逻辑推理技巧

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇逻辑推理技巧范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

逻辑推理技巧范文第1篇

关键词：重视；讲授；训练；揭示

《初中数学新课程标准》告诉我们：“数学在提高人的推理能力和创造力等方面有着独特的作用”.数学课堂是培养学生逻辑推理能力的主要阵地.那教学中应如何培养学生数学逻辑推理能力呢？应从以下几方面入手.

一、重视概念，洞知原理

数学知识中的基本概念、基本原理和基本方法是数学教学中的核心内容.基本概念、基本原理一旦为学生所掌握，就成为进一步认识新对象，解决新问题的逻辑思维工具.

二、巧用逻辑，游刃有余

在数学教学中，结合具体数学内容讲授一些必要的逻辑知识，使学生能运用它们来进行推理和证明.培养学生的推理能力，必须掌握逻辑的同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等基本规律.教师应该结合数学的具体教学帮助学生掌握这些基本规律.要使学生懂得论断不能自相矛盾，在同一关系下对同一对象的互相矛盾的判断至少有一个是错误的；论断不得含糊其词，模棱两可，在同一关系下，对同一对象的判断或者肯定或者否定，不能有第三种情况成立.在数学证明过程中，必须步步有根据，每得到一个结论必须有充足的理由，这样，学生在解答思辨性很强的题目时，就会游刃有余.

三、循序渐进 合理训练

数学推理既具有推理的一般性，又具有其特殊性.其特殊性主要表现在两方面.其一，数学推理的对象是数学表达式、图形中的元素符号、逻辑符号等抽象事物，而不是日常生活经验；其二，数学推理过程是连贯的，前一个推理的结论可能是下一个推理的前提，并且推理的依据必须从众多的公理、定理、条件、已证结论中提取出来.数学推理的这些特性会给学生在推理论证的学习带来困难.初一学生已初步掌握了普通逻辑的基本规律和某些推理形式，但必须依赖于生活经验的支撑.例如，他们从“爸爸比妈妈高，妈妈比我高”的前提很容易推出“我比爸爸矮”的结论，但有些刚学习不等式的学生从“∠A>∠B， ∠B>∠C”的前提推得“∠C

1.说理练习，不可或缺.教师在教学.中要注意把运算步骤和理论依据结合起来.同时可以进行适当的说理性训练，这样做可以使学生在说理的过程中养成寻找理由、言必有据的习惯.

例如，某汽车公司的汽车票价为单程票票价4元，周票票价为36元，李老师每星期一三五要乘汽车上班，搭朋友的车回家.问李老师应该买周票吗？请说明理由.

评析：该题目的是希望学生能说明一个清晰的推理过程中的依据.按照常规算法，李老师一个星期乘8次，买单程票需32元，而周票需36元，因此她不应买周票.但从另一个角度考虑，她也可以买周票.其理由是如果她周末外出乘车至少8元以上，那么买单程票总花费就多于36元，所以买周票能省钱.这种类型的训练，可以从代数的运算过渡到几何推理打下良好的基础.

2.加强培养，推理技能.对于推理论证技能的培养，一般可分几个阶段有层次地进行.

（1）通过直线、线段、角等基本概念的教学，使学生能根据直观图形，言必有据地作出判断.

（2）通过相交线与平行线以及三角形有关概念的数学，使学生能根据条件推出结论，能用数学符号写出一个命题的条件和结论，初步掌握证明的步骤和书写格式.

（3）在“全等三角形”学习之后，学生已积累了较多的概念、性质、定理，此时可以进行完整的推理论证的训练.通过命题证明，逐渐掌握推理技能.

（4）在学生已初步掌握技能技巧的基础上，通过较复杂问题的求证，帮助学生掌握寻找证明途径的各种方法，以发展逻辑推理能力.

