如何培养数学思维

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如何培养数学思维范文第1篇

关键词：小学数学教学 数学思维 培养

人们通常认为数学只是简单的加减乘除，是一门理科性质的学科，仅重视了表面的数字运算，却忽略了数学与其他学科知识间的逻辑联系。在数学学习中，我们不难发现，要对数学学习内容理解、掌握，必须要有很好的观察能力、想象能力、推理能力。而掌握了这些能力，可以为培养其他学科所需的科学素质及逻辑思维能力打下良好的基础。

一、小学教学中数学的意义

（1）培养逻辑思维能力。逻辑思维指对事物观察、概括、推理，然后采用逻辑方法，正确表达自己意见的能力。逻辑思维能力不仅在数学学习中体现出来，也是学习其他学科所必备的。

（2）开发非智力因素。非智力因素指兴趣、情感等与智力无关的心理因素。兴趣体现在激发学生解决问题的求知欲，从而产生较高的学习动机。这在其他学科中也需要，只有具备良好的动机，加上浓厚的兴趣，才可能对一门学科有兴趣，这就成为学好学科知识的首要条件。

（3）培养科学文化素质。无论学习什么学科，都不能以自己的妄想来断定结果。没有事实为依据的知识，只能误导学生。因此要用科学的观点来学习新的知识。

二、培养学生的数学思维的重要性

学生的数学能力受到先天素质、家庭教育、外界因素等的影响。有的学生学习能力强，依据自己的理解及老师的讲解，能很快地掌握知识，他们不仅能很快地解决问题，而且会有自己的独特的理解，能凭借原有的知识去掌握新的知识。有的学生只能通过死记硬背来记住知识，没有自己的理解，学习起来也就相对费劲，他们的思维无条理，混乱，面对没见过的题目，无从下手。对于这种情况，在教学中只有注重培养数学思维才能解决根本问题。因此，认识培养数学思维的重要性是必需的。

（1）数学思维能力与知识、技能紧密结合。教学过程不是简单地传授知识，还是全面培养学生各种素质的过程。学习知识的过程，就是运用各种思维解决问题的过程，在学习中不注意培养数学思维，就无法较好地理解所学的知识，有可能养成死记硬背的习惯。

（2）判断能力体现了数学思维能力。学习的根本任务是让学生学会对身边的事情进行真假判断，对教材上的内容、老师的讲解质疑。学生要用自己的数学思维提出自己的观点，发表有个性的见解。

（3）数学思维能力体现了学生的综合素质。总结能力即灵活地运用所学知识概括自己观点的能力，它要求学生首先具有推理思维能力和发散思维能力。另外，总结能力是综合素质的表现，所以数学思维能力也体现了学生的综合素质。

三、培养学生的数学思维的几点建议

（1）培养学生思维能力要贯穿在每一节课的各个环节中。不论是开始的复习，教学新知识，组织学生练习，都要注意结合具体的内容有意识地进行培养。例如复习20以内的进位加法时，有经验的教师给出题以后，不仅让学生说出得数，还要说一说是怎样想的，特别是当学生出现计算错误时，说一说计算过程有助于加深理解“凑十”的计算方法，学会类推，而且有效地消灭错误。经过一段训练后，引导学生简缩思维过程，想一想怎样能很快地算出得数，培养学生思维的敏捷性和灵活性。在教学新知识时，不是简单地告知结论或计算法则，而是引导学生去分析、推理，最后归纳出正确的结论或计算法则。例如，教学两位数乘法，关键是通过直观引导学生把它分解为用一位数乘和用整十数乘，重点要引导学生弄清整十数乘所得的部分积写在什么位置，最后概括出用两位数乘的步骤。学生懂得算理，自己从直观的例子中抽象、概括出计算方法，不仅印象深刻，同时发展了思维能力。在教学中看到，有的老师也注意发展学生思维能力，但不是贯穿在一节课的始终，而是在一节课最后出一两道稍难的题目来作为训练思维的活动，或者专上一节思维训练课。这种把培养思维能力只局限在某一节课内或者一节课的某个环节内，是值得研究的。当然，在教学全过程始终注意培养思维能力的前提下，为了掌握某一特殊内容或特殊方法进行这种特殊的思维训练是可以的，但是不能以此来代替教学全过程发展思维的任务。

