高考数学归纳法
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高考数学归纳法范文第1篇
关键词：高考;数学归纳法;变化
高考完毕，纵观各类试题，不难发现数学归纳法在试卷中占有很大的比例，为什么搁置数年之后的数学归纳法重现江湖呢？数学归纳法有固定的模式，用途广泛，方法单一，没有太多的技巧，学生不用花许多时间去构造数学模型就能解决问题. 但是回归后的数学归纳法已经不是过去那种单纯给定结论来证明的数学归纳法了，它要经过一系列的变化，再猜想结论、证明结论. 证明方法主要有三大变化特点：
由“n=k”到“nk”三部分，三部分的性质有时互相融合
例1 （2014年广东卷理）设数列{an}的前n和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15.
（1）？摇求a1，a2，a3的值;
（2）求数列{an}的通项公式.
解：（1）a1=s1=2a2-3×12-4×1=2a2-7
①，
a1+a2=s2=4a3-3×22-4×2=4a3-20②，
a1+a2+a3=s3=15③，？摇？摇？摇
联立①②③可解a1=3，a2=5，a3=7.
（2）由（1）可以猜想：an=2n+1（n∈N+），
数学归纳法证明：（Ⅰ）当n=1，a1=2×1+1=3，结论成立;
（Ⅱ）假设当n
sn= = =n（n+2）④，由题意可知
an+1= ⑤，即有当n=k+1时，由④⑤可知
ak+1= = =2k+3=2（k+1）+1，结论成立.
由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，猜想an=2n+1，（n∈N+）结论成立.
评注：在此例的归纳推理过程中，改头换面的是由“n=k”到“n
由“n=k+1”到“n=k”的变化特点：表面上“n=k+1”收缩到“n=k”，归纳的起点前移了，实际上“n=k”扩充到“n=k+1”，归纳的起点后移了，满足n=k+1归纳推理过程
例2？摇 （2014年“北约”试题）已知xi>0（i=1，2，3…，n）且x1x2…xn=1，求证：
（ +xi）≥（ +1）n.
证明：由题意可知，至少存在一对xi，xj，满足0
（数学归纳法）（1）当n=1时，验证结论显然成立.
（2）假设当n=k时，结论也成立，即有 （ +xi）≥（ +1）k成立，从而当n=k+1时，
x1x2…（xkxk+1）=1， （ +xi）・（ +xkxk+1）≥（ +1）k（假设中的结论）
（ +xi）=（ +xk）（ +xk+1） （ +xi）=（2+ xi+ xk+1+xkxk+1） （ +xi）=（2+ xk+ ・xk+1+ +xkxk+1- ） （ +xi）=（ +xkxk+1） （ +xi）+ ・（ +xk+xk+1-1） （ +xi）≥（ +1）k+ （ +xk） （ +xi）≥（ +1）k+ （ +1）k=（ +1）k+1，
即n=k+1时，结论也成立;
综合（1）（2）知，对于任意n∈N*，原结论正确.
评注：在此例的归纳推理过程中，稍加分析，归纳奠基就出来了――同上题一样改头换面是：当n=k+1时的xk・xk+1相当于当n=k时的xk，xk+xk+1-1xk，“终点”扩张了，这里巧用假设是证题关键.
同样，推优保送卷的命题者也对数学归纳法情有独钟，若知道数学归纳法的步骤，那么数学归纳法也保证你不会得很难堪的分数，这就是命题者喜欢数学归纳法的原因吧！
例3 （2006年复旦大学推优保送题）对于任意n∈N，x1，x2，…，xn均为非负实数，且满足x1+x2+…+xn≤ ，试用数学归纳法证明：（1-x1）（1-x2）…（1-xn）≥ 成立.
证明：由已知条件得，x1，x2，…，xn∈0， .
（1）当n=1时，x1≤ ，则-x1≥- ，则1-x1≥ ，即此时结论成立.
