高一数学函数的单调性

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高一数学函数的单调性范文第1篇

理解：

（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性。

如：二次函数y=x2在区间（-∞，0]上是减函数，而在区间[0，+∞）上是增函数。

（2）有的函数在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性。

如：函数y=x+|x|在区间（-∞，0]上没有单调性，而在区间[0，+∞）上是增函数。

（3）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间时，一定要先求出函数的定义域。

（4）函数单调性定义中的x1、x2有三个特征：一是任意性，二是有大小即x1>x2，三是同属于一个单调区间内，三者缺一不可。

（5）因为定义是充要性命题，即f（x1） >f（x2）? x1>x2，可以“互逆互推”。

（6）函数的单调性是对某个区间而言，所以，要受到区间的限制。当在不同的区间上具有相同的单调性时，这些区间是不能用“∪”并在一起的。

如：函数f（x）= 在区间（-∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但是不能说它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数。

（7）有的函数不具备单调性。

如：y=x+3，x∈Z或常函数y=9， x∈R。

（8）书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定。习惯上，若函数在区间端点有意义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以；若函数在区间端点没有意义，则必须写成开区间。

如：函数y=x2在区间（-∞，0]上是减函数，也可以写成函数y=x2在区间（-∞，0）上是减函数。但是函数f（x）= 的单调递减区间必须也只能写成（-∞，0）和（0，+∞）。

规律：

（1）函数y= f（x）与函数 y= - f（x）的单调性相反。

（2）函数y= f（x）与函数 y= f（x）+C的单调性相同。

（3）当a>0时，函数y= f（x）与函数 y= af（x）的单调性相同；当a

（4）当f（x）≥0时，y= f（x）与函数 y=、y=[ f（x）]2的单调性相同。

（5）当f（x）恒为正或恒为负时函数y= f（x）与y= 的单调性相反。

（6）在公共区间上，若f（x） >0、g（x）>0，且f（x） 、g（x）都是增（减）函数，则y= f（x） g（x）是增（减）函数。在公共区间上，若f（x）

（7）在公共区间上，增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数。

（8）若两个函数在对应的区间上同增或同减，则复合函数y=f[g（x）]为增函数；若两个函数在对应的区间上一增一减，则复合函数y=f[g（x）]为减函数，即“同增异减”。

（9）若函数y=f（x）在闭区间[a，，b]上是增函数，则函数y=f（x）在闭区间[a，，b]上有最小值f（a），最大值 f（b）。若函数y=f（x）在闭区间[a，，b]上是减函数，则函数y=f（x）在闭区间[a，，b]上有最小值f（b），最大值f（a）。

（10）抽象函数的单调性一般使用定义来判断和证明。

应用：

（1）利用函数的单调性比较函数值得大小。

如：已知函数f（x）=x2+bx+c，对于任意实数t，都有f（2+t）=f（2-t），试比较f（1）、 f（2）、 f（4）的大小。

本题考查利用函数的单调性比较大小。解决本题的关键是弄懂f（2+t）=f（2-t）所表达的意思：它表示2加t或减t，函数值不变，即x=2是这个函数图像的对称轴。故f（1） =f（3），而函数f（x）=x2+bx+c开口向上，且在[2，+∞）上是增函数，即f（2）

（2）利用函数的单调性求参数的取值范围。如：函数f（x）= 在[1，∞）上对任意的x有f（x） >0恒成立，求a的取值范围。

解：在区间[1，∞）上，f（x）= >0恒成立，等价于x2+2x+a>0恒成立。

设y=x2+2x+a且x∈[1，∞），该函数y=x2+2x+a在[1，∞）上单调递增，当x=1时y（min）=3+a，

高一数学函数的单调性范文第2篇

关键词：提高；兴趣；挖掘；潜能；控制；成绩；下降

【中图分类号】G635.1

高中数学的内容多、抽象性、理论性强，很多初中毕业生以较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数学教学，有相当一部分人的数学不及格，出现了严重的两极分化，少数学生甚至对学习失去了信心。前几年，不少学校受高考指挥棒的影响，只注重升学率而忽视了合格率。现在高中实行会考制，上述问题引起了各校足够的重视，高中学生的数学整体水平得到了提高。本文主要谈谈挖掘学生思维潜能，控制高一数学成绩的下降的策略。