（2）培养思维能力要贯穿在各部分内容的教学中。这就是说，在教学数学概念、计算法则、解答应用题或操作技能（如测量、画图等）时，都要注意培养思维能力。任何一个数学概念，都是对客观事物的数量关系或空间形式进行抽象、概括的结果。因此教学每一个概念时，要注意通过多种实物或事例引导学生分析、比较、找出它们的共同点，揭示其本质特征，做出正确的判断，从而形成正确的概念。例如，教学长方形概念时，不宜直接画一个长方形，告诉学生这就叫做长方形。而应先让学生观察具有长方形的各种实物，引导学生找出它们的边和角各有什么共同特点，然后抽象出图形，并对长方形的特征作出概括。教学计算法则和规律性知识也要注意培养学生判断、推理能力。

如何培养数学思维范文第2篇

一、学生逻辑思维的培养

“在数学教学中，要重视学生在获取知识的过程中发展思维”。由此可见，培养学生良好的智力品质是一项非常重要的任务。在数学教学中理性知识的本质属性就是一种思维形式，通过对概念、性质、定理的剖析，比较其属性的异同，理清其形式的过程及前因后果，即可培养学生的数学思维能力。

如线段的垂直平分线的性质，在学习时首先分析性质的前提条件：（1）一条直线；（2）与线段垂直；（3）经过线段的中点，从而可引出结论的成立。再分析：（1）一条直线过线段中点是否是中垂线；（2）一条直线垂直已知直线是否是中垂线。通过对性质条件的分析加深理解，培养学生的逻辑思维能力。

二、学生的发散思维的培养

美国心理学家吉尔福特说：“发散思维是对一个问题进行所有可能途径的思考。”因此，在教学中要引导学生对题目的本身多加研究。根据教学实践可知，研究的形式为：

1.可交换命题的条件和结论看命题是否成立，如果成立可给出严格的计算来证明过程，或通过反例进行证明，通过练习往往孕育出新的发展；

2.保留条件和结论，逐步发展命题的结论；

3.保留结论，减弱命题的条件，看结论是否成立；

4.交换命题条件和结论，看是否推出的结论唯一；

5.研究命题的推广；

6.命题存在的图形形成数式的背景；

7.针对一题多解和一题多变寻找与命题相关的系列问题，培养学生的发散思维。

例如，已知三角形两边相等，求证两角相等这一命题，从条件出发直接论证比较困难，而由结论出发即可找出解决问题的方法。

（1）证两底角相等可证三角形全等。这就需要添加辅助线构造出两个三角形，因此可作底边的垂线或由两底角顶点向两腰作垂线证明；

（2）可作顶角的平分线由两边夹角证明；

（3）根据三边相等可证三角形全等，作三角形底边上的中线证明。

总之，在解题中尽管提出许多由已知通向未知的途径，但并不是每条途径都行得通，也可能将提出的各条途径付诸于解题时推动应有效应，结论得不到证明，会碰到许多困难，这就要求在教学中引导学生把题目的性质、条件、感性材料、理性知识等方面的因素联系在一起，做出分析、思考，探求各种逻辑关系，从而得出正确结果，由发散思维过渡到定向思维。

三、学生逆向思维的培养

实践可知，初中数学学科本身提供了大量的逆向思维材料，如互逆定理、互逆公式、互逆运算、互逆转换、互逆对等，在解决此类问题时，大部分数学题目都可以用逆向思维的方法加以解决，这就为训练学生的逆向思维提供了可能。在教学中可通过实际范例，充分利用素材进行逆向思维的培养。如：“求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。”此命题可以转化为：（1）连接四边形各边中点的线段有什么性质？（2）将四边形改为矩形、菱形、正方形、等腰梯形，结论有什么变化？（3）当一般四边形的对角线如何变化时，顺次连接各边中点所得的四边形为矩形、菱形、正方形？通过条件的转化促使学生进行逆向思维，使其逆向思维能力得到培养。

四、学生数学思维能力的提高

物理学家牛顿曾说：“没有大量的猜想，就不会有伟大的发现。”猜想性思维并不是神秘莫测的，它是思维活动在有关问题的意识边缘持续的活动。当功能处于最佳状态时，旧神经联结的突然间通行形成新的联系的表现。为帮助学生在解题时进行猜想性思维训练，解题时要让学生对题意大胆分析，对解题途径进行大胆猜想，以探求解决问题的新方法、新途径。例如：若方程0中至少有一个方程有实根，求实数m的范围。此题若直接用方程的判别式讨论相当复杂，若引导学生联想到它的反面，即方程都无实根去求解，可使学生思维开阔，轻松地解决问题。

