概率论的基本原理

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概率论的基本原理范文第1篇

一、调整教学内容

教学内容应该改变以往“重概率、轻统计”和“重运算技巧、轻数学思想”的传统教学思想，删减其中一些复杂的计算，加强统计中基本理论和基本数学方法的教学。减少概率论课时，加大统计内容，增加统计课时。

1.概率方面，古典概型概率、期望与方差等

内容在中学接触过，学生接受较快故可以弱化;减少概率论课时，将重点放在条件概率、乘积公式、全概率公式与贝叶斯公式上，加强随机变量的内容。

2.统计方面，突出“厚基础”“重应用”的特色，增加统计课时，强调假设检验和回归分析等原理的分析与实际应用，着重培养学生应用统计中的基本原理去解决实际问题的能力。

二、改进教学方法

概率论与数理统计是一门在解决实际问题的过程中发展起来的学科，概率论与数理统计的思想方法、原理、公式的引入，最能激发学生的兴趣，并印象深刻的是从贴近生活的问题及案例引入。教师在授课过程中可从每个概念的直观背景入手，精心选择一些跟我们的生活密切相关而又有趣的实例，从而激发学生的兴趣．调动他们学习的积极性和主动性。

1.概率论部分的教学。(1)概率论内容的学习中，学生一般不能很好地理解全概率公式与贝叶斯公式的原理。举例:某大学学生对概率论与数理统计课程的兴趣程度可分为四个层次:很感兴趣，较感兴趣，一般，没有兴趣。最近的一项调研统计表明此四个层次的学生数之比为:1∶3∶4∶2。而这在四类同学中该课程一次性能通过的可能性分别为:0．98，0．88，0．50，0．20。1)考试在即，在即将参加此门课程考试的学生中任抓一学生考察，试问该生此次考试该门课程一次性通过的可能性为多大?2)考试结束，阅卷老师发现某名学生顺利通过此次考试，试问该生对此课程兴趣层次是属于一般的可能性有多大?身边的例子激起了学生的兴趣，通过1)的解答很快让学生理解全概率公式，通过2)的分析让学生理解贝叶斯公式的原理。(2)大数定理的教学。大数定理是概率论中非常重要的定理，在教学中如果仅仅将定理的内容告诉学生，很多学生不能理解。讲课时举例子:在装有7白球与3黑球的盒子里任意抽取一个记下结果再放回去，当抽取白球时计1，抽到黑球时计0，不停地重复下去，就得到一组由1、0构成的数字，如一人抽取得到:10010111010111000101111111100000001010010111011000从数据中你看不出任何特征与规律，换一个人来重复这一试验，他也会得到这样一串由1、0构成的数据，同样杂乱无章，但结果与第一人的结果不同。虽然如此，当做的试验次数越来越多时，这一串串杂乱的数中1所占的比例随做的试验次数的增加愈来愈稳定到一个值上，这个值就是盒子内白球的比率7/10。比率的稳定性只有在数串长度足够大(实验的次数足够多)时才能表现出来，这就是大数定理这个名称的由来。历史上概率论方面重要的学者雅各布?伯努利证明了在一定条件下“当试验次数愈来愈大时，频率愈来愈接近于概率”，这个结论称为伯努利大数定理。此定理的意义在于对经验规律的合理性给出了一个理论上的解释。在现实生活中，很难甚至于不可能达到伯努利大数定理中的理想化条件，但大部分的情况下与之非常接近，因此伯努利证明的结论“基本上”能适应。

2．统计部分的教学。学生经常觉得统计部分的参数估计、假设检验、回归分析等内容杂、头绪乱。在教学过程中，可以引入案例，对每一个案例进行分析:(1)要解决什么问题?(2)有些什么方法，而这些方法的基本思想是什么?合理性?(3)运用这些方法解决问题的基本步骤是什么?(4)如何将这些方法运用于实际问题中?这样能使学生理清思路，从整体上把握统计的基本思想，如假设检验可以用食品生产线上的产品质量检验的案例分析;回归分析可以用资源评估的案例来分析等。

3.加强与其他学科的联系，提高学生运用能力。在教学中，通过一些实际案例将教学内容与学生所学的专业相结合，让他们运用统计方法解决一些专业上的统计分析问题，如对生物、食品专业的学生可以让他们将自己做的实验数据以统计的方法处理，对于海洋专业的学生可以让他们进行海洋环境数据分析;对于金融专业的学生，可以让他们了解一些基于概率论与数理统计的经济与管理模型。让学生真正感到学有所用，不仅可以提高学生的学习兴趣，又可以在实际应用中掌握概率论与数理统计基础知识，学会运用这些知识解决实际问题，一改“授之以鱼”为“授之以渔”。

概率论的基本原理范文第2篇

在水资源工程中可靠性概念应用早于风险，近年来国内的许多学者对此进行了研究。傅湘等用概率组合方法估算了水库下游防洪区的洪灾风险率，用系统分析方法建立了大型水库汛限水位风险分析模型；冯平等研究了汛限水位对防洪和发电的影响，通过风险效益比较定量给出了合理的汛限水位。

二、水库风险分析方法研究

（一）静态与动态相结合的调查方法

调查方法是通过对风险主体进行实际调查并掌握风险的有关信息。

（二）微观与宏观相结合的系统方法

系统方法是现代科学研究的重要方法。它是从系统整体性出发，通过研究风险主体内部各方面的关系、风险环境诸要素之间的关系、风险主体同风险环境的关系等，确定风险系统的目标，建立系统整体数学模型，求解最优风险决策，建立风险利益机制，进行风险控制和风险处理。

