高中数学不等式的性质
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高中数学不等式的性质范文第1篇
高中数学不等式的探究往往需要借助严密的数学逻辑思维，以分析或证明两式之间的对比关系，在这一过程中，数学思维的应用，切入角度的准确性，以及严密的逻辑证明对于整个不等式的有效分析起着关键作用。因此在数学不等式教学及实际应用过程中，高中数学教师首先应当从分析的角度指导学生进行基本的判断，从数学的思考角度找寻整个不等式的内涵与切入点，进而寻找正确的方式，确保不等式解答的高效率与准确性。因此，数学不等式教学中探究数学思维的有效应用对于整个高中数学不等式教学效果的增强有着重要的现实意义。
1.高中数学不等式教学中的数学思维
高中数学思维包含数形结合、数学模型、函数方程、递推、化归等，其对于数学知识的理解及数学习题的解答有着显著的促进作用，因此在数学教学过程中运用好数学思维对于数学教学水平的提升有着显著的促进作用。而在不等式的教学过程中，数形结合、函数方程、分类讨论等思维又起着关键的影响作用。因此教师在高中不等式教学过程中一定要结合实际的知识点或者是相关的习题案例有效地融合入各类数学思维，进而指导学生在不等式学习过程中深入地理解各个知识点，并以数学思维进行习题的分析，以在数学知识应用之前帮助学生寻找正确的思考方向、确定最佳的解题方式。在这种环境下，数学思维与高中不等式的教学紧密结合，学生对于不等式的学习效率得到提高，数学思维在高中数学不等式教学中的重要性得到体现。
2.数学思维在高中数学不等式教学中的有效应用
根据文章之前的分析，在高中数学不等式教学过程中，数形结合、函数方程及分类讨论等思维对于不等式的教学有着显著的促进作用，因此本节及实际数学思维与不等式教学结合的探究分析数学思维在高中数学不等式教学中的重要性，进而为现阶段高中数学不等式教学中有效应用数学思维提供借鉴。
2.1数形结合数学思维对不等式标根法的重要指导
数学中数与形往往是相互联系的，这种联系被称为数形结合，其作为一种数学思维或者数学指导思想往往对数学中某些概念的精确化或者是明确某些数学变量之间的关系起到了很好的指导作用。在高中数学不等式教学中，标根法的解题方法往往需要数形结合的形式进行有效指导，标根法往往将不等式的解题分成三个步骤，即将不等式分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线，并注意奇穿过偶弹回；最后再根据曲线显示出来的符号变化规律，写出不等式的解集。通过这种数学思维的指导，学生在学习不等式区间解答的过程中能够有效掌握基本的思考方法，并得出正确的答案。
以x■+3x-4≥0这一不等式为例，首先整个不等式可以分解成为（x-1）（x+2）■≥0，然后根据这一分解式将根x=1和x=-2（重根）标注在函数图形上，这样整个不等式的解的区域就能够明显地被表示出来，为{x|x≥1或x=-2}。
2.2函数方程思维与不等式恒成立证明的相关关系探究
函数方程思维往往是借助函数的主要性质或者是函数的定义对相关的数学问题进行分析和解答，而在高中数学不等式求解或者证明的过程中，数学教师同样可以借助数学的函数思维进行不等式教学，并指导学生对相关问题进行深入解答。在这种情况下，数学教师一方面是要让学生分清此类数学思维与不等式结合的主要类型，另一方面是指导学生找到不等式解答的主要突破口，进而让学生在分析阶段找到有效运用解不等式的方法，在解题及知识点理解的过程中保障自身探究方向的准确性。
不等式恒成立问题常常应用函数方程思想，进而以求最值或者极值的方式确定相关参数的区间，以证明不等式的恒成立或者习题条件的完整化。虽然恒成立问题分析过程中，数形结合的思想也对其起着有效的指导作用，但函数方程思维在运算方面及避开作图难点方面有着显著的优势。例如对于不等式x■-2mx+2m+1>0，教师就可以指导学生将函数化解成为（x-m）■-m■+2m+1>0，进而将整个不等式右边化成开口向上，对称轴为x=m的抛物线函数，在函数方程思维的指导下，学生可以免去画图的工作，直接根据函数的单调性及最值的性质判断m的范围，最终求出m>-1/2。