（2）假设当n=k （k∈N*）时，结论正确，即当x1+x2+…+xk≤ ，必有（1-x1）（1-x2）…（1-xk）≥ . 那么当n=k+1时，由于x1+x2+…+xk+xk+1≤ ，即x1+x2+…+xk-1+（xk+xk+1）≤ ，则（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）・（1-xk-xk+1）≥ （假设），
则？摇（1-x1）（1-x2）…（1-xk）（1-xk+1）=（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）（1-xk-xk+1+xkxk+1）≥（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）（1-xk-xk+1+0）≥ ，？摇
即结论当n=k+1时也正确. ？摇
综合（1）（2）知，对于任意n∈N*，原结论正确. ？摇？摇
评注：在此例的归纳推理过程中，数学归纳法的基本步骤没变，改头换面的是：当n=k+1时的xk+xk+1相当于当n=k时的xk，“终点”扩张了.
原题不能够用常规方法或原题给的条件不全面，先猜测，再用数学归纳法加强条件，运用“特殊到一般”、“由点到面”的逻辑关系
例4 （2014年重庆卷理）设a1=1，an+1= +b（n∈N*）
（1）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式.
（2）若b=-1，问：是否存在实数c使得a2n
解：（1）a = +1（n∈N*）略.
（2）由题意可知：a1=1，an+1= -1，an<1;利用特征根法n∞，an+1=an=λ，λ为常数，解得λ= . （也可以先算出a2，a3，a4…，再归纳猜想）
由此用数学归纳法证明命题：a2n
（Ⅰ）当n=1时，a2=0，a3= -1，即a2<
（Ⅱ）当n=k时，结论也成立，即a2k
由于an+1= -1（n∈N*）在（-∞，1]上为减函数，c= -1>a2k+2= -1>0=a2.
即1>c>a2k+2>a2，同理由函数的单调性，c= -1
高考数学归纳法范文第2篇
关键词：归纳思想；高中数学教学；应用
新课程改革的全面深化要求教师在课堂教学中更加注重培养学生的思维能力和创新能力，为学生以后的发展打下更好的基础。数学是一门抽象的学科，它在教学中非常重视抽象的数字含义以及推理过程。结合数学的学科特点和新课改的要求来看，归纳思想对于高中数学应用教学有着重要意义。
一、归纳思想的概述及意义
广义的归纳思想就是学生在已有的认知结构的影响下，通过观察、联想、类比、归纳、推理等，做出新的合情合理的认知过程。归纳思想无论对数学教学自身还是我国素质教育而言都具有重要意义。对数学而言，数学的创造过程不同于其他学科，在数学产生的过程中，为了证明一个定理之前需要经过合理的设想，然后进行检验、完善，最后进行修改。在经过再三的验证、修改、再验证的循环过程之后，才能真正形成定理，在这个过程中需要充分运用的就是归纳的思想。
二、数学归纳思想在高中数学教学中的应用
数学归纳法是高中数学教学中最具代表的归纳思想。它在教学中采用同归纳推理与演绎推理相结合的方式，更容易被学生接受。数学归纳法基本又分为两种：一种是完全归纳，一种是不完全归纳。不完全归纳是通过对题目中的部分对象进行观察，得出的一般性结论。这种归纳方法是由特殊到一般，有时候可能会出错，需要进行严密的论证结果。完全归纳法则是根据归纳原理得出严密结论的推理方法。
1.数学归纳法的基本步骤
例如，要证明一个与正整数n有关的命题的步骤是这样的：
（1）验证n=k1时命题成立；（2）假设n=k，（k≥k1）成立，那么证明n=k+1也成立。
2.数学归纳法重点
（1）数学归纳法的第一步和第二步是基础和依据，都是必不可少的。
（2）在证明n=k+1命题成立之前，一定会用上假设n=k，（k≥k1）成立。进行第二步运算时要想清楚先要获取目标等式，然后再想办法验证。
