高三数学导数及其应用

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高三数学导数及其应用范文第1篇

【关键词】2014年高考 数学新课标 试卷分析 复习建议

【中图分类号】G【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）08B-0120-02

从新课程改革的角度看，2014年全国高考数学新课标卷Ⅱ（理科）与往年相比，在内容、能力、时间、分值和题型、题量等几个方面变化不大，保持基本的稳定。试题对知识点、数学思想方法和数学能力三个方面的考查全面而得当，重视知识的生成和迁移，各个题型难度梯度明显，但稳中有新，是一份能有效检测学生数学学习成效的考卷。

一、试卷结构分析

（一）难易适度，注重双基

试卷分为两大部分：第Ⅰ卷为必考题，其中12道选择题（60分），4道填空题（20分）和5道解答题（60分）；第Ⅱ卷为“3选1”的解答题（10分）。客观题难度与往年基本持平，解答题难度稍高于往年，但整体上仍然遵循考纲所倡导的“高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度”这一原则。试题的“易、中、难”比例基本符合常规的“3∶5∶2”要求（见表1）。

表1 试题难度大致情况表

组 别 难度较小 难度适中 难度较大

题 号 1，2，3，4，5，6，7，8，9，13 10，14，15，17，18，19，20（1），21（1），选做题 11，12，16，20（2），21（2），21（3）

分值百分比 33% 46% 21%

客观题显然侧重对“基础知识”和“基本方法”的考查，大部分试题题型常规，立足教材，特别是1至11题以及13和14题，在教材都可以找到类似的题型。但是客观题虽然注重通法通性，在难题上却立意清新，考验学生的耐心和创新思维，考查对双基的理解和掌握能力。如：

第11题，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA= 90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

（A） （B） （C） （D）

此题题型看似基础，但难点在于方法的选择，可选择向量法也可选择补型法，这些方法都是可以降低解答难度。

第12题，设函数。若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

导函数是放在选择题的最后进行考查，命题新颖，出乎考生意料。题中“极值点”这个信息，让考生容易想到f（x0）=0这个突破口，思维难度不大，但由于融合了三角函数和不等式的知识点，综合性较强，运算较为复杂，容易出错。

（二）考点全面，命题交汇

2014年新课标《考试说明》（以下简称《说明》）指出必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列2的内容，所列考点为161个；选考内容为《课程标准》中选修系列4的“几何证明选讲”“坐标系与参数方程”“不等式选讲”3个专题，所列考点为29个。今年的数学新课标卷Ⅱ（理科）试题涉及的考点都在考试大纲的范围内，其中必考部分考点约119个，选考部分考点约18个，试卷所考查的知识点约占总数的72%。

从考题中涉及的72%考点中，发现今年的考卷仍保持“在知识交汇处命题”的特点，注重知识的综合应用，倾向于组合命题。例如上述的第12题将导函数、三角函数以及不等式相结合，第17题将数列、数学归纳法和不等式性质融合进行命题，第21题将导数及其应用、不等式、估算法等综合。

（三）强调思想，体现能力

试卷突显了《考纲》的思想，坚持对数学思想方法和数学能力的考查，体现了数学的基础、应用和工具性的学科特色，通过多角度、多层次、多维度的考查，以检测学生的数学理解水平和实际运用能力。数形结合是考生最熟悉的数学思想方法，化归与转化思想基本融入到每一道数学题的解决过程中，考卷很好地体现了对基本思想方法的考查。运算能力是其他数学能力的基础，是高中五大数学能力中考查最多的（如表2）。

表2 数学思想方法与数学能力的考查统计表

二、纵向分析（与往年的试题进行比较分析）

通过对近五年新课标卷主要考点的纵向比较（表3），可以发现该卷符合往年新课标卷的一些常规特点。

1.主干知识仍然重点考查函数与导数、三角函数与解三角形、数列、概率与统计、解析几何、立体几何。

2.解答题（必考部分）的题型排序一般是解三角形（或者数列）、立体几何、概率与统计、解析几何、导数的应用。通常情况下，17题为解三角形题型时，客观题通常会有2道数列题；若17为数列题型时，客观题通常会有1道解三角形题，并且有1至2道三角函数题。

