二次根式有理化的方法
前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇二次根式有理化的方法范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。
二次根式有理化的方法范文第1篇
知识点一：
二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1.
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.
二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
知识点七：二次根式的性质和最简二次根式
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y
等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等
（3）最终结果分母不含根号。
知识点八：二次根式的乘法和除法
1.积的算数平方根的性质
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
2.
乘法法则
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3.除法法则
√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）
二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。
4.有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
知识点九：二次根式的加法和减法
1
同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2
合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
知识点十：二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
知识点十一：分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
如图
注意：1.根式中不能含有分母
2.分母中不能含有根式。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点：
1.
一元二次方程的一般形式:
a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、
b、
c；
其中a
、
b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2.
一元二次方程的解法:
一元二次方程的四种解法要求灵活运用，
其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3.
一元二次方程根的判别式:
当ax2+bx+c=0
(a≠0)时，Δ=b2-4ac
叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ＞0
有两个不等的实根；
Δ=0
有两个相等的实根；
Δ＜0
无实根；
Δ≥0
有两个实根（等或不等）.
4.
一元二次方程的根系关系：
当ax2+bx+c=0
(a≠0)
时，如Δ≥0，有下列公式：
5.
一元二次方程的解法
（1）
直接开平方法
（也可以使用因式分解法）
①
解为：
②
解为：
③
解为：
④
解为：
（2）
因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
如：
此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0
（3）
配方法
①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：
示例：
②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：
示例：
（4）公式法：一元二次方程，用配方法将其变形为：
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：
②
当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：
③
当时，右端是负数．因此，方程没有实根。
备注：公式法解方程的步骤：
①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并确定出、、
②求出，并判断方程解的情况。
③代公式：（要注意符号）
5．当ax2+bx+c=0
(a≠0)
时，有以下等价命题：
(以下等价关系要求会用公式
；Δ=b2-4ac
分析，不要求背记)
（1）两根互为相反数
Û
=
0且Δ≥0
Û
b
=
0且Δ≥0；
（2）两根互为倒数
Û
=1且Δ≥0
Û
a
=
c且Δ≥0；
（3）只有一个零根
Û
=
0且≠0
Û
c
=
0且b≠0；
（4）有两个零根
Û
=
0且=
Û
c
=
0且b=0；
（5）至少有一个零根
Û
=0
Û
c=0；
（6）两根异号
Û
＜0
Û
a、c异号；
（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值Û
＜0且＞0Û
a、c异号且a、b异号；
（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值Û
＜0且＜0Û
a、c异号且a、b同号；
（9）有两个正根
Û
＞0，＞0且Δ≥0
Û
a、c同号，
a、b异号且Δ≥0；
（10）有两个负根
Û
＞0，＜0且Δ≥0
Û
a、c同号，
a、b同号且Δ≥0.
6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜
0时，二次三项式在实数范围内不能分解.
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
或
ax2+bx+c=.
7．求一元二次方程的公式：
x2
-（x1+x2）x
+
x1x2
=
0.
注意：所求出方程的系数应化为整数.
8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一
（设增长率为x）：
(1)
第一年为
a
,
第二年为a(1+x)
,
第三年为a(1+x)2.
（2）常利用以下相等关系列方程：
第三年=第三年
或
第一年+第二年+第三年=总和.
9．分式方程的解法：
10.
二元二次方程组的解法：
11．几个常见转化：
，
，
，
，
，
等
；
；
沪科版八年级数学下知识点总结
勾股定理知识总结：
一．基础知识点：
1：勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则ABC是以∠C为直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，则ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2
（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）
3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：，，化简得证
6：勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等
③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；
（为正整数）（，为正整数）
二、规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
沪科版八年级数学下知识点总结
四边形知识点：
一、关系结构图：
二、知识点讲解：
1．平行四边形的性质（重点）：
ABCD是平行四边形Þ
2.平行四边形的判定（难点）：
.
3.
矩形的性质：
因为ABCD是矩形Þ
(4)是轴对称图形，它有两条对称轴．
4矩形的判定：
矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；
(2)有三个角是直角的四边形；
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)对角线相等且互相平分的四边形．
Þ四边形ABCD是矩形.
5.
菱形的性质：
因为ABCD是菱形Þ
6.
菱形的判定：
Þ四边形四边形ABCD是菱形.
7.正方形的性质：
ABCD是正方形Þ
8.
正方形的判定：
Þ四边形ABCD是正方形.
