初中数学圆的基本模型

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初中数学圆的基本模型范文第1篇

【关键词】课程难度；可比深度；可比广度

【基金项目】2014年广东省大学生创新创业训练计划项目：基于课程难度定量分析模型下的初中几何课程难度研究.项目编号：201410578047.

一、背景

圆在《大纲》与《标准》中的内容相比，发生了比较大的变化，特别是在《大纲》中的圆与圆的位置关系中，弦切角定理、相交弦定理、切割线定理是很重要的内容，但在《标准》中却没有这部分的内容.这些变化对初中数学教师理解和实施《标准》提出了挑战.那么，通过对《标准》与《大纲》中初中部分圆的内容及难度上的比较，看看新课改是不是在实质上真正给学生减压了！

二、课程内容的对比

《大纲》与《标准》中“圆”对应的知识点如下：

（1）《大纲》 ：

1.圆的基本概念：①理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性；②掌握圆心角、弧、弦、弦心距及圆周角之间的主要关系；掌握圆周角定理以及直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径等性质，并能会用它们进行论证和计算，会作两条线段的比例中项.

2.点与圆的位置关系：①掌握垂径定理及其逆定理；②了解轨迹的概念和几个简单轨迹，了解反证法；③掌握点和圆的位置关系，了解三角形的外心、内心的概念；④掌握圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角的性质.

3.直线与圆的位置关系：①掌握直线和圆的位置关系；②掌握经过圆的切线的定义、性质和判定；③掌握切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理，并会利用它们进行有关的计算；④通过圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明数学命题的思想和方法.

4.圆与圆的位置关系：①掌握圆和圆的位置关系；②掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.相切两圆的连心线经过切点等性质；③了解两圆的外公切线的长相等，两圆的内公切线的长相等等性质，了解两圆公切线长的求法；④掌握两圆的外切线的长相等、内公切线的长相等的性质；⑤会利用直线和圆相切、圆和圆相切的性质，画出直线和圆弧、圆弧和圆弧连接的图形.

5.正多边形和圆：①理解正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.会将正多边形边长、半径、边心距和中心角的有关计算转变为解直角三角形的问题；②运用多种平面图形进行镶嵌设计.

6.弧长与扇形面积：①会计算圆的周长、弧长及简单组合图形的周长；②会计算圆的面积、扇形的面积及简单组合图形的面积；③了解圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形和扇形，会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积.

7.尺规作图：①会用尺规作经过不在同一直线上的三点圆；②会过一点画圆的切线.会用尺规作三角形的内切圆；③会画两圆的内、外公切线.

（2）《标准》 ：

1.圆的基本概念：①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系；②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.

2.点与圆的位置关系：①探索并了解点与圆的位置关系；②了解三角形的内心和外心.

3.直线与圆的位置关系：①探究并了解直线与圆的位置关系；②了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.

4.圆与圆的位置关系：①探究并理解圆与圆的位置关系.

5.正多边形和圆：①理解正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.会将正多边形边长、半径、边心距和中心角的有关计算转变为解直角三角形的问题；②运用多种平面图形进行镶嵌设计.

6.弧长与扇形面积：①会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积.

7.尺规作图：①探究如何过一点、两点以及不在同一直线上的三点作一个圆；②会过圆上一点作圆的切线；③会确定圆的圆心；④会作圆内接正方形和正六边形.

三、《标准》与《大纲》中圆的难度量化比较

（1）影响课程难度的三个基本要素：据东北师范大学史宁中教授对课程难度的研究方法，他们对概念的界定是：影响课程难度的基本要素至少有三个：课程深度、课程广度和课程实施时间.

（2）课程广度：

用《标准》和《大纲》中圆的内容部分的“知识点的个数”来刻画圆的内容的广度.考虑到“正多边形”在《大纲》中出现在《圆》之中，并且出现切割线定理及其推论，相应课程内容的知识点合计37个，取综合的课程广度系数为G1=37.《标准》中y圆的知识点分布较散，相应课程内容的知识点合计24个，取综合的课程广度系数G2=24.

（3）课程深度：

课程深度指课程内容所需要的思维的深度，可以用课程目标要求的不同程度来量化；《大纲》中是按四个层次“了解”“理解”“掌握”“灵活应用”来陈述目标（要求）的，《标准》中则是按三个层次（水平）来陈述目标（要求）的.考虑到“掌握”这一要求与“灵活应用”区别并不是很大，为了与《标准》 中的层次对应，将“掌握”与“灵活应用”合并为同一个层次.《标准》 除了以上这些结果性目标，增加了过程性目标，例如“经历”“体验”“探索”等.对这些过程性目标要进行量化有一定难度，但为了比较标准的统一，给过程性目标也赋了值.具体规定参照文献[1].

