高一函数的单调性

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高一函数的单调性范文第1篇

1.问题的提出及解答

函数 在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数吗？

解：函数 在（-∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数。因为，取x1∈（-∞，0）， x2∈（0，+∞），例如x1=-1，x2=1，则有f（x1）

2.对问题的解答的不同看法

但对上述解答的正确与否却有不同的看法，有的说此解法对，有的则说不对。对与不对其实并不是上述解答本身对还是错了，而是反应了不同的人对函数单调性定义的理解不同。

2.1 高中数学课本中函数单调性的定义

一般地，设函数f（x）的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f（x2）那么就说f（x）在区间D上是减函数（decreasing function）.[1]

2.2 对高中数学课本中函数单调性定义的不同看法

有人认为上述解法不对，理由是：

函数的单调性是针对函数定义域中某一区间而言的，而（-∞，0）∪（0，+∞）根本不是一个区间。并且运用下面定理再做强调。

定理 实直线R上至少含有两点的一个集E为连通集，当且仅当E是一个区间。 [2]

由此可以看出，上述观点紧扣函数单调性的定义中“对于定义域I内某个区间D上”这几个字，认为文章一开始提的问题前提不真，当然解答就错了。

而有人则认为上述解法是正确的，认为：

函数 在（-∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数是因为其不满足函数单调性定义中的“当x1

“课本定义使用了‘某个区间D’，没有考虑到定义域的其他情形，显然是一种不周全的定义。比如对于自变量离散变化的情形（在数列中），或定义域为并集的情形等。如果把定义中的‘某个区间D’改为‘数集D’，就能克服以上缺陷和不足，就比较准确和科学了。”[3]

3.高等数学中函数单调性的定义

《数学分析》中这样定义函数的单调性：

定义 函数f（x）在数集A上有定义。如果对A上任意x1与x2，且x1

f（x1） f（x2）），

称函数f（x）在A上严格增加（或严格减少）。如果上述不等式改为

f（x1）≤f（x2）（或f（x1）≥f（x2）），

称函数f（x）在A上单调增加（或单调减少）。

函数f（x）在A上严格增加、严格减少与单调增加、单调减少，统称函数f（x）在A上单调。严格增加与严格减少统称严格单调。如果A是区间，此区间称为函数f（x）的单调区间。[4]

4.笔者的看法

通过对高中数学课本中函数单调性的定义和高等数学中函数单调性定义的比较可以看出，高等数学中函数单调性的定义要比高中数学课本中函数单调性的定义宽泛。由此看来，对文中问题解答的不同看法折射出解答者的不同数学观。第一种观点紧扣高中数学课本中函数单调性的定义的前提条件。这种解答是严谨的，很有说服力的。第二种观点是根据高等数学中函数单调性的定义来解答问题的，当然也是对的，但是不能说高中数学课本中函数单调性的定义不严谨、“不周全”。实际上，高中数学课本中函数单调性的定义是很好的，并且很美，美在其简洁。试想一下，对于刚上高中抽象思维还很弱的高一学生来说，并不容易理解这个概念，困难就在它的简洁上，一简洁就抽象。如果再“周全”一些，恐怕学生就更想不清楚了。一个‘某个区间D上’，学生一下子“看见了”，头脑中有形了。在抽象的概念中却见到了形，以形助数，帮助理解，这难道不好吗？这太好了，对高一学生来说真是一件幸事。

另外，高中数学课本中函数单调性的这种定义，已抓住了主要对象，对一些个别函数的研究实际无大碍，比如函数y=f（x），如果它在区间[a，b]和[c，d]（b≤c）上均是单调递增（减）的，且 f（b）≤f（c）[f（b）≥f（c）]时，函数y=f（x）在区间[a，b]∪[c，d]上当然是单调递增（减）的。但是写成函数y=f（x）在区间[a，b]，[c，d]上是单调递增（减）的也没错。再比如对递增（递减）数列的研究，尤其是运用一次函数和二次函数研究等差数列及和的递增（递减）性，其考察的主要目的是函数思想在数列中的运用，而非函数单调性本身。

