高中数学函数概念与性质
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高中数学函数概念与性质范文第1篇
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）05-0016-02
高中实施新课程以来，初高中数学教学的衔接问题大家议论的很多，因初中教材要求掌握较窄或较浅的内容，甚至于不要求掌握的内容在高中数学学习中经常要用到，这样就出现了初高中教材“脱节”现象，从而影响到高中数学的学习。所以在初高中数学衔接中，要引导学生适应高中数学学习的习惯和解决问题的思维方法。
一、重视数学概念的教学
数学概念的教学是中学数学教学的一个重要环节，不应该仅仅是“一个定义，几项注意”，更不能以题海战术来取代。这样花了很多时间对学生进行反复训练，无形中增加了学生的负担，磨灭了学生的学习兴趣，结果学生还没有真正理解概念。因此，正确理解数学概念是学好数学的前提条件，学生对概念的理解程度直接影响到以后的数学学习。由于高中阶段给出的概念比较抽象，逻辑性强，因此，在进行概念教学时，充分利用初中学过的数学概念与高中概念的联系来进行教学。如：初中阶段讲解锐角三角函数时，主要通过直角三角形边的比值来定义锐角三角函数，而高中任意角的三角函数是利用平面直角坐标系中点的坐标或坐标的比来定义的，造成高中学生学习任意角三角函数时，受到初中学习的思维定势，用定义解题时只看到锐角，还不能推广到任意角，从而影响到后续的学习。所以，在数学概念的引入、表示、性质和应用等各阶段的教学中，要从学生的实际出发尽量找学生熟悉的生活实例创设情景，并应用好书中的例子，为学生提供思考的空间，给予学生交流的机会，让学生自身体验概念的发现，形成过程。通过分析、抽象、概括最后形成概念。这样学生对概念的理解才深刻，在理解基础上才容易记住概念。
二、初高中数学知识结构结合点剖析
初中数学对数学概念、定理采用描述性定义，而高中数学要求对数学概念、定理采用严格的定义与推导。初高中教材内容相比，高中数学内容增多，难度加大，范围变广，理论性强。而高一数学大部分知识都与初中知识有联系。但是大部分高中教师没有教过初中，对初中教材不熟悉，因此，高中教师有必要认真研读实施新课程后的初高中教材及课程标准，对初中知识有所了解，在高中数学教学中，可以从学生已有知识出发来探究新知识。如：初中学的锐角三角函数仅仅限于直角三角形中，而高一的三角函数讲到任意角的三角函数，难度突然增大，学生难以理解或掌握。因此，在高中数学教学中，要求教师利用好初中教材，准确把握好课堂教学的起点，由浅入深、由感性到理性过渡到高中知识来实现初高中数学教学的有效衔接。
三、注重知识循序渐进、螺旋上升梯度的把握
初中教材内容简单，知识难度不大，要求低，学生容易理解，此外课时多，教师有充足的时间来突破难点。而高中教材内容丰富、难度大、要求高、课时少，即使是教学重点内容，老师也没有时间进行反复强调，加深讲解。初中教材每一新知识的引入大部分与学生日常生活实际有关，比较直观，学生一般容易理解、接受和掌握。根据高中教材特点，我们不能用过高的要求来对待高一的数学教学，在高一的教学中要从学生已掌握的知识出发，对教材进行必要的处理和知识铺垫，找到初高中教材知识的衔接点，有意识地分散难点，注重由浅入深、循序渐进，逐步向抽象思维转化，从而形成新知识。如：初中阶段学习的锐角三角函数，它是利用梯子的倾斜程度来引入，通过直角三角形边长的比来刻画的；而高中的三角函数用角的终边与单位圆交点的坐标或坐标的比来表示，概念范围扩大，并且与生活联系不紧密，只有学生具有一定的想象力才能理解。因此，讲解数学核心概念、重要数学思想方法时，要让他们有反复接触的机会，从中获得应有的数学基础知识，体验它们形成的过程，真正领悟数学核心概念、重要数学思想方法的本质特征，不追求“一步到位”，应遵循“循序渐进、螺旋上升”的原则。
高中数学函数概念与性质范文第2篇
