运筹学两阶段法

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运筹学两阶段法范文第1篇

关键词:管理运筹学;教学体系;本科生;理论教学;实验教学

中图分类号:G423 文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)11-0244-03

引言

目前,各高校经济管理等文科类专业大都将《管理运筹学》作为专业的主干技术基础课程。通过该门课程的学习,使学生掌握运筹学主要分支的基本概念、基本模型与求解模型的基本方法,重点是对各种模型与方法的运用。

在多年的运筹学教学实践过程中,我们发现,大部分文理兼招而且文科学生占多数的经济管理等文科类专业的本科学生,在学习运筹学课程中的理论证明、繁复的数学推导和复杂的运筹学算法等知识时感到非常吃力,自学起来更加费力,尤其是在遇到规模稍大的实际管理问题时,无法灵活运用所学知识和有效的建模、求解工具去解决。另外,现有的有关运筹学方面的教材内容多、理论性强,需要的教学课时量大,48学时或64学时的课堂教学无法完成全部的教学内容。鉴于此,我们尝试从实用的角度,针对文科学生的特点,结合自己的教学实践,提出一套适合文科类本科生的理论教学体系。该体系注重方法与应用的教学,回避复杂的理论证明和繁复的公式推导,有效控制教学所需学时数,将运筹学的建模方法、应用实例和LINGO软件计算有机地结合起来,为经济管理等文科类本科生《管理运筹学》课程的教与学提供参考。

一、教学体系及学时分配

《管理运筹学》课程所涵盖的范围非常广,包括运筹学所涉及到管理问题的各个领域,如线性规划、非线性规划、动态规划、对策论、决策论、图论、优化论和预测论等各个领域。其教学内容包括以上各领域的基本概念、理论方法、数学模型的建立、求解算法及模型的应用等多个方面。对于经济管理等文科类专业本科生来说,课程的教学学时是有限的,在教学中对以上的教学内容必须有所取舍,不可能涉及到所有的方面内容。根据我们多年实际教学经验以及各高校的教学大纲,我们认为,对于文科类本科生来说,《管理运筹学》的教学内容大体上应该包括线性规划及其对偶问题、整数规划与运输问题、动态规划、排队论、存储论、图论、决策与对策等基本内容,为他们了解运筹学的理论、方法,解决日常的基本经济管理问题,或者进入更高层次的学习奠定基础。

在我们的实际教学过程中,对于48学时的课堂教学,安排的教学内容和各内容的教学学时分配如图1所示。

对于64学时的课堂教学,除了要完成图1中所包括的线性规划、整数规划与运输问题、动态规划、图论与网络计划以及决策分析等教学内容外,还安排了排队论和存储论两个分支的理论教学以及8个学时的上机实验,这部分的内容及学时分配如图2所示。

为了提高学生解决实际问题的能力,可以通过压缩整数规划与运输问题、动态规划等部分的理论教学学时,从而增加上机实验学时数。尤其是当总教学学时只有48学时时,我们在教学过程中是通过压缩动态规划等教学内容的学时,而将相关的建模和模型求解方面的内容放在了实验部分,从而达到增加实验学时的目的,这样做往往比仅进行理论教学的教学效果更好。

二、教学内容设计

根据以上的教学学时分配,以高等教育出版社出版的《实用管理运筹学》教材(见参考文献1)为基础,并根据多年的教学实践积累,我们对线性规划等7个运筹学分支以及上机实验教学的具体教学内容进行设计。

1.线性规划

此部分包括线性规划及其对偶问题、灵敏度分析和目标规划三个部分内容,总学时16,主要内容框架如图3所示。

从最常见也是最简单的制定生产计划方案案例入手,引出线性规划的基本概念和模型的一般形式,为了得到初始案例的最优解即最优的生产计划方案,必然涉及到线性规划模型的求解,进而介绍图解法和单纯形法,在单纯形法基础上,介绍非标准线性规划模型的标准化方法以及大M法和两阶段法。以上内容是本部分的重点和难点,教学学时分配相对较多,大概需要6-8个学时左右。

线性规划模型的建模及求解技术是学好《管理运筹学》的基础,因此还需要重点介绍如何建立线性规划模型,这需要花费2-4个学时的时间讲解诸如资源的合理利用、生产组织与计划、合理下料、作物布局等几类常见问题的建模方法,对于所建大型模型,利用单纯形法人工求解已很难进行,因此可以在此时给学生介绍LINGO软件的基本知识,并让学生能够利用LINGO软件解决较简单的线性规划模型。

通常的教材均将目标规划单独提出并放在线性规划及其对偶问题之后,在教学过程中,我们发现,在介绍线性规划建模方法之后就引出目标规划内容,学生能够更好地理解,学起来也更轻松,因此,建议在教学内容的先后顺序上能将目标规划提到对偶问题及灵敏度分析之前。

在讲解对偶问题的时候尤其需要注意让学生理解对偶问题与原问题的关系、对偶价格的经济含义以及如何在线性规划原问题的最终单纯形表中找出对偶价格和对偶问题的最优解。在灵敏度分析中,重点介绍目标函数的价值系数以及约束条件右端项变化时如何进行分析。LINGO软件灵敏度分析方法也是非常重要的内容,在教学学时允许的情况下有必要进行介绍。如果教学学时不够,可以放在上机实验部分进行讲解。

2.整数规划与运输问题

该部分包括整数规划、运输问题和指派问题三部分,总学时10,主要内容框架如图4所示。

整数规划相对比较简单,安排2学时的理论教学,重点介绍分支定界法和割平面法的求解思想和步骤。运输问题和指派问题数学模型的建立方法是本部分的核心内容,重点介绍求解平衡运输问题的表上作业法和产销不平衡运输问题转化为平衡运输问题的方法。我们在实际教学中发现,学生对求解指派问题的匈牙利方法理解不透,在考试的时候得分率相对较低,建议在教学时仅对匈牙利法做简单的介绍,指派问题的求解仍然采用表上作业法。

3.动态规划

从现实生活中的实际问题入手,介绍动态规划的基本概念,重点介绍最优化原理。根据最优化原理,提出状态转移方程的建立方法,利用最短路问题的求解过程介绍动态规划方法的基本思想,并解决资源分配问题、背包问题和排序问题。这部分的内容概念较多,尤其是最优化原理,学生不太容易理解,教师可以在具体介绍最短路问题求解过程中,让学生总结得出动态规划方法的基本思想。在我们的实际教学过程中一般利用4-6个学时完成此部分的理论教学,可以节省出2-4个学时以补充上机实验学时的不足。

