高中数学证明方法

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高中数学证明方法范文第1篇

关键词：不等式；导数；定积分；证明

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）17-0110-02

不等式证明是高等数学中常见的题型，证明方法灵活多样，具有较强的技巧性和综合性。同时由于知识结构不同，高等数学中不等式证明方法和高中时应用的证明方法也有所不同。下面我们介绍高等数学中常用的几种不等式证明方法，以帮助刚踏入大学的同学转变证明思路，快速掌握高等数学中的不等式证明方法。

一、利用导数知识证明不等式

（一）利用函数单调性

此方法关键是根据题设条件构造合理的辅助函数，将不等式证明转化为比较两个函数值的大小。

例1？摇 证明不等式ex>1+x，x≠0

证明：设f（x）=ex-1-x，则f'（x）=ex-1.故当x>0时，f'（x）>0，f（x）严格递增；当x

（二）利用函数的极值和最值

当给定的不等式是具体的函数，且又给出自变量的变化范围，欲证明它大于或是小于某个定数，这时往往利用函数的极值和最值来证明不等式。

例2 当x≥0时，证明nxn-1-（n-1）xn-1≤0（n>0，n∈N）.

证明：令f（x）=nxn-1-（n-1）xn-1，则f'（x）=n（n-1）xn-2-n（n-1）xn-1=n（n-1）xn-2（1-x）.令f'（x）=0，得驻点x=1（因为x=0 是x≥0的端点，所以x=0不是驻点）且当x

（三）利用函数的凹凸性

当所求证的不等式中出现了形如f■，■的式子时，我们可以考虑根据函数凹凸性的一些性质来证明。

例3 己知：α

证明：设函数f（x）=x3，x∈（0，+∞），则f'（x）=3x2。f''（x）=6x>0.由引理可知：函数f（x）=x3，x∈（0，+∞）是凹函数。设a1=a2=■，x1=α，x2=β，则f（a1x1+a2x2）=f（■α+■β）=f■≤a1f（x1）+a2f（x2）=■，而f■=■■，且由已知得到■=■≤1，所以■=f■≤■≤1.故有α+β≤2.

（四）利用微分中值定理

微分中值定理将函数与导数有机地联系起来，如果所求证不等式经过简单变形后，与微分中值公式的结构有相似性，就可以考虑利用微分中值定理来证明，其关键是构造一个辅助函数，然后通过微分中值定理的公式证明。

微分中值定理包括费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理等。其中比较重要的是罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

例4 证明：对一切h>-1，h≠0成立不等式■

证明：设f（x）=ln（1+x），则由微分中值定理得到ln（1+h）=ln（1+h）-ln1=■，0

当h>0时，由0

（五）利用泰勒公式

当所涉及命题中出现二阶或更高阶导数时，我们可以考虑使用泰勒公式证明，其关键是选择恰当的特殊点展开。

例5 设f（x）在[0，1]上的二阶导数连续，f（0）=f（1）=0，并且当x∈（0，1）时，f''（x）≤A.求证：f''（x）≤■，x∈（0，1）.

证明：因为f（x）在[0，1]上有二阶连续导数，所以f（x） 可以展开为一阶泰勒公式f（x）=f（x0）+f'（x0）（x-x0）+f''（ξ）■，其中ξ在x与x0之间.

取x=0，x0=x，则泰勒公式为：，f（0）=f（x）+f'（x）（0-x）+f''（ξ）■，其中0

因为f（1）=f（0）=0，上面两式相减得f'（x）=f（1）-f（0）+■f''（ξ1）x2-f''（ξ2）（1-x）2，又f（x）≤A，x∈（0，1），所以f'（x）≤■[x2+（1-x）2]=■（2x2-2x+1），而0≤x≤1，（2x2-2x+1）≤1，故f''（x）≤■.

二、定积分不等式的证明方法

（一）利用定积分的性质

性质：设函数f（x）和g（x）在区间[a，b]可积，且f（x）≤g（x），则■f（x）dx≤■g（x）dx.

