高中数学求最大值的方法

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高中数学求最大值的方法范文第1篇

我们知道高中数学教学中涉及到的圆锥曲线参数方程分为5类：直线参数方程、圆参数方程、椭圆参数方程、双曲线参数方程、抛物线参数方程.圆锥曲线参数方程在高中数学学习中所占的比重较大，通过圆锥曲线参数方

程可以解决常见的问题，例如定值、最值、范围、轨迹等问题.这些是高中数学中最常见的问题，也是在数学题中占据比例较大的问题.我们以示例作为探究基础，对圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用进行研究.

1.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的最值问题

例1 椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），椭圆一个内接四边形ABCD，其各边和坐标轴平行，求这个四边形的最大面积和最大周长.

解析 根据题意设A（acosθ，bsinθ），由四边形的各边和坐标轴平行，我们可以得知四边形ABCD是一个矩形，则其面积为S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ. S为最大值时，sin2θ为最大值，sin2θ为最大值，其最大值为1，当sin2θ=1时，S=2ab.四边形ABCD的周长为L=4（bsinθ+acosθ）=4（a2+b2）

1/2sin（θ+β）.

sinβ=a÷（a2+b2）1/2，cosβ=b÷（a2+b2）1/2.当sin（θ+β）最大时，四边形的周长最大，即sin（θ+β）=1，Lmax=4（a2+b2）1/2.

从这题的解析中我们不难发现其中使用到的圆锥曲线参数方程是椭圆参数方程，圆锥曲线参数方程在这个例题中的使用，主要是解决最值问题.

2.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的定值问题

例2 证明双曲线上的任意一点到两条渐近线的距离是一个定值.双曲线方程为

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

证明 将双曲线上一点坐标设置为Q（asecθ，btanθ），双曲线的两条渐近线方程分别为：

bx+ay=0； bx-ay=0.则双曲线上的Q点到两条渐近线的距离为d1=（absecθ+abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d2=（absecθ-abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d1d2=a2b2（sec2θ-tan2θ）÷（a2+b2）=a2b2÷（a2+b2）为定值.

从这个例题中我们看出使用的是圆锥曲线参数方程中的双曲线参数方程，从这个问题中我们可以看出，圆锥曲线参数方程可以解决高中数学中遇到的定值问题.

3.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的轨迹问题

例3 在抛物线y2=2px（p>0）上的两个动点A，B满足OA OB，求弦AB中点M的轨迹方程.

解析 从题中的方程式进行分析，我们可以知道该方程为抛物线方程，所以我们将A的坐

标设为（2pt2，2pt），由OAOB可以得出B点坐标为（2pt2，-2pt），将弦AB上的中点M坐标设置为（x，y），由此可以得出M点的运动轨迹方程.

M点的轨迹方程为x=p（t2+1t2），

y=p（t-1t）.

消去t得y2p2-xp=-2.因此可以得出弦AB中点M的轨迹方程为y2=p（x-2p）.

从该题进行分析，其中运用到的圆锥曲线参数方程为抛物线参数方程.想要将动点轨迹方程进行求解，需要使用参数方程，例题3中得出的M点运动轨迹方程为参数方程.

4.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的范围问题

例4 椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）和坐标轴的x正半轴相交，交点为A，

假设椭圆方程上始终有一点P，使得OPPA，求椭圆离心率的范围.

解析 由题意可知A点的坐标为（a，0）.设椭圆上的点P坐标为（acosθ，bsinθ）.根据OPPA可知：

bsinθacosθ

× bsinθacosθ-a=-1

，进一步将上式化简得出：

b2a2=1-11+cosθ

.因为OPPA，进而得知0

b2=a2-c2，所以得出椭圆离心率e的取值范围为

21/22

例题4中涉及到的问题是范围问题，应用到的圆锥曲线参数方程是椭圆参数方程.