4.图论与网络计划

图论与网络计划的总学时为10学时。该部分的内容较多,涉及的定义、定理不下20个,计算量和计算的复杂程度也是教材中各章节最高的。因此,在有限的教学学时内,应该注意有选择性地进行讲解,可以参照图5所列出的主要内容框架进行教学。

图和最小树中的基本概念是本部分的基础,在教学时需要学生重点掌握,教师可以通过具体的实例,让学生对概念有感性的认识。最短路问题中涉及了有向图的Dijkstra算法、无向图的Dijkstra算法、标号法和改进标号法等4种算法,重点介绍改进标号法。在网络最大流问题中,求最大流的标号法可以参照求最短路的标号法,重点介绍求最大流的LINGO程序,最小费用最大流问题可以放在上机实验部分让学生自己动手解决。在讲解网络计划时,突出网络计划图的绘制技巧,留出一定的时间让学生多练习,因为计划图的质量直接影响到网络计划图各时间参数和关键路的计算。网络计划部分的重点在于网络计划图的绘制和求各时间参数的LINGO程序的编写。如果教学学时不足,关键路线与网络计划的优化、完成作业期望和实现事件的概率等内容可以放在上机实验中完成。

5.决策分析

对于经济管理类本科生来说,决策分析部分所涉及的大部分内容在前期的有关课程中学习过,所以在教学过程中所花费的教学学时不要过多,仅系统地复习一下就可以了。如果有可能的话,在4个教学学时之内讲一些对策论(博弈论)的基本概念,以满足后续课程的学习所需。

6.排队论模型简介

利用4个学时的时间重点介绍排队论的基本概念、little公式以及等待制排队模型、损失制排队模型、混合制排队模型、闭合式排队模型所关心的各有关参数,最关键的是@peb(load,S)、@pel(load,S)和@pfs(load,S,K)等三个与排队论模型有关的LINGO函数的应用。服务系统的最优化问题比较容易理解,利用LINGO软件求解起来也相对比较容易,最主要的问题是在教学过程中让学生掌握其LINGO程序的编写方法。

7.存储论模型简介

虽然存储论模型的种类很多,但每一种模型都是在固定的假设条件下,根据平均总费用利用求导数(或偏导数)求出订购(生产)量Q以及订货(生产)的时间间隔t等参数。因此,只要将此思想贯穿于整个教学过程,讲清楚各种模型的平均总费用的求法就能让学生学得比较轻松。在我们的教学实践中,该部分一般安排4个学时的理论教学,如果4学时不够的话,可以在上机实验的时候增加该部分的内容,通过实验让学生熟悉各种存储论模型的LINGO软件求解方法。

8.上机实验

上机实验部分大约8学时,在实际的理论教学中,通过压缩动态规划等部分学时,上机实验可以增加到10-12学时。可以安排4-5个实验专题,除了熟悉LINGO软件的使用外,线性规划模型的求解及灵敏度分析、整数规划及运输问题模型的建立与求解、网络最大流及网络计划问题的建模与求解等三个实验为必做部分,以弥补理论教学学时的不足。为了培养学生的实际动手能力以及对运筹学的学习兴趣,建议各个实验均在相应的理论教学过程中进行,最好不要集中安排,这样有助于学生对理论部分的理解并能有效地利用和调节各章节的理论与实践教学学时分配。

本教学体系注重从管理学和经济学的角度介绍运筹学的基本知识,试图以各种实际问题为背景,引出运筹学主要分支的基本概念、模型和方法,侧重各种方法及其应用,而对其理论一般不作证明,对许多数学公式也回避繁复的数学推导。对于复杂的运筹学算法,大都尽量运用直观手段和通俗语言来说明其基本思想,并辅以较丰富的算例、实例以及LINGO软件求解算法来说明求解的步骤和方法,为《管理运筹学》课程的教与学提供参考。

运筹学两阶段法范文第2篇

关键词：线性规划 二维线性规划 三维线性规划 图解法

线性规划图解法

1、线性规划

线性规划是对一组决策变量研究在

满足约束条件的前提下，最大化或最小化目标函数的问题，其中约束条件和目标函数均为线性函数，如：

■

其中c为n维列向量，称为价格向量或成本向量；■，称为决策变量；b为m维向量，称为右端向量；A为m*n阶矩阵，称为约束矩阵。称■为可行域。线性规划的可行域为凸集。通常我们将最大化目标函数的值作为线性规划的标准形式（最小化问题可看作最大化其负函数，即■）。

在线性规划问题中，决策变量的值称为一个解，满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个或多个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。

2、二维线性规划图解法

二维线性规划图解法的求解过程为：求出并绘制可行域（凸多边形）；找出目标函数下降（上升）方向，并以此为法方向绘制一条与可行域交集非空的初始等值线；沿目标函数下降（上升）方向平移等值线，直至边界。最终等值线与可行域边界的交集作为最优解集，等值线所代表的目标函数值为最优值。

下面我们用一个简单的二维线性规划问题说明图解法的求解过程。

■

■

用图解法求解：

第一步：画出可行域。以x1与x2为坐标轴作直角坐标系，根据不等式的意义求出各半平面的公共部分称为可行域。

第二步：画出等值线。目标函数S=2x1+5x2在坐标平面表示以S为参数、以■为斜率的一簇平行直线，即■，它的位置随着S的变化平行移动。位于同一直线上的所有点，都使S具有相同的值，所以该直线称为“等值线”。任取一个定点S0便可在坐标平面上画出一条等值线■，如图1所示。

第三步：求最优解。将直线■沿其法线方向向右上方平行移动时，参变量S的值由S0逐步增大。当等值线平行移动到可行域的最后一个点B时，S达到最大值。此时由线性方程组可解得B的坐标（2，3），故目标函数的最大值S=19。

对于二维的线性规划图解法，我们很容易在直角坐标系中实现，很容易在教学上演示，但当线性规划提升至三维乃至更高维空间以后，一些简单直观的操作就变得复杂起来，为了更好的研究和演示三维LP图解算法，需要分析图解算法的数学本质，使用精确的数学语言而非自然语言来描述图解算法。