等到高等数学里把函数的单调性定义完善了，严谨了，再回过头来看这些问题，则已显得不重要了，甚至微不足道了。所以，数学并不是“处处都是严谨的”，“并不是处处都能严谨的”。根据学生的接受能力，教不那么严谨的数学，这才是活的数学。丢掉细枝末节，抓住概念的本质、核心，这才是正确的数学观。

参考文献

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学必修1A版[M].北京：人民教育出版社，2007

[2]吴有昌.（-∞，0）∪（0，+ ∞）是一个区间吗？[J].中学数学教学参考（上），2008，4

高一函数的单调性范文第2篇

1. 判断单调性和奇偶性

（1）判断单调性。

根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

例1.如果奇函数f（x） 在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那么f（x）在区间[-7，-3] 上是

A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为

C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为

分析：画出满足题意的示意图，易知选B。

（2）判断奇偶性。

根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f（x） 与f（-x） 的关系。

例2.若函数y=f（x）（f（x）≠0） 与y=-f（x） 的图象关于原点对称，判断：函数y=f（x）是什么函数。

解：设y=f（x） 图象上任意一点为P（x0，y0 ）

y=f（x）与y=-f（x） 的图象关于原点对称，

P（x0，y0 ）关于原点的对称点（-x0，-y0 ） 在y=-f（x） 的图象上，

-y0=-f（-x0）

y0=f（-x0）

又 y0=-f（x0）

f（-x0）=f（x0）

即对于函数定义域上的任意x都有f（-x） =f（x），所以y=f（x） 是偶函数。

2. 证明单调性和奇偶性

（1）证明单调性。

例3.已知函数f（x）=g（x）-1g（x）+1 ，且f（x），g（x）定义域都是R，且g（x）>0， g（1） =2，g（x） 是增函数. g（m） · g（n）= g（m+n）（m、n∈R）

求证： f（x）是R上的增函数

解：设x1>x2

g（x）是R上的增函数， 且g（x）>0

g（x1） > g（x2） >0

g（x1）+1 > g（x2）+1 >0

2g（x2）+1 > 2g（x1）+1 >0

2g（x2）+1 - 2g（x1）+1 >0

f（x1）- f（x2）=g（x1）-1g（x1）+1 - g（x2）-1g（x2）+1 =1- 2g（x1）+1-（1- 2g（x2）+1） = 2g（x2）+1- 2g（x1）+1>0

f（x1） >f（x2）

f（x）是R上的增函数

（2）证明奇偶性。

例4.已知f（x） 的定义域为R，且对任意实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y） ，求证： f（x）是偶函数。

分析：在 f（xy）=f（x）+f（y） 中，令x=y=1 ，

得 f（1）=f（1）+f（1） =>f（1）=0

令x=y=-1 ，得f（1）=f（-1）+f（-1）=>f（-1）=0

于是f（-x）=f（-1.x） =f（-1）+f（x）=f（x）

故f（x） 是偶函数。

3. 求参数范围

这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例5.已知f（x） 是定义在（-1，1 ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f（a-2）-f（4-a2）

解： f（x）是偶函数，且在（0，1）上是增函数，

f（x）在（-1，0） 上是减函数，

由-1

（1）当a=2 时，

f（a-2）=f（4-a2）=f（0），不等式不成立。

（2）当 3

f（a-2）

解之得， 3

（3）当2

f（a-2）

解之得，2

综上所述，所求a 的取值范围是（ 3，2）Y（2， 5） 。

4. 不等式

（1）解不等式。这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。

（2）讨论不等式的解。求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

5. 比较函数值大小

利用函数的奇偶性、对称性等性质，将自变量转化到函数的单调区间内，然后，利用其单调性使问题获解。

6. 综合问题求解

解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用；二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ f”前的“负号”；三是利用函数单调性去掉函数符号“f ”。