在高中数学中求范围的题所占的比例也很大，圆锥曲线参数方程在高中数学中的应用非常广泛，我们将其进行综合分析，圆锥曲线参数方程在高中数学中的应用，也就是求解最值、定值、点的运动轨迹方程、取值范围等，不管是圆锥曲线参数方程在5种参数方程的哪一种，在高中数学的应用都是相对较多的，所以圆锥曲线参数方程在高中数学中属于重点，也属于难点，需要学生认真的学习，针对相应的问题，深入的思考，采用合适的参数方程，才可以快速地解决数学问题，节约解题时间.在使用圆锥曲线方程进行解题的过程中，不能盲目地解题，需要锻炼解题思维，锻炼数学思维，在遇到数学问题时，就会沉着应对.通过将曲线方程转化为参数方程，将题的难度降低，运用数学思维解决问题，提高解题效率.

的优缺点，提升思维水平，这也从另一个方面强化了知识结构.

高中数学求最大值的方法范文第2篇

【关键词】高中数学；函数；导数

引言

数学作为一门科学，在许多领域发挥着重要作用，同时也在高中教育中占据核心地位。导数是微积分的核心内容之一，是高中数学的重要组成部分，是每一年的高考重点关注的对象，占据分数颇大。但是，在具体教学过程中，许多高中生因为不同因素导致学习遭遇困境，尤其是在函数导数部分学习极为坎坷，因此，本文就高中数学中的函数导数部分内容，实例分析解题技巧和策略。

一、利用导数研究函数的单调性和极值

函数的单调性即该函数在一定范围的图象曲线的走向，若函 数图象曲线向上，则为单调递增，反之则为单调递减。一个函数的单调性与其导数联系紧密，定理如下：在区间（a，b）内，若f′（x）>0，那么函数y=f（x）在该区间内单调递增；若若f′（x）

例1：已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4

（1）求函数y=f（x）的表达式

（2）求函数y=f（x）的单调区间和极值

解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c得f′（x）=3x2+2ax+b

由题意得x=1和x=-1是f′（x）的根，得a=0，b=-3

由f（-2）=-4得c=-2

所以f（x）=x3-3x-2

（2）f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）

当x0

当x=-1时，f′（x）=0

当-1

当x=1时，f′（x）=0

当x>1时，f′（x）>0

所以，f（x）在区间[-∞，-1]上为增函数；在[-1，1]上是减函数；在[1，+∞]上是增函数。函数f（x）的极大值是f（-1）=0，极小值是f（1）=-4。

在例1中，第二个问题即求函数的单调区间以及极值，我们可以很容易从例子中看出，当函数的导数在某一区间内大于零时，函数在这个区间内单调递增；相应的，当函数的导数在某已区间内小于零时，函数在这个区间单调递减。因此，在解题过程中， 当学生遇到求函数的单调性以及极值的时候，可以利用求导的方式求出该函数的导数，通过导数判断其单调性和极值。

二、利用导数求函数的最值

函数的极小值和极大值与函数的最大值和最小值是两个不同的概念。极小或极大值都是反映函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性|。也就是说，极小值和极大值不能代表函数的最大值和最小值。但是在求函数的最大值和最小值的过程中，却需要借助极小值和极大值。

例2：求f（x）=y=x4-8x2+2在[-1，3]上的最值

解：由y=x4-8x2+2得y′=4x3-16x=4x（x-2）（x+2）

令y′=0，得x=0，x=2，x=-2

代入得F（0）=2，f（2）=-14，f（-1）=-5，f（3）=11

由于x=-2不在区间[-1，3]中，因此不予考虑。

所以f（x）在区间[-1，3]中的最小值为f（2）=-14，最大值为f（3）=11。

一般情况下，求某一个函数在某区间内的最值，可先求出该函数在区间内的极值，再将求出的各极值与该函数在端点处的函数值比较，最大的则为函数的最大值，最小的则为函数的最小值。

三、构造函数证明不等式

构造函数简单来说就是一种解题方法，是基于具体数学题目，构造符合题目的函数模型，并通过该函数模型解决数学题目的方法。在解题过程中通过构造函数方法可以有效得出答案，如应用于证明不等式中。

例3：已知函数f（x）=x2/2-ax+（a-1）Rx，a>1.