3、三维线性规划图解法

三维LP图解算法在步骤上与二维的相似，但在细节上较为复杂，它的具体步骤可以简述为：

3.1求出并绘制可行域

根据线性规划的基本理论，一个n维空间中线性不等式组的解集一定是个凸多面体（polyhedron）。特别的，如果线性不等式组的解集有界（即对任意的目标系数向量■，有■），那么该不等式组的解集是一个多胞形（polytope）。由于图解法的特殊性和局限性，在LP图解法中，我们主要求解的是后者。

N维空间多胞形的定义：Q是n维空间Rn中的多胞形，当且仅当Q是Rn中有限点集的凸包，i.e. ■。

在二维平面上的图解法中，绘制可行域其实就是绘制了这个多胞形（限制在二维空间中为多边形）。而绘制多胞形所必需的信息即该多胞形的全部顶点。虽然，在理论上我们已经知道有界不等式系统和多胞形的等价性，但是这个定理的证明本身并没有提供计算多胞形全部顶点的算法。而Danzig所提出的单纯形算法理论，提供了求解这些顶点坐标的理论工具。基于多面体顶点的基本定义，可以简单的得到结论：多胞形的顶点一一对应于任一定义在这个多胞形上线性规划的基本可行解。即：

求解给定线性不等式组对应多胞形的顶点问题等价于求解该多面体上线性规划基本可行解。

基于这个结论，可以得到如下多项式时间的多胞形顶点坐标求解算法：

Step1：对于给定的线性不等式组Ax≤b，考虑其增广矩阵，选取一组极大线性无关行向量组得到与原不等式组等价的不等式组■；

Step2：选取■全部的极大线性无关列向量组，对■的每一个极大线性无关列向量组■，其实是一个满秩的方阵，■即可求得一个基本可行解，即一个顶点的坐标。遍历所有这样的■，就可以求得全部顶点的坐标。

3.2找出目标函数下降（上升）方向，并以此为法方向绘制一条与可行域交集非空的初始等值线

目标函数的下降（上升）方向甚至是梯度方向都是容易求解的，因为目标函数的梯度正是目标系数向量。但是寻找初始与可行域交集非空的等值线则是一件复杂的事情。事实上，初始等值线的选取问题等价于如下问题：

找到■，使得线性不等式组{Ax≤b，cx=c0}解集非空，即寻找一个原线性规划的初始可行解。在运筹学中，两阶段法是用来构造求解初始可行解的常用手法。两阶段法简要如下：

Step1：将线性不等式组Ax≤b化成标准型中的等式组，每一个不等式添加非负的一个人工松弛变量变量；

Step2：构造新的目标函数，及最小化人工变量之和；

Step3：求解该线性规划，如求得的最优解的目标函数值为0，则该最优解为原问题的可行解；如目标函数值大于0，则原问题无可行解。

在求得初始可行解x0以后，即可选取cx=cx0为初始等值面。

3.3沿目标函数下降（上升）方向平移等值线（面），直至边界

在该步骤中，主要的难点在于如何判定等值面是否到达边界。一方面，由于移动的是等值面，故在图解算法过程中并不记录当前可行解的信息，所以单纯形算法所使用的检验系数判定方法难以奏效。另一方面，图解算法的移动行为非常近似于使用连续优化技巧的线性规划内点算法，所以三维图解法的边界判定算法可以借鉴连续优化的判定方法。

在连续优化中，通常并不严格计算一个点是否落在可行域边界上，而是通过完成判定是否落在可行域内，然后通过线搜索算法逐渐逼近最值点或边界点。对应到线性规划问题上，其实就是求解如下判定问题：

给定任意■，判断线性不等式组{Ax≤b，cx≤c0}解集上是否为空。

线性不等式组的解存在问题可以借助Farks引理来转换成线性等式组来处理。

Farks引理：令A是一个矩阵，b是一个向量。那么线性不等式组Ax≤b有解，当且仅当对于所有满足yA=0的行向量y，有yb≥0。

事实上，这里就相当于求解出yA=0的全部基本可行解，并逐一判断是否满足yb≥0。

到此为止，已经把LP图解法中每一个子问题推广到n维空间中（自然包括三维），并对每一个子问题给出了求解算法，藉此摆脱了原LP图解法的直观经验性描述而将其上升至了具有一般意义的数学算法。

三维LP图解法的演示算法的改进

这一章节主要研究三维LP图解的演示动画实现算法。对于动画演示，重点是体现等值面从初始位置连续移动至可行域边界的过程。由于在演示动画中，并不会显示具体的算法，所以为了提升算法的运算速度，我们可以对上文中的图解算法进行简化和改进。

仔细分析上文中的图解算法，发现初始等值面的选取（两阶段法的第一阶段）以及边界判定（不等式组解集是否为空）的计算量都至少等于一次同等规模的线性规划算法的计算量，对于动画演示来说，其实有相当一部分的运算是无意义的，所以针对动画演算，采取如下简化算法：

Step1：绘制可行域；

Step2：初始点选取。以-c为目标系数，求解线性规划，以求得的最优值作为初始等值面；

Step3：计算移动终止位置。以c为目标系数，求解线性规划，以求得的最优值作为等值面终止位置。

Step4：从初始位置开始，直至终止位置连续绘制等值面移动动画。

这样在整个过程中，step2和step3的运算量就压缩到了两次同规模线性规划算法的运算量，经过实验对比，在不改变动画演示效果的同时，可以极大地加快程序的运行速度。

基于MATLAB三维LP图解法演示系统的仿真与实现

借助MATLAB GUI设计并实现交互式的三维LP图解法演示系统。

首先，使用edit控件设计了参数读入界面。在演示系统中，我们默认的是考虑极大化问题，且可行域限制在第一卦限，即■。并且出于简化考虑，仅考虑三个变量和三个线性不等式约束。

在读入线性不等式以后，求出全部基本可行解，即求得可行域多胞形全部顶点坐标，通过MATLAB图形学工具箱自带的convhull，通过顶点坐标计算得到多胞形全部侧面的数据，再使用mergeCoplanarFaces函数，将共面的全部小多边形合并成大的侧面，最终完成可行区域的绘制。

等值面移动动画通过以下方法完成，对于处于最小值和最大值中间状态的任意一个等值面cx=c0，将可行域分割成两个部分{ax≤b，cx≥c0}以及{ax≤b，cx≤c0}两个相邻接的多面体，用不同的颜色绘制，以此标注等值面。