名称
定义
性质
判定
面积
平
行
四
边
形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
①
对边平行；
②对边相等；
③对角相等；
④邻角互补；
⑤对角线互相平分；
⑥是中心对称图形
①定义；
②两组对边分别相等的四边形；
③一组对边平行且相等的四边形；
④两组对角分别相等的四边形；
⑤对角线互相平分的四边形。
S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)
矩
形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角；
②对角线相等；
③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有三个角是直角的四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③定义。
S=ab(a为一边长，b为另一边长)
菱
形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
除具有平行四边形的性质外，还有
①四边形相等；
②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；
③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①四条边相等的四边形是菱形；
②对角线垂直的平行四边形是菱形；
③定义。
①S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；
②(b、c为两条对角线的长)
正
方
形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角，四条边相等；
②对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②有一个角是直角的菱形是正方形；
③定义。
①(a为边长)；
②(b为对角线长)
沪科版八年级数学下知识点总结
知识点1：表示数据集中趋势的代表
平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。
知识点2：表示数据离散程度的代表
极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。
极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。
知识点3：生活中与极差有关的例子
在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。
知识点4：平均差的定义
在一组数据x1，x2，…，xn中各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数即T=叫做这组数据的“平均差”。
“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。
知识点5：方差的定义
在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。
知识点6：标准差
方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。
知识点7：方差与平均数的性质
若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有
①x1+b，
x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b
②ax1，
ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a
二次根式有理化的方法范文第2篇
差值比较法分四步：作差、变形、判断符号、下结论。作差是依据，变形是手段，判断差的符号才是目的。
商值比较法分四步：作商、变形、比较商与1的大小、下结论，注意分母的正负号。
关键是变形，变形的目的是判断正负号或比较1的大小。 变形的技巧通常有以下九种：
一、化简
作差，化简是一种最常见的方法，即使不能直接判断差的正负，也要先化简，再作其它变形。
例1、求证a+3a-5
证明：a+3a-5-a+2a-4=a■-2a-15-a■-2a-8=-7
a+3a-5
二、通分
一般地，遇到分式先通分。通分，可以通分母，也可以通分子，通分母看分子，通分子看分母。
例2、已知a，b，m都是正数，并且a■
证明：■-■=■，
由于a，b，m都是正数，并且a
b+m>0，b-a>0
■>0
■>■
三、因式分解
因式分解，化“差”为“积”，几个因式的积或商，有利于判断正负。
例3、求证：若a>b>c，则bc■+ca■+ab■
证明：bc■+ca■+ab■-b■c+c■a+a■b=b-ac-ac-b a>b>c，b-a
（b-a）（c-a）（c-b）
bc■+ca■+ab■
四、配方
对于二次三项式，如果不能因式分解，就配方变成几个正数（或负数）的和。
例4、求证（1）x2+3>2x （2）a2+b2≥2a-b-1
证明：（1）（x2+3）-2x=（x-1）2+2>0
x2+3>2x
（2）a■+b■-2a-b-1=a-1■+b+1■≥0
a2+b2≥2（a-b-1）
五、有理化
一般地，遇到根式先有理化，有理化分三种，分子有理化、分母有理化、分子分母同时有理化。
例5、已知a？莛1，M=■-■，N=■-■比较M与N的大小。
证明：
M-N=■-■-■-■=■- ■
=■
=--■
M
六、拼凑，拆项分组，几个正数（或负数）的和
例6、已知a>b，c
证明：（a-c）（b-d）=（a-b）+（d-c）
a>b，c
a-b>0，d-c>0
（a-c）-（b-d）=（a-b）+（d-c）>0
a-c
例7、已知0
证明：a■-1-a=a■+a-1=a-■a+■-■
而0
a■
七、判别式
对于二次三项式，可以用判别式法。
例8、已知：a，b∈R求证：a■+b■？叟ab+a+b-1。
证明：a■+b■-ab+a+b-1=a■-b+1a+b■-b+1
对于a的二次三项式a■-b+1a+b■-b+1
=b+1■-4b■-b+1=-3b-1■？燮0
a■-b+1a+b■-b+1≥0
a2+b2≥ab+a+b-1
八、求最值
例9、已知0
证明：a■-1-a=a■+a-1
令y=a■+a-1=a+■■-■，而0
a2
九、分离常数
例10、已知a>0，b>0，求证：■+■≥■+■。
证明：■+■÷■+■=■= ■=1+■≥1
a>0，b>0
二次根式有理化的方法范文第3篇
一、填空题(共14小题，每小题2分，满分28分)
1.如果在实数范围内有意义，那么x满足的条件__________.