新课程改革的全面深化更加要求教师在课堂教学中更加注重培养学生的思维能力和创新能力，为学生以后的发展打下更好的基础。归纳思想在高中数学教学中被广泛使用，能够更好地被学生掌握，同时对于高考数学习题的解答有很大帮助，应该受到更加广泛的推广。
高考数学归纳法范文第3篇
关键词：中日韩；高考数学试题；比较分析
中图分类号：G639.3/.7 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0158-02
通过查阅中日韩三国的高中数学课程的相关文献，对中日韩三国若干年的高考数学试题的分析和研读三国的数学高考出题原则发现，三国的高中数学有所不一样，在课程的设置方面，中国的高中数学教材分必修和选修模块；日本的高中数学设置了7个科目：《数学基础》、《数学Ⅰ》、《数学Ⅱ》、《数学Ⅲ》、《数学A》、《数学B》和《数学C》；韩国的高中数学教材分数学一、数学二和选修部分，在高考数学的试题方面，三国的高考数学试题也存在比较大的差异性。本文主要从三国高考数学试题的试题形式、试题题量、试题内容、试题背景这四个方面进行对比分析。
一、试题形式的比较
从直观的题目的设计形式上来看，三国的试题形式都有所不同，日本的高考试题在形式方面比较单一，以简答题的形式出题，韩国的高考试题有选择题和简答题两种形式，而中国的高考试题分选择题、填空题、解答题这三大形式。在试题的设计形式上看，中国的高考试题显得比日韩两国的高考试题更全面和多样化，另外在设置选择题的备选项中，中国的高考试题每道选择题设置四个选项，分别是A，B，C，D选项，而韩国的选择题设置的是①，②，③，④，⑤五个选项，显然，这样增大了选择的难度。通过以上高考数学试题设计形式的比较，可以看出中国高考数学试题的形式相比之下多样化，从而可以更容易从不同的方面考查学生知识的掌握情况，选择题考查学生对知识的再认知的过程；填空题考查学生对知识的回忆过程；解答题考查学生对知识的应用过程，这些不同形式选择题、填空题、解答题从不同层次考查学生对知识的掌握情况，这样考查面更广、更全。
二、试题题量的比较
从高考出题的题量方面上看，中国的高考数学试题共有22道题，其中12道选择题，4道填空题，6道解答题，总分为150，客观题占60分，主观题占90分，韩国出题共40道题，必做题为25道，另外为15题中选5个的选做题，共需要做30个题，总分为100分，客观题占68分，主观题占32分。相比中国和韩国的高考试题，日本的高考试题的题量相对较少，试题题量越少，对所学知识的考查就越不充分，所以在题量方面设计时不宜太少。
三、试题内容的比较
关于试题内容方面，中日韩三国的高考数学考查的内容大部分是相同的，其中函数（对数函数、指数函数、三角函数）、数列（等差数列、等比数列）、排列组合、概率等都是重点考查的内容，不同之处在于中国的高考数学试题没有涉及到对矩阵、极限、正态分布、数列收敛、积分定理等的考查，在中国，概率正态分布只是作为阅读资料，不作为高考的考试范围，矩阵、积分定理在高中的教材也没有出现，它是高等数学中的内容。同样极限、条件概率也是在高等数学中才重点学习，而以上这些内容在日韩的高考试题中是常见的，另外韩国的高中数学内容有一小部分是在中国的初中阶段就已经学习了，可见日韩高考试题的覆盖范围要比中国的高考数学的范围大。中国高考数学的考查范围较小，但是考查的知识点比较细，试题注重知识的基础性，无论是函数还是立体几何，各个知识点考查得比较全面，比较细致，如概念、性质、定理等的应用。
例如考查函数的知识，函数的定义域或是值域这些基本概念在中国是常考的。
例：（中国）1.函数y=■+■的定义域为（？摇？摇）.
A.{x|x≥0} B.{x|x≥1}
C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1}
韩国的高考试题注重考查学生的计算能力、理解能力、推证能力、解决问题的能力，对于计算能力的考查，通常会以指数（有理数的指数运算）、对数的计算、矩阵的计算（矩阵的加法与乘法）、极限的计算形式出现.例如：
1.求（log327）×8■.
