高考数学逻辑思维训练

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高考数学逻辑思维训练范文第1篇

我们学校是县里的二类学校，学生大多基础很差。而现在进入高三，学生不是劲头十足，而已基础较差为借口，在人生的关键阶段向困难低头，没有斗志随波逐流。作为文科生，他们的数学成绩又差之又差，不能一提，然而对于文科班的学生，成也数学败也数学，令他们惧怕的“数学”成了决定他们成败的科目，想上理想的大学，数学考得太差是绝对不行的.所以如何在高考数学复习中提高文科学生的数学水平，这是我们教师一直不懈追求的目标.对此，我根据自己学生的特点对高三文科数学的现状进行了简单总结。

文科学生在数学学习中存在的问题。基础知识不牢固，思维能力不全面，解题规范不到位。运算能力差在高中文理分科的时候，大多数学生是因为数理化基础较差而选读文科，加上缺乏理化的思维方式，因此其数学“悟性”较理科生弱，接受和消化新知识的速度慢，反应也比较迟钝，知识零乱，似是而非，不求甚解，缺乏系统.不善于发现问题和提出问题，在考试中，因为计算失误，算法不合理，时间不够，来不及做完等因素的失分就占了三分之一以上.因此，培养文科生的运算能力显得尤为重要.受文科思维的影响，习惯于机械记忆受文科学习方式的负面影响，文科学生不自觉的加剧了数学学习中的机械记忆，习惯于老师讲，自己记，复习背，导致许多人数学学习能力急剧下降，心理压力增大，恶性循环.因此加强文科学生的理性思维训练应成为每堂课的重点。

文科学生的学习特点，文科生中女生所占的比例较大，对数学的学习缺乏信心和觳力我校文科生中男女生占的比例为3：1，而我们班作为培优班男女比例失调更为严重，60个人的班男生只有4人 .女生性格较为内向，心理承受能力较差，加上数学学科难度大，连续几次考得不理想，她们的自卑心理会越来越严重，害怕数学，恐惧数学，对数学的学习缺乏信心和毅力.文科生中男生普遍数学基础薄弱，他们在高中分科的时候大多数的学生是因为成绩较差而读文科的，学习的习惯较差，好动，不能静下心来学习，注意力相当分散，上课不够专注，作业不够认真，更谈不上有课外的延伸和拓展了，加上基础薄弱导致数学的学习比女生还困难.但是，不可否认的是，男生善于理性的逻辑思维，空间想像能力也比女生强，在数学学习上具有优势.

以上是我们学校高三文科的现状，我们知道我们与其他学校相比还存在很大差距，要想在高考中具备一定的竞争能力，还有很多事情要做，基础还需进一步加强，能力还需进一步提高。

高考数学逻辑思维训练范文第2篇

20xx年高三高考数学复习计划一、考情分析

20XX年是我省实行新课程改革的第一届高三毕业生，高考命题是以《考试说明》为依据的，高三数学复习是要以《考试说明》为指导 的，但是，《考试说明》可能要等到下一学期中途才能出台。高三复习工作是等不得的。9月4日下午在合肥市教研室主持召开的高三数学复习研讨会上，也没能有 一个明确的复习要求。这就要求我们各位授课教师结合08届周边省份如山东、江苏、海南、上海等省市高考试题、对照题型示例，仔细揣摩，去研究课程标准 中的各项要求的具体落脚点，把握试题改革的新趋势。为了使本届高三数学的复习工作更加有效，在内容取舍上，应以考试内容为准，不随意扩充、拓宽和加深;注 意各知识点的难度控制。根据学科的特点，结合本校数学教学的实际情况制定以下复习计划。

二、学情分析

我 今年教授三个班的数学教学，原来带两个理科班：(8)班和(9)班，进入高三以后，又加了一个文科班：(3)班;本届学生是第一届课改生，在高一、高二阶 段，无论是教师或学生，思想认识都不到位，学习抓得不紧，尤其课时不足，只重进度不重效果，大部分学生的基础知识、基本方法掌握不好，学习数学的信心和兴 趣不足。并且，学生的知识回生太快，有明显优势的学生较少，主动学习数学的习惯不强.还有不少数学是缺腿的优生。