四、点拨到位 相时揭示

逻辑推理技巧范文第2篇

关键词： 数学教学 能力迁移 认知能力 技巧能力 逻辑能力

学生的认识总是从初级到高级，直觉到形象，感性到理性，一般到特殊的认识过程，注意小学中已学的数学知识和中学将要新学的代数、几何中知识点的内在联系，是提高教学质量的一个不可忽视的重要方面。适应学生认知迁移的发展过程，使连续性思维和跳跃性思维达到和谐的统一，这样才能进一步培养学生的分析能力和逻辑思维能力。

一、数学教学中认知能力的迁移

中小学虽然是两个不同阶段的教学，有着各自不同的教学目的、要求和方法，但它们是互相联系的，前者是基础，后者是深化。在教学中如何揭示中小学教材的内在联系，充分发挥学生已有的知识优势，使之有机上升产生正迁移，从而达到掌握新知识的目的，这就要求教师得花费一点苦心。所以在这章教学中要很好地将学生所学过的知识巧妙地迁移到现在的教学内容中。例如讲到有理数：1.整数正整数/0/负整数，2.分数正分数/负分数；数轴：1.画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。2.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。3.如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。4.数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。小学教材已有意识地渗透了初一代数的基础知识，使学生能更好地由小学教材自然地迁移到现行教材中，把学生的思维带到他们熟悉的知识中去，使他们觉得教学的内容有趣不陌生，并乐于参与。小学不完整的概念进行完善，不但知其然，而且知其所以然。这样既培养了学生发散性思维，又渗透了抽象、概括的思想方法，取得使学生乐于钻研，掌握牢固，印象深刻之功效。

二、数学教学中技巧能力的迁移

三、数学教学中逻辑能力的迁移

小学阶段学生已经建立了几何知识的表象，虽不完整，但给学生留下一定的印象，在初中教学中要充分注意利用。我们应根据学生的实际，逐步地培养他们推理论证的能力，由直觉思维到逻辑推理，对初学者来说是比较困难的，在几何教学中应采用类比，迁移的方法。将代数运算步骤融入几何推理论证过程中，学生就不难理解、掌握。

逻辑推理技巧范文第3篇

【关键词】推理能力　数学教育　建议

《新课程标准》的“数学思考”目标中明确提出：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”。在数学教育的过程中，培养学生的合情推理能力已经受到高度的重视，改变过去片面追求逻辑推理能力培养的做法。中科院院士、中科院数学与系统所研究员林群十分欣喜地对记者说：“中小学是打基础的阶段，数学要让大多数学生都能掌握，要把数学变得容易一些，要把学生从单纯的解题技巧和证明中解放出来，让学生学习真正的数学。”数学专业的学生大学毕业后，绝大多数要从事中小学的数学教育工作，是未来中小学师资的主要来源。为此，数学教育专业学生的合情推理能力的水平将直接影响未来中小学数学教育目标的实现程度，本课题的研究对于未来中小学师资队伍建设和培养以及师范院校的课程设置具有重要的理论和现实意义。

一、“合情推理能力”的内涵及重要性

波利亚的一个重要贡献是提出了合情推理的概念，这种推理不同于演绎式的证明推理，而是基于归纳、类比、限定、推广、猜测等思维活动所提出来的一种推理模式。通常的推理模式是A---B，A真则B真。而合情推理则反过来分析：A--B，B真则A更可靠。他还强调：合情推理的两种基本形式是归纳和类比。关于合情推理的重要性波利亚认为：“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证推理；这是他的专业也是他那门科学的特殊标志。然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理；这是他的创造性工作所赖以进行的那种推理。”我们从波利亚的观点中可以看到合情推理能力在学生数学学习和研究过程中，特别是创造性工作所必不可少的一种能力。目前，由于学生在数学学习过程中正是由于合情推理能力的薄弱。制约了学生在数学方面的创造性。