3.不难看出新课标新增内容得到重视，如三视图、算法初步、定积分等，而定积分知识点从2011年至今都没有再考查。原大纲中作为选修的统计内容，在新课标中得到重视（在必修3，选修1-2，选修2-3中出现），成为主干知识，常在解答题第19题考查。

4.新课标的21题常以指数函数、对数函数以及它们的组合为载体，考查导数及其应用（单调性、极值、最值的问题），且侧重于分类讨论思想。

例如，该卷的第21题，已知函数。

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值；

（3）已知1.4141

再如2013年新课标卷Ⅱ（理科）第21题，已知函数f（x）=ex-ln（x+m）

（1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（2）当m≤2时，证明f（x）>0。

现在把近五年来纵向比较的统计结果列表如下（表3）。

三、对2015年高考复习的建议

（一）研读《考纲》和《说明》，研究高考命题趋势

《考纲》规定了考试目标、内容范围、能力要求和题型示例，《说明》是《考纲》的细化和补充，是高考命题的直接依据，对高考复习起着导向性和示范性作用。高三教师在研读《考纲》和《说明》的同时，要结合近几年高考试题的特点，研究命题趋势，从而指导学生梳理主干知识、重难点，建立系统的知识网络，进行有效地复习。

（二）立足教材，扎实基础

新课标相对原大纲的教材，整体上具有“广而浅”的特点，更注重对双基的考查和综合运用。近几年的新课标卷立足教材，重视对新增知识点的考查，不再考查删减的知识点，对调整的知识点也进行相应的变化（见表3）。高三复习要做到“热点抓得准，重点讲得透，难点理得清”，教师就必须科学地使用教材，理解新课标教材的设计意图，通过多种形式复习重点内容，选择经典的例题作为训练材料，引导学生掌握基本知识，形成解题策略。

（三）强化数学思想方法的渗透，培养数学能力

纵观近几年的考卷，都突显着数学思想方法和数学能力的重要性。每一种数学思想方法和数学能力都有它们特定的理论依据，教师在复习阶段应重视通法通性，淡化形式和特殊技巧，提高学生对试题中数学思想方法的体悟，使学生能自觉加强数学能力的培养。在数学能力培养方面，要特别加强运算能力的训练。高考题基本都涉及运算，特别是解答题，要求很强的运算能力，运算能力弱常常会“差之毫厘，谬以千里”，运算不合理以致“懂而不会，会而不对，对而不全”。重视运算能力的培养，就要求教师舍得放手，让学生“想一想”“做一做”，粗中有细，逐步培养学生的数感和做题速度，减少运算上的失分。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部了.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003

[2]黄海燕，刘巧玲.2011年全国高考试卷Ⅰ理科数学试卷分析[J].南宁：广西教育出版社，2011（12）

[3]胡耀华，杨雪艳.新课程标准下的数学高考试卷分析――以部分省份2012年数学高考试卷为例[J].考试研究，2013（5）

[4]孔凡哲.螺旋式上升课程设计编排风格的误区及其矫正[J].课程・教材・教法，2006（10）

高三数学导数及其应用范文第2篇

关键词：考试说明；抓纲务本；复习有效性

复习备考为何要研读《考试说明》

《考试说明》就是高考的指挥棒，是我们复习教学的“航标”，高考命题者尊重“课标”，遵循“说明”. 我们不少教师对《考试说明》的关注度不够，更谈不上去研析. 单凭经验复习，往往惯性用力，随意提高或降低复习要求，随意扩大或缩小复习范围，复习偏离方向，导致出现“深入有余，浅出不足”的针对性不强的问题. 在这距离高考只有七十多天的时间内，复习若仍不依照《考试说明》，就等于“劈柴不照纹，累死劈柴人”，目标不明，事倍功半. 研读《考试说明》，就是因为高考命题者在《考试说明》中明确地告诉我们：考什么，怎么考，考到什么程度以及试卷的结构及其特点等.