经过与同组的其他老师商讨后，我打算分三个阶段来完成XX届高三数学的复习工作。

首先，理科班在暑期补课期间到九月末完成高三选修2-3及选修2-2第二章定积分部分、合情推理中的数学归纳法等内容的教学。然后进入高三第一轮复习，文科班同学九月份开学后直接进入高三第一轮复习:

第一轮 从20xx年10月中旬开始至20XX年3月底或4月上旬结束

第二轮 从20XX年3月底或4月上旬至5月上、中旬结束

第三轮 从20XX年5月中旬至5月底结束。

根据往届学生复习过程中出现的问题，本届学生可能会出现同样的问题

1、只跟不走

部 分学生认为高考复习就是把高中的数学课的内容再重新上一遍，所以，同样只要上课听牢，作业做好就可以了。虽然复习课堂上听的很认真，作业做的也很认真，但 从来没有去想听了什么，做了什么，自然提高不大，碰到新情景的问题时有解决不了。我们认为主动是学习成绩提高的保证。外因可起重要作用，但它必须通过内因 才能起作用。只有学生主动起来，对每一堂课都有一种需求的心态走进来，才有可能真正取得提高，那么如何引导学生在复习中不只是跟在后面，而是走到前面呢? 我的对策是在调动学生学习积极性提高他们的学习兴趣的同时，帮助他们养成在课前几分钟自觉地对本堂课的要点进行梳理的习惯，或者把本堂课的要点梳理设计成 练习，课前发给他们，或者利用多媒体投影仪展示，让他们去回顾、思考，可以说课前对基础知识的梳理与强化是学习的生命。

2、只看不写

一 些基础相对较好或思维较快但比较粗糙的同学，往往眼高手低，喜欢看看题目，稍微动动笔，答案一写了事。尤其我们(9)班学生多数有这个毛病。加强分析思 考，这本身是件好事，但过了头，就成了坏事。平时解题只是写个简单答案，不注意解题步骤和过程的规范，导致的结果就是一些细节地方考虑不周全，考试中扣分 过多，甚至碰到很熟悉的题目，考试中没了思路。所以我们的对策是同学们平时的练习和作业中必须要有完整的书写步骤，提高表达水平。高考中，只有把你的思维 通过解答完整反映到卷面上，阅卷老师才有给满分的可能。

3、只练不想

只埋头拉车，不抬头看路。高考复习资料五花八门，这些同学在复习中埋头苦练，拼命做题，往往是事倍功半。我们觉得在复习中应边练边想，必要的训练是必不可少的，不要搞题海战术，而要强化自我总结。学习数学离不开做题，但要精，并在做题后要认真反思、分析，总结出一些问题的规律，并找出自己存在的问题，真正掌握解题的思维方式，内化为自己的能力。努力争取达到做一题，得一法，会一类，通一片的收获。

三、指导思想

抓基础知识和基本技能，抓数学的通性通法，即教材与课程目标中要求我们把握的数学对象的基本性质，处理数学问题基本的、常用的数学思想方法，如归纳、演绎、分析、综合、分类讨论、数形结合等。提高学生的思维品质，以不变应万变，使数学学科的复习更加高效优质。

研究《课程标准》和《教材》，既要关心《课程标准》中调整的内容及变化的要求，又要重视今年数学不同版本《考试说明》的比较。结合上一年的新课改区高考数学评价报告，对《课程标准》进行横向和纵向的分析，探求命题的变化规律。

四、目标

1、高考平均分力求达90分;2、解决优生的数学缺腿问题;3、培养尖子生突破120分.