（三）定性和定量相结合的分析方法

1、定性风险分析方法：主要用于风险可测度很小的风险主体。

2、定量风险分析方法：借助数学工具研究风险主体中的数量特征关系和变化，确定其风险率（或度）。

（1）基于概率论与数理统计的风险分析方法

概率论与数理统计是研究水库调度中可靠性与风险率的最为有力的工具，如过去对水库运行的发电保证率和灌溉保证率等的计算均是建立在该基础上的。该基础理论和方法也适宜于解决风险率的计算。

水库调度中风险的特点及分析方法：

①采用典型概率分布函数计算风险率

在水库调度中，影响风险主体的不确定性风险变量(或随机变量)大都服从一些典型的概率分布，如三角形分布、威布尔分布、正态分布、高斯分布、伽玛分布、皮尔逊Ⅲ型分布等。

②风险度分析法

用概率分布的数学特征如标准差σ或σ-半标准差，可说明风险的大小。σ或σ-越大则风险越大，反之越小。因为概率分布越分散，实际结果远离期望值的概率就越大。

σ=(DX)1/2=((Xi-MX)2/(n-1))1/2或σ-=(DX)1/2=((Xi-MX)2P(Xi))1/2

σ是仅统计XiMX。用σ、σ-比较风险大小虽然简单，概念明确，但σ-为某一物理量的绝对量，当两个比较方案的期望值相差很大时可比性差，同时比较结果可能不准确。为了克服用σ-可比性差的不足，可用其相对量作为比较参数，该相对量定义为风险度FDi，即标准差与期望值的比值(方差系数)：

FDi=σi/MX=σi/μi

风险度FDi越大，风险越大，反之亦然。风险度不同于风险率，前者的值可大于1，而后者只能小于等于1。

③离散状态组合法

此法的基本原理是，首先给出各风险变量的离散型估计值，然后按照概率组合原理由这些离散的估计值来推求结果出现的大小及其可能性。

（2）基于马尔柯夫过程的风险分析法

水库调度中的入库径流过程一般服从于马尔柯夫过程（马氏过程）。马氏过程是一类变量之间和相互关联影响的非平稳随机过程,其基本特性是无后效性。用马氏过程已成功地推求了水库调度方案的发电可靠率（保证率）。

（3）蒙特卡洛模拟法（MC法）

此法是目前西方国家广泛应用的投资风险分析方法，其基本思路是将影响工程经济效果的风险变量依各自的分析分别进行随机取样，然后用各变量的随机值来计算经济评价指标值，这样对每个变量随机地取一次样就可以计算出经济评价指标的一个随机值，要作出经济效果评价指标与其实现的累积概率的关系曲线，需要多次的重复试验，且随随机风险变量的增多，其重复模拟计算的次数也要增多，需借助计算机进行计算。

（4）模糊数学风险分析法

水库调度中的不确定性因素很多，如径流、用水、库水位变化等，常模糊不清，具有明显的模糊现象和特征，因而用模糊数学进行风险分析是非常适宜的。

（5）极限状态法（JC法）

JC法是一阶二次矩法的改进，该法适用于随机变量为任意分布的情况。其基本原理是：先将随机变量的非正态分布用正态分布代替，对于此正态分布函数要求在验算点处的累计概率分布函数(CDF)值和概率密度函数(PDF)值与原来分布函数的CDF值和PDF值相同。然后根据这两个条件求得等效正态分布的均值和标准差，最后用一阶二次矩法求出风险值。

（6）最大熵法

最大熵法的基础是信息熵，此熵定义为信息的均值，它是对整个范围内随机变量不确定性的量度。信息论中信息量的出发点是把获得的信息作为消除不确定性的测度，而不确定性可用概率分布函数描述，这就将信息熵和广泛应用的概率论方法相联系。又因风险估计实质上就是求风险因素的概率分布，因而可以将信息熵、风险估计和概率论方法有机地联系起来，建立最大熵风险估计模型：先验信息（已知数据）构成求极值问题的约束条件，最大熵准则得到随机变量的概率分布。

应用最大熵准则构造先验概率分布有如下优点：①最大熵的解是最超然的，即在数据不充分的情况下求解，解必须和已知的数据相吻合，而又必须对未来的部分做最少的假定；②根据熵的集中原理，绝大部分可能状态都集中在最大熵状态附近，其预测是相当准确的；③用最大熵求得的解满足一致性要求，不确定性的测度（熵）与试验步骤无关。

三、小结

概率论的基本原理范文第3篇

【关键词】概率论与数理统计 案例 应用

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0105-02

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科，是认识各种随机现象的基础，它通过对随机现象的观察找出内在的规律性，并对内在规律进行定量分析给出理论。概率论与数理统计具有明显的实际背景和广阔的应用空间，在教学中适当引入案例，通过分析实际案例，可以调动学生学习的主动性和积极性，更好地掌握这门课程。

1.案例教学的要点

1.1案例教学与理论教学相辅相成

案例是为教学服务的，一定要处理好主次关系，只有理解基本概念和基本理论，才能展开案例讨论。将讲授式授课和案例教学结合起来，这样既能够使学生系统掌握理论知识，又能够应用所学的知识去分析和解决一些实际问题。

1.2案例的选择

案例的选择要做到有的放矢，尽量选择和课程内容密切相关并能联系学生专业实际的案例，也可以选择一些社会生活中学生有浓厚兴趣的数学问题；案例要具有代表性，要能够从案例的解决过程中得出一般的规律，并通过案例的分析让学生学到方法论；案例的难易程度要适中，这样才能在有限的课堂时间内完成教学。