二、数学教育专业学生“合情推理能力”的现状

合情推理能力对于学生数学学习的作用至关重要，《新课程标准》在数学思考目标中又明确提出对其培养的具体要求，那么现在的师范院校高等数学教育专业的学生的合情推理能力的情况怎样的呢?带着这样的问题，我自2005年至今，我一直对自己所任教的数学教育专业的学生在合情推理能力方面的现状进行研究。每当自己担任的数学教育学课程结业考试时，从波利亚的《数学与猜想》中选出两个问题放在试卷中进行考查。虽然在平时讲解过，可是在结业考试的卷面中，学生的解答不尽人意，90％的学生不能解答。这充分说明关于合情推理能力是数学教育专业学生的薄弱环节，这意味着将来他们走上教学工作岗位，必将制约着新课程目标的实现。因此，只有善于合情推理的老师才可能培养出善于合情推理的学生。

三、对数学教育专业学生的“合情推理能力”现状的思考

由于我国1963年颁布的中国特色教学大纲中提出“双基”(基础知识、基本技能)和“三大能力”(基本运算能力、逻辑推理能力和空间想象能力)的培养，这个大纲中没有培养学生的“合情推理能力”的要求，这个大纲的构建受苏联大纲的影响。当时苏联的教学大纲体现的是第三次数学高峰时期的数学观和数学教育观，第三次数学发展高峰时期(上世纪上半叶)的思潮是公理化、形式主义、“逻辑：数学”。也就是说中小学数学教师在数学教育中，受当时大纲的制约，没有把培养学生的合情推理能力摆在突出的地位。

受儒家“考据文化”的影响，在西方数学文化进入我国时，从考据文化的层面，对西方数学文化进行了同化，即留下了其“逻辑”层面为考据所用。过滤掉了其“创新”层面。考据文化为西方数学的逻辑推理提供了舞台。由于这种考据文化的遗传，形成了我们国家的数学界在数学教育中非常重视对学生的逻辑推理能力的培养，而不重视合情推理能力的教学。

我国是一个受考试文化影响的国家，由于我国是高考低入学率的国家，由于职业教育发展滞后，导致学生初中毕业后的分流工作做的不够理想，高考依旧出现“千军万马过独木桥”的局面，高考试题依旧是指挥棒。高考试题中考查“合情推理能力”的试题数量偏低，义务教育和高中阶段的数学教师就不重视合情推理能力的培养，这不利于基础教育阶段对学生的合情推理能力的提高。

在师范院校的数学教育专业中，学生所学课程比较多。但是客观上缺少有针对性的培养学生合情推理能力的课程，这也是制约师范院校数学专业学生合情推理能力的瓶颈。这样不合理的课程设置，导致未来中小学教师队伍具有较高的合情推理能力的师资的短缺，在很大的程度上制约新课程目标的实现。

四、培养学生合情推理能力的建议

要求中小学教师继续深入进行《新课程标准》的学习，把握新课程的理念，树立以计算机为标志的第四次数学发展高峰时期的数学观和数学教育观，解放思想，在数学教育过程中，用科学的数学教育观指导数学教学，把合情推理能力的培养切实落实到数学教学设计和实践中。

塑造新的数学课堂文化，教学中重视合情推理能力的培养，鼓励学生大胆猜想，勇于猜想。培养学生的数学思考能力。教会学生先猜想再论证的习惯，把培养学生的合情推理能力和逻辑推理能力整合起来，统筹兼顾。

改革高考题题型，加大对合情推理能力的考查，运用高考指挥棒引领基础教育阶段的数学教育，形成基础教育阶段重视合情推理能力的新局面。只有这样，在数学教育中才能提高学生的合情推理能力。

高等师范院校的数学教育专业，应根据新课程对教学所需要的教师的能力要求进行课程设置。增加学生合情推理能力的培养和训练的课程，规定学生选修波利亚的著作和《新课程标准》，阅读关于研究合情推理能力培养的相关书籍和论文等。

参考文献：

[1]张莫宙，李俊，李世铸，数学教育学导论，高等教育出版社，2003.