五、具体措施

根据以上分析我提出第一轮教学和复习建议：

(一)同备课组老师之间加强研究

1、研究《课程标准》、参照周边省份20xx年《考试说明》，明确复习教学要求。

2、研究高中数学教材。处理好几种关系：课标、考纲与教材的关系;教材与教辅资料的关系;重视基础知识与培养能力的关系。

3、研究08年新课程地区高考试题，把握考试趋势。特别是山东卷、全国卷、上海卷以及广东、江苏、海南、宁夏等课改地区的试卷。

4、研究高考信息，关注考试动向。及时了解XX高考动态，适时调整复习方案。

5、研究本校数学教学情况、尤其是本届高三学生的学情。有的放矢地制订切实可行的校本复习教学计划。

(二)重视课本，夯实基础，建立良好知识结构和认知结构体系

课本是考试内容的载体，是高考命题的依据，也是学生智能的生长点，是最有参考价值的资料。只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知、基本技 能和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。在求活、求新、求变的命题的指导思想下，高考数学试题虽然不可能考查单纯背诵、记忆的内容，也不会考查 课本上的原题，但对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能在课本上找到影子，不少高考题就是将课本题目进行引申、拓宽和变化，高考试题千变万化， 异彩纷呈，但无论怎样变化、创新，都是基本数学问题的组合。所以，对基本数学问题的认识，基本数学问题解法模式的研究，基本问题所涉及的数学知识、技能、 思想方法的理解，乃是数学复习课的重心。多年的教学实践，使我们深刻体会到： 基础题、中档题不需要题海，高档题题海也是不能解决的。在第一轮复习中，切忌高起点、高强度、高要求，所谓居高临下，往往投入很大，收效甚微，甚 至使学生丧失学习数学的兴趣和信心。要引导学生重视基础，切实抓好三基(基础知识、基本技能、基本方法)。最基础的知识是最有用的知识，最基本的方法 是最有用的方法。在复习过程中自觉地将新知识及时纳入已有的知识系统中去，融代数、三角、立几、解几于一体，进而形成一个条理化、有序化、网络化的高效的 有机认知结构。

(三)提升能力，适度创新

考查能力是高考的重点和永恒主题。教育部已明确指出高考从以知识立意命题转向以能力立 意命题。新大纲提出能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识，包括提出问题、分析问题和解决问题的能力，数学探究能力、数学建 模能力、数学交流能力、数学实践能力、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式做 出思考和判断。其中理性思维能力是数学能力的核心，而分析问题和解决问题的能力(实践能力)是数学的一种综合能力，需将思维、运算、空间想象有机结合去完 成的一种复合型能力，是思维能力的更高层次。逻辑思维能力在解题中表现为：①领会题意、明确目标;②寻找解题方向和有效解题步骤;③正确推理和运算，表述 解题过程。能力的培养首先应重视知识与技能的学习、思想方法的渗透。知识与技能的掌握有助于能力的提高，思想方法的掌握有助于广泛迁移的实现。实践能力在 考试中表现为解答应用问题。创新是指在新的问题情境中，综合灵活地应用所学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，选择有效的方法和手段分析和处理 信息，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。创新意识是理性思维高层次表现，对数学问题的观察、猜测、抽象、概括、证明，是发现问题和解决问题的重要 途径，对数学知识的迁移、组合、融汇的程度越高，显示出的创新意识也就越强。

(四)强化数学思想方法

数学不仅仅是一种重要的工具，更 重要的是一种思维模式，一种思想。注重对数学思想方法的考查也是高考数学命题的显著特点之一。数学思想方法是对数学知识最高层次上的概括提炼，它蕴涵于数 学知识的发生、发展和应用过程中，能够迁移且广泛应用于相关科学和社会生活。数学思想方法是数学的精髓，是适用于数学全部内容的通法，对于数学思想和方法 的考查必然要与数学知识考查结合进行。只有运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力。因此，在各个阶段的复习中，要结合 具体问题不失时机地运用、渗透数学思想方法，对其进行多次再现、不断深化，逐步内化为自己能力的组成部分，实现知识型向能力型的转化。常用的数学 思想方法可分为三类：一是具体操作方法，如配方法、消元法、换元法、迭代法、裂项相消法、错位相减法、特值法、待定系数法、同一法等;二是逻辑推理方法， 如综合法、分析法、反证法、类比法、探索法、解析法、归纳法等;三是具有宏观指导意义的数学思想方法，如函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类 与整合的思想方法、化归与转化的思想方法等。

在复习备考中，要把数学思想方法渗透到每一章、每一节、每一课、每一套试题中去，任何一道精心编拟 的数学试题，均蕴涵了极其丰富的数学思想方法，如果注意渗透，适时讲解、反复强调，学生会深入于心，形成良好的思维品格，考试时才会思如泉涌、驾轻就熟， 数学思想方法贯穿于整个高中数学的始终，因此在进入高三复习时就需不断利用这些思想方法去处理实际问题，而并非只在高三复习将结束时去讲一两个专题了事。