怎样研读《考试说明》

（1）理清考点：对《考试说明》的考点逐一进行梳理.有哪些考点？每个考点要求属于哪个层次？如何运用这些考点解题？考查这些考点的常用题型有哪些（结合“题型示例”的具体问题）？这是我们后期复习应该给学生讲清楚的.

（2）理清重点：《考试说明》要求重点掌握的知识重点抓，具体来说，函数与导数、数列与不等式、三角函数与平面向量、立体几何、解析几何等要重点突破，进行专题训练.

（3）理清联系：对照《考试说明》，画出知识网络图表，注意各考点之间有哪些联系？哪些属于知识交汇处？

（4）理清方法：高考数学注重通性通法，淡化特殊技巧，我们必须给学生进行基本的数学思想和方法的归纳和总结，如等价转换、函数与方程、数形结合、分类讨论的数学思想以及配方法、换元法、待定系数法、综合法、分析法、反证法等.

2013年安徽省《考试说明》的微调和数学试题主干知识分析

2013年安徽省高考数学科《考试说明》已经出炉，“年年岁岁花相似，岁岁年年有不同”.今年的《考试说明》在考核的目标和要求以及考试形式和考试结构上都没有变化，只在个别知识点的要求上作了微小的调整，题型示例中也更换了部分样题，更换的试题明显更灵活，其中变化的部分如下：1. 立体几何部分，删除了“会用中心投影画出简单空间图形的三视图与直观图”；2. 统计部分，将去年“理解样本数据平均数和标准差的意义和作用，会计算数据平均数和标准差，知道平均数和标准差是样本数据基本的数字特征”改为“理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差，能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释”；3. 概率部分，将去年“理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题”改为“理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题”；4. 统计案例部分，对独立性检验由“初步应用”改为“简单应用”，近几年安徽省在这块一直没有出题考查，所以这次变化值得重视；5. 对例题进行了更换，引入了2012年各地高考真题. 所举例题数目没变，选择题举例30道，填空题举例15道，解答题举例18道. 附录改为2012年安徽数学理科典型试题分析.

研读2013年的《考试说明》，我们可以读出：高考数学试题会“稳”字当头，稳中有变，稳中有新. 函数、方程、不等式、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数及其应用等知识是支撑高中新课标数学学科的主干知识，仍是构成试卷的主体，是解答题命制综合题的主要材料来源，考查时将继续保持较高的比例和必要的深度，如函数与方程、不等式、导数、数列仍然是试卷分量最重、最出彩的一笔，且常考常新，在知识中考能力，在方法中考思想，在情境中考创新.

三角函数：偏向于中档题，应高度重视解三角形及其应用题，可能会放在测量、航海等实际背景中去考查，以体现新课标强调应用性的理念.

向量：理应发挥其在探究坐标运算和动点轨迹、曲线方程、空间角与距离计算方面的功能与优势，向量与平面几何结合的客观题仍然是高考命题的一个亮点.

立体几何：重在考查空间想象能力、三视图的识图能力和逻辑推理能力. 安徽省自主命题这几年所考查的几何体都比较新颖，考查线面位置关系的论证与计算的基本内容不会变，并且仍然会在“何种几何体”上做文章，也许会考查一下多年未考而又重要的知识点.

解析几何：文理的考查要求有微妙的差异，文科更加重视直线与圆、椭圆；理科更侧重于椭圆与抛物线，双曲线一般都是了解层次. 由于选考内容加入了极坐标、参数方程，对这一部分内容的考查可能会与它们结合起来，应注意解析几何考查的内容在悄悄地发生变化，既有探求曲线的轨迹方程问题，又有追求与其他知识的综合. 解析几何有六大重点问题：轨迹问题、位置关系问题、最值问题、对称问题、定点定值问题与参数取值范围问题，这些都是高考考查的重点与热点. 这一部分复习内容容易超纲，如椭圆、双曲线的第二定义及准线问题，课标与说明中均未涉及，不宜在此耗费时间.