①《大纲》中相应课程内容的知识点对于课程深度值分别为：

圆的定义及弦、弧基本概念（1），同心圆与等圆（1），圆的作图（2），外接圆（1），垂径定理（3），圆心角与弦、弧的关系定理（3），弦的度数和弦心角的度数的关系及应用（2），圆周角的定义（2），圆周角与圆心角的关系（3），圆周角与弦、弧的关系（3），做两已知线段的比例中项（2），圆内接四边形（3），轨迹（1），反证法（1），直线和圆的三种位置关系（3），圆的切线的判定（3），圆的切线的性质（3），切线长定理（3），多边形的内切圆（2），圆的外切多边形（2），弦切角（1），弦切角定理（2.5），相交弦定理及其推论（2.5），切割线及其推论（2），圆与圆的位置关系（3），两圆的连心线的性质（3），两圆的公切线的性质（1），两圆的外公切线的做法（2），两圆的内公切线的做法（2），相切在作图中的应用（2），圆的内接正多边形（1），正多边形的内切圆与外接圆（1），正多边形的有关计算（2），正多边形的作图（2），圆的弧长（2），扇形的面积（2），圆锥的侧面展开图和侧面积（2），镶嵌模型（1），直径所对圆周角（1）.

赋值合计78，取综合的课程深度系数为78，即S1=78

②《标准》中相应课程内容的知识点对于课程深度值分别为：

圆的定义及弦、弧基本概念（2），垂径定理（3），圆心角与弦、弧的关系定理（1），圆周角的定义（1），圆周角与圆心角的关系（2），圆周角与弦、弧的关系（1），圆内接多边形（多边形的外接圆）（1），圆内接四边形的性质（3），直角三角形斜边中线的性质（2），点与圆的位置关系（3），如何确定圆的圆心（3），三角形的外接圆与外心（1），反证法（1），直线和圆的三种位置关系（3），圆的切线的判定（2），圆的切线的性质（3），切线长定理（2），三角形的内切圆与内心（1），圆与圆的位置关系（3），正多边形的有关计算（2），正多边形的作图（2），圆的弧长（2），扇形的面积（2），圆锥的侧面展开图和侧面积（2），镶嵌模型（2），直径所对圆周角（3），作圆的切线（2），过三点作圆（3）.

赋值合计55，取综合的课程深度系数为55，即S2=55

（4）课程实施时间：

《大纲》下的课程实施时间：T1=30；《标准》下的课程实施时间：T2=20.

（5）难度比较：

课程难度就与课程深度、课程广度成正比，与课程实施时间成反比.课程难度实际上就是“可比广度”和“可比深度”的加权平均值.根据以上数据和文献[1]中难度计算公式，分别求出《标准》与《大纲》中圆部分的可比广度、可比深度，统计数据及比较结果：

①《大纲》：课程广度G1=37，课程深度S1=78，课程时间T1=30，N1=α・37+（1-α）・78[]30≈2.60-1.37α.

②《标准》：课程广度G2=24，课程深度S2=55，课程时间T2=20，N2=α・24+（1-α）・55[]20≈2.75-1.55α.

其中0

由此可知：与《大纲》中圆的内容相比，《标准》中圆的内容的可比广度增加0.07，可比深度减少，0.15，课程难度减少了0.26，即与《大纲》相比，《标准》中圆的内容难度大大减少了.

《标准》中可比广度增加量为0.07，可比广度的减少量为0.15变化大，说明在知识点掌握上旨在扩宽学生的见识面，增加了与现在科技发展相需求的知识点，比如：增加了直角三角形斜边中线的性质，确定圆的圆心，过圆外一点作圆的切线等，体现了新课标理念，最大程度地发展学生用数学，体会数学从生活中来，最终还是服务于生活，而且增加的内容大多是关于动手作图的，使学生在学习中提高自己的操作能力.

四、结论

《标准》中圆的内容突出了圆的性质的重要性，体现在广度的增加上，圆的内容的扩展面上需提高，在研究的深度上，相对要求放低.在深度方面，根据新时代的要求，适当删减一些不常用的内容，如：公切线定理、切割线定理、弦切角定理、两圆的连心线等，例题也基本是采用生活中的实际问题，既能让数学与实际联系起来，又让同学们觉得数学不枯燥.