(五)强化思维过程，提高解题质量

数学基础知识的学习要充分重视知识的形成过程，解数学题要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学知 识和基本数学思想在解题中的意义和作用，注意多题一解、一题多解和一题多变。多题一解有利于培养学生的求同思维;一题多解有利于培养学生的求异思维;一题 多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性。在分析解决问题的过程中既构建知识的横向联系，又养成学生多角度思考问题的习惯。

当处理的题目达到一定的量后，决定复习效果的关键因素就不再是题目的数量，而在于题目的质量和处理水平。一节课与其抓紧时间大汗淋淋地讲三道题，不如愉快宽松的引导学生探讨完两道题。

我 建议教师跳进题海，学生跳出题海。教师有计划的精心研究全国各地的高考题和模拟题，从中精选和改编部分面目新，质量高，难度适中，针对性强的试题，有 计划的组织学生训练，讲评，以少胜多，提高效益。对学生要求会、快、对，会即有方法，会动手;快强调速度，在规定的时间内完成规定的题量; 对即准确，指解答正确。只有会，才有可能得分;只有快，才能多得分(指整套试卷);只有对，才能得满分(指某道试题)。在复习中，首先要训练学生解题 有办法，能动手，但决不满足于此，尤其对会而不对、对而不全、眼高手低的现象要引起足够的重视;从以往的月考中可以看出(8)班和(9) 班的多数学生都有这个通病。要从审题的仔细、思维的严谨、表述的规范、计算的准确等方面下功夫，做到会做的不丢分。要尽可能稳中求快，对基本题提高熟 悉程度，才有时间去思考新题、难题，对基础题、中档题要清楚明白，准确熟练，对难题要量力而行。

(六)认真总结每一次测试的得失，提高试卷的讲评效果

试卷讲评要有科学性、针对性、辐射性。讲评不是简单的公布正确答案，一是帮学生分析探求解题思路，二是分析错误原因，吸取教训，三是适当变通、联想、拓展、延伸，以例及类，探求规律。还可横向比较，与其他班级比较，寻找个人教学的薄弱环节。

(七)根据所教学生实际有针对性地组题进行强化训练

抓 基础题，得到基础分对大部分学校而言就是高考成功，这已是不争的共识。比如，08届我校线下20分的考生就有几十人，这些考生若能减少基础题的无谓丢分， 那么升学率就会大幅上升的;每个学生根据自己的具体实际情况，首先抓好90分一120分的低中档题，教师在复习的过程当中结合所教学生实际，对学生在某一 块加强一下就能增加得分的内容要精心组题强化训练。

这一轮复习我校统一以《三维目标》这本资料书为主，再参考《全线突破》等其他资料，以达优势 互补。打算每一讲用3个课时，第一课时，知识点、考点复习，第二课时，典型例、习题讲解，第三课时，作业讲评及数学思想、方法、总结。作业以《三维目标》 资料书每一讲所附的 能力提高为主，学生根据自己实际情况进行增、补其它资料。

这一轮复习应针对学生基础较差，动手能力不强，知识不能纵横 联系，特别是代数推理题、三角函数变形题等常常出问题，解析几何不能从宏观上把握题目，其基本套路不熟，缺乏运算的恒心，概率题不能突破排列与 组合瓶颈，选择题与填空题的速度与准确率不高等问题进行重点、难点突破，使学生打下坚实的基础，提高学习兴趣和信心。

第二轮 专题过关

对于高考数学的复习，应在一轮系统学习的基础上，利用专题复习，更能提高数学备考的针对性和有效性。

专题过关分思想方法与技巧过关和小题型(选择题、填空题)及应用题过关。

在 这一阶段，锻炼学生的综合能力与应试技巧，不要重视知识结构的先后次序，需配合着专题的学习，提高学生采用配方法、待定系数法、数形结合，分类讨论，换 元等方法解决数学问题的能力，同时针对选择、填空的特色，学习一些解题的特殊技巧、方法，以提高在高考考试中的对时间的掌控力。

第三轮 综合模拟

在前两轮复习的基础上，为了增强数学备考的针对性和应试功能，做一定量的高考模拟试题是必须的，也是十分有效的。

该阶段需要解决的问题是：

1、强化知识的综合性和交汇性，巩固方法的选择性和灵活性。

2、检查复习的知识疏漏点和解题易错点，探索解题的规律。

3、检验知识网络的生成过程。

4、领会数学思想方法在解答一些高考真题和新颖的模拟试题时的工具性。

这一轮复习以仿真卷为主，一定要注意试卷的仿真性，把握好试卷的难度和梯度，掌握考试时间，使学生有身临其境的感觉。使学生不断总结考试经验与考试技能，真正高考时不慌神，沉着冷竣，创造性地考出高水平。