1.3案例在课堂教学中的使用

在保证完成正常教学进度的前提下插入案例，做到案例教学与课堂知识的有机结合。 教师可以从案例出发引入概率统计的相关概念、基本原理、统计方法，也可以选择合适案例来说明概率统计原理与方法的应用。

2.由问题引出概念

在概率论与数理统计课堂教学中引入知识时，由问题出发引出新的概念、公式、定理，这样，教师能很好地利用学生已有的或较易理解的知识进行教学，学生也能通过已经学过的或较易理解的知识去接受和掌握新的知识和规律。比如在介绍数学期望定义时，我们采用由实际问题引入，然后给出离散型随机变量数学期望的定义。

首先提出案例：某车间对工人的生产情况进行考察，我们先观察小张100天的生产情况。其中32天没有出废品；30天每天出一件废品；17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。那么小张在100中每天平均废品数为多少？（ 这里假设小张每天出废品数不超过3件）

学生很容易应用算数知识得到这100天中每天的平均废品数为：

接下来让学生思考如下问题：若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天会不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数会不会也是1.27呢？

学生回答：“不一定。”教师问：“为什么不一定呢？”学生回答：“因为小张每天生产的废品数具有随机性。”这样教师可以进一步引导，设车工小张每天生产的废品数x是一个随机变量。如何定义x的平均值呢？

可以想象，一般来说，若统计n天，其中n0天没有出废品；n1天每天出一件废品；n2天每天出两件废品；n3天每天出三件废品。可以得到n天中每天的平均废品数为：

这是以频率为权的加权平均。当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数x的平均值时，用概率代替频率，得平均值为：

这是以概率为权的加权平均，这样得到的确定的数就是随机变量x的平均值。于是请学生给出平均值的定义，从而引出数学期望。

数学期望定义：设x是离散型随机变量，它的分布率是P{X=xk}=pk k=1，2，…，若级数xkpk绝对收敛，则称级数xkpk的和为随机变量X的数学期望又称为均值，记为E（X）， 即E（X）

像这样通过实际案例引入概念，使学生经历这个解决问题的过程之后加深对基础知识的理解。

3.应用案例举例

对于概率论与数理统计知识的应用，可以选择一些源于课本又高于课本的案例，引导学生去思考，根据所学知识解决实际问题，下面以“手机话费套餐选择问题”为例。

设某通讯公司有若干种手机月话费套餐如下：

3.1神州行大众套餐

3.1.1市话费为月包干费10元，送每月100分钟市话费；

3.1.2市话费为月包干费20元，送每月200分钟市话费；

3.1.3市话费为月包干费30元，送每月300分钟市话费；

3.1.4市话费为月包干费50元，送每月500分钟市话费。

其他费用有来电显示费每月5元，超过包干市话时间后，呼入呼出每分钟0.4元；国内漫游每分钟0.6元；移动公司内短信每条0.1元；联通及小灵通短信每条0.15元等。这些费用对四种套餐都是一致的。

3.2新顺心卡

市话费为每分钟0.15元，500次被叫为每分钟0.02元，来电显示费每月5元，省内漫游每分钟0.8元，不能进行省际漫游。

检查一段时间内（如一年）某用户每月的市话通话总时间的取值情况如下（单位：分钟）：

试问该用户怎样选择上述套餐可以使每月的话费最省？

这一案例中蕴含了很多概率论与数理统计的知识，比如随机变量的分布，正态分布，随机变量函数的数学期望，中心极限定理，统计样本的选取，样本均值，样本方差等。

令Y表示某用户的手机在一个月内呼叫或被呼叫的市话时间总数（单位：分钟）。则Y为随机变量。

由中心极限定理知，该手机用户每月市话时间大致服从正态分布。从上述样本知，

令Y表示某用户一个月的手机市话费则依据不同的缴费方式，如神州行大众套餐，可得随机变量Y与X的函数关系如下：

此处，常数c分别取100分钟，200分钟，300分钟和500分钟。

问题的本质转化为计算手机话费的期望值，期望值较低的付费就较合理。由上述关系式很容易算得随机变量Y的期望值。

另外，新顺心卡的期望值：

由此可见，若忽略漫游、短信等其他费用，仅考虑市话费，根据历史数据，可以认为该手机用户选择每月20元话费包干时的理想消费值最低，故应该选择每月20元话费包干。

总之，案例教学法不但适用于教学主题的导入，也适用于对教学内容的深化和补充，好的案例不但能培养学生学习的兴趣，使学生变被动学习为主动学习，而且能进一步加深学生对学习内容的理解和掌握，从而达到提高课堂教学效果的目的。

参考文献：

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：北京高等教育出版社，2007

[3]冯小杰.浅谈“案例教学”的实践操作[J].科教文汇，2008.11

概率论的基本原理范文第4篇

关键词: 独立随机过程;计数系统;归纳法;保险业

概率论是一门应用非常广泛的学科。在数学史上，它的产生是以帕斯卡和费马在1654 年的七封通信为标志的。由于这些信件中所解决的问题多是与赌博有关的点数问题，因此人们总是把概率论的产生归功于赌博这项机遇游戏。但考古学发现告诉我们，赌博游戏早在文明初期就已经存在了，迄今已有几千年的历史，而概率论从诞生至今不过三百余年，这说明赌博并不是概率论产生的决定性条件。在从赌博出现到概率论产生之间的这段“空白”期，必定还有一些十分关键的因素正在孕育之中。那么这些因素是什么? 换句话说，需要具备哪些先决条件，概率论才能得以形成?