最后通过drawnow和pause命令生成动画，并实时显示当前可行解及其对应的目标函数值，当动画停止时所显示的即为最优解和最优值。

在此基础上，通过改变线性规划约束中的系数我们可以实现三维线性规划图解法的动态展示。

总结与展望

本文在掌握了二维线性规划图解法的基本原理、方法和步骤的基础上，对多维线性规划问题图解法的实现进行了理论分析，并且对三维线性规划的图解法利用MATLAB编程，编制了仿真模拟软件。该程序可以实现对三维LP模型中各参数在一定范围内的灵活设置，将三维线性规划问题优化的整个过程通过动态效果展示，界面编排合理，使用灵活方便，作为辅助教学软件能够使学生对线性规划问题的性质有更深的理解。同时基于对多维线性规划问题实质的分析，在三维图解法程序的基础上我们也很容易扩展到三维以上线性规划问题的图解法仿真模拟，未来的研究工作可以考虑设计一个通用程序，通过自由设置问题优化空间的维数实现各维数线性规划问题图解法的动态效果展示。

参考文献：

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运筹学两阶段法范文第3篇

    Tobin[1]给出了市场效率的分类概念,即信息套利效率(information-arbitrage efficiency)、基本估值效率(fundamental valuation efficiency)、保险效率(insurance efficiency)和功能效率(functional ef-ficiency),其中,信息套利效率是反映到相关资产价格的信息量以及新信息的价值反映到价格中的速度,基本估值效率是资产价格反映其真实经济价值的程度,并认为股票价格可以是在信息套利效率有效的同时基本估值效率无效。基本估值效率的传统研究方法主要有两类:一类是通过比较实际股价与内在价值的差异或者实际市盈率与市盈率标准的差异来进行,在这种情况下,内在价值估计和市盈率标准的确定是关键,前者是基于公司预期每股盈利和市场利率外延估计公司存续期内产生的现金流的折现值,后者则是基于预期每股盈利和市场利率的一个经验数据。无数事实表明,基于内在价值估计或与市盈率标准比较的方法很难合理解释不同市场之间以及同一市场不同阶段平均市盈率的巨大差异,如从1981年到2006年的26年间,美国标准普尔500的平均市盈率为20.1,最高 为40.3,最低为8,而同期东京股市(主板)的平均市盈率为87.5,最高为614.1,最低为21.1;更难以解释具有相同内在价值的不同股票在价格上的巨大差异。按照既有理论,人们难以分辨这种“异象”究竟是源自内在价值估计或市盈率标准确定上的错误,还是市场本身出现了估值错误(市场无效)[2-3]。另一类方法则是基于有效市场理论的资本资产定价模型(CAPM、APT等)的研究方法,这类方法并不区分信息套利效率与基本估值效率,而是通过研究(检验)是否存在套利机会来评估市场效率,显然,这并不符合Tobin[1]的市场效率分类研究思想,而且在检验方法上往往存在争议[4],无法解释诸如“波动性之谜”与“股权溢价之谜”等市场“异象”。鉴于此,Fama[5]承认自己以前的定义有不妥之处,认为市场效率是不可检验的,因为市场效率的检验必须借助于关于预期收益的模型,而预期模型的建立又必须以有效市场为假设前提,这就陷入了一个悖论。Fama[6]认为现有金融手段无法验证到底是资产定价理论有错误,还是市场是无效的。董直庆等[7]指出,基于有效市场理论的资本资产定价模型(CAPM)由于本身以市场有效、无套利机会为前提,实际上否定了价格与价值的偏离(否则就有套利机会),因而对市场价格和内在价值的偏离问题无能为力。20世纪90年代后期以来,部分学者开始从相对评价和多要素定价的视角来研究市场效率问题。Campbell等[8]提出了相对效率的思想,认为有效市场是一种理想状态,从经济学的角度是不可能实现的,但可以作为度量相对效率的有用基准。同时他认为预期收益具有时变特征,股票价格和收益呈非线性关系,只研究收益而 忽视价格是 不恰当的。Harvey[9]认为股票定价(市场估值)非常复杂且随时间变化,正确认识股票价格的决定机制以及在定价过程中系统考虑股票基本面以外的其他变量是一个具有重要价值的问题。Allen[10]认为股票价格变动可能由基本面因素以外的市场动态力量而产生。董直庆等[7]认为流动性因素导致了股票价值增值,股价必然超过其内在价值。Aretz等[11]通过一组宏观经济因素(经济增长的预期、通货膨胀率、总存活率、利率期限结构、汇率)与股价波动的多变量分析发现大多数宏观经济因素得到了定价。可见,仅仅从内在价值、收益与风险因素研究估值效率问题是不合适的,诸如宏观经济要素、市场供求要素以及其它类比要素等均得到了定价,它们与内在价值共同决定了虚拟资产———股票的真实经济价值。关于市场估值效率比较研究,Li[2]利用国家宏观经济和金融特征指标(估值要素)构建了一个随机生产前沿估值模型,将距离前沿的偏差作为市场估值无效的测度。Chan等[12]提出了基于随机前沿方法的上市公司估值效率相对比较测度模型。Abad等[13]提出了一个利用财务信息评估股票基础价值的两阶段DEA模型。易荣华等[14]利用财务信息和市场交易信息提出了基于DEA的股票相对投资价值评价模型。Edirisinghe和Zhang[15]提出了一种基于动态财务数据分析的两阶段综合DEA模型以及基于DEA效率的相对财务实力指标(RFSI),以此作为投资组合选择的依据。Dia[16]提出了一个基于股票的内在价值和风险要素的股票或其它金融资产组合选择四阶段DEA模型。上述文献在相对评价思想和综合要素引入上取得了初步的成功,但在估值变量(尤其是外部环境因素)选择和方法论上还值得改进。鉴于此,本文拟在借鉴已有成果的基础上,提出一种能体现综合、相对和动态评估思想,将多种估值要素纳入到模型中的市场估值效率计量方法,以便获得经济意义更明确的相对估值效率测度,为市场参与者认知市场估值偏好和规律提供更多的决策信息。在此基础上,以深交所行业分类指数为例测度和分析行业相对估值效率的变化趋势,验证本文的理论分析与模型,并就其运用效果与传统市盈率指标进行比较分析。