【关键词】函数 概念 图象 性质
“函数”是高中数学第一学期第二章的内容，是高中数学内容的主干知识，也是进一步学习其他章节内容的基础。其知识、观点、思想和方法在初中同学们已经学习了一小部分，它承上启下的将初中数学与高中数学很自然的衔接在一起，它贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题的解决。因此，在高考中函数是一个极其重要的部分，而对函数的学习则是高中数学学习的重头戏。那么怎样才能学习好函数，把高中数学的这个根基打牢呢？
一、应该加深对概念的理解
函数部分的特点是概念比较抽象，对概念理解的要透彻。而在实际的学习中，学生对此不是很重视，往往把概念学习草草而过，就急着去做题；那么概念是能突出本质，而产生解决问题的方法。如果对概念不重视，那么题目一定也做不好。在初中的数学学习中就已经学习到了函数问题，比如：解一元二次方程问题。函数和函数图象的关系。画一次函数和二次函数的草图的问题以及二次函数的配方问题，但是以上问题，确是学生在高中数学学习中面对的第一个难关。就是因为在初中学习中没有对函数的概念有深刻的理解。
二、函数图象是认识函数很好的一个途径
函数图象是函数的具体细节的反映，使函数更加形象，具体，降低函数的抽象性。函数与函数图象的关系就像是人的身份证号与本人关系一样，一个人对应着一个身份证号，一个身份证号对应一个人。也就是说，什么样的函数有什么样的图象。函数图象的走势、形状、最值、自变量取值范围直观地反应特定函数的性质。特定函数具有其本身特有的图象。很多同学没有将函数与函数图象建立联系，割裂了函数和图象的关系，脱离函数图象，仅仅是从函数式上来学习函数，而函数解析式本身是非常抽象的，这样对于初学者来说学会并掌握是很难的。在高中要在初中的基础上学习基本初等函数指数函数、对数函数和幂函数。这些函数的许多性质都是通过图象学习的，通过图象来区分它们的不同，如果割裂函数与图象关系学习函数将是寸步难行。在初中的学习，能够画好一次函数图像和二次函数图象是在高中能够学好函数的基础。在旧知识的基础上去深刻的理解和掌握新知识是比较容易接受的。草草画出的图像，不能反映函数的对应关系，不能反映函数的性质。不仅影响对函数的认识，将影响以后的学习。比如必修5中第三章将学习不等式时，利用二次函数图象学习一元二次不等式的解法，如果对二次函数图象没有深刻的认识，学习一元二次不等式就会有困难。在学习线性规划问题时要求快速画出约束条件对应的可行域，准确快速画出直线是基础。在高考中，数形结合的方法也是解决函数问题的重要手段。如果说函数的解析式是函数的第一张面孔，那么图形就是函数的第二张脸。
三、灵活的掌握和应用好函数的性质如函数的单调性、奇偶性、周期性的证明等等
就高考而言，例如2010年山东高考数学卷的第15题就是考查学生是否理解函数最大值的概念。在高中数学的代数证明问题中，函数问题是最多最突出的一个部分，而用定义法判断和证明这些性质往往是最直接有效的方法。如2011年辽宁文、理科的第22题，考查的是函数的单调性、值域与最值，2012年的第19题，文科考查的是函数奇偶性的判断与证明，理科在此基础上还考查了函数单调性。以函数的单调性为例，可以从哪些问题入手学习呢？问题一：什么是函数的单调性？可以借助一些概念的辨析题来帮助理解。问题二：如何判断和证明一个函数在某个区间上的单调性？问题三：函数的单调性有哪些简单应用？主要的应用是求函数的最值，此外还可能涉及到不等式、比较大小等问题。最后还可以进一步总结易错、易漏点，如讨论函数的单调性必须在其定义域内进行，两个单调函数的积函数的单调性不确定等。最后，还要进一步的练习，将单调性，奇偶性，周期性结合在一起的问题。
四、抓典型问题，强化训练
高中数学函数概念与性质范文第3篇
关键词：高中数学；难点概念；调查研究