新的《普通初中数学课程标准（实验）》与原《全日制普通初中数学教学大纲（试验修订版）》相比，有以下特点：对数学本质有了新的认识，这种新认识体现了一种动态的模式论的现代数学观；课程目标突出体现了学生发展为中心的思想；课程内容在为课程目标服务的原则下增强了选择性；课程评价进一步丰富和完善了大纲多元化的理念.

【参考文献】

[1]史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[ J].东北师人学报（哲学社会科学版），2005，（6）：151～155.

作者简介

初中数学圆的基本模型范文第2篇

关键词：课程标准；四基；数学基本思想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》有一个十分明显的变化，就是数学课程目标从以“双基”为目标，发展到现在以“四基”为目标，这是一个标志性的变化。所谓“四基”，是指基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

一、为什么数学课程目标从“双基”发展为“四基”

初中数学10年课改最大的收获就是数学课程目标从“双基”发展为“四基”。人们往往在教学与评价中把关注的焦点放在知识点和技能训练上，然而，数学教育的目标还应当包括学生多方面的能力，学生对数学思想的把握、学生活动经验的积累以及学生的情感态度等。因而，只有知识技能是不够的，必须同时发展学生数学素养的其他方面。基本思想和基本活动经验正是学生数学素养的重要组成部分，数学基本思想应贯穿于数学学习过程。因此，标准（2011年版）明确提出“四基”是数学教育改革的必然要求，是时展的必然趋势。

二、初中数学如何有效地实现“四基”课程目标

初中数学除了要注重传统的基础知识和基本技能的训练，还要注重数学基本思想的培养和基本活动经验的积累。

（一）“数学基本思想”的培养

数学基本思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型、数形结合等。数学学习内容的四个方面：数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践，都应当以数学基本思想为统领，在具体内容的理解和掌握过程中体现数学的基本思想。

比如，数形结合思想的渗透：《义务教育课程标准实验教科书》（苏科版）七年级数学，在学习数轴时，可向七年级学生初步介绍：把数在数轴上表示出来以及说出数轴上的点表示的数蕴含着数形结合的思想；苏科版八年级数学，在学习无理数时，可给学生做一个这样的选择题：

数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是■”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做

（ ）

A.代入法

B.换元法

C.数形结合思想

D.分类讨论思想

答案是C.数形结合思想。学生做完这个选择题，对数形结合的思想有了直观的认识。

在学习解不等式组的时候，求一元一次不等式组的解集的四种类型通过下图帮助学生学习：

大小小大取中间 大大小小则无解

学生通过解不等式组，深刻地认识到数形结合思想的重要性。

在解下列关于不等式组的字母参数问题时，更感觉到离不开数形结合的思想方法。

1.若不等式组x>ax-3≤0只有三个整数解，求a的取值范围。

2.若不等式组1

在学习一次函数、反比例函数、二次函数时，数形结合的思想方法达到了初中的最高境界。

学习全等三角形、相似三角形时，可培养学生运动的意识等等。

数学基本思想应当成为学生学习掌握各部分数学内容的魂，成为学生形成数学概念、建立数学知识体系、思考和解决数学问题的主线。

（二）“基本活动经验”的积累

数学基本活动经验的积累依靠丰富多样的数学活动的支撑。这里的数学活动是指伴随学生相应的数学知识学习而设计的观察、试验、猜测、验证、推理与交流、抽象概括、数据收集与处理、问题反思与建构等。数学活动的设计与相应的知识技能有关，但其目的不只是为了完成数学知识技能的学习，还是学生数学活动经验积累的重要途径。

比如，学习苏科版八年级数学第三章《中心对称图形》平行四边形、矩形、菱形、正方形时，可给学生看一个平行四边形的模型，然后让学生画一个平行四边形，接着让学生研究平行四边形相比一般四边形有什么共同点和不同点，可以先独立思考，再小组讨论、合作探究，教师引导学生从边、角、对角线、对称性的角度研究平行四边形的特殊性质。让学生经历观察、试验、猜测、验证、推理与交流、抽象概括的过程。在学习矩形、菱形、正方形时，逐步培养学生类比研究平行四边形的方法自主探究得出矩形、菱形、正方形的性质。