五、创造性思维的培养

创造性思维是指具有创见性的思维，它是思维高级过程。知识经济时代呼唤创造性人才。摆脱传统的应试教育，有效地培养学生的创造性思维，发展其创造能力，已成为当前教育工作者研究的重要课题。在数学教学中培养学生的创造性思维有如下途径：（1）创设情境，激发创造性思维。恰当的问题情境能唤起学生的学习热情，激励学生积极主动参与。（2）在动手操作中，培养创造性思维。心理学研究表明，学生的思维活动往往从动作开始，切断思维和活动的联系，思维就不能发展。因此在教学活动，要注意有目的地多提供机会让学生参与观察、操作等实践活动，调动学生手、眼、口、脑等多种感官共同参与，使学生在参与过程中掌握方法，促进思维发展，唤起学生学习兴趣；使学生从中发现问题，探索规律，解决问题。（3）鼓励学生大胆质疑问难，培养创造性思维。爱因斯坦认为，提出一个问题比解决一个问题更重要。教师应鼓励学生从不同角度、不同方向思考同一个问题，鼓励学生大胆质疑，并且善于说明自己的新观点、新思路，积极引导学生动脑思考，另辟蹊径去解决问题。（4）启发学生联想、想象，培养创造性思维。

如何培养数学思维范文第3篇

一、培养学生良好的思维习惯，调动学生思维的积极性

例如，在学习了有理数的加法法则后提出如下问题：两个有理数的和是否一定大于每一个加数？不善于思维的学生会想当然地说“是”，而有良好思维习惯的学生则回答：“不一定”。此时进一步鼓励学生思维，举出一两个反例加以说明，既巩固了有理数加法法则，又强化了学生的思维意识。培养学生良好的思维习惯，有利于思维的开展和深入。

二、教给学生思维的方法，提高学生思维的有效性

例如，选择题：以下列长度的三条线段能组成三角形的是〈 〉

（A）1，2，3 （B）三段的长度比是7：10：2

（C）5，12，13（D）4，4，x

这里D答案比较模糊，往往导致某些同学的无效思考。如果掌握了排除法，利用答案的唯一性，就可选择C，避开了题目的陷阱。教给学生思维的方法，让学生学会思考，将是最大的智慧之源。

三、启发式教学是打开学生思维大门的钥匙

1、什么叫启发式教学？

教无定法，教又有法，评判一种教学方式是不是贯彻了启发性原则，不是看其外在形式是否热闹，关键是看学生的心智活动是不是达到顿悟。不同的教学内容，允许相应的启发方式。

2、启发的目的在于发动学生的思维机器，激发学生思维的火花。

启发必须结合学生现有的思维能力及知识掌握情况，合理设计思维进程，针对学生的“最近发展区”进行启发，达到师生思维水平的协调和谐，防止启而不发。学生只有在“为什么”的情境中思维才开始启动，在“怎么办”的情境中思维才开始深入。启发要注意时机，在学生想说又说不出来时，教师把握火候提出恰当、适度的问题，让学生思考；启发要利用恰当的启发原型，使启发有个落脚点；启发要注意力度，什么样的问题是恰当的呢？有人形象比喻“伸手不得，跳而可获”；启发时要激疑，让学生产生疑点，进行深入思考；启发时要留给学生合理的思维时间，使学生的思维得以整理、联想、加工、创造；启发时要面对全体，一人回答，众人受益，防止一人惊慌，众人松弛；启发时要有明确指向，编织具有内在逻辑的问题链，善于纠偏、防漏；启发时要善于调节，使人人爱动脑，个个乐回答，让不同的学生都有回答问题的机会和成功的喜悦；其次启发后要善于小结。

3、针对不同的教学内容，采用相应的启发方式，把培养学生思维素质溶于启发教学之中。

〈一〉新授课：在新授课的教学时，教师必须真正通晓知识的基本结构，挖掘教学内容的内涵，暴露数学家的思维过程，经历一番科学家发现一个结论的“浓缩过程”，了解学生学习的层次、方法、效率，以学生的思维进角色，暴露教师的思维过程，将隐性的思维过程显现。利用新旧知识间的联系及知识的新奇性，激发学生思维的欲望，启发学生自己得出结论，或给出特例，启发学生归纳出一般结论，或注意变换题目条件，引伸出另外的结论，用学生的脑袋代替老师的嘴巴，当好学生思维的导游。这都是锻炼学生创造思维的好机会。