一、高一数学成绩下降的原因分析

1.初、高中数学教材间梯度过大

在初中教材中，往往偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全，如函数的定义、三角函数的定义就是如此；对不少数学定理没有严格论证。或用公理形式给出而回避了证明，比如不等式的许多性质就是这样处理的。教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念都配备了足够的例题和习题。而高一教材第一章就是集合、映射等代数知识，紧接着就是幂函数的分类问题（在幂函数中，由于指数不同，具有不同的性质和图像）。函数单调性的证明又是一个难点，立体几何对空间想象能力的要求又很高，教材概念多、符号多、定义严格，论证要求又高，高一新生学起来相当困难。此外，内容也多，每节课容量远大于初中数学，这些都是高一数学成绩下降的客观原因。

2.高一新生普遍不适应高中数学教师的教学方法

在一次高一召开的学生座谈会上，同学们普遍反映数学课能听懂但作业不会做，不少学生说，平时自认为学得不错，考试成绩就是上不去。带着这些问题我多次听了初、高中数学教师的课堂教学，从中发现初中教师重视直观、形象教学，老师每讲完一道例题后，都要布置相应的练习，学生到黑板表演的机会相当多，为了提高合格率，不少初中教师把题型分类，让学生死记解题方法和步骤。在初三，重点题目反复做过多次，而高中教师在授课时强调数学思想和方法，注重举一反三，在严格的论证和推理上下功夫。又由于高中搞小循环，接高一课程的教师刚带完高三，他们往往用高三复习时应达到的难度来对待高一教学，因此造成初、高中教师教学方法上的巨大差距，中间又缺乏过渡过程，致使高中新生普遍适应不了高中教师的教学方法。

3.高一学生的学习方法还停留在初中阶段

高一学生在初中三年已形成了特定的学习方法和学习习惯，他们上课注意听讲，尽力完成老师布置的作业，但课堂上满足于听，没有做笔记的习惯，缺乏积极思维；遇到难题不是动脑子思考，而是希望老师讲解整个解题过程；不会科学地安排时间，缺乏自学、看书的能力，还有些学生考上高中后，认为可以松口气了，放松了对自己的要求，上述的学习方法，不适应高中阶段的正常学习。

二、控制高一数学成绩下降的对策

1.课前调动学生求知欲

求知欲是人们思考研究问题的内在动力。让数学从高度抽象、极其枯燥的金字塔中解放出来，创设真实有趣具有挑战性的问题情境，就可以激发学生的学习愿望和潜能。例如，在教学概率一章时，我做了两个实验，第一，我断言班里肯定有生日相同的学生，提前让全班学生在教室的电脑里输入自己的生日，上课时当众打开，让同学们亲眼看到出现了几对生日相同的学生，告诉他们这几乎是个必然结果。再比如，在学习利用不等式求最值时，通过对易拉罐的观察和测量得出结果。易拉罐的形状都是圆柱形，而且高与直径比大约是2：1.为什么要如此设计呢？与生活如此贴近，学生产生强烈求知欲。

2.课中提高学生学习兴趣

1）数学史融入课堂。爱因斯坦说过“兴趣是最好的老师。”借助数学史，名人逸事，数学典故是培养学生兴趣的第一媒介。例如在《导数》一章之初，我就讲到1687年牛顿从研究运动的瞬时速度入手引出导数概念，而1684年莱布尼茨由研究曲线的切线问题引出导数的概念，二人分别独立研究，不谋而合，学生对本章内容产生浓厚兴趣。