[2]中华人民共和国教育部，全日制中学数学课程标准(实验稿)，北京师范大学出版社，2001.

逻辑推理技巧范文第4篇

关键词：职教教材 机械制图 调编轴测图位置

中图分类号：TH126-4 我作为任教《机械制图》课近十年的专业课教师，在制图教学的过程中，摸爬滚打多年，使用过多家出版社多版本多主编的《机械制图》教课书。每当教到“轴侧图”这节时，总觉得这节放在“相贯体”与“组合体”之间有些突兀，好似平整的康庄大道上突然出现“地震”和“断层”一样。我也曾试图查找各教科书如此编排的依据和合理解释，可至今没能如愿。更让人感到困惑是难道各编委，各出版社，各教师没感觉到此节放在此处的不妥？

1 把“轴测图”这章节放在“相贯体”与“组合体”之间，他破坏了基本体，切割体，相贯体与组合体之间都属于“体”的逻辑推理关系和系统性

搞机械类的教师都知道，《机械制图》教科书，作为一门专业性的科学体系，在编排各知识点先后顺序时，是存在逻辑推理规律的。针对“体”这章节各知识点的编排，也是遵循了由简单到复杂，由浅到深，具有系统性这条规律的。

编者先由大家常见的“基本体”讲起，符合大家的认知规律，因为基本体我们日常生活中到处都是，大家都有感性认识。教材这样编排，利于教师讲解三视图的投影法则，也便于学生掌握三视图的投影规律和绘制方法及技巧。随后讲解“切割体”，是在基本体上进行平面切割，是在学生完全掌握了基本体三视图画法基础上的微量变化和延伸。基本体常见，平面也常见，用平面切割基本体得到切割体的物件在我们的日常生活中也常见，故学生学习切割体这个知识点，也是有一定的感知基础的，是符合人们认知规律的，遵循了人们探究事物的规程。在弄明白了切割体这之后，让人最易想到或最想知道的是，基本体与基本体的相交，故随后讲“相贯体”，便是情理之中的事情。在掌握了相贯体的知识之后，人们绝对首先想到或最想探究的是，基本体与切割体、切割体与相贯体、相贯体与基本体、以及切割体、相贯体等之间的叠加和组合，说简单点，就是“组合体”的投影规律及其三视图的绘制方法，这样推理是符合我们大家正常的逻辑思维的，因为基本体，切割体，相贯体和组合体，都属于“体”的范畴，理应编排在一起，这样才便于教师系统地讲解“体”的知识，学生学习“组合体”才有所归属感和系统性，更便于理解和掌握三维立体到二维平面转绘时的规律和方法。

遗憾的是，编者把“组合体”放到了“轴测图”之后。换句话说，在“体”这个有机体中插入了“轴测图”，把“轴测图”放在了“相贯体”与“组合体”之间，决不亚于在“体”这个完整的章节中出现了“地震”或“断层”，把组合体与相贯体、切割体、基本体之间的逻辑纽带给割断了，让人的思维出现了紊乱。这种破坏“体”之间的逻辑推理关系的编排，实为不妥，也是不妥。

2 把“轴侧图”这章节放在“相贯体”与“组合体”之间，打乱了整部书这个知识体系之间的逻辑推理联系和系统性

《机械制图》作为一门独立的学科，具有完整的知识体系，各知识点之间的排序，具有不可置凝的逻辑推理联系和系统性。我们可以跳出书外，宏观地来把握和疏理一下整书的知识体系和脉络，我们不难发现，此知识体系也是遵循了人们的认知规则的，由浅入深，从简单到复杂，由一般到特殊，从点到面，渐近性地推理着和不断地完善着这个“制图理论”的完整性和系统性。