①12？摇？摇？摇②10？摇？摇？摇③8？摇？摇？摇④6？摇？摇？摇⑤4
2.已知A=-1 0 0 1，B=2 13 3，求（A+B）-1.
①1？摇？摇？摇②2？摇？摇？摇③3？摇？摇？摇④4？摇？摇？摇⑤5
3.求■■.
①1 ②■ ③3 ④■ ⑤3
四、试题背景的比较
中日韩三国的国情、社会发展的不同必然会导致三国的高考数学的出题背景不一样，总的来说，中国的高考试题很多是以课本的例题、习题为变式题，通过简单的变形、延展来改编，试题与现实生活结合得不够紧密.另外，每年的高考试题在题型方面几乎都一样，解答题一般都是考查6种题型：三角函数、立体几何、函数与不等式、统计与概率、圆锥曲线、数列，所以在试题的背景方面体现不出新颖性.相比之下，日韩两国的高考试题都是比较生活化的，同时也关注培养学生的数学文化素养.下面举例说明此问题.
1.对于指数与对数的考查.例（韩国）：某溶液的氢离子浓度为H■，该溶液的酸性度用pH值定义为pH=-logH■.在摄取1块糖以后提取唾液测得的pH值为6.6.10分钟以后再提取唾液测试氢离子浓度，其值是最初提取唾液时测得值的50倍，求此时的pH值.（其中log2=0.3）
①3.7？摇？摇？摇②4.0？摇？摇？摇③4.3？摇？摇？摇④4.6？摇？摇？摇⑤4.9
像以上这种结合实际生活考查对数与指数的题目，韩国的高考中经常出现.而在中国的高考数学试题中是没有，中国的高考题中对指数和对数的考查只局限于老形式，没有新情景.
例（中国）：若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，x1+x2=（？摇？摇）.
A.■ B.3 C.■ D.4
所以这也是中国的教育需要向韩国借鉴的.
2.在数列部分考查.例（中国）：已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10（？摇？摇）.
A.138 B.135 C.95 D.23
例（日本）：数列{an}满足下列条件，a1=1，a2=1，an+2=7an+1
+an（n=1，2，3…）
①请用数学归纳法证明a3n（n=1，2，3…）是偶数.
②证明a4n（n=1，2，3…）是3的倍数.
同样是考查数列内容，中国试题与课本上的形式基本一致，日韩的有利用数学归纳法证明的题，还有推测各项求数列和的题，可见日韩试题的载体和解答都比我国新颖.
3.再如对于概率知识的考查.中国历年都是考查离散型随机变量的概率分布和数学期望的概念和运算，也有部分考题将对相互独立事件的概率，二项分布或超几何分布等概念的考查融于对随机变量的概率分布和数学期望的考查之中.比起日韩，中国关于这部分内容所考查的知识点比较全面，对基本知识的要求比较高，但是在试题的覆盖面上和考题的类型上，日韩的试题的覆盖面更广，考题类型更多样化，而且试题的背景更加生活情景化.
例2（韩国）：一个电视100个频道，这个电视的遥控器的一部分如图，这个电视显示着50频道，若从增加和减少的两个按钮中任选一个按一下，这样一共按六次，则电视仍然显示50频道的概率为？（没按一下按钮电视会增加或减少一个频道）
①■ ②■ ③■
④■ ⑤■
总体上来看，中国高考数学试题的表现形式比较规范，考查的知识点比较精细，强调双基和运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，而日韩两国的试题更加强调考查学生的形象思维及理解能力、解决问题的能力，所以在高考数学编制试题方面，日韩两国的这些优点值得中国借鉴.
参考文献：
[1]赵荣夫.高考数学试题的背景研究[J].数学教学研究，2006，（12）.
[2]周莉莉.中日韩数学高考对比探究[J].中学数学教学参考，2001，（4）.
[3]刘文.日本数学课程改革的特点及其启示[J].教育科学，2000，（4）.