（1）略

（2）证明；若a-1。

解：f'（x）=xa+（a-1）/x=（x2-ax+a-1）/x=（x-1）（x+1-a）/x

g（x）=f（x）+x=x2/2-ax+（a-1）Rx+x

g'（x）=x-（a-1）+（a-1）/x≥2-（a-1）=1-（-1）2

1

g'（x）>0，即g（x）在（0，+∞）单调递增

当x1>x2>0时，g（x1）-g（x2）>0

故f（x1）-f（x2）/x1-x2>-1

当0

例3中，如果只是按照常规思路进行解题，难度较大，但是通过构造函数g（x）解题，很大程度上降低了解题难度。

四、注意事项――定义域

在利用导数研究函数的过程中， 无论是求极值还是最值，亦或是求函数的单调区间或者研究函数的单调性，一定要注意申清题目，看清楚题目中的定义域。搞混、弄错或者直接忽略定义域，都将导致学生解题错误。因此，同学们在解题之前应认真审题，严格按照题目要求进行解题，不得混淆题目意思，不得马虎了事。

结束语

导数是微积分的核心内容，是高中数学不可或缺的内容体系。导数作为一种工具，是高中铸错知识的交汇点，在解决函数等问题时发挥了非常优越的作用，是研究函数、解决函数问题的最主要、最有效的工具[2]。因此，在高中数学教学中，应重视导数的教学，通过例题讲解将导数以及相关概念与具体解题过程联系起来，充分发挥导数的工具性作用，从而改善学生学习函数时遭遇的困境，提高学生学习效果。

【参考文献】

高中数学求最大值的方法范文第3篇

一、数形结合在高中数学教学中的作用

在学习数学的过程中，可利用“形”来表达相应的几何图形，通过数形结合的方法来解决数学问题的话，大大降低学生的学习难度；还能够使学生开拓自己的思维，丰富学生的学习方法，树立全新的学习意识.数形结合解题思想的应用也是特别广泛的，可以解决许多高中数学问题：如集合问题、函数问题、方程问题等.

二、数形结合在高中数学教学中的应用

1.数形结合在集合中的应用

集合作为高中数学最基本的概念，有许多学生在刚刚接触集合的时候，无法准确地抓住其中的要领.在集合运算过程中常借助于数轴、Venn（维恩）图来处理，不仅能让学生对集合的知识点理解得更透视更直观，更让运算变得更加快捷明了.

解析如图1，一般情况下用画Venn（维恩）图的方式将A*B的区域画出来，然后再并上A，去掉（A*B）∩A的部分，即为所求（A*B）*A=B，根据题目定义可知答案选B.

2.数形结合在函数中的应用

比如在处理高中三角函数问题的时候，学生应记住sinx，cosx，tanx相关的函数性质.在记忆过程中可以运用数形结合的方式解决问题，这样既省时而且特别轻松.而记住这些函数性质时，可以将具体的图形画出来，就可以很轻松地进行记忆和区分函数的单调性、奇偶性等其他问题.简单地说，就是利用函数图象然后与数形结合的方法进行解题，将复杂的代数问题转化为平面几何问题来处理.但是解决问题不是只靠记住一幅图就可以解答清楚，它是要利用具体图形更直观地将问题呈现出来，再进行数学公式推导才可以得出答案.举个最近几年高考常出现的抽象函数的问题：

例2设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，在区间 [a，b]（a

f（x）g′（x）>0，且f（x）g（x）有最小值-5，则函数y=f（x）g（x）在区间[-b，-a]上

A.是增函数且有最小值-5

B.是减函数且有最小值-5

C.是增函数且有最大值5

D.是减函数且有最大值5

3.数形结合求取值范围

这类例子考查学生对零点、导数在函数中应用的灵活性，结合数形结合的方法，借助求导求极值得出函数的图象特征，进一步求出题目要求的答案.

高中数学求最大值的方法范文第4篇

关键词：高中数学；逻辑教学；创新

在笔者与很多高中数学教师交流教学心得的过程中，听到教师反映最多的问题就是：很多学生对数学没有学习兴趣，学习过程十分被动. 的确，数学学习进入到高中阶段之后，表面上的趣味性较之从前确实大大降低了. 如果说，小学与初中阶段的数学学习侧重于单纯知识点的学习，高中数学所关注更多的则是数学逻辑思维的培养. 想要将外化的知识能力转化为内化的思想方法，并不是一件容易的事，需要教师尽可能地引导学生发现高中数学学习当中的逻辑趣味.