高一函数的单调性范文第3篇

关键词：“三自主”教学；函数单调性；教学设计

教学背景

函数的单调性是函数的一个重要性质，函数单调性的学习对于今后学习函数其他性质以及研究基本初等函数具有重要意义，在其他方面也有着广泛的应用，在高考中有着重要地位.在前几届的高一教学中，对于函数的单调性，笔者都是按照传统模式上课的，教师引入――提问――讲解――总结，学生思考――回答――练习――小结. 但是实践下来，学生对单调性概念中的“任意”两字理解还是不深刻，一些易错的地方总是要出错，如反比例函数在定义域内为什么不单调，定义法证明的步骤不规范、不严谨等. 究其原因有两点：一是学生上课前没有预习，缺少对概念的基本了解，学生被教师牵着鼻子走，没有自己的见解和思想. 二是虽然教师在讲解时作了适当的引入和铺垫，但由于课堂时间的有限性，还是导致学生参与的太少，因此无法深入理解概念. 本文是笔者在函数单调性概念课开展“三自主”教学的一次成功尝试. “三自主”模式是为探索适合我校实际，为提高学生学业成绩和自主学习能力而开展和实施的一种教学模式. “三自主”即课前自主预习、课内自主探讨交流、课后自主练习. “三自主”模式是指学生学习过程中的三个环节：课前预习环节让学生自主预习，完成学案中的问题导引和尝试习题；课内自主探讨交流环节是指在学生完成学案的基础上，师生探讨交流，教师进行有针对性的讲授，然后完成课内过关练习，教师当场组织校对答案，及时反馈课堂教学效果；课后自主练习环节是在完成课堂教学任务后，学生自主完成教师精心设计的课外提高训练.

下面就这一课时的问题导引和尝试练习的编制及教学探讨笔者的设计思路及看法.

学案的设计

问题导引和尝试练习是“三自主”数学学案的两个重要模块，它们的编制要围绕教学目标的达成而设计. 现对教学目标作如下分析：（1）知识与技能：理解函数的单调性、单调区间的概念，并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用定义证明简单函数的单调性，同时体会数形结合的思想方法.（2）过程与方法：通过学生自主预习且完成学案，引导学生举出实例，画出函数的图象，观察、猜想、操作、验证、抽象、概括，形成概念，通过探讨、交流、体验，由直观感知到符号表示、由具体到抽象、由特殊到一般的认知规律，经历和感悟定义形成及数学知识的发生、发展过程. （3）情感态度与价值观：经历自主学习、探讨交流的过程，体验数学的思考和研究问题的方式，提升数学阅读理解能力及数学素养，培养勇于探索、求真务实的科学自主精神. 围绕这个教学目标，笔者编制了如下的问题导引和尝试练习：

1. 问题导引的设计

（1）函数的表示法有哪些？你能用图象法举出函数的几个具体的生活实例，并结合图象说明函数的变化规律吗？

设计意图：复习上一节内容的同时，通过具体的生活实例让学生观察函数图象的上升、下降，使其形成对函数增减性的直观感知，认识到研究函数增减性的实际意义.

（2）试用图象法说明在定义域内函数y=x2随x的增大，相应的y的值如何变化？

设计意图：借助熟悉的二次函数图象，引导学生归纳出函数图象在定义域内不总是上升或下降，进而提问学生如何更准确、更具体地刻画图象的有升有降，让学生体会引入区间来刻画升降的必要性，说明函数的增减性是相对于某一具体区间而言的.

（3）试用列表法分析和判断f（x）=x2的增减性.

这种分析方法完整和严密吗？为什么？

设计意图：引导学生把从图象上得到的单调性变化规律转化到用数学关系来表述. 由直观到抽象，揭示知识的生成过程；使学生认识到自变量取值的无限性，即自变量是无法用表格一一列举完全的，激发学生的寻找有效证明方法的兴趣；从而引导学生想到能代替无限取值的两个任意自变量x1、x2，进而去比较f（x1）与f（x2）的大小. 从而突破了教学难点，让学生明白增减性定义形成的必然性和价值.