2.3分类讨论对含绝对值不等式解题的重要影响
分类讨论的思想对于高中数学综合知识的探究有着显著的指导作用，而数学不等式知识的教学中，含有绝对值的不等式同样可以和分类讨论的数学思维进行密切的联系。如“分段讨论法”，通过各个集合上的讨论求出各种情况下不等式的答案，最后取解的并集，在这种方法下，不等式所包含的绝对值可以被准确地去除，整个习题的解答也会被简化。学生对于这一类知识的理解及应用有了更好的切入角度，教学效果也更好地得以体现。
结语
以上在讨论了数学思维与高中数学不等式教学结合有效性的前提下，列举了高中数学不等式教学过程中具有重要影响的几类数学思维的实际应用。现阶段的不等式教学过程中，教师要根据不等式教学中的主要知识点及习题类型有效运用数学思维的指导作用，以数形结合数学思维强化不等式标根法的有效分析，以函数方程思维探究函数恒成立证明或解答的准确方向，以分类讨论的思维指导学生对含绝对值的不等式进行简化分析，进而借助数学思维的有效指导不断提高学生对于不等式的理解程度，优化其对于习题的分析思路与解题方法，保障学生知识储备的拓展及考试竞争力的增强，最终突显数学思维在高中数学不等式教学中的重要性。
参考文献：
高中数学不等式的性质范文第2篇
一、衔接初中不等式知识
高中不等式的教学要设置初高中数学课程的衔接，针对初中课程未涉及，课堂没有学到但高中要运用的内容进行补充和讲解，比如，一元二次不等式的解法教学。在高中数学课程安排上不局限于必修与选修的安排，有必要把解一元二次的不等式的教学从高中数学的必修五整合到必修一的教学后面，分离学习基本不等式和解不等式，让学生提早地接触不等式的教学，这样既避免了必修一中复杂的、技巧性很强的不等式有关证明，还能够保证学生后面学习函数模块如何处理不等式的定义域、值域等问题。
下面的案例是放在高一函数不等式解法的教学中，主要服务于高中函数教学中用到的解不等式内容。例如，在进行一元二次不等式解法的讲解中，教师首先要结合坐标轴和函数形式，给出一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系，随后，给出一元二次不等式的解答步骤，先把二次项系数化成正数，再解一元二次方程，根据一元二次方程的根，结合不等式符号的方向，写出不等式的解集。以解不等式-3x2+6x>2为例，首先，通过观察-3x2+6x>2不等式的形式，发现二次项系数为负数，故将其变形为二次项系数大于零的情形：3x2-6x+20，3>0，由此解得两根是x1=3-33，x2=3+33，所以解得原不等式的解集是{x|3-33
二、注重课堂教学氛围
笔者在实际教学中发现，很多学校由于教学时间紧张，明知不等式的教学内容非常重要，却压缩教学课时，把不等式的教学内容简略地安插在函数教学中，简单讲解函数中遇到的不等式问题，使得教学效果大打折扣。从高中数学教师的视角来看现行不等式教学，首先，我们会发现不等式的课程内容比较单一，脱离实际生活，案例缺乏创新，忽视学生数学学习的培养，导致学生学习兴趣下降，失去学习动力。其次，在学习过程中缺乏自主性学习，学生被动学习且方法停留在死记硬背层面，并没有真正地做到全面考查和培养学生的目的。最后，通过多家学校不等式授课评比，我们会发现，平时的不等式课程内容繁杂且偏，学生不易理解，教师一般在教学过程中结合高考历年考题进行总结讲解，注重提分点的讲解，一旦高考不等式出题方式稍有改变，学生很难做出应答。例如，解不等式x2+（a2+a）x+a3>0，对于这种含参数的不等式，学生一般可以将其等价化成不等式（x+a）（x+a2）>0。由于该不等式含有参数a，与平时的一般不等式有所区别，所以要进行分类讨论。为了发挥学生学习主动性，开拓解题思维，将学生分组，进行讨论解答。当-a>-a2时，当a=0时，当0