2）文学魅力融入课堂。好多数学公式枯燥难以记忆，数学概念抽象难以理解，我尝试用诗意的语言描述数学概念，用著名诗句阐述图像特征，用自编口诀帮助记忆公式，起到很好效果。比如，用三部曲概括证明单调性的步骤：在区间找代表，函数值作比较，通过讨论定大小。用诗句“上穷碧落下黄泉，两处茫茫皆不见”刻画正切函数图像的值域，用“京口瓜州一水间，无缘对面手难牵”形容它的周期性和定义域。把对数函数图像形象地分为“风吹麦”型和“风摆柳”型，用“正弦半角要求根，竹竿钓鱼二人分”口诀帮助记忆半角正弦公式等等，使学生产生浓厚兴趣。牢固掌握了所学知识。

3）多媒体辅助教学。多媒体可以提供五彩缤纷的富有吸引力的动态图像特征，直观演示性质。例如讲y=Asin（ωx+Φ）图像时借助多媒体演示A、ω、Φ中的变化，可以短时间内列举大量例子，观察规律。再如线性规划一节，通过目标函数的移动，准确找到最优解，尤其是利用网络，找整数解，学生看得非常清楚、明白，也对相应内容产生浓厚兴趣。

4）课堂中给学生创造性尝试的机会和体验。学生不是接受的“容器”，而是可以点燃的“火把”。轻松活泼的课堂气氛和师生关系，是点燃的“火把”最适宜的火种。对于学生富有创意，别出心裁的解题给予充分的肯定，让学生意识到自己内在的无穷力量，也从老师的肯定中体验到创造和成功的乐趣。

三、多种教学形式，挖掘潜能

1.锻炼自学能力。自学不仅能培养自学能力，而且能发现重点，难点，减少听课过程中的盲目性，有助于提高学生的思维能力和概括总结能力。

2.组织课堂讨论。这样培养的学生敢于提问题、敢于批判、敢于质疑、思维敏捷。不受老师讲解的束缚。可为发散思维的培养创造良好的内、外部环境。

3.适当进行“一题多解”“一题多变”“一法多用”，培养学生的发散思维。

高一数学函数的单调性范文第3篇

一、“玩”数学概念和性质

1. 调皮的集合

“集合”是高中数学研究的一个起点，“集合”有点调皮，喜欢和学生玩抓迷藏，所以，你需用心地体会。例如比较0，0，？I或x|y=logx，y|y=logx，（x，y）|y=logx的区别和联系等等，你就会发现自己乐在其中，玩得不亦乐乎。

2. 有趣的推理

数学的解题过程和判断过程就是一个推理的过程，让学生们当福尔摩斯，他们乐意。从简单入手，集合是N自然数集，说“集合N中最小的数是1”对不对？“若-a不属于N，则a属于N”对不对？“若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2”对不对？课堂上通过不断抛出问题给学生们思考及快速反应，调动了学生们学习的兴趣，课堂学习气氛活跃。

二、“玩”数学的美感

函数是贯穿整个高中数学的纽带，高一数学的学习，既是夯实基础，又是为高二、高三的学习做铺垫，而函数的逻辑性强，抽象思维能力要求高，特别是函数的单调性和奇偶性等的综合题型，更是考察思维的一个点，学生们对函数往往是怕了又怕，所以，引导学生欣然接受函数，喜欢函数，乐于学习函数，“玩”依然是好主意。在学函数部分，一定要引导学生们画图，从分段函数、二次函数到指数函数、对数函数、幂函数等，并在学生们动手画图的过程中，引导学生感受数学的简洁美、统一美、思维美、对称美。美是学生们心中的追求和向往，所以，引导学生们去发现美和创造美，数学课堂更焕发出生机和活力。

三、“玩”数学小故事

我们动员学生和教师一起收集有关数学的小故事，由学生或教师讲解，调起了学生们的好奇心，为课程的引入起到铺垫作用。我们讲国王奖赏国际象棋发明者的故事;讲富兰克林的遗嘱等。学生们来了兴趣，自然而然愿意投入到数学学习中。

四、“玩”数学模型及应用

数学模型是学生近距离接触社会生活，体会数学实用性和服务功能的好窗口，并展示了数学的科学性和严谨性。学二分法时，我们开展了“猜价格”竞技游戏，教师给出上限和下限，看学生们谁能最快猜出最接近的价格;开展“好帮手”活动，汕头海底电缆的接点发生故障，需及时维修，同学们赶紧想办法，看看如何高效地找到故障点等等，激发了学生们的学习热情和探索欲望，课堂学习氛围浓烈。