〈二〉习题课：习题课的选题必须具有较强的针对性，通过这些习题的练习与讨论，起到巩固知识、发展思维、提高能力的作用。习题课应当特别注意以下两个环节。〈1〉审题环节；〈2〉题后小结。这两个环节都可以尽情地进行启发式教学，锻炼学生思维的广阔性、灵活性、深刻性、目的性、完整性。

〈三〉复结课：复习课既不能被大量的习题代替，也不能仅仅是知识的重复与再现，而应是一种思维方式的螺旋式上升过程。在教学中启发学生按因果、递进、逆转关系进行纵向串联，并把分散于各章节中的有联系的知识进行横向联合，启发学生对知识进行分类、综合归纳，建立知识的网络结构，使之系统化。这样就锻炼了学生思维的秩序性与层次性，有利于他们创造思维的形成。

四、消除数学教学中思维定势的负面影响

要培养学生思维能力，既要注重思维定势的形成，又要注重消除思维定势的负面影响。二者缺一不可，而在实际的教学中，后者易被忽视。例如：比较1017，1219，1523，2033的大小。习惯上先通分母，再比较新的分子，运算起来比较繁琐；如果先通分子，再比较新的分母，运算比较简单。在这里思维定势影响了运算速度，其实思维定势有时造成思路堵塞，甚至影响解题的正确性。由此可见，很有必要消除思维定势负面影响，防止思维定势走向思维僵化的极端。具体如何做呢？

1、进行逆向思维的训练，培养学生思维的灵活性。

对于初中生来说，他们不习惯反过来思考，倒过来想，即不善于逆向思维。因此在数学教学中应加强思维的训练，有意识地引导和培养学生的逆向思维意识和习惯，帮助学生从正向思维过渡到双向思维，有利于培养学生思维的灵活性，激发他们学习兴趣。

2、加强发散思维的训练，培养学生创造性思维。

遇到开放型、探索性问题，思维僵化的同学束手无策，具有发散思维的同学却有了用武之地。传统的一题多变，一题多解，具有发散思维的同学也发挥得淋漓尽致。发散思维表现为不墨守成规，寻求变异伸展扩散，从不同的角度寻找解决问题的各种可能的途径。加强发散思维的培养，使同学的思维在量的积累上有质的飞跃，有利于创造性的思维。

3、帮助学生建立错解档案，培养学生思维的批判性、全面性。

记录错例，分析错例，改正错例，有助于解决“会而不对，对而不全，全而不美”，批判某种思维某方面的缺陷。

消除思维定势的负面影响，积极利用思维定势的正面影响，思考问题将是灵活的而不是僵化的，敏捷的而不是呆滞的，深刻的而不是表面的，严密的而不是疏漏的，独创的而不是机械的；消除思维定势的负面影，摆脱形式上惯用模式，有助于激趣益智，使数学教学变得有“磁力”。

五、发挥群体优势，推动班内全体学生的思维发展

如何培养数学思维范文第4篇

一、激发学生的学习兴趣，启迪学生的思维

兴趣是学生学习的直接动力，它是求知欲的外在表现，它能促进学生积极思考，勇于探索。

1.用实践操作唤起学生的兴趣

教师在教学实践中动手操作或让学生自己动手操作，最能唤起学生的兴趣，保持学生稳定的注意力。如在推导圆柱体的体积公式时，我通过让学生自己推导将一个圆柱体拼割成一个近似的长方体，并让学生掌握了圆柱体的体积公式后，我要求学生认真观察教师的推导过程，并让学生观察将一个圆柱体拼割成一个近似的长方体后，这个近似的长方体的体积、表面积同原来的圆柱体的体积及表面积相比是否发生变化。在学生掌握了圆柱体的体积公式后，我出示了这样一道题目：“将一个圆柱体拼割成一个近似的长方体后，这个 近似的长方体的表面积比原来增加了40平方厘米，已知这个长方体的高为1分米，求这个圆柱体的体积是多少立方厘米？”学生由于刚刚自己动手推导圆柱体的体积公式，因此很快可以求出这个圆柱体的底面半径为：40÷2÷10＝2（厘米），这个圆柱体的体积为：3.14×2×2×10＝125.6（立方厘米）。