例6 设f（x）在区间[0，1]上连续且单调减少，试证：对任何a∈（0，1），有■f（x）dx≥a■f（x）dx.

证明：构造变上限的积分函数，令F（t）=■f（x）dx-t■f（x）dx，t∈（0，1），则有F（0）=0，且由上式可以看出t≥x≥0，所以f（t）≤f（x），故有定积分的性质得到F'（t）=f（t）-■f（x）dx=■f（t）dx-■f（x）dx=■[f（t）-f（x）]dx≤0.

因此由拉格朗日中值定理得到F（a）-F（0）=F'（ξ）a≤0，ξ∈（0，a），即F（a）≤0，原式得证。

（二）利用积分中值定理

积分中值定理：设函数f（x）在[a，b]连续，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得■f（x）dx=f（ξ）（b-a）。

例7 设f（x）≥0在[0，1]上连续，且单调下降，0

高中数学证明方法范文第2篇

关键词：高中数学；不等式；解题思路

不等式是高中数学教学中的重要内容，同时也是高考中的重点和难点。因此，高中数学教师在进行不等式的教学中应当在对重要不等式进行概念讲解的基础上同时注重不等式解题思路的有效分析。

一、高中数学教学中重要不等式的简析

不等式作为高中数学教学中的重点，数学教师在进行教学时应当注重对不等式的知识点进行合理的讲解与阐述。高中数学中重要的不等式主要有均值不等式、柯西不等式、三角不等式等。以下从几个方面出发，对高中数学教学中重要不等式进行简析。

1.均值不等式

均值不等式一直是不等式中的重要考点，其中有调和平均数与几何平均数、算数平均数、平方平均数的大小关系历来是常考的内容，其中调和平均数Hn=n/（1/a1+1/a2+...+1/an）≤几何平均数Gn=（a1a2…an）（1/n）≤算术平均数An=（a1+a2+…+an）/n≤平方平均数Qn=，即调和平均数小于等于几何平均数、算数平均数、平方平均数（Hn≤Gn≤An≤Qn）

2.柯西不等式

柯西不等式是不等式中的重要内容，在高考中柯西不等式二维形式的证明是重要考点，柯西不等式二维形式的证明为（a2+b2）（c2+d2）（a，b，c，d∈R）=a2・c2+b2・d2+a2・d2+b2・c2=a2・c2+2abcd+b2・d2+a2・d2-2abcd+b2・c2=（ac+bd）2+（ad-bc）2≥（ac+bd）2，既等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。

3.三角不等式

在三角不等式中，和差化积是学生比较难以掌握的点，和差化积的主要内容有

sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]・cos[（α-β）/2]

sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]・sin[（α-β）/2]

cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]・cos[（α-β）/2]

cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]・sin[（α-β）/2]

这四个公式也是不等式解题思路中常用的工具。

二、高中数学教学中重要不等式的解题思路

在不等式的教学过程中高中数学教师应当注重解题思路的有效应用，通过授之以渔的方法促进学生对不等式这一重要的数学内容进行有效的学习。高中数学教学中比较重要的不等式解题思路主要有比较法、分析法、综合法、放缩法等。以下从几个方面出发，对高中数学教学中重要不等式解题思路进行分析。

1.比较法

不等式中比较法的解题思路通常是通过对实数n和b进行比较，并通过变形、作差、通分、配方等一系列方法对不等式进行比较与判断。在这一过程中高中数学教师应当注重因式分解、和差化积等方面的有效应用，从而使学生对不等式比较法的解题思路有着更清晰的认识。

2.分析法

不等式法中分析法的解题思路大多从需要证明的结论出发并进行反向推导，在这一过程同通过对题目中提供的公式与数字进行分析最后得出已知条件。在进行分析法解题思路的讲解过程中高中数学教师应当注意分析法中所有推导过程都必须是可逆的。