又如，学习苏科版九年级数学点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系时，可让学生动手操作，用硬币代表圆，笔代表直线，通过不同的摆放位置，先从形上自主探究得出点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，再从数上探究得出圆心距和半径的关系。

学生在经历相关的数学活动中，了解了数学知识发生发展的过程，体会数学知识和方法的探究，逐步形成基本活动经验。

初中数学圆的基本模型范文第3篇

关键词：初中数学思维能力 培养

初中数学基础知识包含概念、法则、公式、定理……和数学思维方法两大类,数学思维方法是通过数学概念、法则、公式、定理等知识的运用中得以渗透,它对知识结构的发展起着重要作用,是知识转化为能力的桥梁.由于它的隐蔽性,学生难以从教材独立获取, 而且数学思维能力是数学能力的核心，提高学生的思维素质作为现代教育的目的已为越来越多的人所接受。教师对数学思维方法的教学应不遗余力。

初中数学对学生思维能力的要求

数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。

数学思维能力主要包括四个方面的内容：1.会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；2.会用归纳、演绎和类比进行推理；3.会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；4.能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。

新课标关注的是数学课程目标，它包括：数学素养、数学知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度，注重学生经验、学科知识和社会发展三方面内容的整合，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

思维是人类特有的一种高级的、复杂的心理活动。前苏联著名教育家苏霍姆林斯基认为：“真正的学校乃是一个积极思考的王国”。由此看来，启发思维并着力培养学生的思维能力应是课堂教学的主旋律。在新课程背景下，初中数学新试题较侧重测量学生对数学知识的理解及知识的运用能力，而减少了对学生解题的熟练程度的检查，许多测量题的解法空间也有所拓宽，这就要求我们数学教师不仅要注重书本知识的传授，更加要注重学生学习能力和创造思维能力的培养，以课程改革为中心，认真学习课改理论, 深入贯彻落实“自主互助学习型课堂”教学研究， 开展课题研究等活动，更新教学观念。打造真实课堂，提高课堂效益；打造和谐课堂，提升课堂品质， 转变学生的学习方式，以大力提高教育教学质量为重点，继续深化有效教学研究，创设宽松和谐的研究氛围，让全体同学都能树立明确的数学学习目的，形成良好的数学学习氛围，这也正是新时期数学教学的重要目标。在初中数学教学的过程中，教师应当通过新的思想和方法，不仅要教会学生，更要教“慧”学生，使学生不仅会做题，更懂得怎样学习和创造思维。 学生只有具备了一定的思维能力，才能独立的学习数学知识，并很好的运用数学知识。

实践中学生数学思维受阻的原因

根据个人经验，参考有关资料，我认为学生思维受阻的主要原因有以下几点：

1.数学思想方法缺乏。由于学习方法的缺乏而严重制约学生的有效思维的状况普遍存在

2.学习目标确定不当。影响了学习效果，使得数学思维发展的速度无法加快。

3.思维惰性造成思维模糊。思维指向模糊主要表现在对关键信息感知把握不准，思维指向性模糊，出思维的惰性。观察只停滞在感知表象中，即使撞上关键信息，也不能加工形成有价值的反馈信息，致使思路受阻，从而懒于动脑，久而久之，养成了思维的惰性。

4.思维惯性造成思维机械。思维的惯性常伴随着思维的惰性而存在，学生在解数学题时，常尚未看清题意，见术语，便罗列公式，生搬硬套；见数据，便代入演算，拼凑解答等。

如何培养学生的数学思维能力

首先，要善于创造思维情境，激发学生兴趣。

学习兴趣和求知欲是学生能否积极思维的动力。良好的思维情境，能够激发学生学习数学的兴趣。初中生的思维水平时由小学阶段的形象思维向抽象思维的过渡阶段。这个时期，学生开始学会独立思考，学生思维的积极性和主动性依赖于教师的循循诱、精心启发学生思维能力的形成。如：函数概念教学，教师可通过电脑或投影展示反映一天气温随时间变化图，帮助学生从感性到理性，从具体到抽象，通过比较，概括得出函数概念。教学中通过呈现思维情境，探出有激发性的问题，通过设置思维障碍、鼓励学生追求事物的新意义，分析探索知识的动机，可唤起学生的求知欲，激发学生的思维动机，激发学生学习数学的兴趣。

其次，要找准数学思维能力培养的突破口。

心理学家认为，培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口。思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性，它们反映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中应该有不同的培养手段。