    2 基于DEA的综合要素相对估值效率计量模型的构建

    数据包络分析 (DEA)是美国 着名运筹学家Charnes等[17]提出的非参数效率评价方法,其突出优点是可以考虑多种输入输出变量、与量纲无关、不必事先给出生产函数关系等,通过决策单元的相对比较优化得出效率评价值,这些特点对于估值要素多、生产函数关系具有时变性和复杂性特征的证券市场研究而言具有方法论的优势,自Murthi等[18]首次将其运用于基金绩效评价以来,DEA方法在证券市场研究领域已经有许多成功的应用。按照文献[19]中关于股票的定价机制和定价模式的分析结论,股票市场是一个相对独立的输入输出转换系统,各种估值要素在这一系统得到绝对定价和相对定价。进一步分析可以发现,这一系统的生产可行集满足凸性、锥性、无效性、非原始性及最小性等五条公理,即满足DEA方法的运用要求。在本文的研究中,设每只(类)股票为一个决策单元(decision making unit,DMU),它有i=1,2,…,(m+1)个输入变量,前m个输入变量分别反映股票的内在价值、市场环境、交易特性等估值要素,第m+1个输入变量反映风险指标(风险指标单列的原因在于其特殊性);1个输出变量反映股票价格(或价格指数)。假设市场有j=1,2,…,n种股票(DMU),全部DMU集合记为:J={DMUj,j = 1,…,n},第j只股票记为DMUj,其输入向量为Xj=(x1j,…,xmj)T和Βj=(βj)T,输出向量为Yj=yj,设对应输入的权重向量为V =(v1,v2,…,vm)T和w,则具有非阿基米德无穷小的、面向输出的DEA估值效率模型:式中,θj0,DEA为股票j0的DEA估值效率,ε为非阿基米德无穷小量,βj为股票j的收益率序列标准差。上式中,目标函数的最优值θ*j0,DEA为被评价股票(DMUj0)的DEA估值效率。显然,若θ*j0,DEA等于1说明被评价股票相对有效,这表明在估值要素投入相同的情况下,不会有其他股票的定价更高,或者,在价格相同的情况下,不会有其它股票的估值要素投入更少,否则,表明被评价股票相对无效。按照Fama[20]关于有效市场假说(EMH)的定义,在一个理想的有效市场中,每一只股票都将得到合理的定价,即:式(1)中的所有股票的θ*j,DEA(j=1,2,…,n)均应为1,反之,在非有效市场中,必定存在部分被评价股票的θ*j,DEA小于1。由此可见,整个市场中所有股票的θ*j,DEA(j=1,2,…,n)的均值和标准差反映了市场总体估值效率(有效性)的高低。本文定义DEA估值效率的标准离差率作为市场估值无效指数v:显然,I及v可以组合测度市场估值的有效性,I越小而v越大,则市场估值有效性越差。市场完全有效的充分必要条件是I=1,v=0,即市场平均DEA估值效率为1,市场估值无效指数为0。利用上述模型,基于截面数据可以分析某一时点在市场中的特定股票、一类股票(如行业)或整个市场的估值有效性,以及利用模型参数和变量进一步分析市场估值偏好乃至低估值的原因;而基于面板数据则可以进一步考察估值效率、市场估值偏好等的演变规律。与现有的估值效率研究方法相比,如市盈率、股价与内在价值比较或套利机会的统计检验等,本模型的突出优点是包含了更多的估值要素,体现了相对估值的定价机理,可从市场“歧视性”估值的视角考量市场的估值有效性,其效率测度指标和参数具有更明确的经济意义,并为市场参与者认知市场估值偏好和规律提供更多的决策信息。

    3 实证分析

    3.1 样本数据的选取

    本文选择2001-2010年深圳A股市场全部股票为样本,以22个行业指数为决策单元,评估不同时期的各行业的DEA估值效率。按照深交所的分类标准,行业分类指数包括农林牧渔指数、采掘业指数、制造业指数,水电煤气指数、建筑业指数、运输仓储指数、信息技术指数、批发零售指数、金融保险指数、房地产指数、社会服务指数、传播文化指数、综合类指数共十三类。其中,制造业又分为食品饮料指数、纺织服装指数、木材家具指数、造纸印刷指数、石化塑胶指数、电子指数、金属非金属指数、机械设备指数、医药生物指数九类,共计22个行业指数,该行业分类指数以1991年4月3日为基期,基期指数设为100点,起始计算日为2001年7月2日。所有行业收盘价格指数和估值要素数据均来源于锐思数据库(resset.cn),并选取每年5月份第一周收盘时的相关数据进行计算(注:因年报公布截止日为4月30日,数据最完整)。

    3.2 变量选择与数据规范化

    基于文献[19]关于股票定价模式及股价分解测度方法研究结果,股票市价=内在价值+市场溢价+交易溢(折)价+随机波动,本文选择每年五月份第一周各行业收盘价格指数为输出变量;输入变量分别为:每股收益、每股净资产、流通股本、年换手率、行业增长率、周收益的贝塔系数,分别反映盈利能力、股东权益、交易特性、行业成长性及系统性风险。流通股本指标取行业内个股的平均值;每股收益、每股净资产、年换手率指标取行业个股的流通股加权平均值;行业增长率取最近两年的加权平均,即T年的行业增长率=T年的加权平均每股收益/[0.3*(T-2)年加权平均每股收益+0.7*(T-1)年加权平均每股收益]-1;贝塔系数则利用截止4月30日的上一年度周收盘价格指数进行计算。根据DEA模型对变量的要求,对相关变量进行以下规范化处理:由于存在“小盘股”偏好(流通股本小,则估价高),取流通股的倒数(为使不同的输入数据项的数量级相近,再将其乘以109);换手率和行业增长率以百分数为单位;对于具有负值数据的变量统一按照取一个略大于最小实际负值数据绝对值的正数加上对应输入项,使所有输入数据为严格正值。

运筹学两阶段法范文第4篇

【关键词】供应商；评价；最优订货；综述

1 引言

供应商选择是采购决策的一项重要内容。对大多数企业来说，采购成本占产品总成本的70%以上，合理的选择供应商将直接影响到企业降低成本、增加企业柔性、提高企业的竞争力。随着市场竞争的全球化和剧烈化，产品的生命周期越来越短，强调质量、交货可靠性、价格、提前期增加了供应商选择的复杂性和选择范围。因此，供应商选择的战略作用比以前更加重要了。