探究数形结合逻辑趣味

有人说，数学的生命，一半在于数字，另一半则在于图形. 笔者十分赞同这一点，它也很好地揭示出了数形结合的逻辑方式对于高中数学学习而言的重要意义. 很多学生认为，既然数学学习内容可以清楚地划分为代数与几何，那么，在每种内容的学习过程中，只要专注掌握好相应的解题方法即可，这是数学学习之中的一个误区. 二者兼而有之，综合运用，才能够实现最为理想的解题效果.

例如，在学习过函数的单调性与奇偶性知识之后，笔者向学生呈现了这样一道习题，来体现数形结合逻辑的实用性与趣味性：已知，函数f（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且在（0，+∞）上呈单调递增. 又有f（1）=0，请求出不等式fxx-

通过这样的训练，学生切身体会到了数形结合在高中数学学习当中的重要作用. 一方面，数字的表达能够让图形所要呈现的内容更为清晰，借助图形又能够使得抽象的数字所包含的含义具体形象，二者相辅相成，实现数学思想表达的清晰化. 另一方面，数形结合的逻辑为很多数学问题的解答提供了新途径与新思路，大大简化了解题过程，提高了高中数学的学习效率.

[?] 探究等价转化逻辑趣味

等价转化也是高中数学学习过程中不可或缺的一种逻辑方法. 等价转化逻辑具有两个层面的含义. 从宏观层面来讲，等价转化逻辑可以应用于新知识的学习与接受过程当中. 当学生面对一个崭新的数学知识时，可以努力寻找其与既有知识之间的联系，从而将其等价转化为熟悉的思想方法，使得自己可以更加轻松地接受新知识. 从具体层面上来讲，等价转化逻辑还可以应用于具体数学问题的解答过程当中. 将复杂抽象的表达式等内容等价转化为易于分析与表示的形式进行求解，能够大大简化思维过程和运算步骤.

例如，在立体几何学习过程中，出现了这样一道习题：已知在三棱锥A-MNP当中，三条侧棱AM，AN，AP呈两两垂直的位置关系，且AM长为5，AN长为4，AP长为3. 点B为棱MN的中点，C为MP的中点，那么，四棱锥A-NPCB的体积是多少？这道题的提问方式，乍看起来比较陌生，学生不知如何处理. 但是，只要发现三棱锥之间的等体积转化方法，并且通过已知条件把握住SMBC=SMNP的数量关系，答案的得出便轻而易举了.

等价转化的逻辑为学生的数学学习思维开启了一扇大门. 在这种方法的辅助之下，学生发现，原来数学知识并没有从前认为的那样复杂. 通过等价转化，学生成功地以旧知识带动新知识，简化了学习理解过程. 也是通过等价转化，有效优化了解题过程，降低了出错概率. 这种多方向的难度降低，让学生对于高中数学学习重新燃起了信心.

[?] 探究符号语言逻辑趣味

符号是数学学科的一个代表性标志. 随着高中数学知识内容的不断丰富，学生们所接触到的数学符号也越来越多，除了仅仅表示一个独立含义的数学符号以外，很多连贯性语言甚至都可以通过符号进行表达，成为数学当中一种重要的语言表达形式. 符号语言的熟练掌握，不仅是学生数学文化内涵的明确展现，更是高中数学教学当中的重要要求. 教师必须在课堂教学与课后作业环节中，对于学生的符号语言逻辑培养引起足够重视.

例如，在函数的最值问题练习当中有这样一道习题：试求函数u=+的最值. 笔者观察到，很多学生的解题过程相当冗长，甚至还加入了很多文字描述，使得整个答题看起来既杂乱无章又不够专业. 于是，笔者向学生展示了一种比较理想的解题过程：设x=，y=，则u=x+y，且x2+2y2=16（0≤x≤4，0≤y≤2），所给函数即可化为以u为参数的直线方程y=-x+u，其与椭圆x2+2y2=16在第一象限当中具有公共点，则umin=2. 当其在第一象限相切时，u取最大值. y=-x+u，

x2+2y2=16?3x2-4ux+2u2-16=0，解Δ=0，得u=±2，取u=2，所以umax=2. 整个过程以符号语言为主，却能够清晰表达含义.