一　独立随机过程的出现

对概率论而言，两个最主要的概念就是独立性和随机性[1 ] 。概率论是从研究古典概型开始的，它所涉及的研究对象是大量的独立随机过程。通过对这些过程中出现的问题的解决，概率理论体系才逐渐地建立起来。因此要考察概率论的产生条件，我们首先应当对独立随机过程的产生有充分的了解。

事实上，这种过程的雏形早在原始社会就已经存在了，那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具，将一个或多个趾骨投掷出去，趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见。由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性，而每次投掷的结果也互不影响，这与我们今天投掷骰子的基本原理相当，因此趾骨可以被看作是骰子的雏形。但是由于趾骨形状的规则性较差，各种结果出现的机率不完全相同(即不具备等可能性) ，所以趾骨产生的随机过程还不是我们今天意义上的独立随机过程。加之趾骨作为一种占卜工具，其本身具有神圣的地位，普通人不可能轻易使用，这也在某种程度上阻碍了人们对随机过程的认识。

随着社会的进步和文明的发展，骰子变得越来越普遍，不仅数量增多，规则性也日益精良，此时它已不再是一件神圣的器具而逐渐成为普通大众的日常用具。从原理上看，只要一枚骰子是质地均匀的，它就可以产生一系列标准的独立随机过程。这些过程具备良好的性质(独立性、随机性、等可能性) ，是进行概率研究的理想对象。如果经常接触这些随机过程，就很有可能从中发现某些规律性。实际上，通过对骰子的研究我们确实发现了一些有趣的现象。在考古出土的骰子当中，有一些被证明是用于赌博的工具，它们的形状规则而质地却不均匀，也就是说，骰子的重心并不在其几何中心。可以想像，如果骰子的某一面较重，则其对面朝上的机率就会增大，这种骰子明显是为了赌博时用于作弊。而从另一个角度看，如果古代人知道质地不均匀的骰子产生各个结果的可能性不同，那么他们必定清楚一个均匀的骰子产生任何一个结果的机率是相等的。也就是说，经常从事赌博的人必然可以通过大量的游戏过程，意识到掷骰子所得到的结果具有某种规律性，并且这种规律性还可以通过改变骰子的质地而得到相应的改变。虽然古代人的这些意识还只停留在经验总结的水平上，却不得不承认这是一种最原始的概率思想。

赌博游戏存在的时间之长、范围之广、形式之多令人惊讶。但有如此众多的人沉迷于这种游戏活动，也在客观上积累了大量的可供学者进行研究的随机过程。更为重要的是，

在进行赌博的过程中，或许是受到经济利益的驱使，已经开始有人试图解开骰子的奥秘。意大利数学家卡尔达诺就是其中的一位。他本人是个大赌徒，嗜赌如命，但他却具有极高的数学天分。在赌博的过程中，卡尔达诺充分发挥了他的数学才能，研究可以常胜不输的方法。据说他曾参加过这样一种赌法:把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。那么，赌注下在多少点上最有利?

两个骰子朝上的面共有36 种可能，点数之和分别为2～12 共11 种，从上图可知，7 位于此六阶矩阵的对角线上，它出现的概率为6/ 36 = 1/ 6 ，大于其他点数出现的概率，因此卡尔达诺预言说押7 最好。这种思想今天看来很简单，但在当时却是很杰出的。他还以自己丰富的实践经验为基础，写成了全面探讨赌博的《机遇博奕》(Liber de Ludo Aleae 英译为The Book of Game of Chance) 一书，书中记载了他研究赌博的全部成果，并且明确指出骰子应为“诚实的”(honest) ，即六个面出现的机会相等，以便在此基础上研究掷多粒骰子的等可能结果数[2 ] 。

这些实例充分说明，赌博曾对概率论的产生起过积极的作用。这可能就是人们在谈到概率论时总是把它与赌博联系在一起的缘故吧。但是我们应该认识到，赌博的价值并不在于其作为一种游戏的娱乐作用，而在于这种机遇游戏的过程实际上就是良好的独立随机过程。只有出现了独立随机过程，概率论才有了最初的研究对象。而概率论也的确是在解决机遇游戏中出现的各种问题的基础上建立起自己的理论体系的。因此在概率论的孕育期，可以作为一种模型进行研究的机遇游戏过程即独立随机过程的出现是概率论得以产生的一个重要前提条件。

二　先进计数系统的出现

前面曾经提到，独立随机过程的出现并不是概率论诞生的决定性因素。职称论文 仅有概率思想而不能将概率结果表达出来，也不能形成完整的理论。概率论是一门以计算见长的数学分支，计算过程中需要运用大量的加法和乘法原理(组合数学原理) 进行纯数字运算。对于现代人来说，概率计算并不是一件难事。但是对于16 世纪以前的人来说，计算却是十分困难的，原因就在于古代缺乏简便的计数系统。当时的计数符号既繁琐又落后，书写和使用都很不方便，只能用来做简单的记录，一旦数目增大，运算复杂，这些原始的符号就尽显弊端了。而没有简便的计数符号，进行概率计算将是十分困难的事，因此计数符号是否先进也在一定程度上决定着概率论的形成。

对于这一点，现代人可能不容易体会得到，究竟古代的计数符号复杂到什么程度呢? 我们可以以古罗马的计数系统为例来说明。

古罗马的计数系统是一种现在最为人们熟悉的简单分群数系，大约形成于纪元前后。罗马人创造了一种由7 个基本符号组成的5 进与10 进的混合进制记数法，即

I V XL C D M

15 1050 100 500 1000

在表示其他数字时采取符号重复的办法，如Ⅲ表示3 ，XX表示20 ，CC表示200 等。但如果数字较大表示起来就相当复杂了，比如:1999 =MDCCCCLXXXXVIIII