2.化简：=__________.
3.计算：2﹣=__________.
4.直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为__________.
5.已知反比例函数的图象经过点(1，2)，那么反比例函数的解析式是__________.
6.计算
7.方程(m+1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的范围__________.
8.某种原料价格为a元，如果连续两次以相同的百分率x提价，那么两次提价后的价格为__________.(用含a和x的代数式表示)
9.分解因式：x2﹣5x+2=__________.
10.某厂今年的产值是前年产值的翻一番，若平均年增长率为x，则可列方程__________.
11.y是x的正比例函数，当x=2时，y=，则函数解析式为__________.
12.已知y=(m﹣2)x是正比例函数，则m=__________.
13.到AOB的两边的距离相等的点的轨迹是__________.
14.如图，已知RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，现将ABC进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE=__________cm.
二、选择题：(每题3分，满分12分)
15.下列根式中，是最简根式的是()
A.B.C.D.
16.在下列方程中，是一元二次方程的是()
A.2x2=(x﹣3)(2x+1)B.+3x+4=0C.3x2=x(x﹣4)D.(x2﹣1)=0
17.如图，RtABC中，C=90，CDAB于D，E是AC的中点，则下列结论中一定正确的是()
A.4=5B.1=2C.4=3D.B=2
18.设k0，那么函数y=﹣和y=在同一直角坐标系中的大致图象是()
A.B.C.D.
三、简答题：(第19-22小题，每题5分;第23-24小题，每题7分;满分34分)
19.计算：.
20.计算：(4﹣)0+[(2﹣3)2].
21.解方程：(2x+)2=12.
22.解方程：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)=15.
23.若关于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
24.如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，C=90，求绿地ABCD的面积.
四、解答题：(第25-26小题，每题8分;第27小题10分，满分26分)
25.如图，OC平分AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE.求证：PDO+PEO=180.
26.如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，并且与反比例函数的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足是D，若OA=OB=OD=1;
(1)求：点A、B、C、D的坐标;
(2)求反比例函数的解析式;
(3)求AOC的周长和面积.
27.如图，已知：在ABC中，A=90，AB=AC=1，P是AC上不与A、C重合的一动点，PQBC于Q，QRAB于R.
(1)求证：PQ=CQ;
(2)设CP的长为x，QR的长为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并在平面直角坐标系作出函数图象.
(3)PR能否平行于BC?如果能，试求出x的值;若不能，请简述理由.
新人教版八年级上册数学期末试卷参考答案
一、填空题(共14小题，每小题2分，满分28分)
1.如果在实数范围内有意义，那么x满足的条件x.
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得2﹣3x0，再解不等式即可.
【解答】解：由题意得：2﹣3x0，
解得：x，
故答案为：x.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.
2.化简：=3x.
【考点】二次根式的性质与化简.
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.
【解答】解：由题意得，x0，
则=3x，
故答案为：3x.
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握a0时，=a是解题的关键.
3.计算：2﹣=.
【考点】二次根式的加减法.
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可.
【解答】解：原式=6﹣5
=.
故答案为：.
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键.
4.直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为4.
【考点】直角三角形斜边上的中线.
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
【解答】解：CAB=90，CM=BM，
AM=BC，又AM+BC=6，
BC=4，
故答案为：4.
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
5.已知反比例函数的图象经过点(1，2)，那么反比例函数的解析式是.
【考点】待定系数法求反比例函数解析式.
【分析】把(1，2)代入函数y=中可先求出k的值，那么就可求出函数解析式.
【解答】解：由题意知，k=12=2.
则反比例函数的解析式为：y=.
故答案为：y=.
【点评】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，此为近几年中考的热点问题，同学们要熟练掌握.
6.计算
【考点】实数的运算.
【分析】首先进行分母有理化，然后进行根式的运算即可求解.
【解答】解：==(﹣)=3.
【点评】此题主要考查了实数的运算.无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的.注意：表示a的算术平方根.
7.方程(m+1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的范围m﹣2且m﹣1.
【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.
【分析】由关于x的方程(m+1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，根据的意义得到m+10，且0，即4+4(m+1)0，解不等式组即可得到m的取值范围.
【解答】解：关于x的方程(m+1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
m+10，且0，即4+4(m+1)0，解得m﹣2，
m的取值范围是：m﹣2且m﹣1.