五、“玩”速度和激情

学段测试前，我们开展了“找虫子 增能力 树信心”活动，目的是鼓励学生进行阶段复习，回顾高一数学必修一的知识点，找出自己在学习过程中导致解题出错的“虫子”，避免出现重蹈覆辙，有利于更好地掌握数学知识，并增强学习数学的信心和决心，我们“玩”的不仅是知识，还有速度和激情！

我们把全班按自然组，自主分成9个小组，以小组形式进行抢答比赛。

比赛采取车轮战，每组派一名代表在20秒内答题，答题时分三部分：

①答出正确答案;②讲解主要思路;③点明容易出现“虫子”的地方。第一轮和第二轮：选择题，每组各在20秒内答一道题，答对正确答案得5分，讲解得到同学热烈掌声的加5分。没能在规定时间内给出正确答案或答错的题目，由其他组同学抢答。第三轮：填空题，每组各在30秒内答一道题，答对得5分，答错扣5分，并由其他组同学抢答，抢答正确得5分，答错扣5分。学生们真的蛮拼的，下图是课堂现场。

高一数学函数的单调性范文第4篇

一、掌握映射的角度来理解函数的概念

二次函数，顾名思义即指未知数的最高次幂为二次的多项式函数，我们通常表达为：y=ax2+bx+c(a≠0)。我们可以用集合的概念来描述二次函数：由集合定义域A到集合值域B上的映射，书写为f：AB，也就是让集合B中的每位元素y=ax2+bx+c(a≠0)一一对应集合A中的元素X，记作：f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，该式中的ax2+bx+c为对应法则，亦即定义域中的X在值域y中的象。高一数学课上我们通过这样阐述来衔接初高中函数知识，很容易引导学生对函数的概念产生新的理解和认识，为接下来继续以二次函数为例引导学生从以下问题展开探究奠定基础：

1.已知f(x)= 2x2+3x+4，求f(x+1)

由以上概念学习我们可以这样理解：f(x+1)即是自变量为x+1的函数值。所以有：f(x+1)=2（x+1）2+3（x+1）+4

2.进一步探索，反过来研究：设若f(x+1)=x2－2x+3,怎样求f(x)

这个问题实际是探讨对应法则，我们可以用可逆思维理解在某对应法则f下，定义域范围内元素x+1的象为x2－4x+1。于是我们可以悟出两种解答方式：①把反应对应关系的表达式配成x+1的多项式，然后对号入座。f (x+1)=x2－2x+3=(x+1)2－4(x+1)+6，将x替换x+1得出f(x)=x2－4x+6。②设置代换：设x+1=a，那么x=a-1 所以，f(a-1)=(a-1)2－2(a-1)+3=a2－4a+6 因此，f(x)= x2－4x+6

二、用直观的图像来研究和表达函数性质

1、函数的单调性

探讨函数单调性时我们必须要求学生参照定义对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的单调性结论展开严格论证，当然我们还可以借助比较直观的函数图象关系，将抽象理论知识转化为学生的形象认识，再辅助科学的练习，大家就不难掌握图解二次函数单调性的技巧。

比如，我们可以举出比较典型或特殊的函数关系，让学生自主探索并尝试画出其图象，然后通过图象进一步说明函数的单调性，诸如：

①y=x2-2|x－1|+4；②y=|x2－1|；③y= x2+4|x|－7

当然，以上特殊的举例与我们常见的二次函数存在一定的差异和联系，但是它们能更多的反应各种典型的函数单调性，有助于同学们从实际探索中摸索出采用分段函数来表达和描述带有绝对值符号的函数的方法和技能，最终分别画出其图象，分析其性质。

2、函数的最值

同学们在初中阶段就已经学习了二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况：如果a>0时，函数满足 时有最小值 ，没有最大值；反过来a

我们可以通过图像来形象地研究二次函数的最值问题。一元二次函数的最值问题主要是对函数图像对称轴与所在区间的相对位置关系的分析，一般存在对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况。我们可以通过以下例题来体会：