函数与导数：函数是高中数学的一条主线，对函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值的考查会保持较高比例，同时不能忽视抽象函数问题及其解题策略. 导数是课改后新增内容，函数内容的考查必定和导数结合起来，利用导数求切线方程、单调区间、极值、最值；利用导数求函数零点个数；求恒成立不等式中参数取值范围；证明不等式等都是高考的热点，体现了知识的交汇和对导数知识的深入考查，但复合函数的导数，仅限于内函数是一次函数，不可深挖.

不等式与数列：虽然增加了不等式选讲，不等式内容其实并未减弱，可以考查不等式与函数、方程、数列相结合的问题，也可以考查线性规划问题以及含参数不等式恒成立问题. 借助不等式来考查学生的综合能力与应用意识，考查不等式论证过程中放缩法及放缩中的“度”的把握是高考命题热点之一. 等差数列、等比数列仍是考查的重点，递推数列值得关注，尽管《考试说明》中没有提及，压轴题往往青睐数列与不等式的结合.

概率与统计：新课标教材，概率统计内容有所增加. 以统计为载体，考查概率统计的基本思想是新课标卷命题的一个变化，同时，随机变量的分布列及期望、方差仍会重点考查. 无论是从教材内容，还是考查要求来看，这一部分都有很大的提高. 如果“理解”、“能”、“会用”都是可能的命题点，我们可以看出，可命题的点还真不少！后面还有一节统计案例，可见，统计的内容得到前所未有的加强，必定会有考题出现，以小题居多，也有可能在解答题中贯穿频率分布直方图、茎叶图、回归分析、独立性检验.

后期复习建议

1. 抓纲务本，落实基本知识和基本技能的学习

从2010、2011、2012年的试卷中不难看出，函数、数列、不等式、三角、立几、解几和概率统计仍然是考查的主要内容，从上面的知识点统计中更是一目了然. 特别是2012年的试题，大多数都是考查对基本知识的理解与掌握. 试题的框架主体仍是考查数学的基础知识和通性通法，如函数的图象与性质；数列的基本性质及应用；不等式的性质与线性规划问题；三角函数的图象与性质；空间图形的识别及线面的位置关系（包括平行、垂直关系，体积等）；圆锥曲线的基本概念、性质及应用，直线与圆锥曲线的位置关系；统计图表及总体估计等问题的基本概念等. 在后期的复习中，这些内容仍然是重中之重. 我们只有夯实这些章节的基础知识，才能从容应对高考.

2. 通法为主，变法为辅，重在培养能力

从最近三年的高考试题可以看出，高考题不追求技巧，重视高中数学的通性通法，倡导举一反三、一题多解和多题一解，努力培养学生“五种能力、两个意识”，即空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 能力的分类和要求与以前有不同，必然要反映在命题中，特别应注意新增加的“数据处理能力”和“应用意识和创新意识”，前者与统计有关，后者与应用问题有关.另外，“推理论证能力”有别于先前四大能力之一的“逻辑思维能力”，逻辑思维能力注重演绎推理，“合情推理”也应引起我们的重视，它可以有效地培养学生的创新意识，这正是新课改大力倡导的.

3. 注意立体几何的命题动向

这三年试题中立体几何题中的图形都不是我们常见的规则图形，它们是组合图形，如何把非规则的图形转化为容易处理的规则图形，是解决这类问题的关键. 在教学中教师要注重培养学生的空间想象能力和推理论证能力，也就是要加强学生用综合法解立体几何题的能力训练.

4. 回归课本，变式训练，提高心理适应能力

高三数学导数及其应用范文第3篇

（奉化市高三数学研讨活动交流材料）

距我省新课改首次高考还有10周时间，“行百里者半九十”，如何在这有限的临考前期拓宽“可行域”、谋求“最大值”，是广大高三教师十分关注的。下面我从研究、落实两个方面谈谈迎考复习的一些想法和建议，与各位同行交流。

一、高考复习要重研究

要想提高复习效率，必须认真做好各方面研究工作，考试大纲、考试说明、命题解析、省教育考试院样卷、课改省市高考试卷及学生情况等，一样都不能少。只有深入研究，才能摸清情况，做到成竹在胸，达到事半功倍的成效。