（4）试用解析法，即代数推理的方法，证明f（x）=x2在区间［0，+∞）上f（x）随x的增大而增大？

设计意图：让学生体会判断函数单调性与证明函数单调性的差别，尝试用定义法去证明单调性，虽然步骤不完整，但因为有了事先对教材的阅读，学生基本上都能想到此法. 同时引导学生得出比较两数大小的基本方法：作差法.为用定义法描述和证明单调性作了第一次铺垫.

（5）增函数（减函数）的定义怎样？请指出哪些是关键词，并说明这些关键词的作用与含义. 定义中“当x1

设计意图：促成学生对概念的深刻理解，引导学生去探究概念的本质，达到对概念的完整认识，建立斜率与导数的几何形式的联系. 特别要引导学生理解以下两方面；一是定义表述中强调了给定区间，就是说函数的单调性是相对于某一具体区间而言的；二是定义表述中的“任意”x1、x2，隐含了两方面的含义：第一x1，x2必须是同一个单调区间上的两个自变量；第二x1、x2在同一个单调区间上必须具有任意性，否则定义将不具备充分性.

（6）什么是函数的单调性？什么是单调区间？单调性与增减性有什么联系？

设计意图：为学生理解相关概念提供思考的问题，引导学生在自主预习中作深入思考，理解概念的本质. 单调性分为增函数和减函数两种情况，若一个函数在某区间上它既有增又有减，那它在该区间上就既不是增函数也不是减函数，即在这个区间上不单调；为了能局部地描述图象特征，因此引入了单调区间的概念，也就是说确定在哪个范围是增的，哪个范围是减的，因此函数的单调性是针对某一范围来讲的.

（7）仔细阅读书上第29页例2，体会函数单调性在物理学中的应用，并总结用定义法证明单调性的步骤.

设计意图：掌握证明函数单调性的方法及基本步骤，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事，将代数证明程序化、符号化，同时体会单调性在实际问题中的应用，呼应了问题1研究函数单调性的实际意义.

2. 尝试练习的设计

例1 如图1所示，此函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________.

设计意图：能根据函数的图象指出单调性，写出单调区间.

例2 填表

设计意图：以表格形式呈现有益于掌握这三个基本初等函数的单调性，同时体会定义域是研究单调性的前提，单调区间一定是定义域的子集. 其次二次函数和反比例函数是学好单调性的很好载体，把这两个函数弄清楚了，以后其他的函数也就没问题了. 引导学生用两个很形象的语句来描述这两个函数单调性的特征，二次函数的特征是“一国两制”，同一个函数两个不同的单调性，这里对于反比例函数单调性组织学生讨论，最终得出其特征是“军阀割据”，尽管在（－∞，0），（0，+∞）上都是增或减的，但它们各自为营，互相独立，不能将区间合并，同时总结如何用反例否定函数的增减性.

例3 已知函数f（x）=x+（x≠0），证明函数在［1，+∞）是增函数.

设计意图：通过学生板演，暴露学生的错误及表达的不规范性，然后让学生自我纠错，完善解题步骤. 最后师生总结书写的注意点及解题中关键步骤“变形”的目标和基本技能，形成“取值―作差―变形―定号―判断”这一基本步骤.

例4 已知函数f（x）=ax2－2x+3在（－∞，3）上为单调函数，求a的取值范围.

设计意图：对单调性的拓展与延伸，使学生理解“在某个区间上具有单调性”与“函数的单调区间是某个区间”这是两个不同的概念，前者是后者的子集；同时巩固一次与二次函数的单调性知识，渗透分类讨论的思想：其一是对二次项系数是等于0、大于0还是小于0的讨论，其二对单调函数要分成单调增和单调减两种情况考虑.