故答案为：m﹣2且m﹣1.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2﹣4ac：当0，方程有两个不相等的实数根;当=0，方程有两个相等的实数根;当0，方程没有实数根.
8.某种原料价格为a元，如果连续两次以相同的百分率x提价，那么两次提价后的价格为a(1+x)2.(用含a和x的代数式表示)
【考点】列代数式.
【分析】先求出第一次提价以后的价格为：原价(1+提价的百分率)，再根据现在的价格=第一次提价后的价格(1+提价的百分率)即可得出结果.
【解答】解：第一次提价后价格为a(1+x)元，
第二次提价是在第一次提价后完成的，所以应为a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元.
故答案为：a(1+x)2.
【点评】本题考查根据实际问题情景列代数式，难度中等.若设变化前的量为a，平均变化率为x，则经过两次变化后的量为a(1x)2.
9.分解因式：x2﹣5x+2=(x﹣+)(x﹣﹣).
【考点】实数范围内分解因式.
【分析】首先可将原式变形为(x﹣)2﹣，再利用平方差公式分解即可求得答案.
【解答】解：x2﹣5x+2
=x2﹣5x+﹣+2
=(x﹣)2﹣
=(x﹣+)(x﹣﹣).
故答案为：(x﹣+)(x﹣﹣).
【点评】本题考查了实数范围内的因式分解.注意此题将原式变形为(x﹣)2﹣是关键.
10.某厂今年的产值是前年产值的翻一番，若平均年增长率为x，则可列方程(1+x)2=2.
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【专题】增长率问题.
【分析】设平均年增长率为x，前年的产值为a，根据题意可得，今年产值(1+x)2=2今年产值，据此列方程.
【解答】解：设平均年增长率为x，前年的产值为a，
由题意得，a(1+x)2=2a，
即(1+x)2=2.
故答案为：(1+x)2=2.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程.
11.y是x的正比例函数，当x=2时，y=，则函数解析式为y=x.
【考点】待定系数法求正比例函数解析式.
【分析】设y与x的解析式是y=kx，把x=2，y=代入求出k即可.
【解答】解：设y与x的解析式是y=kx，
把x=2，y=代入得：=2k，
解得k=，
即y关于x的函数解析式是y=x，
故答案为：y=x.
【点评】本题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式的应用，注意：正比例函数的解析式是y=kx(k为常数，k0).
12.已知y=(m﹣2)x是正比例函数，则m=﹣2.
【考点】正比例函数的定义.
【分析】根据正比例函数的次数是1，系数不等于0列式计算即可得解.
【解答】解：根据题意得，m2﹣3=1且m﹣20，
解得m=2且m2，
所以，m=﹣2.
故答案为：﹣2.
【点评】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k0，自变量次数为1.
13.到AOB的两边的距离相等的点的轨迹是AOB的平分线.
【考点】轨迹.
【分析】根据角的平分线就是到角的两边相等的点的轨迹，据此即可解答.
【解答】解：到AOB的两边的距离相等的点的轨迹是：AOB的平分线.
故答案是：AOB的平分线.
【点评】本题考查了点的轨迹，正确理解角平分线的定义是关键.
14.如图，已知RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，现将ABC进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE=1.875cm.
【考点】翻折变换(折叠问题);勾股定理;轴对称的性质;相似三角形的判定与性质.
【专题】压轴题.
【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.
【解答】解：在直角ABC中AB===5cm.则AE=AB2=2.5cm.
设DE=x，易得ADE∽ABC，
故有=;
=;
解可得x=1.875.
故答案为：1.875.
【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系.
二、选择题：(每题3分，满分12分)
15.下列根式中，是最简根式的是()
A.B.C.D.
【考点】最简二次根式.
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.
【解答】解：A、被开方数含分母和能开得尽方的因式，不是最简二次根式;
B、被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式;
C、是最简二次根式;
D、被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式.
故选C.
【点评】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
16.在下列方程中，是一元二次方程的是()
A.2x2=(x﹣3)(2x+1)B.+3x+4=0C.3x2=x(x﹣4)D.(x2﹣1)=0
【考点】一元二次方程的定义.
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的次数是2;二次项系数不为0;整式方程;含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.
【解答】解：A、2x2=(x﹣3)(2x+1)是一元一次方程，故A错误;
B、+3x+4=0是分式方程，故B错误;
C、3x2=x(x﹣4)是一元二次方程，故C正确;
D、(x2﹣1)=0是无理方程，故D错误;
故选：C.