思维的深刻性既是数学的性质决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异，教学中培养学生数学思维的深刻性，实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。

数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，使学生掌握速算的要领。

创造性思维品质的培养，首先应当使学生融会贯通地学习知识，养成独立思考的习惯。在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，使学生多思善问。能够提出高质量的问题是创新的开始。数学教学中应当鼓励学生提出不同看法，并引导学生积极思考和自我鉴别。新的课程标准和教材为我们培养学生的创造性思维开辟了广阔的空间。

批判性思维品质的培养，可以把重点放在引导学生检查和调节自己的思维活动过程上。要引导学生剖析自己发现和解决问题的过程；学习中运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它们的合理性如何，效果如何，有没有更好的方法；学习中走过哪些弯路，犯过哪些错误，原因何在。

第三，要善于调动学生内在的思维能力。

一要培养兴趣，让学生迸发思维。教师要精心设计，使每节课形象、生动，并有意创造动人情境，设置诱人悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，还要经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题。二要分散难点，让学生乐于思维。对于较难的问题或教学内容，教师应根据学生的实际情况，适当分解，减缓坡度，分散难点，创造条件让学生乐于思维。三要鼓励创新，让学生独立思维。鼓励学生从不同的角度去观察问题，分析问题，养成良好的思维习惯和品质；鼓励学生敢于发表不同的见解，多赞扬、肯定，促进学生思维的广阔性发展。

第四，要教会学生思维的方法。

现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式。要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。

数学概念、定理是推理论证和运算的基础。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力；在例题课中要把解（证）题思路的发现过程作为重要的教学环节，仅要学生知道该怎样做，还要让学生知道为什么要这样做，是什么促使你这样做，这样想的；在数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力，会运用综合法和分析法，并在解（证）题过程中尽量要学会用数学语言、数学符号进行表达。

此外，还应加强分析、综合、类比等方法的训练，提高学生的逻辑思维能力；加强逆向应用公式和逆向思考的训练，提高逆向思维能力；通过解题错、漏的剖析，提高辨识思维能力；通过一题多解（证）的训练，提高发散思维能力等。

第五，要变换思想练习，培养学生思维的灵活性

思维的灵活性就是指善于从偏见与谬误中解脱出来，善于依据客观条件的发展变化，灵活多变地处理所发生的问题。练习是数学教学重要的组成部分，恰到好处的习题，并且在习题中给学生灌输变换思想进行解题，不仅能巩固知识，形成技能，而且能启发思维，培养能力。如：在一个面积为12平方厘米的正方形内剪一个最大的圆，所剪圆的面积是多少平方厘米？ 按常规的思考方法：要求圆的面积，需先求出圆的半径，根据题意，圆的半径就是正方形边长的一半，但根据题中所给条件，用小学的数学知识无法求出。变换思想来考虑：可以设所剪圆的半径为r， 那么正方形的 边长为2r， 正方形的面积为（2r）2＝4r2＝12，r2＝3，所以圆的面积是3.14×3＝9.42（平方厘米）。 还可以这样想：把原正方形平均分成4个小正方形， 每个小正方形的边长就是所剪圆的半径，设圆的半径为r， 那么每个小正方形的面积为r2，原正方形的面积为4r2，r2＝12÷4，所剪圆的面积是3.14×（12 ÷4）＝9.42（平方厘米）。解题过程中，常规解法所给条件似乎不足，教师可以要求学生换个角度去思考，问题便能迎刃而解，让学生从不同的角度去观察问题，分析问题，养成良好的思维习惯和品质, 从而提高分析和解决问题的能力，有利于培养学生思维的灵活性，提高灵活解题的能力。

第六，要善于巧设问题，培养学生的创造性思维能力

创造性思维是以感知、记忆、思考、联想、理解等能力为基础, 通过思维，不但能揭示客观事物的本质及其内在联系，而且在此基础上能产生新颖的、前所未有的思维成果。著名的数学教育家波利亚认为：“高质量的提问，使学生不断产生‘是什么’、‘为什么’的定向反射。”高质量的提问在课堂教学中不仅可以长时间的维持学生的有意注意，而且还会很好地培养学生的创造性思维习惯。初中数学课堂上，以往教师教什么，学生就记什么，不思索或少思索，教材上是什么样的问题题型，学生就只会解什么样的题型，缺乏创造性。素质教育要求初中数学课要培养学生的创造思维，开发学生的创新能力。在课堂教学中，教师通过精心设计问题，引导学生思考，可以使学生在探索思维中获得知识。例如讲授一元一次不等式的解法：解不等式3(1+x)＞x-1。解：去括号，得3+3x＞x-1 ，移项，得3x-x＞-1-3 ，合并同类项，得 2x＞-4 ，不等式两边都除以 2 ，得 x＞-2 。 教师设计以下问题让学生思考：①不等式的结果(解集)的形式是怎样的? ②结果(解集)的形式与原题的形式有哪些差异? ③如何消除这些差异?学生有了问题，自然注意力集中，思维也就活跃起来了。