3.综合法

高中数学教师在进行综合法的解题思路讲解时应当注重对不同的定理与公式进行综合性应用并结合题目中提供的已知条件与数字一步一步进行综合性的分析，从而得到最终要证明的结论。

4.放缩法

放缩法是高中数学中不等式的重要解题思路。放缩法主要应用在不等式的证明中，在这一过程中根据不等式的传递性，数学教师在进行公式变形时可以将一些式子与数字进行放大与缩小，从而达到有效证明的效果。在这一过程中高中数学教师应当注重教授学生放缩的尺度，促进学生放缩法解题思路应用水平的有效提升。

随着我国数学教学水平的不断进步，在高中数学教学过程中对不同的解题思路进行探索成为数学教学中的重要任务。不等式作为高中数学教学中的重点与难点，高中数学教师在进行这一部分知识的教学时应当注重对不同不等式的基础知识进行清晰的讲解。在使学生掌握了扎实的基础知识后通过对不同解题思路进行分析从而使学生能够更好地掌握这一高中数学中的重点内容。

参考文献：

[1]黄海燕.基于数学不等式解题思路的探讨[J].理科考试研究，2012，5（11）：52-55.

高中数学证明方法范文第3篇

关键词：高中数学；类比思想；学生学习

类比是指比较两个研究对象在形式、属性、特征和关系等方面的类似之处，从而推断两者在其他方面类似的推理方法，有利于发现两个研究对象之间存在的规律. 在高中数学教学中，数学教师有意识地培养学生的类比思想，不但可以帮助学生对数学知识温故知新，让学生发现数学新旧知识间的联系，而且可以将复杂抽象的数学知识简单形象化，易于学生理解与掌握，笔者从事高中数学教学多年来，不断进行数学思想方法在高中数学教学中实效性的探索与研究，在本文中以案例分析的形式说明类比思想运用于高中数学教学之中的优越性，希望能给读者带来一定的帮助和参考.

[?] 合理运用类比思想服务于教学之中，由浅入深帮助学生构建数学新知

在高中数学教学内容中，很多数学概念的知识点间相似之处较多，而在学习新概念的时候，数学教师需要将其与学生已掌握的概念进行类比，从而帮助学生较好地理解与掌握新概念. 例如在讲解“点、线、面间的位置关系”时，高中数学教师可以利用类比思想培养学生的空间想象能力. 如平行线的传递性在平面和空间都成立，而平面条件下成立的命题“如果直线ab，bc，则a∥c”，拓展至空间时则不成立，而这样对数学概念进行有效类比更有利于学生学习数学新概念，对数学概念的认识更为准确.又如高中数学教师在讲解函数性质时，可以指导学生利用函数图象与实例，让学生以函数角度去类比处理不等式、方程和数列等问题，这样既可以帮助学生熟练应用类比思想，又可以帮助学生构建完整的知识体系. 再如高中数学教师在讲解复数运算时，可以将复数运算与实数运算相类比，而解题中常用的数形结合、换元法等解题方法与思路，也在某种程度上是类比思想的体现.同样，在讲解数学定理时，如果教师只是要求去学生死记硬背，不注重对定理发现过程的理解，那么学生很容易忘记，无法做到理解运用. 虽然立体几何中的某些定理已经过证明，学生只需要了解运用即可，但是如果教师有意识地利用类比思想对定理证明的过程进行适当讲解，就可以拓宽学生的思维，提高学生发现问题、提出问题和解决问题能力，强化学生利用类比思想分析和解题的意识，帮助学生加深对数学新知识的理解、掌握和灵活运用.