2.让学生在实践中提高学习兴趣并获得知识

在小学数学教学中让学生进行实践是有效提高课堂教学的一种重要手段。如教学行程问题后，我出示了这样一题：“已知客车每小时行60千米，货车每小时行50千米。现在两车同时从相距200千米的甲、乙两地同时出发，经过2小时两车相距多少千米？”

由于题中未说明行驶方向，所以两车出发2小时，两车相距的路程应是多少并无一个标准，因此，我组织两个学生在教室中按四种情况进行了演示：1.两个学生同时相向而行；2.两个学生同时相背而行；3.两个学生同时向同一方向而行，走得快的同学在前；4.两个学生同时向同一方向而行，走得慢的同学在后。因此我再启发学生，这道题应该如何进行解答。这样，学生很快意识到这道题应分以下四种情况进行讨论：

⑴两车同时相对而行，相遇后又拉开距离：（60＋50）×2－200=20（千米）。

⑵两车同时相背而行：（60＋50）×2＋200＝420（千米）

⑶两车同向而行，客车在前面货车在后面：60×2＋200－50×2＝220（千米）

⑷两车同向而行，货车在前面客车在后面：50×2＋200－60×2＝180（千米）。

二、运用类比方法，培养学生创新思维

类比方法是根据两类物质之间一些相似性质从而推导出其它方面也类似的推理方法，在数学教学中运用类比是一种非常重要的方法。

1.运用比较辨别，启迪学生思维想象

如在教学了数的整除的知识后，我出示了这样一道例题：“一个大于10的数，被6除余4，被8除余2，被9除余1，这个数最小是几？”应该说这道题是有一定的难度的，学生求解会感到无从下手，这时，我出示了这样一题比较题：“一个数被6除余10，被8除余10，被9除余10，这个数最小是几？”这道题学生很快能求出答案：这个数即是6、8和9的最小公倍数多10，6、8和9的最小公倍数为72，因此这个数为：72＋10＝82；然后我引导学生将上面一道例题与这道比较题进行比较和思考，学生很快知道，上道题只要假设被6除少商1余数即为10，被8除少商1余数也为10、被9除时少商1余数也为10，因此可迅速求得这个数只要减去10，就同时能被6、8和9整除，而6、8和9的最小公倍数为72，因此这个数为：72＋10＝82 。这样通过让学生展开联想和比较，不但可以提高学生的想象能力，同时也能提高学生的创新思维能力。

2.通过分析归纳，培养学生创新思维

又如在教学平面图形的面积计算公式后，我要求学生归纳出一个能概括各个平面图形面积计算的公式，我让学生进行讨论，经过讨论，学生们归纳出，在小学阶段学过的面积公式都可以用梯形的面积计算公式来进行概括，因为梯形的面积计算公式是：（上底 +下底）×高÷2 。而长方形、正方形、平行四边形的上底和下底相等，即可将这公式变成：底（长、边长）×高（宽、边长）×2÷2 = 底（长、边长）×高（宽、边长）；又因为圆面积公式是根据长方形的面积公式推导出来的，因此，梯形的面积公式对圆也同样适用；当梯形的上底是零时，即梯形成了一个三角形，这时梯形的面积公式成了：底×高÷2。这即成了三角形的面积公式。这样，不仅使学生能熟练掌握已学过的平面图形的面积公式，同时，也培养和提高了学生的创新能力。

三、巧设探索性问题，培养学生创新思维

现代心理学认为：教学时应设法为学生创设逼真的问题情境，唤起学生思考的欲望。在教学实践中，我们如能让学生置身于逼真的问题情境中，体验数学学习与实际生活的联系，学生也会品尝到用所学知识解释生活现象以及解决实际问题的乐趣，感受到借助数学的思想方法，会真正体会到学习数学的乐趣。因此，在教学实践中，我尽量做到在数学教学过程中加强实践活动，使学生有更多的机会接触生活和生产实践中的数学问题，认识现实中的问题和数学问题之间的联系与区别。

