教学改革，尤其是教学教材改革
在不断改革的基础上，需要加强对基础数学教育与高等数学教育的关注与了解，做到基础与高教的系统联系，高数教师深入中学课程中，这样有利于高中数学教学课程改革的.另在高中教学材料内容的选择与内容结构的安排，需要精心考虑与规划，做好高中数教学内容的更新以及高中数学内容与高数有机的衔接.
2.立于高等数学的高度，拓宽解题视角
在高等数学与高中数学的衔接处，高中教师应站在高等数学的高度上，把高数中的思维理念的处理方法，融入到高中数学的教学中，拓宽学生解解决问题的视角，这就要求教师必须具备相当的高等数学功底，站在高处，对学生高效的教学，这种方法不仅能提高学生的数学素养，也能拓宽学生的知识面，为以后进入大学奠定良好的基础.
3.纵横联系、融会贯通
以高等教学的思想方法来指导高中数学的教学，可以加强对高中数学的体系管理，对高中数学问题系统的加以阐述，在思想上加以提炼，同时以高等数学学的思想方法来指导和总结高中数学教学工作，帮组学生改变综合复习中多、杂、难的“题海战术”，做到科学有效的提升，引导学生构建知识认知网络，从而将知识融会贯通.
三、结语