供应商选择方法的研究大致经历了三个发展阶段：定性方法、定量方法、定性与定量相结合的方法。早期的供应商选择方法采用定性方法，它主要是根据以往的经验和与供应商的关系进行主观判断。由于单一的定性的方法缺少科学依据而较少被后来的采购管理者所采纳。自1915年美国的电气工程师Harris首先提出经济批量（Economic Order Quantity，EOQ）模型后，Wilson提出了同样的公式分析了企业库存控制方面各种可能的应用，由此而演变为各种扩展的模型。这时人们采用定量方法来选择供应商，目标是确定采购的经济批量以减小成本。不久，人们发现影响供应商选择的因素有很多，仅仅从库存成本的角度选择供应商是远远不够的。Dickson是最早系统地研究供应商评价和选择问题的学者。早在1966年，他就调查了273名采购经理和采购，整理出23条供应商评价准则，并按重要性排序。Weber et al.在Dickson研究的基础上总结了自1967年至1990年供应商评价和选择领域的74篇文献，发现有47篇文献讨论了供应商评价的多重准则。这说明供应商评价问题的确是一个多准则决策问题，而且这些准则之间往往还存在相互冲突，这更增加了决策问题的复杂性和难度。Choi & Hartley通过调查美国的汽车公司，列出了供应商选择的26条准则。Thomas & Janet通过对美国汽车公司采购经理的调查，认为质量和交货日期是最重要的两个准则。

大部分关于供应商选择问题的研究都集中在最后选择和采购阶段的决策模型上。而这类问题基本上分为两类，一类是单个供应商可以满足所有购买需求，决策者只需要通过综合评价，找出最佳的供应商就可以了，称为单阶段或单一供应商选择问题；另一类是没有单个供应商可以满足所有的购买需求，在这种情况下，决策者就要根据不同目标和约束，选择多个供应商并合理分配订货量，称为两阶段供应商选择或多供应商选择问题。经过大量文献的回顾，主要研究重点都是专注于决策方法和模型的选择，所以，本文以此问题为基础，分别对相关的决策方法和模型进行分析介绍。

2 单一供应商选择问题

当一些相对比较小的部件或生产环节外包时，总的需求往往只需要一个供应商就可以得到满足。在这样的情况下，决策环节包括选择一个合适的供应商并确定订货量来满足采购需求。可以考虑单一准则也可以考虑多个准则的情况。

2.1 单一准则方法

通常在单一准则情况下，抉择者一般以成本作为最重要的抉择准则，传统上，供应商的选择和评价是基于选择最低成本的供应商，而忽略一些其他的间接供应成本因素，例如运送时间推迟，生产中断，运送质量低下等等，为了克服这些限制同时考虑成本最优，Timmerman提出用成本比率法（The Cost Ratio）计算与成本有关的质量、运输、服务等项目的总成本来进行供应商选择。这种方法的思想是通过计算出每一个项准则的成本占总成本的百分比来确定最终要选择的供应商。Roodhooft和Konings于1996年提出了活动成本法（Activity Based Costing， ABC），此后ABC法得到一定程度的应用。Benton使用数学规划方法来研究选择单一供应商满足所以物品供应需求的问题。通过利用经济批量模型（EOQ），作者采用了非线性规划和启发式程序并使用拉格朗日松弛算法来选择供应商，同时考虑了多产品，多供应商，资源约束及数量折扣等条件，目标时最小化购买成本，库存成本以及订货成本。

2.2 多准则方法

大部分的研究者主要在研究供应商选择问题时，还是考虑多个评价准则的情况。在这个领域里，有很多方法被提出，最常用的也是最早的方法是Wind & Robinson提出的使用线性权重模型来评估供应商的绩效。后来Timmerman将此方法推广，其主要思想是给每个准则分配一个权重，权重越大表明其越重要。供应商的积分为该供应商各项准则的得分与其权重乘积之和，积分最高者为最佳供应商。这种方法人为判断因素过大且不同的准则权重相同，因在实际中很少发生而缺少实际的应用价值。

为了解决这个问题，20世纪70年代初美国运筹学家Saaty教授提出层次分析法（Analytic Hierarchy Process， AHP），它是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法。该方法简单、实用、有效，得到了广泛的运用。这种方法充分发挥人的主观能动性，在不确定的环境下，依据人的经验、直觉和洞察力作出判断，把一些定性的因素以定量的形式表示出来。该方法可以考虑许多无法直接量化的因素，尤其是一些对未来合作发展有长远意义的因素。在实际应用方面，DaeHo Byun用AHP法分析了韩国汽车的采购过程，并给出了应用实例来进行供应商选择；Tam和Tummala采用AHP法分析香港通信设备的供应商选择模型和决策过程，他们发现用AHP法可以使供应商选择过程系统化并缩短抉择时间。在AHP法的应用过程中，常常会有一些模糊和不精确因素，人们尝试用模糊理论（fuzzy sets theory，FST）与AHP法相结合的方法来解决。Soukoup提出用仿真的方法来处理供应商选择过程中的一些不确定的因素。在最近的一些研究中，Liu & Hai提出了一种投票层次分析法（voting analytical hierarchy process），此方法相对于层次分析法，在确定权重的过程上更加简单。还有网络分析法（analytical network process），一种更加复杂的AHP方法，也被Sarkis & Talluri应用于供应商选择问题。

此外，Weber和Desai提出数据包络分析法（Data Envelopment Analysis，DEA）来评价已经选择的供应商，它是在相对效率评价概念的基础上建立起来的一种系统分析方法，在进行供应商选择时，需要把确定的选择准则转化为输入变量和输出变量，然后建立数据包络分析模型，计算各侯选供应商的相对效率从而选择合适的供应商。之后进一步研究了用DEA和数学规划相结合的方法来协调选择供应商。

3 多供应商选择问题

在实际情况中，往往对物资的采购需求量都比较大，为了能够确保制造商的供应流的可靠性，有效的方法就是选择多个供应商的策略。在这种情况下，采购方从多个供应商采购某种物品，在满足其采购总需求的条件下，在多个供应商之间分配合理的订购量。Hong & Hayya指出选取多供应商模型，在一些特出的情况下，特别是即时生产环境下，可以降低总库存和采购成本。