譬如：教材先从制图的基本知识讲起，涉及到绘图工具及仪器的使用，图纸图幅的国际规定，比例、线条的规范使用及相关的几何知识等等，这是因为这些基本知识是制图前的最起码技能。假如连这些最基本的技能就不具备，就去学制图，那将是非常困难的。有了这些基本绘图知识后，紧接着讲“投影法”——正投影法的基本原理及其规律，才正式触及到了《机械制图》的实质，因为投影法是贯穿全书的总则，既是三维立体向二维平面转换的法则，也是二维平面向三维立体转换的总纲。仅讲解这些理论性的知识是很难让学生理解和掌握的，更是枯燥无味的，必须经过示例演练，才能得到充实和完善。故随后讲解点、线、面、体的投影，正是投影法在三维立体向二维平面转换中的演练，在此演练中，是让大家明白并掌握三维立体向二维平面转换过程中应遵循的投影规律及绘制方法。摸清了三维立体向二维平面转换的规律还是不行的，我们知道，任何规律性的东西，都是经得起举一反三的事例来检验的，故而我们心中自然就会问，那二维平面如何向三维立体转换呢？至此，水到渠成地讲解轴测图的知识，便是顺理成章的事情了。实际上，《机械制图》这门课的知识体系“主轴”到此已经成形，换句话说，学习这门课的目的已经达到，该掌握的理论我们已经拥有，该达到的技能我们已经具备，因为我们现在既可以把三维立体绘成二维平面了，也可以把二维平面转绘成三维立体了。至于以后章节讲的机件的表示法，常用件的特殊表示法以及零件图，装配图，公差等知识点，都是在对这根“主轴”的补充，完善和修正。

遗憾的是，纵观各出版社，各版本，各编委们出的《机械制图》书，却在这根“主轴”的构建过程中，把本该放在组合体之后讲解的轴测图，偏偏放到了相贯体与组合体之间，破坏了这根“主轴”的逻辑构建，我不知其故，也难解其故，因为轴测图这章节，肩负着二维平面向三维立体转绘的重任，放在贯体与组合体之间，不仅破坏了“体”这章节的逻辑推理顺序，而且打乱了整部书的知识体系构建，似断了“脊柱骨”的人，又何谈健全和完美呢？

3 把“轴侧图”这章节放在“相贯体”与“组合体”之间，给教师教学和学生学习带来了思维定式的混乱

我们知道，认知事物，把握规律，改造世界，针对每个人都是有一定的思维定式的。我们学习知识，也是一样，符合我们思维定式的东西，非常便于我们接受和掌握，并会很快学以致用，达到终生不忘之效；而一些逻辑混乱的东西，很难让我们接受、理解和掌握，甚而越学越糊涂，越学越没兴趣，其后果只能是让我们不知所云，思绪混乱。

前面讲了，轴测图这章节放在相贯体与组合体之间，不仅破坏了“体”这章节的逻辑推理关系，而且打乱了整本书的知识体系。

作为传授知识主导者的教师，面对如此混乱的编排教本，假如不加以调整和重组，就照本宣科的话，在讲授此知识点时，不仅自已不知所云，心存疑惑，感觉不爽，总觉得前面讲的知识与后面将讲的知识之间失去了联系，这无疑是对本来很清晰思维的冲击和逻辑推理的挑战。更重要的是，让人产生本来走在平坦的大道上，神采飞扬，却突然在路中出现了“窟隆”，在我们还没缓过神来，就掉进了深渊的幻觉，那惊恐之状就可想而知了。

作为学习主体的学生，面对老师就心存疑惑的编排学本，既无精彩故事情节的吸引，又没顺畅的逻辑推理联系，本来学得就枯燥无味，甚而心烦意乱，好不容易在老师前面知识点的推理讲解中悟出点清晰的学习思路，确定下学习制图的思维定式，并尝到点学习制图的乐趣，假如教师遇到轴侧图这个夹在相贯体与组合体之间的知识点不进行调整，照本宣科的话，对于还处在微观知识点的应付学习和摸索规律阶段的学生来说，将是致命的一击。刚构建起的思维定式将荡然无存，学习兴趣将倍受打击。没有了学习兴趣，要想学好《机械制图》这门机械类的基础学科，是根本不可能的。连最起码的图纸就绘不出、看不懂，识读不了图纸，又怎能学好机械类的其它学科知识呢？