六、具体内容安排：

表1：20XX20XX学年度第一学期教学进度安排

周次起止时间教学时数教学内容

01 周 7.7-------7.25排列 组合 二项式定理

02周 9.1 -------9.13选修2-3第二章 离散性随机变量分布列

03周 9.15 ------9.20选修2-3第三章统计案例 选修2-2第二章定积分

04周9.22 ----- 9.30选修2-2第二章定积分及合情推理部分

05周10.6 ----- 10.11合情推理部分级第一次月考

06周10.13 ---- 10.18集合 函数概念复习

07周10.20 ----- 10.25---2.3函数的性质、图象 函数综合问题

08周10.27 ---- 11.1 函数应用 数列

XX周11.3 -----11. 8 数列综合、应用问题

10周11.10----11.15数列应用问题 高三第二次月考

11周11. 17----- 11.22评卷、三角函数

12周11.24 ----- 11.29三角函数图象性质

13周12.1 ----- 12.6平面向量

14周12.8 ----- 12.13不等式的性质、解法、证明

15周12.15-----12.20高三第三次月考

16周12.22-----12.27评卷 不等式综合问题

17周12.29-----1.3直线和圆

18周1.5-------1.10直线和圆锥曲线 合肥市一模

19周1.12------1.17圆锥曲线综合问题 放寒假

表 2：20xx20XX学年度第二学期教学进度安排

周次起止时间教学时数教学内容

1周2月2日7日 点、线、面 角与距离

2周2月9日14日 柱、锥、球及综合问题

3周2月16日21日排列、组合、和概率

4周2月23日 28日 概率与统计

5周3月1日6日 极限、导数与复数

6周3月9日14日合肥市二模

7周3月16日21日 程序框图

8周3月23日28日专题一:数形结合思想 专题二:函数与方程思想

9周3月30日4月4日专题三：转化与化归思想;专题四：分类讨论思想

10周4月6日 11日专题五：配方法、换元法、待定系数法.;专题六：构造法

12周4月13日18日8合肥市三模

11周4月20日25日专题七：选择、填空常用技法

12周4月27日5月2日 热点追踪

13周5月4日9日 热点追踪

14周5月11日 16日 热身训练

15周5月18日 23日8热身训练

16周5月25日5月30日 回顾、反思回归课本

6月4日10日 迎接高考

拓展阅读：三轮复习法三轮复习法把高三的复习时间大致分为三段，每段时间里的复习目的各有侧重，时间长短也各不相同。第一轮复习从八月中到三月初，主要目的是基础能力过关;第二轮复习从三月初到五月中，主要目的是综合能力突破;第三轮复习从五月中到五月底，主要目的是应用能力提高。

(一)第一轮复习

第一轮复习要全面阅读教材，查漏补缺，彻底扫除知识结构中理解上的障碍。在这一基础之上，对各科知识进行梳理和归纳，使知识系统化。同时配以单元训练，提升应用能力。这一轮复习的目标是查出所有理解上的障碍，为全面而准确地记忆打下可靠的基础。不论平时多么熟悉课本，都不能省略全面阅读教材这一环节，因为：①以前的知识往往是零碎的不成系统的，全盘的通读有助于整体掌握知识。②全盘的通读可以找出一些以前被忽视的环节或死角。③懂得的东西未必理解得深刻，带着疑问去通读，有助于深刻领会课本内容?