高中数学证明方法范文第4篇

关键词：新课程 教学改革 创新

从总体上说，当今的中学课堂教学，仍然是灌输式教学占绝对优势。很显然，有些教学改革就其内在动机而言，主要还是面向各种考试，特别是应付高考的。随着国家新课程标准的全面实施，尤其是随着普通高中课程标准实验教材的面世和进人实验区，高中教学无论是在理念层面还是在操作层面，都将面临许多新的挑战。因此，高中教学如何才能适应新课程改革所提出的各项要求，就成了人们关注的焦点。下面就当今高中数学教学中存在的问题及对策谈谈自己浅显的认识。

1．高中数学教学中存在的问题。数学是一切科学和技术的基础，因而数学的重要作用和地位是不容置疑的。随着现代科学技术的飞速发展，数学与其他科学之间的相互交叉，相互渗透，大量的数学方法在科学研究和各个生产领域被成功应用，这些都显示了数学的巨大作用。高中数学的教学任务就是要通过教学活动让学生掌握数学思想和方法，展示数学在解决实际问题中的适用性和有效性，并能用数学知识分析问题和解决实际问题的能力，使学生初步具备能深入自学数学的能力和应用数学的能力，即数学素质的培养。但现在的高中数学教育中，有许多令人不满意的地方，改革也迫在眉睫，就高中数学教学而言存在以下几个问题。

(1)教学内容的局限。众所周知，现在高中数学课程的内容，大都是新旧交替，内容陈1日，基本上一应试教育为目的的框架，突出的问题为以理论知识和逻辑推导的传授为主，主要寻求问题的解析解，缺乏数值计算，重在许许多多的变换技巧，缺乏现代数学的应用性，信息量少，不能体现现代数学方法，这使得高中数学内容滞后实际需要。同时这种重技巧的训练使得课程内容多，而学时少，师生共同赶进度，于是牺牲应用，多讲理论，深奥的理论使学生学习兴趣不高，严重影响教学质量和学生求知用学的积极性，更不要说对学生进行数学素质教育了，学生的学习是为了应付考试，高中数学的学习进入一种不良循环，很多学生学习厌倦，当用到数学知识时，才感到数学的重要，为时已晚。

(2)现代技术的教育手段运用不足。高中数学在强调数学素质教育，创新能力培养的今天，教学手段也应不断更新，各种数学软件包，计算机辅助教学以及数学实验的介人，使得我们的教学手段更具有现代化，效果更好。而这些工具我们很少用到高中数学的教学中，依然是教师在黑板上重复着定理的推导，定理的证明，学生在听的单一教学方式，这样很难减少课时数，很难改变学生被动学习的状态，不能实现师生互动，双向交流。

2．实施教学改革的探索。在教学中，通过师生交流和相互作用，教师要激发学生学习数学的兴趣，注重不同学生的素质，教授给符合学生要求的数学知识，真正培养学生分析，解决问胚的能力。这些问题是培养创新意识的关键，也是提高学生数学素质关键所在。

(1)注意精讲，帮助学生理解深度知识。学生的年龄特点，知识经验以及数学自身的特点，决定了一些数学内容需要深度讲解。这些内容包括学生对某-此数学概念未建立之前而自身需要主动建构这个知识框架的数学内容；这些数学内容包含大量的逻辑上没有联系且远离学生实际的事实，一些重要概念或不加证明的公理等。这些内容教师宜作深度讲解，即采取精讲的方法。对于高中数学中的导数概念、连续性、单调性、周期性定义等需要细致深入的精讲，从其产生的知识背景及发展过程，以及数学家如何分析归纳这类现象和问题，而由此提出的新概念、新理论。从中把解决这类问题的过程、思想、力法展示给学生，以此建立相关概念并培养学生创新精神。

(2)注重抽象定理内容的解释，体现数学思想。证明显没有经验的学生最害怕的事情，而教师对知识的解释则相对受欢迎，因为解释通常被认为不像证明那样形式化。从另外一方面来说，一个好的解释里实际包含了一个形式证明的重要思想，集中精力于解释定理里所包含的数学思想而不是证明，这样并没有削弱对定理内容的理解。我们重复一个被前人已证明过无数次的定理，学生对这个定理的内容并不一定理解，我们真正的目标是理解。、对于高中数学巾抽象内容，要求教师形象解释，使学生理解，通过解释来理解这些内容，而不是把重点放在证明。解释其中包含的数学思想，了解其背后的数学精神，让学生受到数学文化的熏陶，受到智慧的启迪。