高考数学归纳法范文第4篇
关键词： 数列求和 公式 常用方法
牢记等差数列和等比数列的求和公式，利用公式求和是一切求和方法的根本.在牢记公式的基础上，要学会灵活应用公式，会利用公式的变形进行求和.下面对数列求和的经典方法一一进行介绍.
1.部分求和法
何谓部分求和，一分为二看，就是将数列分成两个或两个以上可直接求和的数列，然后求出数列的前n项和.
例1：求和：3+5+7+…+［（2n+1）+］.
解：原式=［3+5+7+…+（2n+1）］+［+++…+］
=+=n+2n-+1
2. 并项求和法
将数列的某些项先合并，使合并后可化为直接求和的数列就是一种很有效的方法：遇通项还未求和的数列求和时，先将各项求和再求和.
例2：求1,1+2,1+2+2,…，1+2+2+…+2的前n项和.
解：s=1+（1+2）+（1+2+2）+…+（1+2+2+…+2）
因为1+2+2+…+2==2-1
所以s=（2-1）+（2-1）+（2-1）+…+（2-1）
=（2+2+2+…+2-n=-n=2-n-2
3.列项求和法
如果数列通项满足a=（d>0）的形式，就可列项为（-），然后进行消项求和.
例3：求和：+++…+.
解：原式=（1-）+（-）+（-）+…
+（-）
=（1-+-+-+…+-）
=（--）=
4.错位相减法
若数列{a}是等差数列，数列{b}是等比数列，c=ab，则求数列{c}前n项和s用该方法.
例4：求和：s=+++…+.
解：因为s=+++…+（1）
s=（++…+）+（错位）（2）
由（1）-（2）得（相减）：
s=（+++…+）-=-
所以s=1-.
5.降次求和法
根据一些恒等式，将高次项求和问题转化为低次项求和问题的方法.
例5：求和：（1+1）-1+（2+1）-2+…+（n+1）-n.
解：因为（n+1）-n=3n+3n+1
所以s=（3×1+3×1+1）+（3×2+3×2+1）+…+（3n+3n+1）
=3（1+2+…+n）+（3×1+1+3×2+1+…+3n+1）
=3+
=
=n+2n+3n
6.猜想证明法
由递推关系给出的数列的通项来求和，该方法关键在于根据已知条件写出a的通项公式再求和.
例6：已知数列中{a}中，a=1,a=a+，求s.
解：因为a=a+;2a+1;2a-2a=1，
所以{2a}成以1为公差的等差数列，
所以2a=2a+（n-1）×1=n.
所以a=n（）,S=1×（）+2×（）+3×（）+…+n（）（1）
S=1×（）+2×（）+…+（n-1）（）+n（）（2）
由（1）-（2）得：
S=1++…+（）-n（）=-n（）
=-（）（+n）+
7.倒序求和法
例如：如果一个数列，与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，则可把“正着写的和式”与“倒着写的和式”相加，得到一个常数列的和，这种求和方法就可看作是灵活利用公式求和的典型，称为倒序相加求和法．
例7：若f（x）=，求和：f（-5）+f（-4）+…+f（0）+f（5）+f（6）.
解：令s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+f（5）+f（6），
则s=f（6）+f（5）+…+f（1）+f（-4）+f（-5）,
所以
2s=［f（-5）+f（6）］+［f（-4）+f（5）］+…+［f（0）+f（1）］+…+［f（6）+f（-5）］
又
f（x）+f（1-x）=+
=
==
所以2s=×12=6，得s=3.
8.周期法
数列是一种特殊的函数，所以数列中也必然存在着周期问题． 有些数列题，表面上看与周期无关，但实际上隐含着周期性，一旦揭示了其周期性，问题便迎刃而解．
例8： 数列{a}中，a=1，a=2，若对一切n∈N，有aaa=a+a+a，且aa≠1，则该数列2008项的和s的值是多少？
解:由a=1，a=2，得a=3，所以s=6. 因为aaa=a+a+a，所以aaa=a+a+a.两式相减得aa（a-a）=a-a，又aa≠1,所以a=a，周期T=3.所以s=s+a=669s+a=4015.