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的次数是2.
17.如图，RtABC中，C=90，CDAB于D，E是AC的中点，则下列结论中一定正确的是()
A.4=5B.1=2C.4=3D.B=2
【考点】直角三角形斜边上的中线.
【分析】根据直角三角形两锐角互补的性质和斜边中线的性质进行解答即可.
【解答】解：RtABC中，C=90，
A+B=90.
CDAB，
5+B=90，
5=A，
E是AC的中点，
DE=AE，
4=A，
4=5，
故选：A.
【点评】本题考查的是直角三角形两锐角互补的性质和斜边中线的性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键.
18.设k0，那么函数y=﹣和y=在同一直角坐标系中的大致图象是()
A.B.C.D.
【考点】反比例函数的图象;正比例函数的图象.
【分析】根据正比例函数y=kx的性质：k0，图象经过原点，在第一、三象限;反比例函数y=的性质：k0，图象在第二、四象限的双曲线可得答案.
【解答】解：k0，
﹣0，
函数y=﹣的图象经过原点，在第一、三象限，
k0，
y=的图象在第二、四象限，
故选：D.
【点评】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的性质，关键是掌握两个函数的性质.
三、简答题：(第19-22小题，每题5分;第23-24小题，每题7分;满分34分)
19.计算：.
【考点】二次根式的乘除法.
【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则求解.
【解答】解：原式=
=x.
【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法则.
20.计算：(4﹣)0+[(2﹣3)2].
【考点】实数的运算;分数指数幂;零指数幂.
【分析】分别根据0指数幂的计算法则，数的乘方及开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
【解答】解：原式=+1+3﹣2
=+2+1+3﹣2
=6﹣.
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂的计算法则，数的乘方及开方法则是解答此题的关键.
21.解方程：(2x+)2=12.
【考点】平方根.
【分析】根据平方根的概念进行解答即可.
【解答】解：(2x+)2=12，
2x+=2，
2x=2﹣，
x1=，x2=﹣.
【点评】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，掌握平方根的定义是解题的关键.
22.解方程：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)=15.
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【专题】计算题.
【分析】先移项得到：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)﹣15=0，然后把方程看作关于x﹣1的一元二次方程，再利用因式分解法解方程.
【解答】解：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)﹣15=0，
[(x﹣1)﹣5][(x﹣1)+3]=0，
(x﹣1)﹣5=0或(x﹣1)+3=0，
所以x1=﹣6，x2=﹣2.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
23.若关于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
【考点】根的判别式.
【专题】探究型.
【分析】先根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出0，再求出k的取值范围即可.
【解答】解：关于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，
，
解得k.
所以k的取值范围是k且k2.
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意列出关于k的不等式是解答此题的关键.
24.如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，C=90，求绿地ABCD的面积.
【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理.
【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判定ABD为直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角BCD的面积+直角ABD的面积.
【解答】解：连接BD.如图所示：
C=90，BC=15米，CD=20米，
BD===25(米);
在ABD中，BD=25米，AB=24米，DA=7米，
242+72=252，即AB2+BD2=AD2，
ABD是直角三角形.
S四边形ABCD=SABD+SBCD
=ABBD+BCCD
=247+1520
=84+150
=234(平方米);
即绿地ABCD的面积为234平方米.
【点评】本题考查勾股定理及其逆定理的应用.解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，求出BD的长.
四、解答题：(第25-26小题，每题8分;第27小题10分，满分26分)
25.如图，OC平分AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE.求证：PDO+PEO=180.
【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
【专题】证明题.
【分析】如图，作辅助线，证明PMD≌PNE，得到MDP=PEN，即可解决问题.
【解答】证明：如图，过点P作PMOA，PNOE;
OC平分AOB，
PM=PN;
在PMD与PNE中，
，
PMD≌PNE(HL)，
MDP=PEN;
MDP+ODP=180，
PDO+PEO=180.
【点评】该题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题;解题的关键是作辅助线;牢固掌握定理是灵活运用、解题的基础和关键.
26.如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，并且与反比例函数的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足是D，若OA=OB=OD=1;
(1)求：点A、B、C、D的坐标;
(2)求反比例函数的解析式;
(3)求AOC的周长和面积.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【专题】计算题.