一般而言，考生的复习障碍主要有：概念不清、公式不会运用、计算不准、原理模糊等等。这些都是理解的障碍，同时也是记忆的障碍。考试时，往往使储存在大脑中的知识难以提取出来。通过全盘的通读，才能对信息进行记忆编码，分类梳理出知识点，才能明白各学科的内在联系，形成系统知识网络结构。复习完一个章节，就在不看课本只看笔记的情况下，把课本中的知识点一一地过一遍。遇到记不起来的地方或理解得不是很透彻的地方，再翻开课本看看，这样就会加深印象和巩固记忆。

(二)第二轮复习

第二轮复习要明确重点、难点。对每一个知识结构及其知识点中的重点，深刻理解，突破难点，把握知识结构内部之间的联系。同时进行解题训练，提升实战能力。这一轮复习的目标是彻底掌握基本知识，使各个知识点整体化、有序化、自控化、实用化，便于指导技能操作，进行思维训练。经过解题复习，使记忆率达到95%以上。

什么是重点?重点是指使用次数频繁、应用价值高、又属于基础知识的那部分内容，它们往往是在考试中每考必现的那部分，是大纲中要求熟练掌握的那部分，也是知识网络横向与纵向的交叉点。

什么是难点?难点一个是知识自身的，是一般性的、大家共有的;另一个是相对于考生个人的，是个体性的、因人而异的。一般性的难点往往是指概念比较抽象，易与其他概念相混，运用时易发生错误，能力的要求比较高、比较综合的知识。个体性的难点是由个体思维方法的差异、理解能力的不同以及个体知识中的缺陷与漏洞决定的，这些难点老师一般不会仔细讲，但它们又往往是考生在复习过程中的拦路虎，给考生造成很大障碍，成为考生自卑的原因。因此，每个考生一定要把自己学习上的难点找出来，予以特别重视。

另外，本阶段考生还应注意提高自己的解题能力。解题时，先从显在知识点切入，挖掘出隐含知识点，构成已知条件，并由此为向导从大脑中搜索出未知条件知识点，从而得出正确答案。

(三)第三轮复习

第三轮主要是进行检验复习。考生用尝试回忆记忆法把前两轮复习过的内容想出来，强化记忆。回忆一旦进行不下去，立即看书或笔记，接续回忆线索。在回忆的基础上，自选一到两套模拟试题，严格按考场要求进行自考，巩固记忆效果，及时进入考试状态。

第三轮复习从五月中到五月底，也就是平常所说的冲刺阶段，这段时间的复习效果的好坏很大程度上决定着高考的成败。因此，这轮复习是三轮复习法中最关键的一轮。考生的脑子里不但有了所有课程的框架脉络，而且对于高考试卷的结构、题型也应该有了较深层次的把握。在第三轮复习完成之后，可以说是万事俱备，就等高考了。

高考数学逻辑思维训练范文第3篇

1 有预设才会生成得更好、更完美

生成可分为两类，一类是我们预设下的现象，另一类是我们不曾预设到的现象.我们期望出现未曾预约的精彩，但美化、强调生成，贬低、弱化预设，不是正确的选择.因为只有好的预设，才会生成得更好、更完美.

例1 已知函数y=f（x）对任意x∈R，恒有f（x）=f（2a-x），求证f（x）的图像关于直线x=a对称.

在高一年级的同课异构活动中，两位老师都讲到这个例题.一个教师在讲授中直接就取y=f（x）图像上的任意一点P（x0，y0），这一点关于直线x=a的对称点为P′（2a-x0，y0），由于y0=f（x0），且对任意x∈R，恒有f（x）=f（2a-x），所以y0=f（2a-x0），也就是说点P（x0，y0）在函数f（x）的图像上时，点P′（2a-x0，y0）也在函数f（x）的图像上，此两点关于直线x=a对称，由任意性可知f（x）的图像关于直线x=a对称.

一个学生说：“老师，为什么要这样证明呢？不是很明白.”结果，老师又重新再讲一遍.

另一位教师，先从y=x2讲起，指出它的对称轴是y轴，即直线x=0.这是大家都知道的事实，教师进一步启发：“为什么对称轴是x=0.”

学生1回答：“因为图像上的点（1，1），（-1，1）关于x=0对称；（-2，4），（2，4）也关于x=0对称，还有无数这样的对称点，所以图像关于x=0对称.”

教师：“这位同学的思路是对的，但不能仅用几个点来说明——即使说明了还有无数这样的对称点，也不能说，图像就对称，要怎么表述才准确呢？”

学生2：“任意取一点，再说明这个点关于x=0的对称点也在图像上就可以了.”

教师：“是的，只要取一点P（x0，y0），再说明P′（-x0，y0）也在图像上即可.”

教师再问：“如何证明y=x2+2x+3关于x=-1对称？”

……

经过这一番讨论和思考，再来证明上面的例题，就水到渠成了.学生也就不会说听不明白了.