1.设计开放性习题，让学生在实践中提高创新思维

如在教学了百分数应用题后，我出示了这样一题：李教老师欲购买一台笔记本电脑，为了尽可能少花钱，他考察了A、B、C三个商场，他想购买的笔记本电脑三个商场都有，且标价都是9980元，不过三个商场的优惠方法各不相同，具体如下：A商场：全场九折。B商场：购物满1000元送100元。C商场：购物满1000元九折，满10000元八八折。李老师应该到哪个商场去购买电脑？请说明理由。

这道题显然不同于一般的应用题，因此我启发学生，应该充分考虑如何才能做到尽可能少花钱这一个特定的条件去进行分析与解答。学生进行了认真的分析和讨论，最后得出如下结论：

因为每台电脑的价格均为9980元，而去A商场是全场九折，因此李老师如果去A商场购电脑，那么李老师应该付：9980×90%＝8982（元）。

因为B商场是购物满1000元送100元，李老师如果只买电脑，需付：9980－900＝9080（元）；李老师如果再买其它的物品凑满10000元，需付：10000－1000＝9000（元）。

因为C商场是购物满1000元九折，满10000元八八折，李老师在C商场购买电脑时，只要再多买20元物品，即凑满10000元，最多需付：10000×88%＝8800（元）。

因此，李老师去C商场购电脑花钱最少。

2.培养学生打破传统的思维模式，开启学生创新思维大门

创新思维的培养，要让学生敢于打破传统的思维模式，对一些问题提出具有独特的、富有说服力的新观点和新境界，开启学生的创新思维大门。

如教学了“长方体和正方体的体积”后，我出示了这样一题：“一个长方体水箱，从里面量，长40厘米，宽25厘米，高20厘米，箱中水面高10厘米。如果在长方体水箱中放进一个长和高都为20厘米，宽为10厘米的长方体铁块，那么水面将上升多少厘米？

这道题大部分同学都只想到将以20×20作为底面放进水箱中这一种情况，这时铁块全部浸没在水中，这时候水面上升的高度即为：20×20×10÷（40×25）＝4（厘米）。但还有另一种情况，即不是将20×20作为底面，而是以20×10作为底面放进水箱中的这一种情况，同学们却忽略了。这时我向学生进行了演示：我将一块铁块按未曾全部浸没在水中的情况进行了演示，并启发学生除了将以20×20作为底面放进水箱中这一种情况，还有没有其它的情况，学生通过观察并进行了讨论，认识到还要考虑到另一种情况，即以20×10作为底面放入水中，因此很快得出结论，如果以20×10作为底面放进水箱中，这时候铁块没有全部浸没在水中，这时水面上升的高度应该为：

40×25×10÷（40×25－20×10）－10＝2.5（厘米）。

或者用方程进行求解。设水面上升X厘米，则可得方程：

20×10×（10＋X）＝40×25×X，

解得：X＝2.5（厘米）

如何培养数学思维范文第5篇

关键词： 高中数学 思维能力 发散性 敏捷性 灵活性

中国古代大教育家思想家孔子十分强调思维的重要性，曾说：“学而不思则罔，思而不学则殆.”意思是学习不加思考就会迷惑无所得，现代文明所建树的一切无一不是思维的功绩.近年来，高考数学对考查学生思维能力的要求越来越高，并且此项能力考查的内涵也越来越广泛.然而，很多学生只会模仿平时练过的题型，解决传统的题目，对从来没练过的新题型束手无策，归根究底学生缺乏的是数学思维能力与分析解决问题的能力.学生对基本知识、基本方法不熟悉，更重要的是学生的思维不够灵活.因此教数学不仅仅是传授数学知识，更重要的是培养学生的数学思维能力.掌握知识与提高思维能力是互为目的，互为条件的辩证统一过程，只重知识不重能力培养，传授给学生的知识是死知识，也就谈不上培养学生数学思维能力.因此只有将数学课堂教学的重点放在加强思维训练、提高分析能力上，才能真正发展学生智力与潜力，培养思维方式，提高分析能力，使学生从“知识型”向“智力型”转化.

经过三年的教学与实践，从课堂知识讲解的方式，例题的选择，解题的思路，以及解题回顾等方面来提高学生的思考问题，解决问题的能力，对此我有些粗浅的心得体会.我认为可以从以下四个方面培养学生的思维能力，提高学生解决问题的能力.

