不等式在中学数学中的应用
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不等式在中学数学中的应用范文第1篇
在高中数学学科教学中，不等式教学是其中重要的内容.在教学不等式内容过程中，积极应用数学思维可以让学生更好地进行学习.笔者在教育教学实践基础上，总结出在高中数学不等式教学中，如何应用数学思维促进教学效率提高的方法，重点从以下几个方面给予阐述.以更好地在高中数学教学中强化和锻炼学生的数学思维.
一、对数学思维的认识
（一）定义
在高中数学教学中所说的数学思维，实际上指的是一种概括性的思考的方法.这种思考方法是在对经验实施归纳和总结基础上，继而提出具有逻辑推理能力的方法和规则.这种思维主要是对事物之间的数量关系跟外部空间展开抽象化的概括.在思维的类别上，专家已经将思维分为三个类别：直觉思维、形象思维和逻辑思维.在这三种思维中，直觉思维是人在学习过程中所形成的一种敏感的判断力.而形象思维则是通过具体的一些现象而感知到的思维.逻辑思维是根据某一种事物的逻辑层面上的规律而展开的一种思维活动.就数学教学而言，就是应用逻辑思维对数学知识进行概括、分析和推理.
（二）在高中数学不等式教学中应用数学思维的作用
就学科特点而言，高中数学学科不同于语文学科，具有很强的抽象性，但是正因为抽象性，其逻辑性极其突出.其中不等式知识就是其中一例.在教学过程中，如果强调应用数学思维，尤其是逻辑思维，那么必然有助于教学效率的提高.在实际的高中不等式数学教学中，广泛地应用数学思维，不仅能够有效地促使学生的综合能力的提升，还有助于高中学生对不等式知识的理解，促进他们创新能力的提高.此外，由于数学来源于生活，跟生活有着紧密的联系，故而，教师在教学过程中如果将不等式理论知识跟实践有机地结合进行教学，其教学的效果会更好.
二、在高中不等式教学中对数学思维的具体应用
（一）“数+形”结合的思维模式
由于数学学科的自身的特点，要教好高中的数学必须充分地将“数”与“形”有机结合起来.在高中的不等式教学过程中，积极采用“数+形”结合思维，主要是要求学生能够通过“数”的方式促进对“形”问题的解决，能够通过“形”的方式得出“数”的结论.在高中数学教学中对“数+形”结合思维，实际上已广泛地应用.比如，三角法、图解法和数轴，以及复数法等，就是典型的“数+形”结合思维.在高中不等式教学中运用这种思维可以将原本复杂的问题进一步简单化.充分地让抽象的问题具体化，促使学生用比较少的时间解决好数学问题，真正促进不等式数学教学效率的提高.
比如，我们在教学求解x3+3x-4≥0这一不等式的时候，教师可以将不等式进行分解变形：（x-1）（x+2）2≥0.接着将x=1，x=-2，在函数图形中准确地标注，再通过“图”就可以将该不等式的解集区域形象地呈现给学生，促进学生的理解和把握.这就是典型的一种“数+形”结合思维.这样有助于学生在最短的时间里寻找到答案.
（二）函数方程的思维模式
在高中数学不等式的教学过程中，运用函数方程的思维模式进行教学，实际上就是将不等式进行转化成一种与之相互对应的函数或者方程问题，然后，对转换后的函数或者方程进行解答，进而寻找答案.比如，在教学高中不等式的时候，可以将不等式充分地转换为两个函数值之间的一种不相等的关系，然后，由函数f（x）=0，进而计算出y=f（x）的零点.通过方程的解答会促使学生发现函数跟不等式之间有着紧密的关系.在高中不等式的教学中，应用函数方程的思维模式来解答，需要注意的是，一定要让学生理解方程和函数的概念，以及两个概念之间所存在的差异性.所以，在运用函数方程的思维模式来解答不等式时，必须要求学生掌握函数与方程的异同，而后进行解答，这样有助于提高学生们的数学思维能力.
（三）化归性的思维模式
化归性的思维实际上就是一种转换性的思维.这种思维模式，就是对不等式数学知识，通过观察、类比以及联想等各种形式将其转换为另外一种形式的问题，实现复杂问题简单化.在高中不等式的教学中，充分地应用化归性的思维模式，可以将各种类型的不等式简单化、具体化.与此同时，学生在运用化归性的思维过程中，促进他们对旧知识的有效巩固，进而全面地掌握数学公式中的结构特性，培养学生从不同的角度去思考问题和解决问题的能力.