后来为了简化这种复杂的表示法，罗马人又引进了减法原则，即在一个较大的单位前放一个较小单位表示两者之差，如Ⅳ表示4 ，CM表示900 ，则1999 =MCMXCIX

如果要计算235 ×4 = 940 ，现代的竖式是

而公元8 世纪时英国学者阿尔琴演算同一道题的过程则要复杂得多:古罗马数字对于这样一个既不含分数和小数，数字又很简单(只有三位数) 的乘法运算处理起来尚且如此复杂，可以想象，即使数学家有足够的时间和耐心，要解决概率计算里涉及的大量纯数字运算也是一件太耗费精力的事。在这种情况下想要作出成果，数学家们的时间不是用来研究理论而只能是忙于应付这些繁重的计算工作了。显然古罗马的计数系统并不适合于进行计算，而事实上，欧洲的代数学相比几何学而言迟迟没能发展起来，很大程度上也是由于受到这种落后的计数系统的限制。不仅仅是古罗马数字，在人类文明史上出现过的其他几种计数系统(如古埃及、古巴比伦等的计数系统) 也由于符号过于复杂，同样不能承担进行大量计算的任务。

相反，以位值制为基本原理的阿拉伯数字则比古罗马数字以及古代其他的计数系统要先进得多，它不但书写简便，而且非常有利于加法、乘法的运算及小数和分数的表示。从上面的例子可以看出，它的使用可以大大节省运算时间，提高运算效率。正是由于使用了这种先进的计数符号，阿拉伯数字的发明者———古印度人的组合数学(组合数学原理是概率计算运用较多的一种数学工具) 才得以领先欧洲人许多。据记载，印度人，特别是公元前三百年左右的耆那数学家就由于宗教原因开展了对排列与组合的研究。公元四百年，印度人就已经掌握了抽样与骰子之间的关系(比欧洲人早一千二百年) 。而直到公元8 世纪时，商业活动和战争才将这种先进的数字符号带到了西班牙，这些符号又经过了八百年的演化，终于在16 世纪定型为今天的样子。

数字符号的简单与否对概率论究竟有什么样的影响，我们不妨举例说明:

问:有n 个人，当n 为多少时，至少有两人生日相同的概率大于二分之一?

假设所有人生日均不相同的概率为P ，则

P = (365/ 365) ×(364/ 365) ×⋯×[ (365 - n + 1) / 365 ]

而题中所求之概率P(n) = 1 - P = 1 - (365/ 365) ×(364/365) ×⋯×[ (365 - n + 1) / 365 ]

通过计算得出结论，当n = 23 时，P(n) = 0. 51 > 0. 5 ，因此答案为23。

这是概率论中著名的“生日问题”，也是一种很典型的概率计算问题。从它的计算过程中我们不难看出，数字运算在概率论中占有重要的地位。如果使用古罗马的计数法，这样一个概率问题从表达到计算都会相当繁琐，以至于它的求解几乎是不可能的。

对于阿拉伯数字的伟大功绩， 大数学家拉普拉斯(Laplace) 有如下评价:“用不多的记号表示全部的数的思想，赋予它的除了形式上的意义外，还有位置上的意义。它是如此绝妙非常，正是由于这种简易难以估量⋯⋯我们显然看出其引进之多么不易。”[3 ] 阿拉伯数字的出现为概率的表达和计算扫清了阻碍，如果没有这些简便的符号，概率论可能还只停留在概率思想的阶段。正是由于使用了可以简洁地表示分数和小数的阿拉伯数字，才使概率思想得以通过形式化的符号清晰地表现出来并逐渐形成理论体系。在概率论的孕育阶段，这种形式化的过程是十分必要的，它使得对概率的理解和计算成为可能，因此先进的计数系统对概率论的形成和发展都起着重要的作用。

三　概率论产生的方法论基础———归纳法

除了需要具备上述因素以外，概率论的形成还需要具备归纳思维。概率论是一门具有明显二重性的理论体系:“一方面它反映了从大量机遇现象中抽象出来的稳定的规律性;另一方面它关系着人们对证明命题的证据或方法的相信程度”。[ 4 ]这两方面特性都以归纳法作为最基本的研究方法，因此可以说，归纳法是概率论的方法论基础，概率论的产生必须在归纳法被广泛运用的前提下才成为可能。归纳法虽然是与演绎法同时存在的逻辑方法，但在文艺复兴以前，占主导地位的推理方式是演绎思维(不具有扩展性) ，归纳思维是不受重视的。直到文艺复兴运动以后，这种状况才被打破。归纳法因其具有扩展性而逐渐成为进行科学发现的主导方法。

从演绎到归纳，这个过程实际上是一种思维方式的转变过程，虽然转变是在潜移默化中完成的，但转变本身对概率论的出现却起着决定性的作用。我们可以通过考察“概率论”(probability) 一词的词根“可能的”(probable) 来说明这种转变。在古希腊“， probable”并不是今天的这个含义，它曾意味着“可靠的”或“可取的”，比如说一位医生是“probable”就是指这位医生是可以信赖的。但到了中世纪，这个词的含义发生了变化，它已经和权威联系在一起了。当时的人们在判断事情的时候不是依靠思考或证据而是盲目地相信权威，相信更早的先人所说的话。在这种情况下，如果说某个命题或某个事件是“probable”，就是说它可以被权威的学者或《圣经》之类的权威著作所证明。而经过了文艺复兴之后，人们终于意识到对自然界进行探索(而不是崇拜权威) 才是最有价值的事，正如伽利略所说的那样:“当我们得到自然界的意志时，权威是没有意义的。”[5 ] 因此，“probable”才逐渐与权威脱离了关系。15、16 世纪时它已经具有了今天的含义“可能的”，不过这种可能性不再是权威而是基于人们对自然界的认识基础之上的。