高中数学概念是思维的基础形式，数学理念是数学思维的主要核心和起点，在可以掌控概念以及原理为核心目标的高中数学学习中，数学概念是我们学生时代开始认知训练以及提升的基础，它对我们的大脑思维逻辑能力和空间想象能力等均起到较好的训练作用，同时，上述两方面能力的提升均需要清晰的掌握和运用数学概念为主要前提。进入高中之后，数学学习的重要性不断上升，对我们自身提出较高的要求[1]。
一、高中数学难点概念
对高中数学进行学习我们都有相同的体会，在对高中数学几百个概念进行学习时，有些重要的数学概念，在学习时很多都是感到难以理解或是思维逻辑打不开，因为，高中数学概念成为我们学习中的困难点之处。同时老师在对这些概念的进行教学时也难以把握、难以突破，同时也成为我们在数学概念学习中的困难点，这样的一些概念我们在课堂中都称之为难点概念。高中数学中有哪些概念称之为难点，不同的学生会给出不同的答案，并且在教师的心目中难点概念与我们学生心目中的难点概念也不相同，比较遗憾的是，直到至今仍然不清楚高中数学中哪些概念被教师和学生称之为难点，而这正是我们进行调查研究的动力。因此，我们在开展高中数学十大难点概念作为研究，试图找到一致认为的高中数学难点概念。
二、分析调查对象
为了确保调查工作能够全面的进行，准确的体现出高中数学中的十大难点概念，我们对某地区的高中数学教材中所含的概念进行全面的整理，其中整理的范围包含了必修和拓展内容一共6册教材。调查对象需要填写高中数学十大难点概念问卷调查表，主要包含的内容为：（1）个人信息；（2）调查表列出的60个难点概念选出10个最难的难点概念；（3）简单说明所选的10个难点概念的理由。
三、调查研究高中数学十大难点概念分析
（1）反函数概念
该数学概念文字表达叙述太长，并且涉及到符号比较多，其抽象度较高，我们在学习过程之中对其反函数概念理解本来就不够透彻，经过逆向后，‘任意’、‘唯一’的对象以及相关定义领域则全部颠倒。由于反函数的部分学习时间比较少，对反函数的单调性以及图形性质等都未能得到进一步的学习，难以形成理解。
（2）球面体距离概念
由于我们目前自身大脑思维并没有曲面上距离的概念，对球面体距离的概念更是感到十分的陌生，从平面距离到球面体距离的思维跨度抽象度较高。经过立体几何数学删减后，我们的思想空间逐渐下降，球面距离的图形也难以画出，找不到基本的图像关联。经过数学教材指出，连接球面上的两点路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，但是未能通过物体表明，而且老师在教学当中也难以叙述的更加明确，只能依靠我们自身的记忆。还有一方面是因为部分学生的地理科目交叉，很少有经纬度的概念。
（3）曲线的方程概念
由于文字表达的较长，读起来像绕口令，在方程一方程的结一点的坐标一曲线的关系链中，方程的解与点的坐标是一一对应，但是方程与曲线又不是一一对应，该概念的理解程度较高。有些符号是则是我们对于数学的学习生涯之中第一次见，其含义并不是很明确，概念是从纯粹性和准确性的两个方面进行描述，但是后期的在求曲线的方程后，数学教材中标注不要求给证明，从而导致我们较多的同学在对此进行学习时都会以为这个数学概念纯属多余。
（4）数列表的极限概念
文字表达太长，符号以及抽象理解都让我们感到陌生，在生活中极限概念与数学中的极限概念是完全不相同，对我们的学习极限概念形成很多的困扰，从而导致我们很难分清其中的区别。极限思想的形成大多都需要一个过程，但由于部分数学课程时间较少，影响了我们的思维[2]。
（5）函数概念
一次性给出了函数、自变量、定义域、函数值等一些概念，使得我们在对数学学习时感到无从理解，对每个难点概念的符号理解都不能到位，对分段函数以及相关图像表示并不熟悉。
（6）数学归纳概念
思维比较新颖，作为学生我们尚未没有做好相关的心理准备，采用有限的步骤验证对无限个自然数都成立，让我们较难接受以及理解。而且还有部分同学无法从归纳法的原理真正了解到方法，不会使用数学归纳法进行证明。
（7）二面角概念
我们缺少思想空间，作不出二面角，部分同学将两个半平面误认为两个平面，无法理解二面角的大小为什么要用其平面角的大小衡量。