不等式在中学数学中的应用范文第2篇
【关键词】数学分析 数学教学 中学教育 数学素养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）04-0127-01
数学分析在我国中学数学教学中的应用现状来看，其并非是一种简单的辅助教学方法，同时也是学生未来接触高等数学的必要学习内容之一。数学分析有助于培养学生发现问题、分析问题以及解决问题的能力，加强对其的研究有助于为后续理论研究以及实践教学活动开展提供参考依据。
一、中学数学教学中应用数学分析的指导作用
在中学数学教学中，应用数学分析具有十分深远的影响，所起到的作用十分突出，具体表现在以下几个方面：
（一）培养学生学习能力
在中学数学教学中，由于学科特性，很多学生在面临抽象的几何图像和复杂的函数计算时会感到十分抵触，有时候会感觉无从下手。可以说，数学分析能力水平高低，直接影响着学生的逻辑思维能力和空间想象能力。数学分析有助于学生沉淀所学的数学知识，对于学生知识积累程度同样存在直观重要的影响。
（二）培养学生举一反三能力
就当前我国教育事业发展现状来看，新课标教育改革提倡学生综合素质全面发展，部分中学数学教材内容经过反复的删减和增添后，内容更有助于学生学习，课堂教学也更加流畅。与此同时，中学课堂教学中对于不等式以及函数知识点的学习中，可以利用数学分析方法，寻找知识点中的乐趣，打破知识点的枯燥乏味，从而整合旧有知识，能够举一反三，掌握更多其他的知识。
（三）培养学生数学应用意识
数学并非是一门纸上谈兵的学科，需要注重理论知识的实践应用，通过数学分析在教学中的应用，能够将数学教材中更多典型的例子深化分析，通过自身所掌握的数学知识来解决实际生活中存在的问题。通过对这些实际例子分析和学习，有助于不断提高学生的实践应用意识和数学素养。
（四）为教学问题提供理论依据
中学数学课堂教学中，对于一些复杂、困难的数学问题，同给制作函数图形能够有效解决此类问题，除了通过函数单调性来判断极值点以外，还可以通过描点法构建函数图形，为解题提供帮助。在中学数学分析中，更多的是掌握基本函数知识，这些函数曲线并非是简单的连接，同时在每一点处都有切线，将这些点连接到一起，就形成了一条平滑的曲线。
二、中学数学分析在中学数学中的应用
（一）函数单调性
在中学数学教学中应用数学分析法，可以通过对数学知识的定义来推动出其他的知识内涵，诸如可以通过导数定义判断函数单调性，这样在寻找极值点的时候更加便捷，求出渐近线，最后画出函数图。此外，在数学教学中，微分学具有十分重要的作用，教师亦可以通过一系列的组合提问方法，帮助学生掌握合理的数学解题技巧。在判断函数单调性时候，学生多数通过定义内容及进行计算得出，这种方法十分麻烦，耗时耗力，但是如果采用微分学的严格单调充分条件定力，能够更加简单的判断出函数的单调性，即任意的x∈（a，b），如果f@（x）>0或f@（x）
（二）不等式证明
不等式知识掌握是否熟练，对于其他知识的学习有着深远的影响。诸如在三角方程教学中，极值条件、三角函数以及不等式之间联系十分密切，对于不等式证明方法同样有很多种，但是尚未具有固定的解题模式。中学阶段对于不等式数学分析，主要是一些基础的不等式证明，多数采用数学归纳法和恒等变形方法。其中恒等变形发具有固定的解题模式，通过拼凑而成能够应用的不等式进行证明。函数单调性同样可以在掌握一些定积分知识后，从另一个角度来求解不等式，这种方式能够有效精简不等式求解过程，更加直观易懂，学生应用起来得心应手，提升学习成效。
在中学课堂教学中，由于学科特性，很多学生在理解知识点时会感到费力，应用数学分析教学方法能够有效缓解此类问题，在数学教学中应用主要是针对导数、三角函数、不等式证明等知识点。在实际教学中，教师需要向学生讲解清楚数学分析法的应用原理，确保解题思路正确，潜移默化中提高数学素养和综合能力。
参考文献：
[1]刘小松.高师数学专业本科毕业论文撰写论析――以数学分析研究性内容为例[J].当代教育理论与实践，2011，03（2）.
[2]胡洪萍，马巧云.新课标体系下高师数学分析教学与中学数学衔接的探索[J].教育探索，2012（9）.