三、观察推理论证过程
思维能力是数学学科能力的核心。因此，高中数学渗透的数学思想和养成数学思维方式能够为以后的数学研究和逻辑思维问题提供很好的思路和捷径，教师在传授高中数学知识的同时更应该重视数学思想的渗透。把不等式中数学思想作为载体，对问题进行仔细观察、比较、分析和抽象概括，学会巧妙运用类比、归纳和演绎这些方法进行推理，能够运用准确的专业数学用语进行表述。在实际教学中，由于大多数的数学教师只注重课程内容的讲述，并未做到数学思想的深入讲解，使得学生缺乏培养解决问题的思路，追求死记硬背，很难在数学方面得到提高。因此，在不等式的教学中，教师要顺应新课程改革的潮流，结合新课程改革的基本理念，在教学中要转变教学观念，同时，在不等式的教学中要重视数学思想的渗透与培养，开展探究性学习，提高创新意识，尤其要重视不等式与各个学科的联系，加强不等式的应用。结合不等式的教学目标，巧用活用各种数学思想，通过观察推理论证过程，培养学生的抽象思维能力，将难度问题尽量突破。例如，解答关于x的不等式：x2+（m-m2）x-m3>0，因楦锰馑研究的整体对象不适合用同一方法进行处理，这就需要化整为零，把参数m分为m>0或m
高中数学不等式的性质范文第3篇
不等式证明是高中数学的重点
在高中数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容。作为高中数学的一个难点，不等式的证明不仅题型多变，而且无固定的规律可循，需要依据题目和特征不等式的结构特点，采用多种方法综合运用。因此，引导学生熟练掌握几种不等式证明的主要方法，并灵活运用，对不等式证明的学习有着非常重要的意义。
常用证法及举例
比较法 比较法是不等式证明最基本的证明方法之一。比较法，有作差法和作商法两种。
例1.若a、b均为正数，试证明
证明：，式①；
同理，式②；
，式③。
①+②+③得，原题得证。
例2.设a>b且均为正数，试证明： 。
证明 a>b>0，则有，a-b>0。
，即。
评析：在比较两个不等式a和b的大小时，可借助a-b或的大小来判断。步骤一般为：作差（商）――变形――判断。需要提醒的是在使用作商法时，要注意分母的正、负号，防止弄错不等式的方向。
综合法 综合法是运用已知的定义、定理和基本不等式的性质，从已知条件推出所要证明的结论的方法。
例3.a，b，c∈R+，abc=1，且互不相容，求证：
证明：
所以
评析：综合法是由题设条件出发，由因导果，讲究对不等式基本性质和重要不等式及其变形的熟练使用。
反证法 但复杂的不等式或特殊不等式，直接证明无法得证时，可以采用反证法进行间接证明。其思路是“假设――矛盾――肯定”，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程。
例4.若p>0，q>0，p3+q3=2，求证：p+q≤2.
证明：假设p+q>2，则（p+q）3=p3+q3+3pq（p+q）>8，
由p3+q3=2，得pq（p+q）>2=p3+q3=（p+q）（p2-pq+q2）。
p>0，q>0，p+q>0，不等式两边同时约去（p+q），
得pq>p2-pq+q2，即（p-q）2
例5.已知a>b，a，b∈R+，n∈Z且有n>1，求证：。
证明：假设，与题意矛盾，则有。
评析：反证法的思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。每一步推理都是为了寻求上一步成立的充分条件。
换元法 对一些结构比较复杂，变量较多的不等式证明，引入一个或多个变量进行代换，以简化原有的结构，实现某种转化。
例6.已知x，y∈R且x2+y2≤1.求证│x2+2xy-y2│≤.