熟悉考试大纲

考试大纲所列考试内容与以往相比有较大的变化，新增了函数模型及其应用、空间几何体、算法初步、统计、随机数与几何概型、全称量词与存在量词、合情推理与演绎推理等内容，应该注意新增知识点，如三视图、程序框图、函数零点问题等出题可能性较大。还有一些变化，如算法案例、统计案例不考。

细读考试说明

一些教学内容在《考试说明》中没有出现，如二分法、算法语句、算法案例、变量间的相关关系、微积分基本定理、定积分及其简单应用、统计案例等；一些教学内容要求加强，如函数模型及其应用、事件与概率等；还有如双曲线降低了要求，立体几何难度有所下降。

用好命题解析

《命题解析》精点课程标准，解读考试目标、范围与要求，剖析命题指导思想与总体思路，综述试卷特点，解析高考试题，提出迎考建议，分析命题趋势，值得我们认真学习研究。

分析课改省市高考试题

从07、08年的课改省市高考试题看，对高中数学教材各章所涉及的概念、性质、公式、法则、定理都作了较为全面的考查。因此，复习要到位，当然又要注意有所侧重，例如函数、数列、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等都是重点考查对象。

领会样卷的内涵

1．试题题型稳定，突出对主干知识的考查，适当体现对新增内容的考查

与近5年的我省高考试题相比,这份样本试卷仍然结构稳定，合理设置考点，无偏、难、怪题，着重在知识网络的交汇点、基本数学思想方法的交织线和能力层次的交叉区内的命题取向，多视点、多角度、多层次地考查了考生继续学习所应具备的数学素养和潜力。

2．充分考虑文、理科考生的差异，加大了区分力度，更符学情

文 、理科考生在数学学习内容和的数学教学要求均不相同，数学思维方面的水平有差异，新课程中的这一特点更显突出，样本试题较好地关注了这种特点，在文、理考查目的大致相同的情况下，在内容选取、考查方式、综合力度、能力层次等方面都有较好地恰当地区别。如文第22题是在理第21题的题干下，采用降低综合度，大题设多问的方式来进行区分，第1问起点较低，易于动手，各问之间层次分明，难度逐渐加大，有较好的区分度。

3．加大对基本数学思想方法的考查，更有导向

数学《考试大纲》及《课标》明确把数学思想方法归入“三基”的范畴，并确定了一些重要的基本数学思想方法，样卷的试题突出了这方面的考查，注重了通性通法的考查，淡化了解题技巧。

4．根据样卷，我们猜测今年的高考数学卷(浙江卷)有可能会有如下特点：

结构框架稳定，总体难度不变；承老大纲传统，体现课程标准；

贴近教材内容，强化函数思想；注重知识交叉，着眼能力考查；

强弱分别明显，文理要求有别。

另外，省市高考复习研讨会有关资料，也需要我们认真分析研讨，取人之长，补己之短。

二、高考复习更要抓落实

高考复习的研究工作固然重要，但只有根据学生实际，采取有效措施，抓好落实，才能真正显现成效。

加强解题方法的指导

不拘泥于单一的“方法——题目”两点一线，而应寻求最优方法，揭示数学思想．如三角函数的解答题的求解，主要有两种类型：一类是求值问题，首选方程的思想和换元法；另一类是三角函数的图象和性质问题，是先将f(x)化归为f(x)= Asin(ω x+φ )+B的形式，再进一步研究。再如运用韦达定理的解题方法是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的核心方法，其解题步骤是“设”（点的坐标，直线、曲线方程）、“联”（联立方程组）、“消”（消去，得到一元二次方程）、“用”（ 运用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式等）、“判”（ 运用判别式检验、求参数的值或缩小参数的取值范围）。

处理好几个常见问题

1．课堂容量问题：容量宜适中，思维容量宜增大；

2．讲练比例问题：提倡精讲精练，不必面面俱到；

3．发挥学生主体地位问题：一切讲练都要围绕学生展开；

4．讲评的方式方法问题：不必按照试题的先后顺序讲评，可将多套模拟试卷合在一起，按照知识块的划分将相近的试题放在一起进行讲评， 通过同类比较将问题深化，对重点试题进行重点讲评；