不等式在中学数学中的应用范文第3篇
关键词：中学 数学 数学分析 教学 微积分 三角函数
中图分类号：G412 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）04（b）-0164-02
当前，数学分析不仅属于中学数学课堂教学实践阶段中较为常见的辅助教学方式，同时数学分析也是未来许多学生在学习高级微积分等工科专业的必修课程之一。因此，在中学数学专业课程学习实践阶段，应用数学分析方法，提高学生逻辑推理等抽象思维能力，就必须对数学分析方法有一个初步了解，从而为三角函数和导数概念的学习打下基础，逐步的提高学生对数学分析的应用。数学分析是以初等数学为基础，在长期的解决初等数学问题的实践中而逐渐发展形成起来的。特别是在解决某些初等数学问题时，数学分析提供了新的方法和手段。通过数学分析，我们可以在一个更高点上去观察初等问题，从而确定解题思路，同时还可以帮助我们了解一些问题的本质。与此同时，还可以借助高等数学的思想去拟造一些初等问题。因此，在中学数学教学中，数学分析占有重要的地位。
1 在中学数学教学中，数学分析的重要指导作用
1.1 培养能力，增强素质
可以说，对于学习中学数学课堂的绝多数学生而言，其数学分析能力高低，也间接决定着其逻辑推理、几何分析、语言表达等抽象思维能力的高低。换言之，数学分析的一个重要作用就是沉淀和积累所学的数学知识，即数学分析能力的培养和知识积累水平的高低是息息相关的。同样，学生数学思维能力强弱与否都是建立在必要的基础知识之上。如果学生不能够在中学时打下良好的基础，不能够掌握基本的知识点，那么就会使逻辑思维变为“无源之水、无本之木”，从而阻碍数学学习能力的养成；因此，学生数学学习水平提高的关键就是数学分析能力的提高。
1.2 触类旁通，一通百通
现阶段，由于新课标改革，已有一些高中的数学知识编写到了中学数学教材中。因此，中学数学的知识点不再是单纯的掌握性质、法则、公式、公理、定义和定理，同时还需要体会到这些定理、公式等都在一定程度上融合了数学分析思想；此外，中学数学教材经过多番修改及删减后，其课堂数学课堂所学教学内容也更为流畅与易于学习。其中，中学教学课堂上在讨论不等式的证明、函数的单调性等知识点时，应该运用数学分析的思维模式，使学生学习了这个知识点之后，还能够掌握其他的知识点，达到触类旁通的效果。
1.3 为教学问题提供了一定理论依据
我们知道，在数学课堂教学中通过制作出函数图形可以有效解决一些典型题型。但除了应用能够明显判断来的函数单调性去确认出某些极值点以外，最普遍的解题方法还是应用描点法来构建函数图形，但如何保障该图形是否是真正的函数图形还有待进一步考证。此外，不少学生甚至会产生这样几种疑问，即在坐标系中，选取哪些点可以更可靠的描述出函数图像？绘制出的函数图形为什么是一条平滑的曲线？事实上，中学数学教材中并没有给出这些问题的十分合理的答案。在中学的数学分析中，都只是掌握了基本初等函数，且这些函数在定义域中都是连续可微的，所以这些函数的曲线不仅是连续的而且在每一点都有切线，因此函数的图像是一条平滑的曲线。另外，还可以通过判断初等函数的单调性和凹凸性来寻找函数的极值点和拐点，然后再应用极限来求得渐近线，进而可以构建出一些拐点、坐标轴交点等“重要点”，使之描述出可靠的函数草图用以解决问题。基于此，中学教师课堂上在讲述数学分析的基本应用思路时，可以应用基本数学分析方法来求得答案，要做到心中有数的基础之上，结合学生实际学习差异情况，设置出利于课程学习又能解决教学问题的教学方案，如此一来才能有效解决一些课堂教学问题，并使学生能够容易接受教学方案。
2 中学数学分析在中学数学中的应用
2.1 关于函数单调性
在数学分析中，还可以通过导数的定义来判断函数的单调性和凹凸性，从而寻找函数的极值点和拐点，随后在利用极限的定义求出渐近线，然后确定函数的草图。因此可以说微分学在数学教学中占有重要的地位。教师在数学教学时，可以选取一些典型的题型，通过提问、数学结合等方式让学生彻底的掌握这种解题方法。例如，在判断函数的单调性时，大多数是通过定义来进行计算的，这种方法比较繁琐复杂。但是如果采用微分学中的严格单调充分条件定理，可以得到：对于任意的x∈（a，b），如果f@（x）>0或f@（x）
2.2 关于不等式的证明