证明：设
则
评析：在不等式证明过程中，通过变量代换，选择适当的变量未知数巧妙代替，可以有效简化证明过程。其中的三角代换法和增量换元法，前者将代数问题转化为三角问题。如x2+y2=1，设；再如，对不等式│x│≤1，设。后者在对称式和给定字母顺序的不等式，通过换元达到减元，化繁为简。
结束语
不等式的证法灵活多变，因题而异。但万变不离其宗，大都需从应用定义及基本性质入手，寻求解决之道。在日常教学中，高中数学教师还是要通过大量的练习，帮助学生掌握常见的方法的运用。希望本文在这方面能起到抛砖引玉的作用。
参考文献
[1]匡继昌.常用不等式[M].济南：山东科技出版社，2004
高中数学不等式的性质范文第4篇
【关键词】高中数学 不等式 有效教学
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）06B-0077-02
不等式是高中数学学习中必不可少的内容之一，需要学生掌握一定的解题思路，掌握不等式的相关性质。不等式向来是学生数学学习的重点，也是难点。学生能否学好此部分，关键在于能否深入透彻地理解不等式特征。这需要学生具备灵活的思维方法，同时还要掌握解题技巧。高中数学不等式教学也是对教师的考验，教师必须善于把握不等式知识的灵魂，传授给学生科学的解题方法，才能让学生高效、轻松地学好。
一、简单回顾，打好基础
高中数学不等式知识项目相对复杂，不等式的性质相对较多，要想能够顺利解题，必须拥有坚实的基础知识。实际的教学课堂中，教师的首要任务就是引导学生回顾基础知识，使学生具备基本的知识基础。具体需要回顾的知识项目包括：不等式的定义、性质、特征等。教师先让学生迅速回忆，然后叫学生回答相关问题。当学生对其中某一知识点的认识相对模糊时，教师要迅速补充或者找其他学生补充，向学生呈现一个完整、准确又科学的不等式基础知识框架。
例如，不等式的基本性质：
如果a>b，那么a±c>b±c。
如果a>b，c>0，那么ac>bc。
如果 a>b，c
不等式的传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。
教师为了让学生准确、完整地呈现出不等式的诸多性质，就得让学生在脑海中回忆并初步形成印象，然后在此基础上，加深对这些基本性质的理解。为此，教师可以设置几道问题，要求学生判断命题的真假，并说出原因。如：
（1）如果 a>b，c>d，那么 ac2>bd2。（假）
（2）如果a
（3）如果a2>b2，那么a>b。（假）
学生根据之前回顾的不等式的相关性质，迅速地进入思维状态，从而飞快地判断出各个命题的真假。这样学生的思维就得到了锻炼，也对不等式的性质有了更为深入的理解和认识。
二、生活引导，趣味教学
不等式作为一项数学知识，事实上同人们的现实生活、工作等密切相关。教师要善于将看似抽象的数学知识同简单的现实生活联系起来，以此来激发学生的学习热情和信心。利用生活情境创设问题，引导学生利用所学的不等式性质、知识等去解决现实生活中的问题，这样才能让学生感受到学习不等式知识的实际意义，从而更加努力地投入精力去钻研、探究与学习。
比如，在正式进入不等式知识项目学习前，教师可以举出一个和学生生活密切相关的例子。
如，某市出租车的计价标准为1.2元每千米，起步价为10元，最初的4千米计费10元。如果小明身上只有23元钱，而小明要去17千米的地方，那么小明至少得步行多远呢？
学生听到这一案例后，立刻进入了生活化情境中，将自己带到了乘坐出租车的真实体验中，从而进入思考状态，带着兴趣和热情来分析问题。
通过分析已知条件，结合题目中的未知变量，经过思考、分析，列出了一个不等式，建立起了已知条件与未知变量间的关系，并利用不等式的相关性质来解不等式。这样就达到训练学生思维的目的。
三、思维训练，科学引导
数学科学学习的重点之一是培养学生的数学思维能力，让学生掌握一定的思维技巧，能够灵活地去思考问题、解答问题。不等式同其他知识模块间有着密切关系，特别是同函数、方程以及解析几何等之间都存在一定联系，教师应该积极利用这些知识点之间的联系，来培养学生数学思维能力，使学生能够灵活运用不等式知识解题，做到举一反三。