一、“一题多解，一题多变”，培养思维的发散性［1］

一题多解，是从多角度思考同一个问题，采用不同的基本方法解决问题，找出这些方法之间的内在联系，逐渐引导学生的多元化思维；一题多变是通过对同一个题目的引申、变化、发散，突现问题的背景，揭示问题与条件之间的逻辑关系.教师在教学中首先要选择典型的题目，引导学生从多方面思考问题，力求一题多解，使知识和方法延伸到数学的各个分支，探究它们之间的内在联系；其次要善于挖掘题目的潜在功能，恰当地对题目进行延伸、演变，使学生的思维处于积极、兴奋的最佳状态，提高学生独立分析问题的能力，从而对问题的本质属性及解法规律有更深刻的理解.

例1：若x＞0，y＞0，x+y=1，求（1+）（1+）的最小值.

对条件分析可以从四个方面着手：

（1）由条件和问题的对称性，想到x+y=1为定值，当x=y=时，（1+）（1+）有最小值9；

（2）x＞0，y＞0，x+y=1，想到x+y=1为定值，根据基本不等式，当x=y时，xy有最大值;

（3）x+y=1，想到1=x+y恒等变形；

（4）x＞0，y＞0，x+y=1，可令x=sint，y=cost，t∈（0，）；

（5）x＞0，y＞0，x+y=1，想到y=1-x，x∈（0，1）可化为一元函数，从而可以得出五种相应的解题方法.

通过“一题多解，一题多变”，可以使学生形成环环相扣的知识网络，而不再是一小块一小块的零碎知识.“一题多解，一题多变”并不是方法与问题的简单堆砌，而是从不同的角度去分析，思考同一个问题不同的切入点，让学生意识并掌握从不同角度去思考问题，养成富于联想的思维习惯，有效地培养思维的发散性.

二、勇于探索，善于分析，培养思维的敏捷性

思维的敏捷性是能在较短的时间内提出解决问题的正确意见.思维活动的快慢集中表现为分析问题和解决问题的快慢.教学中我们经常观察到有些学生反应迟钝，思维混乱，生搬硬套，特别在大型考试中碰到新颖的题型惊惶失措，常常陷入传统的定势思维.因此，学生思维敏捷性有待提高，这就要靠教师平时鼓励学生勇于探索，引导学生分析问题.我认为主要从以下各方面培养学生思考与分析问题：（1）题目中的条件是什么？待求结论是什么？（2）通过已知条件可以映射到什么结果？（3）仔细研究问题的求解目标，分析要达到此目标必须具备的条件.（4）改变原问题的表达形式，将其转化为与之等价的形式简单或容易解决的问题.（5）如从正面思考有困难就从反面思考，直接法不能奏效时就用间接法.

例2（2010江苏高考第19题）：设各项均为正数的数列{a}的前n项和S，已知2a=a+a，数列{}是公差为d的等差数列.

（1）求数列{a}的通项公式（用n，d表示）；

（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S+S＞cS都成立，求证c的最大值为.

分析：首先根据条件我们可以得到如下信息：（1）各项均为正数的数列{a}的前n项和S，就想到a=a，n=1S-S，n≥2；（2）数列{}是公差为d的等差数列，可以得到=+（n-1）d，从而得到S.然后看看问题，第一小问是求数列{a}的通项公式（n，d表示），由前面的分析，我们已经得到a可用a，n，d来表示，所求问题是要用n，d表示，再比较分析一下就可以得出我们要做的事情用d来表示a.如何用d来表示a呢？由条件2a=a+a就可以得到.第二小问用分离参数法和基本不等式是比较容易的.有了这些分析，解题途径基本明确，接下来的工作便是正确而合理地进行计算.

解：（1）由题意知，=+（n-1）d=+（n-1）d

当n≥2时，a=S-S=（-）（+）=2d-3d+2dn

由2a=a+a，得到2（2d+d）=a+2d+3d，=d

故当n≥2时，a=2nd-d=（2n-1）d

又a=d，所以数列{a}的通项公式为a=（2n-1）d.

（2）由=d（d＞0），=+（n-1）d=+（n-1）d=nd

得到S=nd

S+S＞cS md+nd＞ckd=d

又d＞0，m+n＞，c＜

m≠n m+n＞＞

c≤，所以c的最小值为.

要培养学生的思维敏捷性，必须让学生学会分析题目条件，结合题目结论或所求，探索问题的突破口，采纳相应解决方法，并进行长期的锻炼，从而达到提高学生的思维敏捷性.