(3)积极开展数学建模教育。学习数学就足试图用数学去解决实际问题，用数学语言尽力能刻画实际问题，能把实际问题转化成数学语言，而这一种转化过程即就是数学建模。数学建模就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过实际问题的抽象、简化确定变量和参数，并应用某些“规律”建立起变量、参数问的确定的数学问题，求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定这个模型能否进一步推广，解决实际问题。

(4)充分利用多媒体教学，使教学手段现代化。在强调素质教育的今天，教学手段也在不断的更新，多媒体计算机、投影电视系统等高新技术在教学中发挥越来越火的作用。现代技术手段用于教学中，更能突出数学理论直观再现，同时也突破了传统课堂的教学方式，而且能促使学生更好的理解所学的内容，并能使学生面对实际问题，积极思考，主动参与，学生使用数学软件加深了对数学概念与理论的深入理解。

高中数学证明方法范文第5篇

关键词：高中数学；不等式；教学方法

一直以来，不等式都是高中数学的一个重要组成部分，也是高中数学中最为经典的内容之一，它是构成数学知识结构中必不可少的一部分，同时也是最难的要点之一。不等式反映了事物在量上的区别，是数学教学中的重要内容。同时不等式与很多其他知识也具有紧密的联系，在很多涉及量的范围以及最值的内容上基本都会用到它。结合自己的教学经验，提出几点关于高中数学课堂不等式教学的建议。

一、把握好不等式内容的教学要求

在高中数学课堂的不等式教学中，首先要准确地把握好教学要求，不能随意地提高教学要求，而是应该在数学标准的具体要求下严格控制教学的深广度。在课程标准的要求上，教材都给出了详细的概括，对几个教学内容都给了极为明确的教学要求，例如，在解含有绝对值的不等式时，只要求学生可以解几种特殊类型的不等式即可，而不要求学生能够解所有类型的含绝对值的不等式。同时在用数学归纳法证明不等式的时候，也只要求学生会证明一些简单的问题等等。另外，在不等式以及数学归纳法的很多问题中，常常需要使用一些具有极强技巧性的恒等变形。教师在这个环节的教学中，应该控制这方面的教学要求，不能使整个教学陷于一种过于形式化且较为复杂的恒等变形之类的技巧之中去。此外，还不能对学生的要求过于高，不能以专业的水平来要求学生。对于绝大多数学生，需要通过一些极为简单的问题使他们懂得这个知识的应用。

二、加强在教学方式方面的改进

现在的高中数学教学中仍然存在着一些极为严重的问题，对学生而言，最为主要的就是学习比较被动，一般都是通过接受式的方法进行学习，而作为教师一般都选择灌输式的教学方式，这样就使得教师在教学中对学生的引导和启发不够，学生的探索意识不强，不能主动地去发现新问题，不能用很好的方法去解决问题。这就要求教师在教学中应该注重引导学生学习。例如，在对基本不等式讲解时，教科书中就提出了一个让学生自己思考的问题——“对于三个正数会有怎样的不等式成立呢？”在学生证明了关于三正数的均值不等式后，又提出了一个关于一般均值不等式的解法；在证明完二维和三维的柯西不等式后，就出现了一个具有探究性的问题——“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式吗？”又如，“一般形式的三角不等式应该是怎样的？”等等，这些具有探究性的问题在整个教材中随处可见。教师就应该充分地利用这些问题，去引导学生在自己探究的过程中理解知识的应用过程。