“probable”一词的演化体现了人们认识事物方式的转变过程。当然这并不是说，文艺复兴以前没有归纳思维。留学生论文当一个人看到天黑的时候他会自然想到太阳落山了，因为每天太阳落山后天都会黑。这种归纳的能力是与生俱来的，即使中世纪的人们思想受到了禁锢，这种能力却还不至消失。而抛弃了权威的人们比先辈们的进步之处在于，他们是用归纳法(而不是演绎法) 来研究自然界和社会现象的。他们将各种现象当作是自然或社会的“特征”，进而把特征看作是某种更深层的内存原因的外在表现。通过使用归纳推理进行研究，他们就可以发现这些内在原因，从而达到揭开自然界奥秘和了解社会运行规律的目的。于是在好奇心的驱使之下，归纳思维被充分地激发出来。而这一点恰恰是概率论得已实现的必要条件。从概率论的第一重特性中可以看出，概率论所研究的对象是大量的随机现象，如赌博游戏中掷骰子的点数，城市人口的出生和死亡人数等等。这些多数来自于人们社会活动的记录都为概率论进行统计研究提供了必须的数据资料。虽然这些记录的收集与整理其目的并不在于发现什么规律，但善于运用归纳思维的人却能从中挖掘出有价值的研究素材。例如，早在16 世纪，意大利数学家卡尔达诺就在频繁的赌博过程中发现了骰子的某些规律性并在《机遇博奕》一书中加以阐述;17 世纪，英国商人J·格龙特通过对定期公布的伦敦居民死亡公告的分析研究，发现了死亡率呈现出的某种规律性[6 ] ;莱布尼兹在对法律案件进行研究时也注意到某个地区的犯罪率在一定时期内趋向于一致性。如果没有很好的归纳分析的能力，想要从大量繁杂的数据中抽象出规律是不可能的。而事实上，在17 世纪60 年代左右，归纳法作为一种研究方法已经深入人心，多数科学家和社会学家都在不自觉地使用归纳的推理方法分析统计数据。除了上述两人(格龙特和莱布尼兹) 外，统计工作还吸引了如惠更斯、伯努利、哈雷等一大批优秀学者。正是由于许多人都具备了运用归纳法进行推理的能力，才能够把各自领域中看似毫无秩序的资料有目的地进行整理和提炼，并得到极为相似的结论:随机现象并不是完全无规律的，大量的随机现象的集合往往表现出某种稳定的规律性。概率论的统计规律正是在这种情况下被发现的。

概率论的第二重特性同样离不开归纳法的使用。既然概率论反映的是人们对证明命题的证据的相信程度(即置信度) ，那么首先应该知道证据是什么，证据从何而来。事实上，证据的获得就是依靠归纳法来实现的。在对自然界特征的认识达到一定程度的情况下，人们会根据现有的资料作出一些推理，这个推理的过程本身就是归纳的过程。当假设被提出之后，所有可以对其合理性提供支持的材料就成了证据，即证据首先是相对于假设而言的。如果没有归纳法的使用，证据也就不存在了。由于归纳推理在前提为真的情况下不能确保结论必然为真，因此证据对假设的支持度总是有限的。在这种情况下，使用归纳推理得到的命题的合理性便不能得到充分的保障。而概率论的第二重特性就是针对这个问题的，证据究竟在多大程度上能够为假设提供支持? 这些证据本身的可信度有多少? 为解决归纳问题而形成的概率理论对后来的自然科学和逻辑学的发展都起到了重要的作用。

归纳法的使用为概率论的形成提供了方法论基础。它一方面使得概率的统计规律得以被发现，另一方面，也使概率论本身具有了方法论意义。从时间上看，概率论正是在归纳法被普遍运用的年代开始萌芽的。因此，作为一种具有扩展性的研究方法，归纳法为概率论的诞生提供了坚实的思维保障和方法论保障，在概率论的形成过程中，这种保障具有不容忽视的地位。四　社会需求对概率论形成的促进作用

与前面述及的几点因素相比，社会因素显然不能作为概率论产生的内在因素，而只能被当作是一种外在因素。但从概率论发展的过程来看，作为一种与实际生活紧密相关的学科，其理论体系在相当大的程度上是基于对社会和经济问题的研究而形成的，因此对实际问题的解决始终是概率理论形成的一种外在动力。在这一点上，社会因素与概率理论形成了一种互动的关系，它们需要彼此相结合才能得到各自的良好发展。从17、18 世纪概率论的初期阶段来看，社会经济的需求对概率论的促进作用是相当巨大的[7 ] 。