正是基于以上的原因，我深感《机械制图》教科书调整“轴测图”这章节位置的必要性。把“轴测图”这章节调编到“组合体”之后，让基本体，切割体，相贯体和组合体还原成一个整体，也让《机械制图》这部书的知识体系构建通畅，富有逻辑推理性，既利于我们讲授，也便于学生掌握，对于激发大家学好机械类专业知识和技能的兴趣无凝是有巨大促进作用的。

参考文献

[1] 罗光秀.《机械制图》（机械类通用）[M].武汉：华中科技大学出版社，2005，8.

逻辑推理技巧范文第5篇

【关键词】直觉思维；数学悟性；直观领悟；合情推理；类比联想；顿悟灵感；严格证明

培养学生严谨的逻辑思维能力无疑是数学教育的“重头戏”，但我们绝对不能因此而忽视“非逻辑”的直觉思维能力的培养.在以前历次颁布的《高中数学教学大纲》中提到的均是“数学逻辑推理能力”的培养，可在《普通高中数学课程标准(实验)》中，其中的“逻辑”两字已被去掉，而是说成“培养学生的思维能力”，意味着已经将“非逻辑”的直觉思维能力的培养纳入数学教育的目标之中，大大拓展了数学思维的外延，标志的是数学教育理念的发展和进步.

何谓“非逻辑”的直觉思维？著名特级教师黄安成先生在文［2］中将此种思维统称为“数学悟性”，并指出其主要特征：“所谓数学悟性，就是指对数学对象及解决问题时的‘直观领悟、合情推理、类比联想、灵感顿悟’.”

1直观领悟

数学主题通常都是由逻辑推理得到的，彰显的是数学理性精神的光辉，理论上的严谨通达才能使人心理和谐顺畅，且记忆牢固.但我们也发现，也有一些数学主题的获得依靠的是直观领悟，而不是严谨的逻辑推理.正如德国数学家克莱因说：“一个数学主题，只有达到直观上的显然才能说理解到家了.”这种理念在数学新课程、新教材中已得到充分的体现.

如两个计数原理、排列组合公式、各种概率公式的推得，都是不严密的，但利用生活中获得的数学经验，从特殊到一般，从具体到抽象，学生都能达到直观的理解.

《立体几何》中的公理的出台也都是基于“直观上的显然”.一些概念与定理，如直线和平面垂直的定义，只能利用具体的事物来导引学生形成和树立.即便是定理，如直线和平面垂直的判定定理，过去的教材给出了严格的证明，但由于图形复杂、方法生涩、推理繁冗，初学者很难达到透彻的理解和熟练的驾驭，属于“吃力不讨好”之举，故新课程、新教材已将其删去.在现在的教学中，充分运用直观能力可使学生达到实质性的领悟.一条直线如果与平面内的一条直线垂直，当然不能判断这条直线与这个平面垂直；但即使一条直线与平面内无数条直线垂直，也不能判断这条直线与这个平面垂直，因为这无数条直线如果互相平行，那么它们只代表着一个方向，则只能“相当于一条直线”；但如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则可以判断这条直线与这个平面垂直，这就叫做“线不在多，相交就行”.在“纯理性”论持有者看来，这段话与逻辑思维毫不沾边，“什么叫‘相当于’？不通！”可是学生绝对能懂，而且非常欢迎这种说法.