在中学数学教学的方程解析中，还可以经常见到利用不等式进行数学分析，例如三角方程和不定方程等。事实上，极值条件、几何分析、三角函数和不等式之间是有着密切的联系的。同时，对于不等式证明而言，其证明解题方法也十分多见，并没有系统的或是固定的解题模式。中学阶段的不等式数学分析法都是一些初等不等式证明应用，常用的教学方法都基本以数学归纳法或是恒等变形为主。其中，应用恒等变形有着一套较为巧妙的解题证明技巧，即通过非负的项或是用其拼凑成能够应用的不等式来进行证明。另外，函数单调性也可以结合中值定理，或是掌握一些定积分性质也可以有效简化不等式证明过程，便于中学教师向学生更直观的描述数学分析的解题思路。
2.3 关于定积分应用
中学数学教学中，虽然关于一些常见规则平面或立体图形面积、表面积、体积等提供必要相关公式，但是仍然有些图形不能通过一些公式直观的推到出来。同时，关于体积计算问题研究时我们基本也是通过中学数学教材中的祖定理推出椎、柱、台、球等基本图形的体积公式。但事实数学分析中，我们还可以对面积、体积通过积分或者重积分的形式将其计算推导出来。也就是说，祖定理关于柱、锥、球等体积公式的推导通过定积分概念便能将其快速给出证明。这样一来，中学数学教师可以视数学分析法作为一种教学工具，特别是在遇到三角函数、体积、面积等计算、推导等问题时，都可以较为简化、简洁的解析问题，并为中学数学课堂教学解题、讲解操作时指明了方向。
2.4 级数理论应用
级数理论也属于数学教学中数学分析的主要内容。它的应用一般对函数级数展开式予以近似计算。比如，三角函数与常用对数表等基本上都会应用级数理论来计算出其近似值。因此，中学老师利用数学分析法应能充分掌握这些知识点，并能实践应用于相关题型的解析、推导等过程中，并能通过级数理论的讲解来教授学生查表，包括讲解一些常熟的超越性等，以逐步激发学生该时期的浓厚钻研兴趣。
3 结语
在中学课堂教学中，应用数学分析的教学方法有很多种，其中以导数概念、三角函数、不等式证明、级数理论应用等比较常见。教师在中学数学教学时，不仅需要向学生讲解数学分析这种方法，还应该选取一些典型的例题，让学生通过这些例题做到心中有数，保证解题时的严谨性。另外，教师还需要根据不同学生的学习情况，设计能够涵盖所有课堂知识点的教学方案，使学生能够更好的消化和吸收所学的知识，逐渐掌握数学分析方法，提高其创新能力和分析能力。
参考文献
[1] 周绍锋.数学分析对中学数学教学的影响研究[J].都市家教（下半月），2013（9）：46.
[2] 何芳芳，王套.数学分析原理和方法在中学数学中的应用[J].湖南农机，2013（2）：181-182.
不等式在中学数学中的应用范文第4篇
【关键词】 初中不等式；教学探究
初中数学教学要体现数学课程改革的基本理念，必须充分考虑数学学科的特点、学生心理特点和认知发展水平，针对不同水平和兴趣的学生实行多样化教学方法，也可运用多种教学方法和手段，引导学生能积极主动的学习. 而不等式的证明方面，方法灵活多样，还和很多内容相结合，它既是中学数学教学的难点也是数学竞赛培训当中的热点.
一、注重基础知识的教学
初中的数学内容较小学教学内容要更系统和更深入，涉及面更广. 因此教师在教学中应该注重基础知识的教学，帮助学生打下厚实的基础，以作用于学生日后的数学学习. 首先一点就是师生的关系应该摆正. 在中国的教育当中一直强调着“师道尊严”. 老师在课堂上一般都是居高而下，普遍都是老师在讲台上讲，学生在下面埋头“消化”老师讲的知识点. 老师掌握着上课的节奏，这样学生就显得很被动. 在初中不等式教学当中涉及很多的知识点，学生仅仅知道一些公式而不会运用也是教学的一种失败. 注重基础知识在教学当中就显得尤为重要. 不等式的解题方式多样，内容丰富，技巧性较强，并且要依据题设、题目的结构特点、内在联系，选择适当的解题方法，这就要熟悉解题中的推理思维，需要掌握相应的步骤、技巧和语言特点. 而这一切都是建立在学生夯实的基础之上的. 学生的基础知识不扎实的话，在解不等式题型时就举步维艰.
夯实的基础来源于学生对不等式概念知识的掌握和运用，而概念的形成有一个从具体到表象到抽象的过程. 对不等式抽象概念的教学，更要关注概念的实际背景和学生对概念的掌握程度. 数学的概念也是数学命题、数学推理的基础，学生学习不等式这个知识点也是从概念的学习开始的，所以在不等式教学探究中教师应注重学生的基础.
