进阶式数学思维训练

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进阶式数学思维训练范文第1篇

1.研究的背景

几何课程改革历来是人们关注的焦点。2005年第四期《数学通报》刊登了一些数学家的观点：初中是青少年智力发展最为迅猛的阶段，此阶段如果推理论证能力训练不足，那么学生后续的理性概括能力、抽象能力、科学精神都会不足。同年，《光明日报》教育周刊上报道了姜伯驹院士的类似观点。数学家们基本上都对平面几何部分的改革提出质疑，反对删掉过多的内容。一线教师也特别青睐平面几何在解决问题时所表现出的优越性：难度的层次性、结果的可预见性，特别是其对于学生的推理能力培养具有良好的价值。而课标修订组的专家认为，所有的数学内容都具有培养学生的推理能力的价值。2011年颁布的《初中数学课程标准（修订）》进一步削弱了对平面几何的要求，如删除了梯形、等腰梯形的相关内容，视点、视角、盲区，计算圆锥的侧面积和全面积等。这更加引发了许多一线教师和从事教育的专家学者对平面几何改革的讨论。

本研究通过调查学生的几何推理能力与学生的几何思维水平之间的关系以及不同思维水平的学生在几何推理能力方面的差异，试图诊断八年级学生几何推理能力属于哪个几何思维水平，以及不同推理能力的思维水平特点，进而为中学数学教育提供一些建设性的建议，让中学数学教师更好地了解学生，从而促使其在实践中更加科学、有效地运用现代教育理念组织课堂教学。

2.概念界定

（1）几何推理

几何推理是课程改革中的关键概念，它是课程改革中为取代几何证明提出的一个概念。一般认为，几何推理就是几何证明，其实几何推理并不等价于几何证明，几何证明就是严密的逻辑演绎推理，需要有充足的已知条件和理论依据，才能对问题进行求解。而几何推理在解决问题时对条件的要求相对较低，它可以是在少量已知条件的情况下对问题的结果进行大胆猜想，然后小心求证。因为现实问题通常都是欠缺条件的，所以课程改革提倡几何推理更具有一般性，有利于提高学生的思维品质，掌握思维方法，特别是分析问题和解决问题的能力。

目前，中外学者关于几何推理的方式研究，比较一致的看法有：图形推理、类比推理、自然推理、归纳推理、形式逻辑推理等[1]。图形推理也称直观推理，就是由一个或若干个已知图形而推出另外一些图形或信息的思维过程。一个图形推理由三要素构成：前提、推理要求和结论。类比推理简称类推、类比，是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。自然推理，也可称为描述性推理，是运用日常语言，对事物进行描述论证、说理。归纳推理是人根据已掌握的图形知识及观察到的图形变化规律，推导出未观察到的图形知识。关于形式逻辑推理，中小学教材中的几何证明通常都属于形式逻辑推理，需要严谨的逻辑思维推理能力。

（2）几何推理的层次划分

上世纪50年代，荷兰的范希尔夫妇划分的几何思维理论对几何课程具有重要的指导意义，范希尔几何分类理论把几何思维分成以下几个水平[2]。

水平0，视觉。这个阶段儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题等。水平1，分析。该阶段儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类等。水平2，非形式化的演绎。该阶段儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论。水平3，形式的演绎。该阶段学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公理、定义、定理等。水平4，严密性。在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较。

范希尔的几何思维理论反映出学生几何能力的发展分为五个水平，学生几何思维水平的发展是循序渐进的，具有从低到高发展的次序性和进阶性，范希尔几何理论是指导几何课程改革和几何教学实践的重要理论依据。几何思维理论怎样才能走进课堂教学实践中？关键在于立足我国数学教育现状，充分了解学生的几何思维水平的情况，并与课标理念相结合才能更好地指导当前的几何课程改革。这样，理论才能具有实质性的指导意义并且才能得到更有效的应用和推广。

二、 研究方法

1.研究工具

本文对几何推理能力的研究主要包含图形推理能力、类比推理能力、自然推理能力、归纳推理能力、逻辑演绎推理能力五种。按照范希尔几何层次各编制15道试题，总计75道题。每道题5分，总分375分，题型设计上都采用选择题，测验时间2小时。试题是经高校从事数学教育的三位专家和二位从事多年一线数学教学工作的中学高级教师商讨确定的。在几何能力各具体因素的几何思维水平划分上采用如下方式：其中每一层次3道试题，每一层次学生正确解答2道试题及以上，就判断学生在该推理方式上到达该层次水平，如果学生仅能够正确做出1道试题及以下，就把该学生的几何层次归属为下一等级。如学生在归纳推理中第四层次上正确解答出2道试题，就认为学生的归纳推理能力达到第四层次，若学生在第四层次上正确解答出1道试题，就判定其归纳推理能力为第三层次。在0层次上无论是否正确解答试题都划归为0层次。