【分析】(1)由OA=OB=OD=1可直接得到点A、B、C、D的坐标;
(2)先利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=x+1，由于CD垂直于x轴，垂足是D，则C点的横坐标为1，再把x=1代入y=x+1得y=2，从而确定C点坐标为(1，2)，然后再利用待定系数法确定反比例函数的解析式;
(3)利用勾股定理分别计算出AC和OC，然后根据三角形的周长与面积公式分别计算AOC的周长和面积.
【解答】解：(1)OA=OB=OD=1，
点A坐标为(﹣1，0)，点B坐标为(0，1)，点C坐标为(1，2);点D的坐标为(1，0).
(2)设直线AB的解析式为y=ax+b，
把A(﹣1，0)，B(0，1)代入得，
解得，
直线AB的解析式为y=x+1，
CD垂直于x轴，垂足是D，
C点的横坐标为1，
把x=1代入y=x+1得y=2，
C点坐标为(1，2)，
设反比例函数的解析式为y=，
把C(1，2)代入得k=12=2，
故反比例函数的解析式为y=;
(3)在RtACD中，AD=2，CD=2，
AC==2，
在RtOCD中，OD=1，CD=2，
OC==，
AOC的周长=OA+OC+AC=1++2;
AOC的面积=OACD=12=1.
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两个函数的解析式;待定系数法是确定函数关系式常用的方法.也考查了勾股定理.
27.如图，已知：在ABC中，A=90，AB=AC=1，P是AC上不与A、C重合的一动点，PQBC于Q，QRAB于R.
(1)求证：PQ=CQ;
(2)设CP的长为x，QR的长为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并在平面直角坐标系作出函数图象.
(3)PR能否平行于BC?如果能，试求出x的值;若不能，请简述理由.
【考点】动点问题的函数图象.
【专题】计算题.
【分析】(1)易得ABC为等腰直角三角形，则B=C=45，然后利用PQCQ可得到PCQ为等腰直角三角形，所以PQ=CQ;
(2)根据等腰直角三角形的性质得BC=AB=，CQ=PC=x，同理可证得为BQR等腰直角三角形，则BQ=RQ=y，所以y+x=1，变形得到y=﹣x+(0
(3)由于AR=1﹣y，AP=1﹣x，则AR=1﹣(﹣x+)，当AR=AP时，PR∥BC，所以1﹣(﹣x+)=1﹣x，解得x=，然后利用0
【解答】(1)证明：A=90，AB=AC=1，
ABC为等腰直角三角形，
B=C=45，
PQCQ，
PCQ为等腰直角三角形，
PQ=CQ;
(2)解：ABC为等腰直角三角形，
BC=AB=，
PCQ为等腰直角三角形，
CQ=PC=x，
同理可证得为BQR等腰直角三角形，
BQ=RQ=y，
BQ+CQ=BC，
y+x=1，
y=﹣x+(0
如图，
(3)解：不能.理由如下：
AR=1﹣y，AP=1﹣x，
AR=1﹣(﹣x+)，
当AR=AP时，PR∥BC，
即1﹣(﹣x+)=1﹣x，
解得x=，
x=舍去，
二次根式有理化的方法范文第4篇
在多年的初中数学教学中经常遇到这种现象：有的题学生解答不出来时，只要老师将题目念一边，有时甚至读到一半时，他们就会叫道：“哦，原来如此！”这是为什么呢？原因就出在学生的阅读能力上。
同时，也发现在初中数学教学中，数学的阅读教学也没得到重视。有的老师整节课不让学生打开课本，认为学生看了课本后，什么都知道了，没什么可探究的，数学课本仅当习题集；有的老师虽然重视预习，也布置了阅读作业，然而对学生的阅读效果却很少检查，学生也少回头审视，反思自己的阅读收获，自以为读懂了，课堂上听不好甚至不听，结果预习反而影响了上课。常常是老师反复讲解，学生被动接受，课堂教学效率不高。因此，指导学生进行有效阅读，形成良好的阅读习惯，培养学生的阅读能力，使他们获得终身学习的本领是非常必要的。
2培养初中生数学阅读能力的措施
2.1三个重要环节。
在初中数学教学中，教师应抓住课前预习指导读，课上研究深入读，课后复习全面读这三个重要环节，以此来提高学生的阅读能力。
2.1.1课前预习指导读。