二、注重学生对知识的归纳和整理
提高初中数学不等式教学效果首先要培养学生主动探索数学知识的精神，通过寻求不同思维达到解题效果来激发学生对数学学习的兴趣. 引导学生主动去对数学不等式知识进行探究，通过结合所学的数学知识来形成一个完整的数学知识网络，以帮助学生完成更深入的数学知识探究. 同时初中数学不等式知识点的学习对学生归纳能力提出了较高的要求. 灵活使用概念能力的提高能够帮助学生熟练地运用数学知识，以及对不等式这一章节知识点的掌握、归纳和整理，进行综合的运用，从而能够成功地解题. 例如，解关于x的不等式2 + a < a|x - 1|. 这类题目需要学生对绝对值知识点的归纳和总结，（I）当a = 0时， 解集是空；（II）当a > 0时，解集是x < -2 或x > 2；（III）当-2 ≤ a < 0时，解集为空；（IV）当a < -2时，解集为-2 < x < 2. 当学生对知识点在脑子进行了归纳和整理，学生也就不会马失前蹄（题）.
三、开发学生解题技巧，培养学生独立思考
不等式在中学数学中的应用范文第5篇
汕头市潮南区胪溪中学 胡小霞
解决不等式问题是中学数学中的一个难点，有些不等式问题采用常规方法难以解决，若能巧妙地构造函数将不等式问题转化为函数问题，使问题获得较好解决。本文就近几年高考题中与不等式有关的几道试题予以简要剖析，以此体会导数法解决不等式证明问题及恒成立问题有效性.通过构造新函数成为解证不等式的良好“载体”，以下通过具体实例加以说明。
一、利用导数证明不等式
根据不等式的特点构造函数，通过新函数的导数来证明单调性,然后再利用新函数的最值达到证明不等式的目的。即把证明不等式问题转化为函数问题。具体有如下几种形式：
1、 直接作差“构造函数”证明不等式
题目：已知函数，求证：当时，恒有
分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。
证明：
∴当时，，即在上为增函数；
当时，，即在上为减函数，故函数的单调递增区间为，单调递减区间。于是函数在上的最大值为。
因此，当时，，即∴ （右边得证），
现证左面，构造新函数
时，；时，。即在上为减函数，在上为增函数，故函数在上的最小值为，
∴当时，，即∴（左边得证）
综上可知，当
本题首先根据题意作差“构造函数”，通过导数判断新函数的单调性，利用最值，从而达到证明不等式的目的。
2、适当放缩后再“构造函数”证明不等式
题目：已知函数其中n∈N*,为常数.当时，证明：当n为奇数时,当时，有.
分析：对当n为奇数时的进行放缩处理，再移项作差“构造函数”，利用导数判断其单调性。
证明：因为a=1,所以 因为n为奇数，时，＜0，
要证, 所以只需证,令,
,所以当时，单调递增，
又， 所以当时，恒有,
即命题成立. 综上所述，当n为奇数时,当时，有.
本题与直接“构造函数”不同，在当n为奇数时,先进行了适当放缩后再进行构造，使本来复杂的函数变得简单容易处理，较为简捷；但放缩要注意恰到好处。
3、利用式子的相似来“构造函数”证明不等式
题目：对任意实数a和b,成立不等式
分析：根据不等式中式子的结构特点,形状相似于函数在相应几个点的函数值
证明：构造函数
所以内严格递增。于是
由得
即 ，又因为
即证得
这个分式不等式中的绝对值不便于去掉，所以通过分析不等式左右两边各式的相似之处，将相似的量当做是所构造的函数的两个取值点，然后利用函数的单调性来证明。
二、利用导数解决不等式恒成立问题
不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为 (或)恒成立，从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法
题目：已知函数的最大值为0，若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.
解析:不等式等价于不等式
由知,所以 ,换元令，
构造函数：
由已知得构造函数，
所以当得在上为减函数.
故函数在上的最小值为，所以的最大值为。
本题主要是先两边取对数再进行参数分离并进行构造新函数转化利用单调性求最小值解决问题；值得注意的是本题在当导数的符号难以直接判断时可以考虑进行二次构造新函数，是典型的用“构造函数”转化并解决问题的好例。
总之，不论是证明不等式还是解不等式恒成立问题，只要我们仔细研究不等式的结构特征，联想到“构造函数”再结合导数的知识来证明不等式或解决恒成立问题，这类问题的解决就会变得轻车熟路。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。