还有一个更典型的案例，即“导数”的教学.从直线的斜率到函数的平均变化率、函数的瞬时变化率，再到导数概念的最终出台，我们何曾见到一点逻辑思维的痕迹？下面的教学片段颇具说服力：

图1

教者首先带领学生回顾“平均变化率”的概念，函数y=x2在区间［1，1+a］上的平均变化率，即对应的曲线割线的斜率.如图1(多媒体课件配合)，当a的值依次为0.1，0.01，0.001，…时，割线的斜率依次为2.1，2.01，2.001，…我们发现了一种奇妙的规律，即当a的值越来越接近于0时，割线的斜率就越来越接近于切线的斜率2.这不应是偶然的吧？需对一般情形进行探讨：

设曲线C：f(x)=x2上的点P(1，f(1))，Q(1+a，f(1+a))，则割线PQ的斜率为

k割=f(1+a)-f(1)(1+a)-1=(1+a)2-1a=2+a.

那么当a的值无限趋近于0时，2+a无限趋近于2，即k割就无限趋近于k切，可概括为a0，则1+a1，2+a2，QP，k割k切.

更一般地，设曲线C：y=f(x)上的点P(x0，f(x0))，Q(x0+Δx0，f(x)+Δx0)，那么割线PQ的斜率为

k割=f(x0+Δx0)-f(x0)(x0+Δx0)-x0=f(x0+Δx0)-f(x0)Δx0.

则当Δx00时，k割k切，就将k切叫做函数y=f(x)在x=x0时的导数.

这里的“越来越逼近”“无限逼近”“最逼近”等规律都不是通过严谨的逻辑推理得到的，而是借助于生动、具体、形象的画面，使学生的大脑产生“内化”效应，渐渐地领悟其实质，这种“内化”就是直观领悟的反映.

再说一个反面的教学案例，某教师在“数学归纳法”的教学中，试图用“高观点”来统领教学，即用极严谨的推理方式来阐释数学归纳法的理论基础与渊源，甚至将最小正整数、无穷大等高深理论引进课堂，结果弄巧成拙、事与愿违，学生只能是一头雾水.这节课名副其实地归入“废品”之列.

正面的经验和反面的教训使我们深刻地体会到严谨的逻辑思维不是万能的，也不是随时和随处可见的，学生的思维能力中绝对地包含直觉思维能力.

2合情推理

合情推理与直观领悟有一定的内在联系，但也有自身的特征，那就是虽具有一定的推理成分，但却没有完整的逻辑推理链条，而具有简约、跳跃、猜测等特点.如前所述，在建构知识和技能的过程中需要合情推理，在解答填空、选择题中更需要合情推理.对于解答题，虽然最后的表述需要的是一丝不苟、滴水不漏的推理过程，但在形成思路、确定目标的探索、尝试、构思、检索、猜想、突破、检验、辨误等过程中却离不开合情推理.英国哲学家、数学家休厄尔说：“若无大胆放肆的猜测，一般是作不出知识的进展的.”将合情推理提升到“大胆放肆”的层面，可见合情推理的不可低估的作用.

图2

如在“补集”的教学中，通过教师的引导，学生在深刻领悟图2含义的基础上，很快顺理成章地理解知识的本质并得到“补集”的所有性质：

这类通过合情推理实现知识的顺应与同化的例子比比皆是，因此充分利用合情推理的强大功能是在数学教学中实现节时高效不可或缺的良策.

图3

例1如图3，过点P(0，3)的动直线l交椭圆x29+y24=1于不同的两点A，B，若A位于P和B两点之间(不含P，B)，设|PA|∶|PB|=λ，求λ的取值范围.

此题原有的解法极其繁冗，可在课堂上竟有学生给出令人惊愕的简捷解法：

当直线l与x轴垂直时，|PA|=1，|PB|=5，则λ=15.

如果直线l与椭圆相切，设切点为M，此时A，B两点重合于M点，|PA|=|PB|，λ=1.而A，B为不同的两点，所以λ≠1.

综上所述，λ的取值范围是15，1.