很多学生在数学学习过程当中，将全部注意力都放在了解题思路的开辟上，却忽略了对于符号语言的关注. 再周密的思维方式，若进行表达时，没有一个准确的符号语言予以保障，则不仅使得这份解答丧失了数学研究应有的专业性，从答题规范上来讲也是不合格的. 因此，对于符号语言逻辑的训练，数学教师必须常抓不懈，每每新出现一个数学符号，就要高强度地锻炼学生进行准确使用，让符号语言成为学生的数学表达习惯. 长此以往，学生也会渐渐发现数学符号语言的魅力.

[?] 探究分类讨论逻辑趣味

分类讨论是在高中数学分析探究过程当中广泛使用的一种逻辑思维方式. 实际上，学生在很多概念的学习和习题的解答过程中，已经多次运用过分类讨论的思想了，只是缺少一个明确的点拨和系统的总结，使得学生没有意识到分类讨论逻辑的存在与应用途径. 教师需要做的就是及时点破分类讨论逻辑的存在，并且通过系统总结，为学生在具体数学问题的解决当中有意识地加入分类讨论逻辑思维奠定基础.

例如，在二次函数的学习过程中，曾出现过这样一道习题：已知函数f（x）=ax2+（2a-1）x-3在-，2上能够取得最大值1，试求出a的值. 这道题看似难度不大，很多学生却在第一步便出现了错误，即忽略了分类讨论. 是否应当将这个问题化为求二次函数最值来处理，首先要做的就是针对a是否为0展开讨论. 只有当我们令a=0，发现f（x）在已知区间上无法取得最大值1时，才能够继续讨论二次函数的最值. 分类讨论的逻辑虽然不难，却无处不在.

经过教师的引导，学生对于这种逻辑思维的理解更加深刻了. 在面对数学问题时，能够有条理地整理思路，在适当的时机引入分类讨论，使得自己的思考过程与解题过程更加明确，面对复杂数学问题的难度也便随之降低.

[?] 探究函数与方程逻辑趣味

在大多数学生眼中，函数与方程指的是高中数学当中的一个重点学习内容. 其实，这也同时是解决数学问题过程当中的一个重要的逻辑思维形式. 教师首先要扭转学生所固有的限制性认识，开阔学生视野，使其认识到，要站在一个更高的角度看待函数与方程，并且使之成为能够适用于多种形式问题解决的逻辑方法. 另外，很多学生总是认为，函数与方程的内容抽象复杂，对其总是充满了畏惧与回避. 所以，为了能够扩大函数与方程的适用范围，教师还应当巧妙选取一些有特点、能激趣的利用函数与方程逻辑解答的数学问题，引起学生对函数与方程逻辑的兴趣.

例如，在一次测验当中，很多学生在一道应用题上犯了难：某商店中有一件商品，当其进货价为8元，售价为10元时，每天的销售量是100个. 当其售价变为11元时，每天的销售量是90个. 请问，当该商品的出售价为多少时，能够实现利益最大化？这道题目看似较为开放，实际上，只要通过函数与方程的眼光来看待，它便成为一个函数求最值的问题. 我们可以从10元出发，假设每次涨价1元，将涨价x元时的销售量表示出来，则不难得出商品利润y关于x的函数方程y=（2+x）（100-10x）. 经过化简，很容易便可以得出，当x=4时，y能够取得最大值360，也就是说，当该商品的售价为14元时，能够实现利润最大化.

高中数学求最大值的方法范文第5篇

一、善于观察题干，找准解题思路

在人类认识事物的过程中，感觉和知觉是最简单的认识方式，而观察作为知觉的最高状态，对于认识事物有着至关重要的作用.观察活动是一种主观能动性的发挥，具有一定的计划性、目的性和思维性.观察的过程也是认识问题，分析问题和酝酿方法解决问题的过程.在高中数学试题中，都有一定的已知条件和未知条件，要想解决问题，把握试题中的层层关系，就必须要仔细的观察，然后依据数学常识，开展探究和思考，通过现象发现本质，确定问题的解决思路和方法.