课前预习指导读，是引导学生阅读入门、指导学生阅读方法的重要途径。数学教材不同于文科类的教材，它具有明显的抽象性和简洁性等特点。学生开始阅读教材时，很可能会按照他们阅读语文或小说的习惯而很少进行分析思考，结果收获甚微，甚至失去阅读兴趣。此时，老师可在课前编好导读提纲，引导和启发学生在阅读中思考：新知是怎样引进的？与旧知识有何联系？新知识将解决什么问题？概念怎样得来？定理的条件、结论是什么灯问题。例如学生在阅读《菱形》一节时，首先要从“有一组邻边相等的平行四边形叫菱形”得定义中认识到菱形也是平行四边形――旧知，又要紧扣菱形毕竟是特殊的平行四边形，即“邻边相等”这一补充条件――新知；于是我们不难知道菱形应具有平行四边形的性质，这时就需要我们回顾平行四边形的性质，然后再根据补充条件看一看菱形的边、角、对角线、面积计算该有怎样的变化？不明确的问题要仔细分析，相互讨论或请教老师。
2.1.2课上研究深入读。
培养学生阅读数学教材的能力是数学课堂教学的一个重要任务。课上研究深入读，是帮助学生阅读入门、指导学生阅读方法的重要途径。教师可结合教学内容，用提问的方式检查学生的预习情况，了解学生是否做了阅读笔记，是否自己整理出本节的重点提纲。根据学生在阅读中存在的问题进行具体分析指导，并开展全班性的探讨。如学生独立阅读完《约分》一节例3 约分：
后可先问学生：第一小题约分时，分子分母同除以什么？4xy3实际上是什么？分子分母的公因式是如何确定的？（当分子分母的系数是整数时，取它们的最大公因数与分子分母中相同因式的最低次幂的积。）第二小题第一步应是因式分解，用什么方法分解？为什么要因式分解呢？（分解后出现了公因式可以约分。）再比较这两小题有什么不同呢？ （第一小题分子分母都是单项式，第二小题分子分母都是多项式，要约分必须先要因式分解。）最后，设置一些易混易错的题目让学生练习，待他们暴露出各种问题后在让他们阅读有关课本内容，进行议论评价，使他们对课本中的内容有更加深刻的理解。
2.1.3课后复习全面读。
课后复习全面读，是促进学生阅读入门、提高学生阅读效率的重要方法。实践证明，一次阅读往往不能提取到材料中的全部信息，因此要重视复读。所谓复读就是在一单元或一章的内容学完后，教师要求学生对学过的知识进行复习性阅读，目的是让学生温故而知新。具体的阅读任务是：①通过阅读，把本章节或单元的主要知识点按若干类别加以归纳、整理、系统化、概括化，以形成纲要或图表，更好的理清知识间的关系，加强记忆；②提炼数学思想方法，把本单元或章节中出现的解题方法或思想明确化，书写在阅读笔记或章节总结里，以加深对思想方法的认识；③对本单元或章节中相关的或相似的数学对象进行异同比较，加深对概念、定理的理解；④对具有因果关系、隶属关系的数学对象归类成知识网络等.这样可以有效地训练学生归纳概括的思维技能，以帮助学生系统地掌握知识。如在复习《二次根式》时，首先要归纳本章学过的公式及公式中字母的取值范围。其次要总结二次根式化简的两种情况（被开方数的分解和分母有理化），然后进一步总结分母有理化中可能出现的几种情况（含有理化因式的求法）。当自己通过阅读课本、资料，并能以题目为例完成以上提纲后，就基本掌握了本章内容。
2.2注意的几个问题。
除根据教材内容的不同，精心组织阅读问题，选择不同的阅读指导方法外还要注意一下3个问题。
2.2.1合理安排阅读时间。阅读时间太长会影响教学进度；时间太短，又会导致阅读流于形式。
2.2.2及时反馈阅读信息。课堂阅读实际上是一个交流信息，检测阅读质量的过程，教师可以采取提问，做题，互相讨论等方式来检查阅读效果，随时发现问题使指导阅读更有针对性。
二次根式有理化的方法范文第5篇
关键词：激趣；引疑；设误
中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2012）05-0037-01
培养学生的思维能力，需要我们教师以学生为主体，积极有效地促使学生主动地学习和思考，让学生在教师的诱导、启迪下去发现问题、解决问题。怎样才能启而得法，诱之有效，就需要我们每一位教师不断深入探讨。本文针对如何实施启发式教学谈谈自己的一些做法，旨在与同行一起探索启发式教学的规律，有效地提高课堂教学质量。
一、激趣启发