三、借助几何方法，使学生对不等式的理解更为直观

不等式是通过数量关系来对整个现实世界进行刻画的，因此，我们一般是通过用代数的方法来证明不等式的。要通过代数进行证明，一般需要经过一系列的变形，而其中的数量关系人们往往是不能直接看出来的。此时，就需要借助几何方法，把不等式中的有关量恰当地用图形中的几何量表示出来，这样，就能很好地表示出不等关系，使学生能够很直观地从几何的角度理解很多重要的不等式的几何背景。我们教科书中所呈现的不等式的几何背景，往往能够帮助学生很好地理解不等式的几何本质。例如：绝对值的三角不等式是通过借助向量以及三角形的边长关系表示的；柯西不等式是通过借助向量运算表示出来的等等。教师应该通过这样的方式来引导学生在面对数学问题时能够从几何的角度进行思考，从而找到解决问题的方法。

四、注重数学思想方法

之所以强调数学思想方法的运用，是因为数学思想方法是通过思维活动对数学结构形式进行认知的核心。其中既包括知识内容的最基本的表象概念，也包括需要掌握一定知识所需要的思维方式。就高中数学而言，最为常用的数学思想方法主要有化归、模型、递推、分类、数形结合、函数与方程等，这些不仅是学生学习数学中不可缺少的数学方法，同时还是教师教学中的重要方法。高中数学中最为常用的思想方法有：分类讨论思想、数形结合思想、转化（化归）思想、函数与方程思想等，这些方法都可以在不等式教学中进行渗透。

1.分类讨论思想

分类讨论思想是根据数学对象的本质属性的异同点把数学对象分为不同种类的具有一定的从属关系的数学思想方法。掌握分类讨论思想对提高学生的理解能力以及对知识的整理和独立获得有重要帮助，同时还可以帮助学生形成较为严密的知识网络。

2.数形结合思想

数形结合思想是通过用数解形或以形助数来处理数学问题。数形结合思想在整个高中数学教育中都是可以使用的。这一思想的具体运用体现在数轴、三角法、复数法、计算法和几何题、向量法、图解法、解析法等等。这些都是用数形结合思想使抽象问题具体化，复杂问题简单化，使问题更简单地被解决。在不等式的教学中，教师更应充分地利用图形以及图象让学生更清楚地理解知识。这些不等式问题的解决，如果利用数形结合思想，将不等式中的抽象思维和形象思维加以结合，就能使不等式的问题化困难为简单。

3.转化（化归）思想

转化思想是将已有的相关知识经验，通过观察、联想以及类比等方式，把问题变换、转化成容易解决的问题的思想方法。这个方法是让学生形成一种化归意识，在平时的学习中熟练地掌握各种知识的转化，将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。例如，可以将多元方程通过转化思想转化为一元方程，将钝角三角函数转化为锐角三角函数，把高次的方程化为低次的方程等等。学生能将新学的知识运用到旧知识中去，在学习了新知识的同时又巩固了旧知识。

4.函数方程思想

函数方程思想是在解决有些数学问题时，通过构造适当的函数或者方程将问题转化为函数或者方程的思想，函数与方程之间是互相联系的。例如，证明不等式离不开换元以及函数的单调性，函数方程思想有助于加深对数学知识的理解，对数学教学具有重要意义。

不等式在整个高中数学中的作用极其重要。作为教师，在对不等式进行教学时，要引导学生逐步地学会自我学习，这样有助于知识更容易被吸收，也更牢固。通过以上高中数学不等式教学方法的探讨，希望可以给教师的授课以及学生的学习带来帮助。

参考文献：

［1］高修库.一类“函数不等式成立”的“最值”问题解析策略［J］.中学数学参考，2012（05）.

［2］张希运.浅谈高中数学中关于最优化的函数模型［J］.新校园：理论，2010（11）.

［3］陈业.高中数学不等式解法及应用［J］.黑河教育，2010（11）.

［4］郑珺影.教学思维在高中数学不等式教学中的作用［J］.考试周刊，2008（40）.

［5］彭永中.由一道绝对值不等式题看初高中数学衔接教学［J］.新课程：教育学术，2011（04）.

［6］靳国林.浅谈高中数学的解题策略［J］.高中数理化，2012（10）.