例如，已知x，y都是非负实数，且满足2x+y-4≤0，x+y-3≤0。（1）求解不等式，并在平面坐标系中画出其范围；（2）求z=x+3y的最大值。
这看似简单的题目，事实上涉及到多个知识点。它巧妙地将不等式的性质同平面直角坐标系、函数、方程等联系起来。要想解答此题目，要求学生既要掌握不等式的相关知识，又要掌握函数的相关性质。
学生接到这一题目后，要先鼓励学生自行解答，让他们用自己的解题思路进行思考。在此基础上教师再向学生一一呈现该题目的解题思路，让学生抓住解题脉络，从而培养学生的数学思维能力。
步骤一：根据所给的已知条件，解不等式组，得出不等式的解集。
步骤二：根据不等式的解集，在坐标系中画出范围。
步骤三：利用x，y在坐标系中的关系，分析z=3x+y的值，找出最大值。
学生经过以上解题步骤的训练，会形成一个思维过程，把数形结合起来，综合运用数学知识。这是对学生进行数学思维训练的一个好题，在解题过程中加深了学生对不等式知识的理解，学会把不等式同其他知识点之间联系起来，从而更加深入地学得知识。
四、理清思路，高效解答
对于高中学生来说，要解不等式，最关键的是要掌握正确的解题思路，因此，教师要对相关的解题思路加以归类，如，集合解题思路、数形结合思路、函数思想等，培养学生正确利用这些思路来解答问题的能力，从而让不等式问题变得简单易解答，让复杂的问题简单化，提高学生的解题效率。
在实际的解题过程中，其中最为常用的方法为分类讨论法，它通过分类讨论来明确不同量、不同对象的所属范围，再根据要求确定分类标准，以此为基础进行分类探讨，防止出现漏项、重复选择等问题。
例如，关于x的不等式 |x-2|+|x-3|
对于此类题型，教师要引导学生利用分类探讨法进行解答。根据题目中所给的已知条件，把|x-2|和|x-3|形成三大分类区间。具体的思路与解题步骤如下：
思路一：如果x1；
思路二：如果2≤x
思路三：如果x≥3，x-2+x-3=2x-5>1。
经过以上思路，逐步思考可以得出 |x-2|+|x-3|≥1，又因为题目中的已知条件：不等式的解集并非空集，因此，得出a的取值范围为 a≥1。
经以上逐步的讨论分析，能够最终得出问题的答案，求得a的取值范围。这种逐步解答、逐步分析的方法训练了学生的分类讨论思维，也为学生的高效学习创造条件，培养了学生的数学思维能力。
五、合作交流，比拼学习
数学学习需要较强的逻辑思维能力，然而，学生的逻辑思维能力并非天生就很强。这样教师可以本着合作交流的原则，鼓励学生之间相互启发、彼此帮助，为学生创造一个合作学习的氛围，也就是说，采用合作分组的教学方法，引导学生通过相互帮助、相互带动的方式去学习、交流。这样不仅能增进学生之间的交流，而且也能增强学生的数学学习兴趣。
教师可以先将学生分组，每组让一名数学基础较好、逻辑思维能力较强的学生负责对整个小组的领导，以推动学生之间的交流，同时，也要注意任务的分配与布置。为了能够调动整个小组学生学习的积极性，教师也可以采用小组成员间比拼竞争的教学模式，也就是说，通过向各个小组学生提供一系列的不等式问题，鼓励小组学生来互相竞争，解答问题，比拼谁的解题速度最快、最准确，通过这种方式来培养学生的学习积极性。
此外，教师还可以组织学生进行合作讨论探究，对相对复杂、解题步骤较多的不等式问题，教师可以让学生在小组内部进行讨论，集中探讨问题的解答方法，通过集思广益的方式促进问题的解答。学生通过他人的意见，也能有所收获，思路会得到进一步拓展。合作交流的学习方式能够增进学生高效学习。
作为高中数学学习中必不可少的内容之一，不等式的教学需要学生掌握一定的解题思路，掌握不等式的相关性质。不等式向来是学生数学学习的重点和难点，学生能否学好，关键在于能否深入透彻地理解不等式特征。这需要学生具备灵活的思维方法，掌握解题技巧。教师也要善于开创多种教学方法，为学生创造多元化的学习条件，使学生能够带着兴趣积极学习、主动探究，取得更好的学习效果。