在社会需求中，最主要的是来自保险业的需求。保险业早在奴隶社会便已有雏型，古埃及、古巴比伦、古代中国都曾出现过集体交纳税金以应付突发事件的情形。到了14 世纪，随着海上贸易的迅速发展，在各主要海上贸易国先后形成了海上保险这种最早的保险形式。其后，火灾保险、人寿保险也相继诞生。各种保险虽形式各异，但原理相同，都是靠收取保金来分担风险的。以海上保险为例，经营海上贸易的船主向保险机构(保险公司) 交纳一笔投保金，若货船安全抵达目的地，则投保金归保险机构所有;若途中货船遭遇意外而使船主蒙受损失，则由保险机构根据损失情况予以船主相应的赔偿。这样做的目的是为了将海上贸易的巨大风险转由两方(即船主与保险公司) 共同承担[8 ] 。从这个过程中可以看出，对保险公司而言，只要船只不出事，那么盈利将是肯定的;对船主而言，即使船只出事，也可以不必由自己承担全部损失。

从性质上看，从事这种事业实际上就是一种赌博行为，两方都面临巨大风险。而这种涉及不确定因素的随机事件恰恰属于概率论的研究范围。工作总结 由于保险业是一项于双方都有利的事业，因此在16、17 世纪得到了快速的发展，欧洲各主要的海上贸易国如英国、法国、意大利等都纷纷成立保险公司，以支持海上贸易的发展。此外还出现了专门为他人解决商业中利率问题的“精算师”。不过在保险业刚起步的时候，并没有合理的概率理论为保金的制定提供指导，最初确定投保金和赔偿金的数额全凭经验，因此曾经出现过很长时间的混乱局面。而这样做的直接后果就是不可避免地导致经济损失。例如在17 世纪，养老金的计算就是一个焦点问题。荷兰是当时欧洲最著名的养老胜地和避难场所，但其养老金的计算却极为糟糕，以致政府连年亏损。这种状况一直持续到18 世纪，概率理论有了相当的发展，而统计工作也日渐完善之后，情况才有所改观[9 ] 。在结合大量统计数据的前提下，运用概率理论进行分析和计算，由此得到的结果才更有可能保证投资者的经济利益。

我们可以举一个人寿保险的例子来说明概率理论是如何应用到保险事业中来的:2500 个同年龄段的人参加人寿保险，每人每年1 月交投保费12 元。如果投保人当年死亡，则其家属可获赔2000 元。假设参加投保的人死亡率为0. 002 ，那么保险公司赔本的概率是多少?

从直观上看，如果当年的死亡人数不超过15 人，则保险公司肯定获利，反之，则赔本。不过单凭经验是绝对不行的，必需有一套合理的理论来帮助处理此类问题。根据所给条件，每年的投保费总收入为2500 ×12 = 30000 (元) ，当死亡人数n ≥15 时不能盈利。令所求之概率为P ，由二项分布的计算公式可以得出P(n ≥15) = 0. 000069。也就是说，如果按以上条件进行投保并且不出现特别重大的意外，则保险公司有几乎百分之百的可能性会盈利。

这个问题就是通过将概率理论运用到关于人口死亡的统计结果之上从而得到解决的。这个简单的例子告诉我们，概率理论对保险业的发展有着相当重要的指导作用。根据统计结果来确定在什么样的条件下保险公司才能盈利是概率理论对保险业最主要的贡献，它可以计算出一项保险业务在具备哪些条件的情况下会使保险公司获得收益，并进而保证保险公司的经营活动进入良性循环的轨道。从另一方面看，最初保险业的快速发展与其不具有基本的理论依据是极不协调的，这很容易导致保险公司由于决策失误而蒙受经济损失。因此保险事业迫切需要有合理的数学理论作为指导。在当时的社会环境下，由科学家参与解决实际问题是非常有效的，而由保险所产生的实际问题确实曾吸引了当时众多优秀数学家的目光。在1700 - 1800 年间，包括欧拉、伯努利兄弟、棣莫弗(de Moivre) 、高斯等在内的许多著名学者都曾对保险问题进行过研究，这些研究的成果极大地充实了概率理论本身。

可以说，经济因素和概率理论在彼此结合的过程中形成了良好的互动关系，一方面数学家们可以运用已有的理论解决现实问题。另一方面，新问题的出现也大大刺激了新理论的诞生。概率论的应用为保险业的合理化、规范化提供了保证，正是由于有了概率论作理论指导，保险业的发展才能够步入正轨。反过来，保险业所出现的新的实际问题，也在客观上促进了概率理论的进一步完善。这样，对于概率论的发展来说，保险业的需求便顺理成章地成为了一个巨大的动力。

五　总结

概率论的产生就像它的理论那样是一种大量偶然因素结合作用下的必然结果。首先，赌博这种机遇游戏提供了一种良好的独立随机过程，在进行赌博的过程中，最原始的概率思想被激发出来;其次，先进的计数系统为概率思想的表达扫清了阻碍，也使得这些思想得以形式化并形成系统的理论。当然在获得概率思想的过程中，思维方式的转变和研究方法的进步才是最根本的关键性条件。如果没有归纳法的使用，即使存在着良好的独立随机过程也不可能使人们认识到大量统计数据中所隐藏着的规律性。此外，社会经济的发展，需要借助数学工具解决许多类似保险金的计算这样的实际问题，而这些吸引了众多优秀数学家们兴趣的问题对于概率论的形成是功不可没的，它大大刺激了概率理论的发展，使概率论的理论体系得到了极大的完善。上述四个因素都是概率论产生的重要条件，但是它们彼此之间并没有明显的时间上的先后顺序，最初它们的发展是各自独立的，但是随后这些条件逐渐结合在一起，使得原本零散的概率思想开始系统化、条理化。从概率论的历史来看，这几种因素的结合点就是17 世纪末至18 世纪初，因此概率论在这个时间诞生是很自然的事。

了解概率论的产生条件对于我们理解概率论在当今社会的重大意义有很好的帮助。今天，随着概率理论的广泛应用，它已不仅仅是一种用于解决实际问题的工具，而上升为具有重大认识论意义的学科。概率论不仅改变了人们研究问题的方法，更改变了人们看待世界的角度。这个世界不是绝对必然的，它充斥着大量的偶然性，所谓规律也只是在相当的程度上被我们所接受和信任的命题而已。运用概率，我们就可以避免由归纳法和决定论带来的许多问题和争论。科学发现的确需要偶然性，现代科学向我们证明，概率理念和概率方法已经成为进行科学研究的一项重要手段。

【参　考　文　献】

[1 ] Ian Hacking. An Introduction to Probability and Inductive Logic [M] . CambridgeUniversity Press ，2001. 23.