前一个教师的讲解，让人觉得突兀，没有抓手，高估了学生.后一个教师的讲解，有铺垫，有启发，符合由特殊到一般、由具体到抽象的认识规律.当然，效果就不一样.这个显然与教师的备课有关，即与备课时的预设有关.

生成，不仅仅是旁逸斜出才叫生成，正确理解知识、理解方法也是一种生成.2 教师的启发诱导是学生生成的重要来源

学习是一种生成，运用也是一种生成.只有不断生成，学习才会进步.而学生内部的生成，教师往往是看不到的，但却是潜藏在学生的心里，增厚在大脑皮层里.所以，教师的启发诱导就很重要.比如：

例2 已知ABC是锐角三角形，求证：sinA+sinB+sinC>；cosA+cosB+cosC.

很多学生无从下手，老师想到的往往也是和差化积，不会用ABC是锐角三角形的隐含条件.其实，ABC是锐角三角形可转化为下列式子：

A+B>；π2，

B+C>；π2，

C+A>；π2，

0<；A，B，C<；π2，可得π2>；A>；π2-B>；0，

π2>；B>；π2-C>；0，

π2>；C>；π2-A>；0，可得sinA>；sin（π2-B）=cosB，

sinB>；cosC，

sinC>；cosA.

三式相加即得sinA+sinB+sinC>；cosA+cosB+cosC.

经过讲解，学生理解了，掌握了，以后碰到类似问题能想到这样的方法.比如：

题目 已知偶函数f（x）在[-1，0]上单调递减，α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ）.

A.f（sinα）>；f（sinβ）B.f（sinα）<；f（cosβ）

C.f（sinα）>；f（cosβ）D.f（cosα）<；f（cosβ）

学生分析 由π2<；α+β<；π，得0<；π2-β<；α<；π2，根据y=sinx在[0，π2]是递增的，得0<；sin（π2-β）=cosβ<；sinα<；1.又偶函数f（x）在[-1，0]上单调递减，所以f（x）在[0，1]单调递增，所以f（cosβ）<；f（sinα），选C.

由此可见，教师先前的讲解起到了作用.也就是说，教师的启发诱导是学生生成的重要来源.3 了解学情是有效生成的重要途径

学生是学习的主体，教师只有全面了解学生，才能使教师的教更有效地服务于学生的学，促进学生的生成.正如著名特级教师于猗所指出的：学生的情况、特点，要努力认识，悉心研究，知之准，识之深，才能教在点子上，教出好效果.

例3 已知数列{an}满足an+1+an-1=2an，n≥2，点O是平面上不在l上的任意一点，l上有不重合的点A，B，C，又知a2OA+a2015OC=OB，则S2016=（ ）.

A.1007 B.2016 C.2015 D.1008

数列{an}满足an+1+an-1=2an，n≥2，所以数列{an}是等差数列，这是学生知道的，如果由A，B，C共线，且满足a2OA+a2015OC=OB，可以得到a2+a2015=1，若学生不知道，此时，要生成就比较困难.

所以引入这个例子的时候，最好能先证明：点O是平面上不在l上的任意一点，A，B，C在l上的充要条件是存在实数λ，使λOA+（1-λ）OC=OB.

否则，要由这些条件得到a2+a2015=1，就增加了生成的难度.

我们不时看到，学生有听不明白的情况，往往就是没有充分了解学生造成的.要了解学生，包括了解学生的原有经验、前概念、认知方式以及学生的情感、态度、价值观等.只有了解学情，教学才可能有的放矢.4 学生的生涩生成是教师帮助学生正确生成的重要通道

4.1 利用错误资源

错误不可怕，可怕的是不去改正错误.利用错误资源，一方面是修正错误，另一方面是从错误中得到启发，生成正确的东西.

例4 设M={a，b，c}，N={x xM}，则M与N的关系是（ ）.

A.M∈N B.N∈M C.MN D.NM

这是一道很容易出错的题，学生容易从M，N为集合这个表面现象选C或D.

事实上，因为N={xxM}，所以N={φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}，此时M，N不是集合与集合的关系，而是元素与集合的关系，故选A.