兴趣是学习最重要、最直接的内部动力，是发展智力最活跃的因素。学生有了这种内在兴趣动机，可以表现高度的学习积极性和自觉性。然而数学的抽象性和严密性往往掩盖了实际的趣味性和实践性。心理学指出，兴趣可由客观的生活意义和主观情绪上的引力所致。那么，在教学中常常引入学生熟悉的日常生活中的例子，往往能有效地激发学生学习兴趣。在教学实践中，摆脱纯演绎数学的模式，尽可能再现数学发现的基本过程，以及数学与生产、生活的联系，对扩大学生的知识面，增加趣味性和实践性，激发学生学习数学、应用数学的兴趣，提高应用数学的能力等，都能起到较好的促进作用。为此，本人非常注重利用课本中每章节中的插图、引序、例题和一些练习，作为启发的“导火索”。例如在学习方差这一节内容时，提出这么一个问题：有一位射击教练要从甲、乙两个射击运动员中选一个去参加比赛，让每位运动员各射击10次，成绩分别如下，甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4；乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7。假如你是教练，你选谁去呢？学生纷纷计算平均环数，结果一样。学生觉得选谁都一样，教师继续引导学生，如果选稳定性好一点的运动员呢？学生又纷纷观察数据，认为乙比较稳定。教师又引导怎样用一组数字来说明你的观察呢？学生纷纷提出方法。于是在教师的引导下，学生顺利接受和理解了方差的计算公式，课堂气氛活跃，趣味盎然，学生既掌握了知识，又学会了应用。
二、引疑启发
数学教学过程是一个不断设疑、破疑、再疑的过程。从某种意义上说，数学教学设计就是问题的设计。让学生在课堂中沿着“无疑——有疑——无疑”这样一条波浪式的路线前进。这起伏的浪花将推动学生积极思考。如在“全等三角形判定”导入课的教学中可创设这样的问题情境，先用图片出示一块三角形玻璃碎成的两块。然后问：如果照原样到店里配一块，要不要把两块玻璃都带去？如果只能带一块，那么应该带哪一块呢？为什么？通过学生思考、讨论，最后让他们用纸片演示一下。这样，知识的掌握以及思维的培养就能达到较好的境地。又如在圆周长公式应用的教学中，通过“一根足够长的铁丝紧贴地球形成一个圆圈，如果把这个铁丝再放长10米，在地球和铁丝之间形成的缝隙能通过一只老鼠还是一头牛？”来创设情境，可以由趣生疑，由疑引思。
三、设误启发
学生在学习数学知识过程中发生错误是很正常的。如不顾条件乱用结论，或丢三落四，或考虑不全面等。教师在教学中可“故设陷阱”，有意让学生“暴露问题”，或者顺其错误不断启导，使学生恍然大悟，留下深刻印象。例如：在学习整式的加减后，先要求学生用数学文字语言叙述3a－（2a－1）,即3a与2a－1的差，然后教师故意设“错”问学生，若把这段文字语言翻译成符号语言3a－2a－1可以吗？教师的故意设“错”，学生会真切到感受到问题的矛盾冲突，会整体感知数学语言的思想，通过这类问题情境的创设，能有效纠正学生常犯的顽固性错误，对培养学生的批判性思维也大有裨益。
四、类比启发
很多数学知识在内容和形式上都有相通之处，新旧知识之间既有联系又有区别，以类比旧知识导入新知识，体现了知识的自然延续和升华，体现了知识的发生与迁移过程。这样既培养和发展了学生思维的广阔性，增强他们数学发现能力，同时又巩固掌握了旧知识。如在讲“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质时，可与“等腰三角形性质”进行类比。教师先通过复习等腰三角形性质，使学生明白：等腰三角形的底边上的中线把它分成两个直角三角形，然后设问，反过来，能或将一个直角三角形分成两个等腰三角形呢？这时学生会感到好奇，便积极思考，经过教师的合理引导后发现结论。又如讲“二次函数性质”时，可与“一次函数性质”进行类比讲解。讲课时教师先让学生回忆一次函数的性质与图像及与坐标轴交点的做法，然后让学生思考二次函数的性质图像及与坐标轴交点的求法等。再如解：这个方程，可通过类比，利用合比性质将较复杂的分式方程简化形式，得：，整理得x(x+2)(x-2)=0所以。经检验都是原方程的根。这样由浅入深，由易到难进行类比启发，不但能达到复习旧知识的目的，而且能较快地掌握新知识，从中更能培养学生的分析、总结及探究的能力。