例1 求11・2+12・3

+13・4+…+

1n（n+1）的和.

解析：对于这道数学试题，如果再采用以往传统的分析综合方法是很难解决的.一方面，计算量大，计算过程复杂，容易出现计算错误；另一方面，很难按照传统方法计算到底，得出正确答案.我们认真仔细的观察可以发现，每项都是两相邻自然数的积的倒数，并且

1n（n+1）=

1n-

1n+1，从这里不难看出：

原式=

1-12+

12-

13+

…+1n-

1n+1=1

-1n+1，这样问题就简单易解了.

观察虽然只是解决问题的一种思维方式，只能发现问题的表象，但这为分析问题和解决问题提供了线索，为发现规律提供了信息.观察过程中，可以依据题目的具体情况采取常见的解题方法或者特殊的解决策略.

例2 3x2+2y2=6x，求

x2+y2的最大值.

分析：试题中给出的条件和要求的答案，从显性的角度分析，看不出有多大的联系性.但通过仔细观察，就会发现试题中的隐含条件. 求

x2+y2的最大值，由已知条件很快将

x2+y2变为一元二次函数

f （x）=-12（x-3）2+

92然后求极值点的x值，联系到

y2≥0，这一条件，这样就能解决问题了.

解：

由3x2+2y2=6x， 得

y2=-32

x2+3x.

因为 y2≥0，所以-32

x2+3x≥0，所以 0≤x≤2.

又x2+y2=x2-32

x2+3x=-12

（x-3）2+92，

所以

当x=2时，

x2+y2有最大值，

最大值为

-12

（2-3）2+92

=4.

二、拓展解题视野，敢于积极联想

数学问题具有一定的逻辑性和关联性，在解决这些问题的时候必须具备一定的知识体系和联想能力.联想是组建知识体系，转化数学问题的过程，它可以有效的打开问题的突破口，嫁接有关知识，实现灵活解答.

例3 x+y=2

xy=-3

求解方程组

解析：

通过给出的方程组可以看出，反应的是两个数的和与差的问题，结合所学的数学知识可以联想到韦达定理，x、y是一元二次方程

t2-2t-3=0 的两个根，这样问题就迎刃而解了，答案是-1和3或者3和-1.

例4 a、b、c均为正实数，并且a2+b2=c2，n为不小于 的自然数，求证：

an+bn

分析：从给出的已知条件a2+b2=c2可以运用联想，把问题想象为直角三角形的问题，求证的问题就可以转化为三角函数的问题.

解：

从已给条件可以转化问题，得知C是直角，A为锐角，

sinA=ac

，cosA=bc，且0

当n≥3时，有

sinnA

于是有

sinnA+cosnA

即（ac）n+（bc）n

从而就有 an+bn

三、做到学以致用，巧用知识转化

数学问题的出现往往是伴随着多种问法和多种解决方法的，其实数学解题是命题的连续变换.对于一些数学难题，可以活学活用，拓展解题的思维，转化问题.在转化的过程中，要由繁到简，由抽象到具体、由未知到已知，往往问题的转化是经过上述的观察和联想之后出现的.

例5

1a+1b

+1c

=1a+b+c，（abc≠0，a+b+c≠0）

求证a、b、c 三数中必有两个互为相反数.通过以往学习的数学知识，并仔细观察可以把问题转化为（a+b）（b+c）（c+a）=0，这样问题就不攻自破了.

例6 a+b+c=1a

+1b+1c

=1，求证a、b、c中至少有一个等于1.

分析：对于给出的求证问题来说，没有固定的形式或者说是数学式子，这一定程度上加大了解题的难度，直接求证的话根本找不到突破口.那我们就从问题出发，把问题转化为a-1、b-1、c-1中至少有一个为零，这样问题就显得完整易解答了.

解：因为1a

+1b+1c=1，所以bc+ac+ab=abc.