无独有偶，我们来看看一道由韩国高考数学题改编的问题：

题目 下面是学生甲和学生乙争论集合的部分内容：

甲：我们能够想象到的集合之全体的集合叫做S，那么

（a）S将S自身作为元素所有，是吧？

乙：那不成体统，哪有那样的事？

甲：好，那么（b）不把自己本身作为元素的集合之全体的集合又怎么样呢？

以数学方式表达上述争论中带有底线的（a），（b），哪一项最好？（ ）

A.S∈S，{A|A∈A，A是集合}；

B.S∈S，{A|AA，A是集合}；

C.S∈S，{A|AA，A是集合}；

D.SS，{A|AA，A是集合}.

试题通过考查学生对集合主要符号和不同含义的思考和理解来检验学生是否真正懂得了集合和元素之间的关系，涉及对集合本质的认识理解，带有逻辑思维训练的因素，与例4有异曲同工之妙.本题选项C是比较准确的选择.

4.2 利用正确生成却生成不下去的资源

利用生成性资源，包括正确生成却生成不下去的资源的利用.比如：

例5 已知ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，acosA+bcosB=ccosC，试判断ABC的形状.

把式子acosA+bcosB=ccosC化角或者化边，是常见思路，学生也懂.一些学生把式子化成

a·b2+c2-a22bc+b·c2+a2-b22ca=c·a2+b2-c22ab后，以为太繁就做不下去了，其实两边同乘以2abc，可得

a2（b2+c2-a2）+b2（c2+a2-b2）=c2（a2+b2-c2），整理可得

2a2b2-a4-b4+c4=0，即c4-（a2-b2）2=0，即（c2+a2-b2）（c2-a2+b2）=0，即c2+a2=b2或c2+b2=a2，所以ABC是∠B或∠A为直角的直角三角形.

同样化角也会遇到一些困难，教师要帮助学生扫清障碍：

因为acosA+bcosB=ccosC，所以sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=sin2C=sin（2π-2A-2B）=-sin（2A+2B），

所以0=sin2A+sin2B+sin（2A+2B）

=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A

=sin2A（1+cos2B）+sin2B（1+cos2A）

=4sinAcosA（cosB）2+4sinBcosB（cosA）2

=4cosAcosBsin（A+B）.

因为sin（A+B）=sin（π-C）=sinC>；0，所以cosA=0或cosB=0，所以A=π2或B=π2.所以ABC是∠B或∠A为直角的直角三角形.

知识不够，不可能生成，或者生成不下去，同样，方法不对、能力不强，也会生成得不好.此时，教师的帮助就很重要.5 教师应鼓励学生敢于表达

有些学生生怕自己的生成不够成熟，羞于表达，教师应给学生足够的心理安全空间，就是有错误，有瑕疵，也要鼓励.比如：

例6 如图，已知单位圆上有四点E1，0，Acosθ，sinθ，Bcos2θ，sin2θ，Ccos3θ，sin3θ，0<；θ≤π3，

分别设OAC、ABC的面积为S1和S2.

（1）用sinθ，cosθ表示S1和S2；

（2）求S1cosθ+S2sinθ的最大值及取最大值时θ的值.

教师解析 （1）根据三角函数的定义，知∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，所以∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，所S1=12·1·1·sin3θ-θ=12sin2θ=sinθcosθ.

又因为S1+S2=四边形OABC的面积=12·1·1·sinθ+12·1·1·sinθ=sinθ，所以S2=sinθ-12sin2θ=sinθ1-cosθ.

（2）由（1）知S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ1-cosθsinθ=sinθ-cosθ+1=2sinθ-π4+1.因为0<；θ≤π3，所以-π4<；θ-π4≤π12，所以-22<；sin（θ-π4）≤sinπ12=6-24，

所以S1cosθ+S2sinθ的最大值为3+12，此时θ的值为π3.

讲到这里，一个学生提出：“老师，得到sinθ-cosθ+1，在0<；θ≤π3条件下，可以直接求出最值.”

老师鼓励：“说说看.”

学生：“因为当0<；θ≤π3时，y=sinθ是增函数，cosθ是减函数，所以-cosθ是增函数，所以sinθ-cosθ+1是关于θ的增函数，θ=π3时可得到最大值.”

老师点头表示赞许：“很好.多数情况下，都要把类似问题化为一个角的三角函数，但针对本题的特殊情况，用此方法确实节省了时间.”

鼓励学生表达，不仅该学生受益，其它学生也得到了启发，也是一种生成.