第七，要坚持专题研究，培养学生的发散性思维。

发散思维是对熟悉的事物，能够采用新的方法或从新的角度加以研究，从而在相同或相似之中看出不同的思维形式。初中数学教师可根据学生知识和心理需求，利用学生好奇、好问的特点，利用书本知识进行专题研究，巧造发散点，以培养学生发散思维能力。例如，归纳辅助线作法：解：在学完平面几何《梯形》一节后，学生认识到如何添加梯形辅助线是证题解题的关键，故在教学中"以梯形中辅助线添加方法"为发散点进行专题讨论，由各种题型为对象，引导学生归纳出梯形六种辅助线的添加法，学生在归纳总结中即掌握了知识、习题解法规律、技巧，同时从多角度、多方位研讨了辅助线的作法。

在课堂教学中提高学生的思维能力，让思维的火花竞相迸发，是教师讲授每一堂课的最终目的。教师要坚持把对思维能力的培养贯穿于整个教学活动的始终。培养学生学习兴趣，要教师不断更新观念、努力进取、勇于探索，我们的教育教学就一定会充满无限的生机和活力。

参考文献：

初中数学圆的基本模型范文第4篇

关键词 初中数学；开放性教学；数学素养

中图分类号：G633.6 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2017）03-0101-02

1 前言

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：数学课程的设计与实施应当重视并运用现代信息技术，尤其要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学、解决问题的强有力工具。这就是说，数学教学应当与时俱进、勇于改革、善于创新，积极寻找与现代信息技术之间的有效整合点来自我优化，开放性教学活动应该要转变学生的学习方式，注重培养与提升学生的数学素养和信息素养，为促进他们的自主发展、可持续发展和个性化发展注入活力。

2 利用信息技术创设开放情境，为数学教学提供活力支撑

在义务教育阶段，数学教学活动是一个“基础知识传授”“情境创设运用”和“消化巩固实践”不断深化与推进的过程。因此，数学教学情境的创设（或引入）与运用是数学课程活动中极其重要的一种环节。以多媒体和网络信息为核心的现代教育技术能够创设丰富多元的教学情境。

比如在教学“三角形的内角和”时，教师首先引导学生开展剪纸、拼接和度量等系列活动，让他们通过动手实际操作直观感受；接着利用几何画板技术画出一个任意三角形，量三角形的形状和大小。学生通过这些操作，发现无论怎么变换形状和大小，三角形的三个内角和总是180°不变。

再如在教学“直线与圆的位置关系”时，教师首先播放“海上日出”录像，让学生对地平线与旭日初步形成一种直观印象；然后借助多媒体课件让他们讨论直线与圆的位置之间有着怎样的数量关系――相交、相切和相离，而且与圆的大小相关，与直线到圆（直线到圆心）的距离相关。动静自如的优美画面，观察、思考和讨论让他们能够自觉主动地把相对复杂抽象的数学问题与喜闻乐见的熟悉场景联系起来进行分析[1]。

3 利用信息技术适当扩充容量，开展数学的开放性教学

在学校教育中，基础教材固然是课程教学的基本内容，课堂教学同样是课程活动的主要形式。有业内人士说道：

“过去教科书是课程学习的全部内容，如今社会生活则是课程学习的教科书。”这些启示教师应当根据实际教学情况和学生发展需要，努力通过各种途径和形式，适时适量地扩充一些教学内容和活动容量。这不仅有利于提升课程教学的质量和效率，而且有利于为课程教学活动源源不断地增添一些活力元素。

比如在教学“勾股定理”时，教师可要求学生在课前通过现代信息技术，主动地去寻找与勾股定理相关的一些学习内容和证明方法。因为勾股定理的证明方法不是一种，而且各个证明方法也不尽相同，他们在讨论交流中对各种证明方法进行比较、分析和归类，从而较好地实现优质资源相互共享的活动目标。这样，一节原本普普通通的定理证明课教学不仅让学生主动地把它延伸到课外学习活动之中，而且借助网络资源平台不断地优化教学信息，从而掀起良好的学习热潮。