“函数单调性”的“三自主”教学反思

1. 开展“课内探讨交流”前，教师需要充分了解学情

“三自主”模式提出把课堂还给学生，表面上好像解放了教师，其实不然. 教师需要对学生及其学习的知识点的情况有很高的熟悉程度，课前需要对学案进行检查和批阅，以便教师更好地在课堂中起启发、引领的作用. 譬如例4的解答，在检查学案时发现学生的解答条理不清，不会分类讨论，其次还是用单调性定义在证明. 这说明学生不知道一次函数和二次函数单调性的结论可以直接运用. 此时就需要教师及时点拨、引导和总结. 同时，由于在课堂上可能出现更多、更复杂的一些即兴情况，这就需要教师站得更高，根据实际及时来调整课堂.

2. 教师要设计“有效”的问题导引和尝试练习

张奠宙教授提出：“教师的责任在于把写在教科书上的冰冷的学术形态，恢复为学生易于接受的火热思考的教育形态” .学案中的问题导引和尝试练习是学生的指路明灯，它起到指引学生进行自主预习、促进学生由浅入深理解概念及学会运用概念的作用，问题导引和尝试练习编制的质量好坏直接关系到“三自主”上课的成败. “三自主”教学模式基于问题导引和尝试练习的定向设计，使得学生易于接受和理解教科书上的冰冷的学术形态. 同时，学生在完成学案和探讨交流中暴露出来的问题， 使得教师易于捕捉学生存在的问题，从而进行“有的放矢”的教学，以致提高课堂教学的有效性. 最关键的是，“三自主”教学以学生自主预习为前提，以学生探讨交流为重心，易于培养学生良好的自学习惯和提高学生的自主能力，最终达成培养学生分析问题、解决问题和总结反思能力的目的.

高一函数的单调性范文第4篇

关键词：高中数学 课堂教学 先学后导

一、前言

谈到高中数学学习，学生感受最深的是：一听就懂，一做就不会。这反映出两个事实：一是教师讲得非常细致，非常到位，非常明白；二是学生只是听懂了，没有理解或掌握。正是因为教师误解了“以人为本”的本义，过于主动和热情，越俎代庖，剥夺了学生独立自主的思考和亲自动手的体验，剥夺了学生成长的必然历练，玩忽了自己的“导师”职守，导致教学的低效。走出低效困境，要结合“先学后导，巩固提高”教学模式校本研究实践，再次审视自己的“导师”角色。

二、关于“先学后导，巩固提高”教学模式

实施高中课堂“先学后导，巩固提高”教学模式的实验，要求教师设计学案，学生根据目标和重点，个人自学后组内讨论、交流，教师针对学生的展示反馈进行导学点拨――指导评价、辅导纠错、引导深化。“学”与“导”不是严格孤立的，“学”与“导”也非有严格“先”“后”的。学生“先学”的学案在设计时就渗透了教师的“导”；经过“后导”中评价点拨，学生“学”的内容层次和质量又有进一步的提升。“先学”和“后导”在教学模式中是一个有机结合的整体，既反映课堂教学程序中步骤的先后，也反映教学双方角色地位的主次：学生是课堂的主人，是学习的主体；教师是组织者、引导者、参与者。

三、对于数学教学过程中“导”的一些尝试和思考

“先学后导，巩固提高”模式的教学环节没有大的变化，环节内容却有本质的调整。在此我着重谈谈各环节中“导”的做法：

（一）新授内容导切入――导出情趣味，激发能动性

生动的课堂是众人演绎出来的，所以教师在教学的过程中，根据教学内容的特点和学生实际巧设引人入胜的开头，激发学生的能动性，引起学生的共鸣，课堂教学才有生动有效。

例如：我在教学“推理与证明（第一课时）”时，设计了一个“故事续尾”的情节，学生一下子热情高涨，踊跃发言，给故事续了不少精美的结局。这些结局既在意料之外，又在情理之中。我在肯定他们的出色想象力和表达能力的同时，引导学生结合他们刚才的体验归纳出了什么是“合情推理”。