【参考文献】
高中数学不等式的性质范文第5篇
关键词：数学衔接；原因；内容；措施
许多刚进入高中的学生在数学学习上遇到了很大的困难，出现这种现象的原因有多种，教师在教学过程中没有很好地解决初高中数学教学的衔接是很重要的因素。讨论和研究初高中的衔接问题，指导和引领学生适应数学学习的变化，对高中数学的学习十分重要。下面主要从三个方面来探讨初高中数学教学的衔接问题。
一、为什么要讨论衔接问题
首先，课改以来的教材变化和课程标准的变化使初高中数学知识在具体内容上出现了较大的跨度。初中数学教学内容有较大程度的压缩，而高中数学在教材内容上有所增加，而且有些内容没有衔接，使得学生从初中到高中要跨越很高的台阶，增加了学习的难度。
其次，初高中数学对数学思想方法的教学和要求也有很大的不同。初中涉及的思想方法较少而且要求不高，甚至没有明确地提出思想方法的概念，而高中涉及较多的思想方法，而且要求学生熟练地运用这些思想方法来解决问题。这也对学生提出了更高的要求，使许多学生不能很快适应。
二、哪些具体内容需要衔接
1.初中删去的，高中经常要运用的内容
（1）立方和与立方差公式在初中课程中已删去，而在高中课程的运算中经常用到。
（2）因式分解在初中课程中一般仅限于二次项系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多；初中课程对高次多项式因式分解几乎不做要求，但高中课程中的许多化简求值都要用到这些因式分解。
（3）二次根式部分对分母有理化在初中课程中不做要求，而分子、分母有理化是高中课程中函数、不等式部分常用的运算技巧。
（4）几何部分很多概念（如重心、外心、内心等）和定理（如，平行线分线段比例定理、角平分线性质定理等）初中课程中大都已经删去，而高中课程中要经常涉及这些内容。
2.初中要求低，而高中需要熟练运用的内容
（1）初中课程对二次函数的要求较低，但二次函数却是高中课程中贯穿始终的重要的基础内容，而且对二次函数的图象和性质要进行深入的研究。
（2）二次函数、一元二次不等式与一元二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不做要求，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
（3）含有参数的函数、方程、不等式，初中不做要求，只作定量研究，而高中课程中这些内容是必须掌握的重点内容。
3.数学思想方法的衔接
（1）初中对分类讨论思想、数形结合思想只是有一些渗透，而高中就要求学生理解并在解题中应用。
（2）配方法、待定系数法、分离常数法、十字相乘法等运算方法和变形技巧，初中做要求，而高中数学中却要求学生熟练掌握。
三、怎样做好衔接工作
1.教学内容的衔接
在高中阶段刚开始的数学教学中，适当放慢教学进度、降低课程难度。新授课的导入，尽量由初中的角度切入，注意新旧对比、前后联系，把高中教材研究的问题与初中教材研究的问题在文字表述、研究方法、思维特点等方面进行对比，使学生明确新旧知识之间的联系与差异，从而顺利地过渡到新知识的学习中。
2.数学思想方法的衔接
初中生的思维主要停留在形象思维或者是较低级的经验型抽象思维阶段；高中阶段学生的思维属于理论型抽象思维，是思维活动的成熟时期。初高中的数学衔接主要是做好数学思维能力的培养，因此，必须在教学中加强对学生思维能力的训练，积极鼓励学生展开思维活动，努力克服初中学习过程中的思维惰性，将数学的思想方法和新的知识体系联系起来，实现数学思想方法的理解、深化和运用。
总之，在高中数学的起步教学阶段，分析学生数学学习困难的原因，抓好初高中数学衔接的教学工作，在教学中适时补充拓宽初中数学知识，加强知识、方法、思维的培养和训练，让学生积极参与教学的全过程，帮助学生改进学习方法，尽快适应新的学习模式，更快地投入高中阶段的学习。
参考文献：