5．注意信息反馈：通过练习、检测、学生座谈会、问卷调查等多种方式搜集信息，采取多种形式，提高复习效果。

加强有效训练

数学训练功在平时，要做到运算准确，论证合理、过程完整、层次清晰、表述规范，克服会而不对，对而不全的通病，必须有意识地开展有效训练，包括基础训练、阅读训练、表达训练、计算训练、创意训练等。要加强训练的针对性，明确训练的具体要求。如在表达训练中，可按“基础题详细写，中档题不少写，综合题分段写”进行指导，强化答题准确规范的意识。只有“平时训练像考试”，才能“碰到考试像平时”。

重视反思和纠错环节

引导学生对复习方法与效果经常性进行反思与总结，主动梳理记忆知识点，归纳总结解题方法，及时反思和查漏补缺，做到有错必改，将易错题分门别类，“常回头看看”。如数学样卷(理)18题，第1小题考查倍角公式，第2小题主要考查asinx+bcosx的变形方法，有区间限制的三角函数的最值问题的解法及基本的计算能力。本题为高考试题的基础题，从学生答题情况来看，错误多种多样：有审题不清，有计算出错，有知识遗忘，有方法不熟，也有书写错误。这不得不引起我们的反思，并踏踏实实做好纠错工作。

提炼思想，提高能力

高三数学导数及其应用范文第4篇

因此，《考试说明》中对平面向量部分的要求大都在B级或C级高考试题涵盖选择、填空和解答各个题型，包含易、中、难3个等级本文就2013年各地数学高考中向量型试题的考查特点进行系统的分析，并提出2014年高三向量复习建议

1考查向量的概念、性质及坐标运算仍然是主旋律

如向量的模、向量a在b方向上的投影、向量共线、向量平行与垂直、向量运算等都是重点考查内容.

平面向量数量积是研究向量垂直、平行、向量的夹角、投影的重要途径，是考查的重点此题以命题的形式出现，但考查a・b的运算公式及向量平行的概念 如2013年课标Ⅰ也考了平面向量数量积运算.

此题属于容易题，考查了实数与向量乘积运算 实数与向量乘积是研究向量共线的基础，也是平面向量基本定理的必备内容不难得出，向量a|a|是与a同向的单位向量.

答案选A.

评注此题考查向量的坐标运算及模的几何意义

2平面向量基本定理―― 一个能编网的定理

平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，e1，e2为所有向量的一组基底

这个定理给我们一个提示，即平面内的所有向量都可以用基底来表示，换句话说，平面内的向量可以用基底统一起来于是，基底也就把不同的向量联系在一起，我们可以找到其关系，可以建立方程，向量也因此不再孤立，每个向量都存在于一个系统之中其实，向量的坐标运算，也是将向量利用单位正交基底统一起来，二者都是把参与运算的向量用基底（已知向量）表示出来.

评注之所以选向量AD，AB作为基底，是因为题设中有AD，AB的模和夹角的信息 因此，把向量AD，AB作为基底，根据平面向量基本定理把AC与BE联系起来，再进行运算，这是向量线性运算中常用的策略此题也可以建立直角坐标系，找到向量坐标来运算.

类似的问题，如2013年山东理科第15题，2013年江苏第10题，2013年四川理科第12题，2013年北京理科第13题、文科第14题等都涉及到这类问题.

3向量与函数完美结合

由于向量的数量积为实数，又向量的坐标表示也是代数化的形态，故历年高考题中多次出现以向量形式出现的函数问题，尤其是2013年浙江理科第7题，很是夺人眼球.

分析学生面对此题很茫然，其原因是对条件“对于边AB上任一点P，恒有PB・PC≥P0B・P0C”不理解.

首先，这是一个函数问题，对任一点P而言，PB・PC是变量，即函数f（P）=PB・PC；其次，函数f（P）的最小值为f（P0），且取最小值时的位置是P=P0，这点不难理解，因为求函数最值问题时，都要求出最小值或最大值时的x的取值，或最优解 因此切入点是找函数取最小值时的位置.