（二）理解内容导阅读――有理解就有质疑，解决疑惑才能发展

“质疑”是自主探究促进成长与发展的内驱力。学生心中有了疑惑，才会促使他们提出问题，进而思考，解除疑团，获得新知。

例如：在教学函数的单调性时，务必指导学生对照课本逐字逐句地阅读函数单调性的定义，设计问题引导学生，理解单调性是函数的局部性质，“讨论函数单调性离不开区间，求函数单调区间不能脱离定义域”。因为，离开定义域求函数单调区间是学生易犯而且常犯的错误。如求函数f（x）=lnx-x2+3x-2的单调区间，多数学生根本不习惯考虑函数的定义域是（0，+∝）。

三、培养技能导思路――指导思维方法，培养良好思维品质

学数学的一个重要意义在于通过学习和应用数学，培养良好的思维品质。合理设计问题，训练学生思考和联想，能有效培养思维能力，教给学生科学的思维方法。

例如：在教学“导数在研究函数性质中的应用”相关内容时，选择了这样一道例题：“已知函数 （c是常数）。（1）f（x）取得极小值时，求实数x的值；（2）当-1≤x≤2时，若不等式f（x）≤c2恒成立，求的c取值范围”。

这种题型考查学生逆向应用“导数与函数单调性的关系”、“导数与函数极值、最值关系”等知识点，属于难度较大的题目。对于题中第（1）问，相信学生可以解决；对于第（2）问就不敢保证了，因为思维上阻结了一个坎：不知往哪个方向联想？思维的空间太广，太乏，难了。具体说来就是，它难在如何将“f（x）≤c2”转化成关于“c”的不等式，依据什么来转化？从哪个方向来转化？这就需要教师给学生搭上思维的大桥。搭桥不能太直接，太直接失去训练的意义，达不到教学的目的。怎样搭呢？更改问题，或者补设问题，分解难点，通过问题设计的变化，引导学生的思维方向，让它接近学生的最近发展区，也就是说要给学生一个建立思维之桥的桥礅。比如，把上题中第（2）问改为第（3）问，在第（1）、（3）问中补充插入第（2）问：“求在[-1，2]内函数f（x）的最大值；”经过这般处理，一大部分学生很快就知道了教师的用意，思维障碍随即解决：借助问题（2），将问题（3）中变化的抽象的“f（x）”变成了具体的确定的“f（x）max”。

四、积累知识导学法――培养理性思考，巧安排会学习

教师教学往往重引导思考轻列式计算，重分析提示轻板书讲解，重学生自主轻越俎代庖。因此，学生科学理性的学习方法，应该是在课堂上保持活跃的思维和积极的态度，学会聆听，善于思索。关注“教师”对问题与条件间联系的分析，领悟分析问题的方法；效仿“教师”解题的格式，养成规范作业的习惯（这里的“教师”也可能是身边的同学）。多想多听简记：记要点、关键点、变化点，尤其记自己想不到的巧妙点。不滥记，滥记耽误时间，得不偿失。学而不思则罔，思而不学则殆，不能做“被动学习者”。

五、巩固延伸导训练――引导科学练习，激发持续热情

练习是课堂教学的重要组成部分，是学生理解新知，运用新知，形成技能的基本活动方式，是建立知识与能力的桥梁的重要手段。只有科学配置练习，减轻学生负担，才能激发学生保持持续的学习热情。如何引导学生乐意练习、认真练习、有效练习，也成为我备课的内容。近几年，我在高一坚持“每日十小题”、高二坚持“每日一高考大题”的尝试。小题以选择题、填空题为主，着力课本内容的熟悉与理解，突出基础训练，难度不大，耗时少，正适合学科最多功课最重的高一这些初学对象；高考题综合性强，以一抵十，每题一般有2-3小问，梯度分明，各层次学生都有动手机会，尤其是高考大题的前三四题，是考生主要得分题，相关内容的题型可以反复训练。每日一题，题量不大但题目质量高，也正适合处于由培养双基的高一向高三综合提高突出能力培养过渡阶段的高二学生，所以学生较为喜欢，效果也不错。