三、加强探究猜想，培养思维的灵活性［2］

思维的灵活性是一个人的思维活动能根据客观情况的变化而变化.思维活动的灵活程度，它表现为对知识的应用熟练程度，根据熟悉的条件形式，展开合理的猜想，将待求问题转变成熟悉的形式，巧妙地解决问题.猜想要以知识和经验作为支柱，但培养敢于猜想，善于探索的思维习惯则是形成直觉的基本素质.波利亚十分推崇学习过程中的猜想，因此在教学中教师要鼓励学生猜想，看到已知条件要善于“浮想联翩”，勇于尝试.先抓住一些信息，做出猜想，再做修正、证明，从而培养思维的灵活性.猜想是依据已有的知识和结果，经过尝试而获得对于待解决问题向结果靠近的方向猜想，除了猜想获得结果外还需验证所得猜想，所以此项能力集中体现为综合素质能力，要求比较高，经常放在解答题中考查.

例3（2010江苏高考第20题）：设f（x）定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）.

（1）设函数f（x）=1nx+（x＞1），其中b为实数.

（i）求证：函数f（x）具有性质P（a）.

（ii）求函数f（x）的单调区间.

（2）已知函数g（x）具有性质P（2）.给定x，x∈（1，+∞），x＜x，设m为实数，α=mx+（1-m）x，β=（1-m）x+mx，且α＞1，β＞1，若|g（α）-g（β）|＜|g（x）-g（x）|，求m的取值范围.

分析：本小题主要考查了函数的概念、性质、图像及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合，分类讨论的思想方法进行探索，分析与解决问题的综合能力.由题意易证明（i）.（ii）对b分类讨论易得：当b≤2时，函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）；当b＞2时，函数f（x）的单调增区间为（1，），单调减区间为（b+，∞）.第（2）题由题意g（x）在（1，+∞）上单调递增，猜想α，β∈（x，x），则符合题意；看到α=mx+（1-m）x，β=（1-m）x+mx这一条件马上猜想并验证m∈（0，1）时，α，β∈（x，x）.由于分类讨论的原则是：不重不漏，由于对m讨论的完整性，再考虑m≤0和m≥1的情况，经讨论都不符合题意，所以m∈（0，1）.有了这些思考，接下来解题就迎刃而解了.

看到熟悉的条件，要形成条件反射，联想到相应的结论或相似的结果，这些联想可能就是题目的突破口.要想形成这种条件反射，教师必须在教学中不断引导学生善于猜测，用于探索，不断提高学生的思维灵活性，走出传统的定势思维.

四、重视解题回顾，深化数学思维［3］

解题回顾是题目解答完后，教师引导学生重新审读题目，讲评解题对策的由来及其过程，帮助学生总结出数学的基本思想和基本方法，促进学生掌握，并学会将这些思想与方法运用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的坚固后盾，因此解题回顾也是数学教学中的一个重要环节.通过解题回顾可使学生学会寻求题目的分析入口，帮助学生掌握解题策略，也有利于提高与发展学生的解题能力.习题讲解完毕，教师不妨提出以下几点让学生思考与实践.

（1）对题目的条件反复推敲，抓住最棘手的条件，往往最棘手的条件正是题目的突破口.

（2）对习题现行的方法进行分析，思考这些方法为什么行之有效，进一步思考有无更直接或更完美的解题方案.

（3）对问题本身进行分析，分析该问题是不是特殊情况，能否将该问题推广到一般，成为一个普适的结论.

（4）总结出题目中的因果关系和其他的逻辑关系，还可以将这些条件与结论互易，是否也成立；或者加强某个条件，结论是不是依然成立.

尽管培养与提高学生的思维能力不是一朝一夕的事，但是我们作为教师，应本着“授之以鱼，不如授之以渔”的原则，教会学生如何思考数学问题，培养数学思维.教师要注意通过教学活动，创造有利条件，促进学生在掌握知识和技能的过程中思维能力得到发展.平时教学应当引导学生正确分析问题，探究知识之间的联系，渗透数学思想，并阐述采用该种数学思想的缘由；通过作业辅导学生掌握数学思维的基本方法，逐步引导学生运用恰当的数学思维方法去分析具体问题，解决实际问题.

参考文献：

［1］张群.加强发散性思维训练优化解决数学问题策略［J］.淮阴师范学院教育科学论坛，2009，3：67-68.