评注此题堪称经典，向量为背景，考查函数的最值问题，但题目中没有出现明显的最大值、最小值、取值范围等函数的痕迹.

评注相比之下，浙江理科第17题比第7题函数的痕迹要明显的多入手也显得轻松一些.

评注此题毕竟情况特殊，因此看似麻烦，但函数表示法中有列表法与之相呼应 当然，通过表格或画图，可以观察ai+aj与ck+cl的结果，发现其彼此为相反向量，又由于

a・b=|a|・|b|cos θ，其最小时应为θ=π，且|a|・|b|最大，故只需找到ai+aj中模最长的向量即可.

函数是描述变量之间的依赖关系的重要模型函数是中学数学中最重要的基本概念之一初中学习了函数的描述性概念，解决了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等简单的函数，了解其图像和性质；高中（必修1）学习函数概念、基本性质与基本初等函数；选修系列的导数及其应用的学习，是对函数学习的进一步加强生活中函数可以说无处不在，因此，不只是学习函数知识，还要建立函数意识.

4向量与三角综合

向量是沟通几何、代数、三角的桥梁，向量的夹角与向量的数量积运算公式都离不开角因此，向量与三角部分知识的交汇，使得很多试题都在向量与三角部分进行综合.

评注此类问题中规中矩，是向量与三角的综合问题，但核心还是三角函数的图像和性质问题.

向量是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁除了这些形式的向量试题，在很多问题中，大家都用到向量来解决一些问题，如2012年北京高考解析几何试题，证明三点共线，利用向量证明相当方便何时能用向量解题呢？这就需要我们了解向量的概念和性质、运算，这样就可以有针对性地使用向量解决问题.

高三数学导数及其应用范文第5篇

1 将教材呈现的知识形成知识网络

教师要认真钻研教材，用好教材，将教材呈现的知识构建知识网络.需要注意的是，回归教材并不等于简单重复，而是要站在整体高度审视教材，做到层次分明，结构清晰，让不同领域的知识交汇成为系统.如教材中基本初等函数、导数及其应用是以单独的版块呈现在必修1，选修2-2，但有其内在联系，因此，在复习时将分散在教材中的知识构建知识网络.

利用教材梳理知识要防止走形式，要注意展示知识发生、发展过程，一方面帮助学生查漏补缺，另一方面为学生构建牢固的知识网络，使相关知识在解决数学问题时被有效调用.比如：复习空间垂直位置关系，可以先让学生回顾教材有关知识点，尔后形成知识链条：直线与直线垂直（定义、判定、性质）直线与平面垂直（定义、判定、性质）平面与平面垂直（定义、判定、性质）.

感悟由线线垂直到线面垂直，再到面面垂直的知识发展过程，以及三种垂直关系之间蕴含的结构联系，从而使学生清晰地认识到：欲证面面垂直需找线面垂直，欲证线面垂直需找线线垂直.这种完整的知识网络，具有牵一发而动全身的效能，使得大脑的信息容易被具体情境激活.2 将教材中的特例推广为一般结论

挖掘教材中典型例习题的潜在价值，就是将其推广到一般情形，而得到用途较广的定理、公式，形成相对固定的解题方法，使得一些高考题迎刃而解.当然，我们不能直接将这些“结论和方法”强加给学生，而是引导学生进行探究性学习，从而自然得出“结论和方法”.

比如，（人教高中《数学》A版选修2-1第41页例3）设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-49，求点M的轨迹方程.

高二上新课时已经讲过这道题，因此，在高三复习时，教师首先提出问题1：设点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-b2a2（a>；0，b>；0），求点M的轨迹方程.当学生得到轨迹方程为x2a2+y2b2=1（x≠±a）后，再请学生探究问题2：设点A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）上关于坐标原点O的对称两点，点M在椭圆上且异于点A，B，记直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，问k1k2是否为定值？

引导学生探究：由题意可设点A（x1，y1），B（-x1，-y1），M（x0，y0），则k1k2=y0-y1x0-x1・y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21，因为点A，B，M在椭圆上，所以x21a2+y21b2=1 ① x20a2+y20b2=1 ②，①-②并化简得：y20-y21x20-x21=-b2a2，则k1k2=-b2a2为定值.对于双曲线有类似结论.