由此可见，在教学中做好各环节的引导和指导，围绕“导”字下功夫，我们的课堂教学效果也会大有改善的。这方面我们不妨作进一步的研究和探讨。

参考文献

[1]李明高.有效教的五大元素.课程・教材・教法.2009.4

高一函数的单调性范文第5篇

一、营造和谐的课堂学习氛围是促进学生学习的前提

当前，一线教师普遍认同学生在欢乐、轻松的环境下思维最活跃，学习效果最好.所以，教师首先要做到了解学生需求，了解学生智力状况，了解学生知识基础，了解学生性格特点等等信息.同时教师还要有较好的掌控学生情绪的能力，善于运用语言、肢体动作、目光、教学媒体调节授课进度.比如学生在学习“数列概念”的时候，我用了一个简单的问题：“前10个自然数由小到大排列与由大到小排列一样吗？”学生回答很踊跃，观点也有不同.而我采取的做法是让同学先发言，阐明观点，最后当学生无话可说时我再讲解，学生这时注意力高度集中，学习效果也好.当然也达到了教育目的.

二、提出难度适中的问题是培养学生创新精神的基础

数学教学是以问题为载体训练学生思维和培养学生能力的，因此，在教学过程中教师一定要提出客观符合学生当前特点的问题.仍以一节数学课为例，高一学生在最初学习“函数单调性”这一内容的时候，教师提出问题：“复合函数单调性如何判断？”显然学生很难解决.“常数函数的单调性怎样？”又过于简单.如果教师结合高一学生的知识基础能够提出“一次函数单调性受什么因素制约？”“二次函数的单调性如何阐述？”“指数函数是增函数吗？”等问题，不仅学生能够解决，学生也乐于思考，并在获得成功体验的同时提高了思维的主动性，自然提高了解决问题的能力.

三、教师较强的业务能力是实现学生创新能力的保证

学高为师，身正为范，一名优秀的教师要实现培养出优秀学生的目标，教师首先要有较高的学识，其次还要有较强的驾驭课堂的能力.

很难想象一位业务能力不高的老师如何才能培养出高素质的学生.给学生一碗水教师就要有一桶水甚至长流水，尤其高中数学教师不仅要精通本学科知识，还要了解其他学科知识，这样才会在遇到问题时特别是遇到难题时应对自如，化解危机，率先垂范，给学生以榜样的力量，激发学生亲其师乐其道.比如在学生学习立体几何中“二面角的平面角”概念时，学生提出：“作二面角的平面角有规律吗？”教师如果仅举几个例子恐怕学生不会信服，但是如果教师能将“平面角的大小和位置无关”解释清楚，再用“三垂线定理”说明就会收到较好效果.可见教师的业务能力完全可以把复杂的事情变简单，也可以把简单的事情变复杂.

四、及时复习巩固是提高学生创新精神和实践能力的途径

根据记忆规律，无论教师讲解过程中多么精彩，学生理解多么透彻，如不及时复习巩固，短时间内学生会忘掉一半知识，能力也会下降，因此无论课堂、课后，有经验的教师都会有意识对学生进行训练，可通过当堂检测、课后练习、作业、测试的办法对学生所学知识进行跟踪监测，发现问题及时处理.比如“圆锥曲线”的学习过程中，教师除了将定义、方程、性质讲解清楚外，还要设计当堂测试题5～10题，课后练习题10～15题，对学生所学进行检测，真正掌握学生的学习情况及解决问题的能力情况，从而有针对性地指导学生，调整授课方式和授课节奏，提高效率，提高学生能力.

五、大型考试是检验和推动学生能力提高的助推器

学生在学习过程中会经历不同的考试，小到测验，大到期中期末考试、全国竞赛等，形形的考试对学生心理都会产生影响，它的积极意义在于不仅检测学生所学，也能促进学生反思和提高.比如期中考试，无论是考前、考中还是考后，大多数学生都会积极应对，积极思考，总结规律，无形之中提升了学生的能力，有经验的教师做到考前动员、考后总结更能起到推波助澜、画龙点睛的作用.因此高中学生参加的所有大型考试对学生实践能力的培养和提高起到了助推作用.

六、好的学习方法和思维方式是实现创新能力的捷径