由于该策略的目的是在满足多重约束条件的情况下，使决策目标最优，所以，数学规划方法是最适合的技术。它可以使决策者同时考虑内部政策约束以及外部的系统约束，确定最优的订货和存货策略并且选择最优的供应商组合。1974年，Gaballa首次将线性规划方法用于供应商选择问题，他以澳大利亚邮局的多项目采购为例，建立了混合整数规划模型，以采购成本为目标，考虑了需求和供应商能力问题及全额数量打折情况。随后，越来越多的人从事这方面的研究与应用。该方法主要分为单目标和多目标两类。

3.1 单目标问题

对于求解单目标问题，主要的方法有以下几种，Pan通过订单分解的策略来选择供应商以增加供应的稳定性，建立了以成本为目标的线性规划模型，将价格、质量、服务作为约束；Turner建立了英国煤炭采购计划的混合整数规划规划模型，以总成本为目标，以需求、最大/最小订单数量、地理位置为约束条件，同时考虑数量打折情况；Rosenthal等人研究了不同产品绑定销售打折情况，建立了以最小化采购成本为目标的混合整数规划模型，考虑了价格、质量、交货和供应能力作为约束条件；同时还有一些其他的方法如动态规划方法，非线性规划方法，决策理论等等。

3.2 多目标问题

在单目标问题中，一般只将一个准则作为目标函数，而其它相关的准则，例如质量，交货时间都看作是约束条件。在这种情况下，考虑为约束条件的准则都被赋予了相等的权重，而这种情况是在现实中很少发生的，因为决策者往往对他们制定的准则都赋予优先关系。为了克服这种局限性，提供一个更有效的方法并突出多准则决策的本质，一些学者提出了使用多目标规划方法和目标规划方法。由于没有同时满足多个目标的最优解存在，这类方法主要是根据优先次序，最小化各个子目标的偏离值，来求得满意解。

Weber是最早将多目标规划模型引入到供应商选择问题中来的学者，并证明这种方法相对单目标分析方法有很多优点，并且，他还将决策者的个人经验和偏好加入的最终决策模型中。此外，Ghodsypour and o’Brien也使用了多目标规划方法解决供应商选择问题。文献则使用了目标规划方法来解决供应商选择问题。

4 结论

综上所述，供应商选择模型和方法属于多准则、多目标问题，并且在不同的采购模式和策略下采用不同的模型和准则。供应商的评价准则从单一的成本准则转向以质量、服务、准时交货、柔性、信息等多准则方向发展，供应商决策模型也从单一的买方库存成本模型转向买卖双方相互协调模型。这些模型和方法各自有其优缺点，不同的方法其实施难易程度和成本也是不一样的，所以需要抉择者科学地选择。

目前，随着信息技术的发展，外包，电子采购，以及供应商关系管理都逐渐成为企业资源规划系统的一部分，使我们更加容易获取相关的供应商数据。未来可以在这个领域增加研究力量。还可以利用一些基于人工智能的方法，例如基于推理的系统，神经网络，专家系统等方法来解决最终供应商选择和订货分配的优化问题。

参考文献：

[1]A.Ghobadian， A.Stainer， T.Kiss. A computerized vendor rating system[C]， Proceedings of the First International Symposium on Logistics， The University of Nottingham， Nottingham，UK，July 1993，321-328

[2]G.W.Dickson， An analysis of vendor selection systems and decisions， J. Purchase 2（1） （1966）517

[3]C.A.Weber， J.R.Current， W.C.Benton， Vendor selection criteria and methods， Eur.J.Oper.Res.50 （1991）218

[4]T.Y.Choi， J.L.Hartley， An exploration of supplier selection practices across the supply chain， J.Oper.Manage.14 （1996）333-343

[5]Timmerman，E. An approach to vendor performance evaluation[J].Journal of Purchasing and Supply Management，1986，1：2732

[6]Filip Roodhooft，Jozef Konings，Vendor selection and evaluation an activity based costing approach[J].European Journal of Operational Research，1996，96：97-102

[7]Benton WC，Quantity discount decisions under conditions of multiple items， multiple suppliers and resource limitation. International Journal of Production Research 1991； 29：195361

[8]Wind Y，Robinson PJ，The determinants of vendor selection： Evaluation function approach， Journal of Purchasing and Materials Management1968； August： 2941

[9]Timmerman E，An approach to vendor performance evaluation， Journal of Purchasing and Supply Management 1986；1：2732

[10]T.L.Saaty，J.M.Alexander，Thinking With Models： Mathematical Models in the physical， Biological and Social Sciences[M]，Chapter 8，Pergamon Press， London，1981

运筹学两阶段法范文第5篇

关键词：金融机构；经营效率；数据包络分析（DEA模型）

一、引言

在金融全球化的时代背景下，中国的资本市场实现了快速发展，金融机构特别是商业银行正面临着严峻的挑战。中国在实现经济持续稳定增长的过程中，需要有发达的金融体系来支持，从我国现有的金融体系发展水平来看，金融机构特别是商业银行需要全面升级，银行应该从传统分业经营转变为混业经营模式。为了达到这一目的，传统的商业银行，应该逐步转变为金融控股公司。只有完成了这个转型升级的过程，中国的金融机构才能在世界范围内的同业竞争中生存下来，在中国经济的高速发展中提供金融机构应有的贡献。近年来国有商业银行逐个上市，完成了股份制改革，这也有利于金融机构通过金融控股实现混业经营的目标。本文选取工商银行作为分析对象，应用数据包络分析方法（DEA模型）对其经营效率进行研究，研究期间选取的是2003-2011年度。

二、经营效率的评价方法

（一）经营效率评价方法的文献综述

效率被定义为一定的投入量所产生的有效成果，所以从考虑投入和产出角度来看，金融机构的经营效率就是指一定金融资源的投入，对金融机构产出的最优效果。对商业银行效率的研究开始于20世纪80年代，许多金融机构大规模的合并使银行业务日趋综合化，在此情况下，引发了对商业银行经营效率的思考。Berger等人汇总了122篇定量分析金融金钩效率的文献。而在中国对银行效率的研究起始于定性分析，直到2000年才有一些以前沿分析法为基础的定量研究。其中有一大部分学者对全国的银行业进行了分析评价，如魏煜和王丽运用DEA方法，通过对12家商业银行的经营效率的研究，认为四大商业银行的大大低于其他银行的平均经营效率。也有一部分学者对区域性的商业银行经营效率进行了分析，如李萍萍、马占新就运用了DEA评价模型对山东省的城市商业银行的经营效率进行了实证分析。本文则是研究了工商银行2003年至2011年的经营效率，以工商银行为代表，说明国有商业银行在经历了股份制改革之后的经营效率变化。并且在实证分析的基础之上，对我国商业银行的发展提出一些政策建议。