如果f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求f（x）在x∈[m,n]上的最值

分析：我们可以将f（x）配方，得出其对称轴方程

①当a>0时，抛物线开口向上

若 则在曲线顶点取得最小值，在离对称轴最远端点取得最大值

若 则在虚拟定点最近的点取得最小值，在离对称轴最远端点取得最大值

总之，当a>0时，抛物线开口向上，函数在[m,n]上有单调性，因此在距对称轴 最远端取最大值，最近处得最小值。

②反之当a

①当a>0时

②当a

一般来说二次函数在实数集合上只有最大或最小值，但如果定义域发生改变时，最值也会发生相应变化，有些情况比较繁琐难于理解，我们可以让大家多作图，多观察，多练习，来进行掌握。

概括地说，函数的值域即是其所有函数值的集合，在定义域范围内，在固定的对应法则下，函数值也被确定在某个固定集合。鉴于此，我们在处理函数最值问题时，必须详细分析函数的定义域。我们再通过以下案例来体验这个数学过程：

例如：求函数y=4x-5+ 的值域。

该题如果依照常规解法：可以设t= ，则2x=t2+3

y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=

这样算出函数值域为 ．

但是这样得出结论却是错误的，因为：这里包含了一个隐含条件：t≥0，而二次函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是单调递增的，所以当t=0时，y有最小值1。所以该函数正确的值域应该是是[1, +∞）．

高一数学函数的单调性范文第5篇

一、高中学生学习数学的困惑

1.初高中教材之间的梯度过大。初中教材偏重于实数集内的运算,缺少对概念的严格定义或者概念的定义不全面。如函数的定义,初中教材是这样定义的:在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的值,变量y都有惟一的值与它对应,那么就称y是x的函数。用变化的观点解释,简明易懂。而高中教材是通过集合的观点定义的:设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有惟一的元素y和它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数。比较抽象,不易理解。

在初中不少数学定理没有严格的论证,或用公里的形式给出,回避了证明,如不等式的许多性质等。并且教材的坡度较缓,直观性强,对每个概念都配有足够的例题和习题。而高中教材一开始《必修一》的集合、映射、函数内容涉及到近似代数知识,比较抽象,学生不易掌握。《必修二》的立体几何空间想象能力要求较高,概念多、符号多、定义严格,论证要求高。有关定理性质的运用证明并不难,但学生书写不规范,不能把握定理的要求,解题失分较多。解析几何的运算能力要求很高,学生不能过运算这一关,学起来相当困难。此外,高中数学课堂容量远大于初中。这些都是高中学生学习数学困惑的客观原因。

2.初高中教学方法差异大。平时,经常听到学生反映:老师上课我听得懂,但自己做作业就不会做;也有学生说,平时自认为学得还不错,但到考试成绩就不高。本人也教过几年初中数学,初高中课堂教学差异很大,初中重视直观形象的教学,课堂容量小,老师每讲完一道题,有足够的时间让学生板演和练习。而高中教学强调数学思想和方法,注重举一反三,一题多解,并要进行严格论证和推理。又由于高中教师中有刚教完高三的教师接任高一学生的教学,往往会用对待高三学生的要求来对待刚上高中的学生。高初中教师教学方法的巨大差异,之间又缺少过渡。这是高中学生学习数学困惑的主观原因。

3.初中的学习方法不适应高中数学学习。学生在初中三年已经形成了固定的学习方法和学习习惯。他们只满足上课注意听讲,尽力完成老师的作业。但课堂上只满足于听,没有做笔记和反思总结的习惯,缺乏积极的思维。不会科学地安排时间,缺乏自学能力。甚至还有些学生,在初中时到初三认真刻苦了一年也考上了高中,认为考上了高中可以松口气了,到高三再认真学,缺少知识的储备,这种学习方法不适宜高中阶段的正常学习。