2.取样

本研究从贵阳、兴义、毕节三个城市分别随机抽取农村、城市各一所初中学校，在每所学校八年级里随机抽取一个班级进行测试。本次参加调查的学生人数为751人，其中测试问卷答题无法辨认或无法归属其几何思维发展水平的有59人。如在第一层次水平上没能够正确解答2道题，而在第二层次上能够正确解答2道或3道题。剔除这些样本后，有效试卷692份，有效率92.1%。

3.统计工具

本研究主要采用SPSS13.0对数据进行处理分析。

三、 研究结果

1.八年级学生几何推理能力与范希尔几何思考层次相关性

表1 八年级学生几何推理能力和范希尔几何思维水平相关性分析

“**P

由表1可知，范希尔几何思维水平与学生的几何推理能力成显著的正相关。说明学生的几何推理能力强，几何思维的水平就高。观察学生的几何推理能力各因素，其相互之间也存在显著的相关性，归纳推理和类比推理、自然推理也存在中度的相关性（相关系数分别是0.428、0.437），这说明学生的推理能力是相互影响、相互促进的，发展学生的几何推理能力需要整体考量。

2.不同几何思维水平学生的几何推理能力平均分和标准差

本研究中，对学生几何推理能力划分的主要标准是，若学生在几何推理的五个因素测验上，有三个及以下因素归属某水平，则其几何推理能力归属到下一水平，若有四个或五个因素归属某水平，则几何推理能力就归属某水平。如学生在几何推理能力测验中，归纳推理、类比推理和图形推理都属范希尔几何思维理论2水平，而自然推理、形式逻辑推理归属范希尔几何层次3水平，则其几何推理能力归为范希尔几何层次2水平。学生的几何能力最低划归为0层次水平。八年级学生几何推理能力所处的几何思维水平见表2。

表2不同几何思维水平的学生在几何推理能力方面的具体表现

从表2数据中可以看出，我国八年级学生几何推理能力在思维水平上主要集中在2、3两个层次。这说明，大多数学生具备较好的识别图形能力，能运用基本的公式定理进行简单的演绎推理，但在几何推理中缺乏严密性和规范性。其原因一方面是青少年思维品质受到学生身心发展程度的限制，八年级学生的思维方式具体直观思维占主体地位，抽象思维有所发展，但学生在处理几何问题时容易出现观察图形片面，思维缺乏严密性；另一方面是几何教育课程和教育方式对学生思维的影响，学生解决几何问题时思路狭隘，方法呆板，条件难以有效地利用。

3.学生的几何思维水平对其几何推理能力的影响

（1）不同几何思维水平学生在几何推理能力方面的变异系数分析

表3 几何推理各因素间的变异系数分析

由表3知，不同几何思维水平在几何推理能力方面的表现F值，达到极其显著性水平。这表明，学生的几何推理成绩会因为其几何思维水平的不同而不同。

（2）不同几何思维水平的学生在几何推理能力方面的比较

表4 不同几何思维水平的学生在几何推理能力方面的比较

由表4知，几何思维居于0层次的学生和其它各层次的学生在几何推理能力测验上都会表现出差异；1层次和3层次、4层次在几何推理能力上也会表现出极其显著的差异；2层次和3层次、4层次的学生也会在几何推理能力测验上表现出显著的差异。

四、 结论和建议

本研究表明，八年级学生的几何推理能力和范希尔几何思维水平成正相关，而且存在着交互影响的作用。八年级学生的几何思维水平主要集中在层次2、层次3水平上。不同的几何思维水平在学生的几何推理能力测验上也存在着显著性差异。

因此，在几何教学中应并行发展学生的几何推理能力和提高其几何思维水平。一方面，学生的几何推理能力需要学生能够从整体上把握图形间的结构关系。因此，几何教学时，要重视学生已有的知识经验基础，加强其对图形的感知和辨识，进而要求学生能够自主探索几何图形结构间的关系及其性质，运用螺旋上升的方式帮助学生夯实基础。另一方面，要充分关注学生的几何思维发展层次来组织几何教学。几何教学不但要关注其几何本质和数学特点，更要关注学生不同的思维发展水平，在不同图形的教学中考虑学生的认知基础和思维发展规律的特点，采用循序渐进的方式促使学生的几何思维水平向更高水平发展。

总之，学生的几何思维水映了学生独立分析问题、解决问题能力的强弱，学生的几何推理能力是反映其对数学信息的捕捉，促进学生形成良好的数学行为和习惯的关键。对八年级学生进行几何思维训练，能够促进其几何推理能力的发展，提高学生的几何推理能力也有助于其几何思维层次的提高。学生的几何思维能力和推理能力薄弱会对学生整个学业造成消极影响，消除这种负面的影响，是每一个从事数学教育的工作者的追求。

参考文献