（8）反正弦函数概念
我们对之前的反函数概念就并不够完全理解，对反正弦函数概念更加陌生，在同学的学习惯性里认为，反函数是实数之间的对应关系，而反正函数是实数与对角的对应关系，很多同学想不到这么透彻[3]。
（9）参数方程概念
我们对于如何取参缺少思考方法，参变量的作用、地位以及意义有时看不清。与以往普通的方程互化时的等价性问题是个难点。
（10）冲要条件概念
我们对充分条件、必要条件的相对应使两者关系容易混，涉及的数学知识方面比较广，对证明和反举例要求较高。
总结：我们所认为的大部分的难点概念，有些原因是因为自身的学习动力不足，对于数学概念理解并不深刻，固定知识点的认知淡薄，语言转换能力缺少，难以用自己的语言去表达概念中的困难之处，表示方法也比较少，缺少样例的支撑，不清楚核心概念的内在关系[4]。
参考文献：
[1]吴红宇，王华民.借数学史之力 解概念难点之疑――一堂基于数学史的“弧度制”设计及感悟[J].数学教学研究，2014，33（11）：22-26.
[2]顾慧，王华民.借数学史之力，解概念难点之疑*--一堂基于数学史的“复数”概念的教学尝试与感悟[J].中学数学，2015，12（7）：51-55.
高中数学函数概念与性质范文第4篇
一、从高中数学知识链中认识函数
函数是必修1的重点内容,也是中学数学的基本概念之一。新课程数学从必修到选修,函数是其中一条主线,主要体现在必修1:函数概念和性质与基本初等函数I(指数、对数、幂函数);必修数学4:基本初等函数II(三角函数);必修数学5:数列(离散型函数);选修系列1-1(2-2):用导数研究函数的性质。
函数是研究方程、不等式、数列、线性规划、算法、微积分的基本思想,函数模型是实际问题和几何问题中研究最值的常用模型。
二、从高中数学内容和结构中认识函数
必修1中主要是:函数的概念、图像和性质三种函数模型(指数、对数、幂函数)函数与方程函数模型及其数据应用。
必修4中主要是:角的概念及表示三角公式及应用三角函数的图像三角函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)三角函数模型的应用。
必修5中主要是:数列的概念及表示方法两种数列模型(等差、等比)a,S的研究数列模型的应用。
选修1-1(2-2)主要是:导数的概念及其几何意义常见函数的求导公式及求导法则用导数刻画单调性极大值、极小值最大值、最小值实际应用。
从高中所研究的初等函数来看,函数的研究的结构都遵循着以下几种结构。
三、从高中数学的思维方式认识函数
1.两条线索
一是抽象的数学研究,主要研究对象是符号y=f(x),符号化、形式化是数学的重要特征,如所有的函数关系都可以用抽象符号y=f(x)来表示,这种表示不仅形式简单,而且可以加深对函数概念本质的理解。
二是具体的实例研究,主要研究对象是y=a,y=logax,y=x,y=sinx,y=cosx,y=tanx,以及初中学的y=kx+b,y=,y=ax+bx+c等函数,通过研究这些函数图像,掌握这些函数的性质,对了解和掌握函数的性质具有形象直观的优势。
2.两个角度
对高中函数的研究是从两个角度进行的,一是从符号语言对函数进行精确的刻画;二是从图形语言对函数进行直观的描述。这两种角度贯穿了函数的学习的全过程,具体体现在以下几个方面。
(1)函数的概念
在函数的概念中定义域的定义为所有输入值x组成的集合,值域的定义为所有输出值y组成的集合。其本质就是由符号的取值构成的集合,而这两个函数基本概念用图形语言描述为函数y=f(x)的图像在x轴上的射影构成的集合即为定义域,在y轴上的射影构成的集合即为值域。如图1,值域用图形语言描述。
(2)函数的表示方法
函数有三种表示方法:列表法、图像法、解析式法。