4.数学思维肤浅不适应高中数学要求。由于学生在学习数学的过程中,对一些数学概念和数学原理的发生、发展过程没有深刻的理解,一般的学生还停留在初中学习水准,往往只善于处理一些直观的或熟悉的数学问题,不能脱离具体表象形成抽象的概念,无法摆脱局部事实的片面性而把握其本质,缺乏抽象思维能力,不能根据问题的本质转化为熟悉的数学模型去解决问题,缺乏分析问题和解决问题的能力。

二、搞好高中数学教学的对策

1.注重初高中数学的衔接,抓好高一数学入门教学。高中教师应了解初中教师的授课特点。开学初,要多找学生谈话,了解学生掌握知识的程度和学生的学习习惯。在摸清初中知识体系,初中教师的授课特点,学生状况的前提下,根据高一教材和课程标准要求,制定出符合学生实际的教学计划,确定切实可行的教学方法,做到有的放矢,抓好高中数学入门教学。

进入高中首先学习的是集合,集合语言是现代数学的基本语言,要充分考虑到学生的认知规律,从学生熟悉的实例引入集合的概念,并从不同的角度学习和理解集合的表示方法,鼓励学生自己举例,使学生真正理解集合的概念,上好开学的第一课。

2.放慢进度,降低难度,注意初高中教学内容的衔接。根据本人的教学体会,高一数学要加强基本概念、基础知识,基本方法的教学,培养学生的基本技能,教学时注意形象直观,注重知识的形成过程,培养学生的思维能力。

在讲解2.1.3例2求证:函数 在区间(-∞,0)上是单调函数。可以对照图像示意,并对照函数单调性定义,指出函数单调性证明的要点,特别不能运用结论证明结论。

由于新高一学生缺乏严格的论证能力,对于函数单调性证明这一难点,要进行系列训练。多让学生进行板演练习,及时发现问题,解决问题。通过上述方法,降低教材难度,提高学生的可接受性,增强学生的学习信心,让学生逐步适应高中数学教学。

3.严格要求,打好基础。注重进入高中的第一节课,教师应对学生的学习提出具体、可行的要求。如作业的规范化,独立完成,错题订正等。对学生在学习中存在的弊端,应限期改正。严格要求贵在持之以恒,应贯穿学生学习的全过程,逐步成为学生的学习习惯。重视基础知识的训练,培养学生的基本技能。同时基本解题方法的熟练掌握,也便于学生接受较高层次的知识。

4.培养学习兴趣,提高学习信心。兴趣是最好的老师,学生对数学学习有了兴趣,才能产生学习数学的兴奋灶,也就能更大程度提高学生学习的主动性。高一教材几种基本初等函数:指数函数、对数函数、幂函数的图像教学时,教师可以借助几何画板,演示比较,提高学生听课的兴趣,加深学生对图像性质的理解。同时帮助学生进一步明确学习目的,针对不同学生的实际,分别提出不同较高的要求,采取因材施教,让学生有“跳一跳,就能摸到桃”的感觉,提高学生学习数学的信心。

5.指导学生改进学习方法。“授人以鱼,不如授人以渔”。良好的学习方法和习惯,不但是高中阶段学习上的需要,还能使学生收益终生。好的学习方法和习惯,一方面需老师的指导,另一方面也需要老师的强求。教师应向学生介绍高中数学的特点,进行学习方法的指导,帮助学生制定学习计划。学会听课,合理安排时间。听课时要勤动脑,多动手,肯动口。让学生参与知识的形成过程,教师应有针对地向学生堆荐课外辅导用书,扩大知识面。提倡学生进行章节总结,把知识串成线,做到书由厚读薄,又由薄读厚。

6.暴露学生的思维过程,发展学生的思维能力。可以设计诊断性题目,事先猜测学生可能产生的错误想法,运用延迟评判的原则,待学生所有的错误观点充分暴露后,再提出矛盾,以免暴露不完全,解决不彻底。

有时也可设置疑难,展开讨论。选择学生不易理解的概念,不能正确运用的知识,容易混淆的问题,让学生讨论,从错误中引出正确的结论,这样学生的影响特别深刻。而且通过暴露学生的思维过程,能消除消极的思维定势在解题中的影响。