上述解法虽不能说尽善尽美，但闪耀着智慧火花的合情推理应得到充分的肯定和褒奖.

3类比联想

从表面上看来，甲乙两种事物似乎没有什么内在联系，但由甲事物的结构、形态、特征联想到乙事物.基于此，将解决与甲事物有关问题的技能、技巧迁移到与乙事物有关的问题中来，就叫做类比联想，属于“非逻辑思维”范畴的一种直觉思维.

比如，设三角形的周长为C，内切圆半径为r，则三角形的面积S=12Cr，由此可得r=2SC或C=2Sr.那么在立体几何中，若多面体有一内切球，内切球的半径为r，多面体的表面积为S，体积为V，则V=13Sr，r=3VS，S=3Vr.从三角形到多面体，从面积到体积，从内切圆到内切球，跨度不可谓不大，但运用类比联想，瞬间实现了沟通，可解决的问题多多.

例2在1，2，3，4，5，6这六个数中任取五个组成数字不重复的五位数，求所有五位数的和.

此题的原本解法非常繁琐，经过改进，虽有所简化，但仍有学生感到不满意，他们给出了如下令人慨叹的更加简捷的解法：

五位数共有A56=720(个)，其中最小的是12345，最大的是65432，

所以所求和为12345+654322×720=27999720.

道理如下：

将这720个数按从小到大的次序排列，得a1，a2，a3，a4，…，a717，a718，a719，a720，它们虽然不能构成等差数列，却具有类似于等差数列的性质：a1+a720=a2+a719=…=12345+65432=77777，故得解.

类比联想创造了奇迹！

4灵感顿悟

一位哲人曾说过：“创造是思维的‘短路’，通常是‘不大讲道理’的，若过分囿于逻辑推理，则很难作出创造.”这与上面休厄尔的名言有着异曲同工之妙.著名数学家、数学教育家波利亚也说：“无论如何，你应该感谢所有的新念头，哪怕是模糊的念头，甚至是感谢那些把你引入歧途的念头.因为错误的念头往往是正确的先驱，导致有价值的新发现.”

例3设集合A={0，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，10}，集合C同时满足：①若将C的各元素均减去2，则所得新集合是A的一个子集；②若将C的各元素均加上3，则所得新集合是B的一个子集，那么满足这两个条件，且元素最多的集合C=.

若循规蹈矩地进行逻辑推理，此题的解答必将陷入困境，必须来个“灵机一动”：题目说“减去2”与“加上3”，我们就来个“加上2”与“减去3”.那么将集合A的各元素分别加上2，得集合D={2，4，5，7，10}，将集合B的各元素分别减去3，得集合E={-2，0，2，4，7}，则所求集合C=D∩E={2，4，7}.

不起眼的一个“金点子”闪耀的却是创造灵感的思想光辉.

图4

例4如图4，平行六面体AC1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，当CD∶CC1为何值时，A1C平面C1BD？请给出证明.

这是一道著名的高考试题，有相当的难度，常规解法为：设CD∶CC1=x，设法列出关于x的方程，但构建和解方程谈何容易！在这种困境之中一个大胆的顿悟使题解出现了根本性的转机，所求比值会不会是1呢？试试，还真的试成功了：

事实上，当CD=CC1时，C-BDC1是正三棱锥，很容易证得A1C平面C1BD，与列方程的解法相比，简直有天壤之别！

行文至此，我们一方面感慨于直觉思维的巨大功能和培养学生直觉思维能力的重要性，但在本文末，还必须说以下两点：

(1)直觉思维的功能绝对掩盖不了数学理性精神的光辉，绝对不能因为强调了直觉思维能力的培养而削弱了逻辑思维能力的培养.

(2)绝不能满足于利用直觉思维对于问题的解决，不能停留在“感情用事”的层面上.利用直觉思维解决问题，即使再漂亮、再简捷、再优美，最后还须做到理性回归，要知其然，还要知其所以然.

【参考文献】