总结得定理1：设点A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）上关于坐标原点O的对称两点，点M在椭圆上且异于点A，B，记直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-b2a2.

例1 （2011年高考数学江苏卷第18题）在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆x24+y22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

（Ⅰ）（Ⅱ）略

（Ⅲ）对任意k>；0，求证：PAPB.

证明 由题意可设点P（x0，y0），A（-x0，-y0），B（x1，y1）.记直线BA，BP的斜率分别为k1，k2，由定理1得k1k2=-12，因为点C（x0，0），所以k1=y02x0，则k2=-x0y0，又k=y0x0，故kk2=-1，从而PAPB.

又如，利用课本介绍的“点差法”很容易得到定理2：直线PQ与椭圆x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）相交于P，Q两点，线段PQ中点为A，O为坐标原点，记直线PQ，OA的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-b2a2，对于双曲线有类似结论.

例2 （2014年高考数学江西卷理科第15题）过点M（1，1）作斜率为-12的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 .

解 由题意得直线OM的斜率kOM=1，又直线AB的斜率为-12，则由定理2得1×（-12）=-b2a2，即a2=2b2=2a2-2c2，则a2=2c2，故椭圆离心率e=22.

对于选择题和填空题，我们所得到的“结论和方法”可以直接使用，对于解答题，不宜直接使用，而应把定理推导重写一遍，既使这样也比常规方法简单的多.教学实践证明，对教材中一些典型例题和习题的结论进行推广，既可以培养学生的探究能力，又可以提高学生高考数学成绩.3 将通法提升为思想方法

提升学生解题能力是高三数学复习的重要任务，当前，中学所流行的做法是让学生做大量的练习题，企图用题海战术来提升学生解题能力.多年高考实践表明，平时练过多次的题目，高考只要稍有改造，由于学生没有把握该题型的数学本质，还是败下阵来.因此，题海战术是不可取的.正确的做法是将教材中解决一类问题的常规做法即通法，提升为数学思想方法，学生就可以用数学思想方法解决各种数学问题，真正做到以不变应万变.比如，解答绝对值问题的常用方法就是要分类讨论去掉绝对值符号，再根据题目的其它条件继续解题.

例3 （2014年高考数学浙江卷理科第22题）已知函数fx=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.

解 对于第（Ⅰ）问，由于函数fx含有绝对值，就必须分类讨论去掉绝对值，得分段函数，再求fx在-1，1上的最大值和最小值.对第（Ⅱ）问只要利用第（Ⅰ）问求出的M（a），m（a），问题就迎刃而解了.

（Ⅰ）当a≤-1时，f（x）=x3+3x-3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2+3>；0，所以f（x）是[-1，1]上的增函数，则M（a）=4-3a，m（a）=-4-3a，故M（a）-m（a）=8.

当a≥1时，f（x）=x3-3x+3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）≤0，所以f（x）是[-1，1]上的减函数，则M（a）=2+3a，m（a）=-2+3a，故M（a）-m（a）=4.

当-1<；a<；1时，f（x）=x3+3x-3a，a≤x≤1，

x3-3x+3a，-1≤x≤a.由此可知，f（x）是[a，1]上的增函数，且在[a，1]上的最大值为4-3a，最小值为a3；f（x）是[-1，a]上的减函数，且在[-1，a]上的最大值为2+3a，最小值为a3；则当-1<；a≤13时，M（a）=4-3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3-3a+4.

当13<；a≤1时，M（a）=2+3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3+3a+2.综上得：

M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1<；a≤13，

-a3+3a+2，13<；a<；1，

4，a≥1.

（Ⅱ）若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立-2≤f（x）+b≤2对x∈[-1，1]恒成立M（a）+b≤2，

m（a）+b≥-2.于是根据（Ⅰ）所求出的M（a），m（a），并结合有关知识易得3a+b的取值范围是[-2，0].