解析式即用一个关于x、y的二元方程f(x,y)=0来表示两个变量之间的关系。图像即把二元方程f(x,y)=0解构造为一个点集{(x,y)|f(x,y)=0},然后建立平面直角坐标系画出函数的图像。前者是通过式子用代数的方法刻画了两个变量之间的关系便于通过等式研究函数的性质,而后者是通过图形用几何的方法刻画了两个变量之间的关系能够直观反映函数值随自变量值变化的趋势。
如方程x+y=1(y≥0),根据函数定义可得,该二元方程即为函数y=,而该方程的解构造为一个点集{(x,y)|y=},画出图像如图2所示。
(3)函数的性质
①单调性
符号语言:“>0”就是对自然语言“随着x增大,y也增大”的精确刻画。
图形语言:
从左向右观察,曲线在逐渐上升,这样就是对自然语言“随着x增大,y也增大”的直观反映。
②奇偶性
符号语言:“?坌x∈D,f(x)=±f(-x),”就是对奇偶性的精确刻画。
图形语言:通过图形关于y轴对称和关于原点对称直观反映了函数奇偶性。
③周期性
符号语言:“?坌x∈R,f(x)=f(x+T)”就是对自然语言“周而复始”的精确刻画。
图形语言:通过图形的不断重复,直观地反映了函数的周期性。
从函数的概念到函数表示与函数性质,我们可以发现高中函数的研究是从代数角度用符号语言和几何角度用图形语言这两个角度来进行研究。
四、从高中数学感受与应用认识函数
1.函数与方程之间的关系
代数:ax+b=0相当于函数y=ax+b,当x=?时y=0?
ax+bx+c=0相当于函数y=ax+bx+c,当x=?时y=0?
f(x)=0相当于函数y=f(x)当x=?时y=0?
几何:方程f(x)=0的根即为y=f(x)的零点。
2.函数与不等式之间的关系
代数:y=ax+b>0,y=ax+bx+c>0,即解不等式的解的问题就是函数值大于零或小于零时对应自变量的值。
几何:如:x-5x>0的解集即为函数y=x-5x在x轴上方所对应图像在x上投影的集合。
3.函数模型的应用
日常生活中有着太多的变量与变量之间的关系,如何用数学的方法来研究它们,而函数作为一个重要的模型之一,其发挥着巨大的作用。
用数学的方法来研究实际问题,其本质就是建立数学模型和数学方法的运用,其过程如下图:
高中新课程对实际的应用进一步加大,其目的是想通过对函数的应用,使得以前我们对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视,使得学生对数学的兴趣日趋减少,认为数学就是做题,学数学没用、升学有用等现象得到避免,通过数学应用的教学活动符合社会需要,有利于激发同学们学习数学的兴趣,有利于增强同学们的应用意识,有利于拓宽学生的视野。
高中数学函数概念与性质范文第5篇
关键词： 高中数学教学 函数 概念 定义 性质
函数是高中数学课程的主要内容之一，是数学学习的基础，也是贯穿于整个高中数学课程始终的重要思想之一。函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用等，都有着密不可分的联系。所以，在高中数学教学中，如何帮助学生理解函数概念、掌握函数基本性质、学会应用函数是教学的重要任务。
一、激发学生学习高中函数的兴趣
在教学高中函数知识时，要考虑到学生的认知特点，根据认知与个性差异，挖掘学生的主动性，培养学生学习函数的兴趣。另外，还要帮助学生进一步明确学习目的，针对不同学生的实际情况，分别给他们提出不同的学习目标，增强学生对学好函数的自信心。在课堂练习中经常让学生先独立去做、去思考，老师更多的是起引导作用。例如：在教学函数时，给学生举这样的例子：
例1：已知：f（x+1）=x-5x+2，求f（x）；
例2：已知：f（f（x））=9x+1，求一次函数f（x）的表达式。
先要求学生思考、探究。结果有的学生能够发现几种解法，有的学生在探索中会出现很多问题，并且有些问题是课堂中的新的生成。然后根据学生解题中出现的问题进行认真分析、总结，从而使学生在轻松和谐的课堂气氛中学会解题，激发了学生的兴趣，提高了课堂教学质量和效率。
二、加强对函数定义与概念的教学