除此之外，教师还可以把一些教学重难点内容以及学生易混、易错的数学知识汇集成“多媒体技术集锦”，在课内外教学活动中适时适量地展示出来，让学生在独立思考和合作探究中不断地反刍、消化、比较与分析，从而在可持续学习和个性化学习中努力获取良好的效益和效应[2]。

4 利用信息技术呈现知识生成，促进数学抽象思维的形成

数学学科知识具有高度的抽象性和严密的逻辑性特征，这对于由形象性思维向抽象性思维逐步过渡的初中学生而言，确实是一种不容忽视的挑战和无以规避的考验。在传统封闭型数学课程教学活动中，由于深受时间、空间和条件等多种因素的限制，诸如一些概念性数学知识和操作性教学过程等难以有效显现它们的生成性过程，从而让学生只是“知其然，却不知其所以然”，他们在实际操作中无法深入灵活地运用，就是死搬硬套，其结果是事倍功半。而现代信息技术具有图文并茂、音像和谐、动静自如、直观形象和操作便利等许多方面的优势功能，对解决上述难题可谓是迎刃而解、得心应手。

比如对于“一个正方体最多可截出几边形”的问题，初中学生很难想象出“最多截出六边形”，而且手工操作起来很有难度。有鉴于此，教师可借助多媒体课件直观形象地展示出这一过程，让学生在寓教于乐中既可“知其然”，又能“知其所以然”。

再如许多初中生对于截面是三角形、正方形、梯形和矩形等情形还是能够理解的，然而对于截面是五边形或者六边形的情形就难以想象了。教师借助多媒体平台显示，让学生在身临其境中切实地感悟其截割过程，这非常有利于他们逐步形成知识的构建过程，有利于促进他们由形象性思维向抽象性思维的快速过渡，有利于培养他们的数学思想和方法。两相比较，孰优孰劣是不言而喻的[3]。

5 利用信息技g展示学科文化，为学生形成数学思想奠基

初中数学新课程标准在“基本理念”板块中明确指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”数学科学作为人类社会的重要文明成果之一，从它的来源和产生、发展过程来看，不仅积淀了非常丰厚的价值底蕴，而且早已形成具有个性化特征的科学文化现象。自从进入21世纪以来，数学文化在中小学基础教材和校园教学中渐渐增加，这就非常明显地标志着数学文化的研究内涵和育人价值终于赢得了重视与发展。理论和实践充分表明：在学校教育中，教师把数学学科文化积极有效地渗透到课程教学活动中，努力让学生在数学学习过程中深受其感染，产生一种文化共鸣，并且深刻体会数学的文化品位与价值底蕴，从而体察社会文化和数学文化之间的内在联系，这对于培养学生的数学情感和学习品质必将能够发挥潜移默化的作用。

在现行基础教材中，数学文化多以阅x材料的形式展现出来，往往传递给人一种爽心悦目和风味独特的感觉。在初中数学教学过程中，教师借助现代信息技术展示丰富多元的学科文化内容，则能为数学学习活动和锻铸学生思想提供源源不断的精神元素。比如在教学“无理数”时，教师可让学生从网上搜索并下载有关无理数的历史由来，从中深刻感受古希腊伟大数学家希帕索斯（Hippasus，约公元前500年，无理数发现第一人）那种“坚持真理、献身科学”的大无畏精神。诸如此类，这难道不正是当今中学生亟待滋补的精神元素吗？

6 利用信息技术开展合作学习，培养学生的团结、协作、创新精神

在初中数学教学过程中，无论课堂教学，还是课后辅导环节，师生之间处于“一对多”的状态。由于时间等因素的限制，在课内辅导和课后补差时，教师常常只能“面对个别、不及其余”，因而感到“心有余而力不足”，要想面面俱到显然是难以企盼的。

多媒体技术具有强大的人机交互功能，能够解决这个问题。例如：一方面，教师可按照章节内容来划分知识点模块，并通过多媒体技术显示出来，以便于学生在课后独立学习和合作探究；另一方面，“数学学习离不开题量训练”，教师可利用其大容量特点，以“智能库”形式长时间显现，以供学生自行选取相应的作业题型和合适的作业数量。尤其通过多媒体实行“一题多解”“一题多变”“一题多用”等数学题型的拓展和延伸，则能够在“不用扬鞭自奋蹄”的氛围中自觉凝练学生的合作探究精神，这样非常有利于在潜移默化中有效地培养他们的发散性思维。