（二）经营效率评价方法体系

目前主要采用参数与非参数两大类方法来研究效率。参数方法是通过设定函数形式，再用样本数据来估计最优生产前沿，在这种方法中设定函数形式是最关键的。再进一步地，参数分析法又分为随机边界法、自由分布法和厚边界分析法。而这三种方法在边界估计过程中对随机扰动项的分布和相关性的假设是不同的。非参数方法又被称为数学规划法，典型代表是数据包络分析（Date Envelopment Analysis，DEA）法。数据包络分析的优点体现在不需设定函数形式，因此可以避免设定误差。

（三）数据包络分析（DEA）

Chames、Cooper和Rhodes等人在1978年首先提出了数据包络分析（Data Envelopment Analysis）法。这个方法是从单输入、单输出有效率的概念出发，转化成关于多输入、多输出系统的相对有效性的评价方法。数据包络分析通过数学规划将DMU投影到DEA前沿面上，同时保持相同的决策单元的输入或者输出，然后在比较决策单元偏离DEA前沿面的程度的基础上评价它们的相对有效性。DEA方法同传统方法相比较的最大优势在于：DEA方法可以处理多输入、多输出的生产系统。同时还能对像医院、学校这样的非生产系统进行处理。方法的核心理念是通过观测大量实际生产点的数据，基于一定的生产有效标准，找出位于生产边界上的相对有效点。

三、实证分析

（一）投入产出指标的选择

DEA方法对评价单元的相对有效性进行评价是通过各单元的输入和输出数据进行的，因此，在DEA方法的运用中，选择正确的评价数据是十分重要的。选择输入和输出指标要遵循一定的原则，具体为所选取的指标要能够评价目的和内容，同时应该在技术上避免输入或者输出集内部指标之间的线性关系，在综合考量所选指标的重要性和可获得性的基础上确定分析对象。

作为融资中介的商业银行，没有具体的有形产品，在投入与产出的选取上有一定的困难，甚至至今仍难以对何种指标是输入何种是输出达成共识。银行的经营过程表现为资金的流入和流出，结合我国商业银行的特点以及数据可获得性和重要性的要求，本文选择中介法来确定投入和产出指标。文中的投入指标为营业费用、实收资本（股本）、存款余额；产出指标为贷款余额。而分析的时间段为2003年至2011年。本文的研究对象是工商银行，它的上市时间是2006年，因此2005年与2006年之后比较可知上市对工商银行经营效率的影响。

（二）规模收益不变的CCR模型

CCR模型是由著名的运筹学家A..Charnes（恩斯）和W.W.Cooper（库伯）及E.Rhodes（罗兹）提出的基于DEA有效性的第一个模型。这个模型在生产函数的角度下，用来研究具有多个输入和多个输出的生产部门是否是规模有效与技术有效这个问题，是十分有效的。它的关于有效性的理解是同时满足两个条件：首先，在现有的输入条件下，任何一种输出都无法增加，除非同时降低其他种类的输入；其次，要达到现有的输出，任何一种输入都无法降低，除非同时增加其他种类的输入。就可以说这个决策单元达到了100%的效率。

（三）规模收益可变的BCC模型

前文描述的CCR模型是基于规模收益不变的假设成立的，而对应的BCC模型则是考虑到规模收益变化情形的模型，即规模收益可变的BCC模型。利用BCC模型，可以求得商业银行的技术无效率中，有多少是由纯技术无效率形成的。在BCC模型中，规模效率是商业银行在最大产出下，技术效率生产边界的投入量与最优规模下的投入量的比值。

（四）样本数据的获得

本文采用的数据是由上海证券交易所网站上获得，具体数据如表1所示。

（五）实证研究结果

首先是规模报酬不变的CCR模型研究结果如表2所示。

然后是BCC模型的分析结果如表3所示。

从实证分析的结果中可以看出，上市前一年，经营效率虽然也是很高的，但是相比上市之后的其他年份，经营效率还是比较低的。这说明，工商银行的股份制改革是正确的，可以大大提高经营效率。在2008年，工商银行的经营效率是很低的，在BCC模型结果中只有0.81733，这是因为宏观经济环境较差，全球经济都受到了金融危机的影响，这一点，可以从2007年经营效率的开始下滑看出来。最后，在2010年和2011年工商银行的经营效率在这九年之中是最高的（BCC模型结果）。

四、结论及建议

（一）实证结果分析

从实证分析的结果中可以看出来，工商银行的上市，对于其提高经营效率是由显著影响的。这说明股份制改革对于我国金融机构特别是国有银行是很有帮助的。同时，全球范围的金融危机在2007年和2008年，甚至在现在和未来，都会对我国宏观经济产生不可忽视的重大影响。在国家的积极调控下，这两年来经济下行的趋势有所减缓。这在实证结果中表现为2010年和2011年的经营效率明显提高。

（二）对我国商业银行发展的建议

本文通过对工商银行2003年至2011年的经营效率的比较分析，针对我国金融机构尤其是国有商业银行的发展，提出以下几点政策建议：首先，在我国经济对外开放的程度不断加深的同时，我国金融机构面临越来越激烈的世界范围内的竞争。在这样的背景之下，我国的商业银行，应该继续推进股份制改革，以提高竞争力；其次，我们的金融机构要加强内部管理，建立起切实有效的风险防御机制，从而能够在复杂的国际环境中免受冲击；最后，在竞争日益激烈的现今社会，国有商业银行应该向一些经营效率极高的股份制商业银行学习，借鉴它们的长处弥补自身的短处，不断提高经营管理能力和技术创新能力。

参考文献：

1.马占新.数据包络分析模型与方法[M].科学出版社，2005.

2.魏权龄.数据包络分析[M].科学出版社，2004.

3.刘威，马胜伟.基于DEA的商业银行效率分析[J].经济研究导刊，2010（13）.