新教材特别强调了实例的典型性和丰富性，充分运用了表格和图像的作用，让学生体会到函数的其他形式。这样安排不仅提升了学生对函数概念的理解层次，还帮助学生更全面、更深刻地理解了函数概念中“对应关系”的本质。因此，在函数定义教学中，先回顾了初中函数的概念，举学生所熟悉的实例，和学生一起分析课本中的例题：炮弹距地面的高度h随时间t变化的规律：h=130t-5t，分析t和h的变化范围，分别令其为数集A和数集B，从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的高度h与之对应，进而归纳出变量之间关系的共同特点。让学生观察、分析、总结其特点，然后教师总结，揭示函数关系的本质是表示两个集合之间的元素，按照某种法则所确定的对应关系，从而给出函数的对应概念，以及函数的三要素。这个过程通过生活实例中的函数模型，让学生了解深化函数概念的必要性。
三、帮助学生掌握函数的各种性质
函数的单调性、奇偶性、周期性，以及函数图像的某些性质等内容比较抽象。那么要让学生真正掌握函数的基本性质，就必须在函数概念的教学基础上，对函数的性质进行归纳整理，并在教学中通过具体事例的分析，挖掘题目中蕴涵的函数性质，从而使解题过程变得简洁。于此同时，还应加强数学变换思想的教学，来提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。例如：在教学函数奇偶性时，对定义“对于函数定义域内的任意一个x，都有f（x）=-f（-x）”，这是非常重要的条件，如果学生在运用函数奇偶性定义来判断函数奇偶性时，不注意函数或者不等式成立时变量的取值范围，就容易造成错误。如f（x）=3x（x∈（-1，1]），形式上f（-x）=-f（x）成立，但由于x=1时，-x=-1？埸（-1，1]，因此，它不是奇函数。在教学函数性质含义时，一定要通过例题来论证，这样才能让学生加深对函数奇偶性的理解。
四、结合数形知识来学习函数
数学是人们对客观世界定性的把握和定量的刻画，并逐渐抽象概括、应用的过程。中学阶段对每一类函数都是利用其图像来研究其性质，作图在教学中显得特别重要。对这一部分内容的教学要做到让学生心中有形，只要学生心中有形，函数性质就比较直观。函数和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。例如：函数y=log0.5|x-x-12|单调区间，令t=|x-x-12|=|（x-）-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈（-3，4）的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。再如：判定方程3x+6x=的实数根的个数，这个方程实根个数就是两个函数y=3x+6x与y=1/x图像的交点的个数，作出图像，交点个数便清清楚楚。
五、培养学生对函数的应用意识
函数思想的用发展的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，并利用函数的性质解决问题的一种数学思想方法。函数是刻画现实世界变化规律的数学模型，所以，函数在现实生活中有着广泛的应用。加强函数思想的应用，不仅突出了函数模型的思想，还提供了更多的应用载体，使抽象的函数概念有更多的具体内容支撑。如新增加的内容“不同函数模型的增长”与“二分法”，就是通过比较函数模型的增长差异，使学生能够更深刻地把握不同函数模型的特点，在面对简单实际问题时，能根据它们的特点选择或建立恰当的函数模型，反映实际问题中变量之间的依赖关系。二分法充分体现了函数与方程之间的联系，它是运用函数观点解决问题的方法之一。通过学习，学生逐步加深对函数概念的理解，学会用函数的观点解决问题，逐渐形成在不同知识间建立联系的意识。
参考文献：
[1]何泉清.建构主意教学观下的数学教学的情景创设[J].江西教育，2012（2）.