9.导数法
抓住数列通项的结构特征，启迪直觉，类比“记忆模式”，精心联想，构造恒等式，借助导数，得到新的恒等式，出奇制胜.
例9： 已知n∈N，求和：C+2C+3C+…+nC.
解：由（1+x）=C+2C+3C+…+nC
两边求导得：
n（1+x）=C+2C+3Cx+…+nCx
令x=1，得C+2C+3C+…+nC=n•2
10.数学归纳法
有些题目可通过求出{a}的前几项之和，猜想出s，然后用数学归纳法给予严格证明.
例10：设数列{b}的前n项之和为s，满足3（s+nb）=1+2b（n∈N），求s.
解：因为s=b，由3（s+nb）=1+2b得3（s+s）=1+2s，
所以s=.
而b=s-s，所以3［s+2（s-s）］=1+2（s-s），得s=.
同理可得s=，猜测s=（n∈N）.
下面用数学归纳法加以证明：
（1）当n=1时，结论显然成立.
（2）假设n=k时结论成立，即s=（k∈N）.
由题设3［s+（k+1）b］=1+2b，得b=.
又因为s=s+b，所以s=＋，
解得s=.
这就是说n=k+1时结论成立.
根据（1）（2），对于n∈N，s=总成立.
参考文献：
［1］张娟. 数列求和的几种有效方法［J］. 数理化学习（高中版），2010，（09）.
［2］王友红.一些特殊数列的求和［J］.考试（高考数学版），2009，（Z4）.
［3］林明成. 数列求和十法［J］.数理化学习（高中版），2010，（09）.
高考数学归纳法范文第5篇
【关键词】数列求和 常用方法 高考难点 高考教学
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2012）24-0149-01
数列求和是高中数学的一个重点，也是高考的难点，纵观山西省近几年高考数学的最后一题，都是数列与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的压轴题，因此搞好数列求和的学习是非常重要的，经过整理，常见的数列求和的方法有四种：
一 常用公式法
直接利用公式求和是数列求和最基本的方法。常用的数列求和公式有：
Sn= =na1+ d （ 为等差数列）
Sn= = （q≠1）或sn=na1（q=1）
（ 为等比数列）
二 乘比错位相减法
对于数列 ，若an=bn·cn且数列 、 分别是等
差数列、等比数列时，求该数列 前n项和时，可用该方法。
例1：求和Sn= + + + +… 。
设an= =n· ，其中 为等差数列， 为等比数
列，公比为 ，利用错位相减法求和。
两端同乘以 ，再两式相减得：Sn=2- - 。
说明：乘比错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题。
三 分组求和法
对于数列 ，若an=bn± 且数列 、 …都能
求出其前n项的和，则在求 前n项和时，可采用该法。
例2：求和Sn=0.9+0.99+0.999+0.9999+… 。
解：设an= =1-10-n
Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
=n- （1-10-n）
四 倒序相加法和倒序相乘法
1.倒序相加法
在教材上推导等差数列 前n项和Sn的公式：Sn=
使用的就是该法，推导过程参看教材。
例3：求和S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°。
解：S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° （1）
S=cos21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289° （2）
由（1）+（2）得：S= 。
例4：求和Sn= +2 +3 +…n 。
解析：据组合数性质 = ，将Sn倒序写为：Sn=n +（n-1） + 。
以上两式相加得：2Sn=n（ + + +…+ + ）=n·2n。
因此，Sn=n·2n-1。
2.倒序相乘法
例5：已知a、b为两个不相等的正数，在a、b之间插入n个正数，使它们构成以a为首项，b为末项的等比数列，求插入的这n个正数的积pn。
解：设插入的这n个正数为a1、a2、a3…an，且数列a1、a2、a3…an、b成等比数列。
则：ab=a1·an=a2·an-1=…
pn=a1·a2·a3…an （3）