[2 ]陈希孺. 数理统计学小史[J ] . 数理统计与管理，1998 ，17(2) : 61 - 62.

[3 ]张楚廷. 数学方法论[M] . 长沙:湖南科学技术出版社，1989. 272 - 274.

[4 ] Ian Hacking. The Emergence of Probability[M] . Cambridge Uni-versity Press ，2001. 1.

[5 ]莫里斯·克莱因. 古今数学思想(第二册) [M] . 上海:上海科学技术出版社，2002. 35.

[6 ]柳延延. 现代科学方法的两个源头[J ] . 自然科学史研究，1996 ，15(4) :310 - 311.

[7 ]Neil Schlager. Science and Its Times. Vol 4 :205 - 206 ，Vol 5 :205 - 208. Gale Group ， 2001.

概率论的基本原理范文第5篇

【关键词】马尔科夫预测法 初始状态向量 状态转移概率矩阵

一、引言

随着市场经济的发展，人们的收入不断提高，手中的闲散资金不断增多，投资成为现代人保证闲散资金得到保值增值的重要手段，而投资股票又是众多投资手段中最重要的一种手段。要想运用股票来达到资产的保值增值，就需要对所要购买的股票的价格趋势进行预测，才能通过投资股票获得收益。股票的价格波动受到多种随机因素的影响，股票价格变动过程可以看作为一个随机过程。对股票价格的精确预测从理论上来看是根本不可能的事情，因为股票的价格波动受到多种因素的共同作用，没有哪一种理论能够考虑到任何所有可能的因素。但是在短期内对股票价格做一个某种程度上的预测确实可以做到的。如果我们把股票价格波动视为一种随机过程，在众多随机过程中马尔科夫过程是一种比较简单的随机过程。本文将马尔科夫预测法运用到股票价格的短期预测中。并且通过验证可以发现马尔科夫预测法在短期内的预测效果在一定程度上是符合股票价格波动的合理区间。

二、马尔科夫预测法的基本原理

马尔科夫预测法是以俄国数学家马尔科夫名字命名的一种数学方法，马尔科夫预测法是应用概率论中马尔科夫链的理论和方法来研究随机事件变化并借此分析预测对象所处状态。它的核心思想是，如果把事件的整个随机过程分成不同的状态集，那么事件当前所处的状态是受上一个状态影响的。也就是利用事件上一状态来预测下一状态。

所谓状态就是指预测对象在某个时间出现的某种结果。在对股票价格趋势预测中我们通常对股票所处的状态有两种划分：一种是按照预测对象现阶段本身所处状态来进行划分。例如，对个股每日收盘价与前日的收盘价进行比较，可划分为三种状态：上涨、持平、下跌；另一种是根据实际情况进行人为地划分，例如，可以将一段时期内股票的价格划分为若干区域，每一价格仅落入一个区域内，则每一个区域可为一种状态。本文运用第二种方法，通过构造马尔科夫链来进行预测。

运用马尔科夫预测法进行预测，主要是构建马尔科夫链，即找出初始状态的概率向量和构建状态转移矩阵来预测对象未来某一时间所处的状态。假设条件：（1）状态转移一步转移，即都是相邻两个时期的状态转移。（2）测测期间状态的个数保持不变。（3）无后效性，即状态的转移仅与它前一期的状态和取值有关，而与前一期以前所处的状态和取值无关。用Pij（k）表示预测对象由状态Si经过k次转移，转移至状态sj的概率。k步转移概率矩阵为P（k）

三、多种状态下的股价预测

以深证云南白药2014年10月8日至2014年11月10日收盘价数据资料为例：

四、结论

马尔科夫预测法是对随机过程所处状态的一种预测方法，马尔科夫预测法认为事件当前所处状态是受上一状态影响的。它通过构造初始状态向量和状态转移矩阵来对事件当前状态进行预测。短期中，状态转移概率矩阵不发生变化所以可以进行预测。长期来看转移概率矩阵必定会发生变化，所以马尔科夫预测法只适合于短期预测。如果要进行长期预测，需要不断的对状态转移概率矩阵进行不断的修正，才能达到预测目的。在对股票价格进行预测时，我们进行的都是短期预测。并且在短期内马尔科夫预测法预测的结果在一定程度上还是可以令人满意的。实际中，股票价格的变化受到了多种因素的影响，如基本面、政策面、宏观面以及人们的心理因素等等。这时，我们在运用马尔科夫预测法时需要同时考察其他影响因素来进行综合的分析。这时马尔科夫预测法的预测结果也可以给我们提供一个很好的依据。

参考文献

[1]章晨.基于马尔科夫链的股票价格涨跌幅的预测[J].商业经济，2010（11）68-69.

[2]汪淼，罗剑.运用马尔科夫预测法构建股价预测模型[J].经济师，2005（1）34-35.