例题：

1）全班50名同学，每两人互握一次手，共需要握手多少次？

2）甲乙两站间有5个停靠点，每两个站点之间需要准备一种车票，共需要准备多少种车票？

3）n边形共有多少条对角线？

对于上述问题，启发并引导学生通过建立同一数学模型来解决问题，既可培养学生的归纳整理能力和数学建模意识，又能激发学生举一反三的思维火花。

7 结语

在初中数学教学过程中，把现代信息技术与开放性教学相互渗透和有效融合起来，非常有利于培养学生的数学素养、信息素养和能力素养，这种教学相长的实践课题活动必将日益兴旺。

参考文献

[1]蔺起金.让课堂教学充满“现代气息”：初中数学教学中多媒体教学现状及对策初探[J].考试周刊，2013（78）：

76.

[2]易思杰.浅析多媒体技术与初中数学教学的整合运用[J].新课程，2014（2）.

初中数学圆的基本模型范文第5篇

在初中教学教学中为学生创设合理问题情境，让学生亲身经历将实际的问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程，尤为重要。“教学的艺术，不在于教援的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。数学课堂教学中创设恰当的问题情境能唤醒学生强烈的求知欲望，可以培养学生探索知识能力和方法，促进学生全面地获得数学知识。

【关键词】创设 初中数学 问题情境

初中数学教学中如何创设问题情境，笔者通过结合学校的课题研究及自身的实践，提出了自己主要观点：创设问题情境要合理、有效。根据最近发展区原理，课堂中我们设计的问题，要让学生能够理解好，能够应用自身学过的原理、结论对未知现象及其规律所作出的一种假设性的命题进行合理猜想。一堂好的课，问题的提出能够让学生有的放矢，“跳一跳就能摘到桃子”，注意问题可相对学生操作性，才能起到激发学生学习的初步前提。

1.讲述数学典故来创设问题情境

根据实际教学内容，向学生绘声绘色地讲述精彩的故事，创设问题情境，有时会收到意想不到的效果。历史上的数学典故有时反映了知识形成的过程，有时反映了知识点的本质，用这样的故事来创设问题的情境不仅能够加深学生对知识的理解，还能加深学生对数学的兴趣，提高数学的审美能力。

在学习“相似三角形的应用”时，教师给学生边讲个古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的故事，边用多媒体展示情景图片，学生都非常疑惑不解，教师因势利导引入相似三角形知识应用的学习，学完新课后，再一起回过头来思考泰勒斯是用什么方法原理测量金字塔高度。这样的一个持续的问题情境贯穿于整堂课堂教学，激发了学生的思维，同时也培养了学生应用数学知识解决设计问题的意识。

2.在学生已有的认知基础上创设问题情境

学生的学习是以一切现有的认知发展水平为出发点，所以知识的引入只有在与学生的认知水平相适才能促进学生的主动建构。简单地说，就是新知识的学是在原有的基础上进行的。因此，在教学新的内容时，教师应注意从学生已有的知识背景出发，提供丰富的感性材料，展现知识产生发展的实际背景，设法激活学生已有的数学知识经验和生活经验，引导和启发学生进行新旧对比，同化新知识，从而使学生看到数学知识的来龙去脉，体验到数学知识的形成过程。

如通过复习分数的基本性质，让学生类比探讨分式的基本性质。通过复习全等三角形的识别方法，来探索相似三角形的识别方法。通过复习点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系来研究圆和圆的位置关系等。

3. 让学生在数学活动中主动探究来创设问题情

学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。在学生的心灵深处，都有一种强烈的探究的需要。在教学时，教师精心创设情境，让学生主动动手，在活动中由学生自己去探究，这样有利于学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流，有利于学生在实践中培养数学兴趣和探究精神

如学习有理数乘方时，完全可以让学生通过动手折叠报纸探究乘方的知识：开始展示很大的报纸时许多同学都说能对折几十甚至上百次，可是在动手实践后却发现折叠到七次的时候已经非常困难，许多同学都是大惑不解。然后引导学生进行计算，终于发现：报纸厚度随着对折次数的增加以等比级数增加，而其面积则相应地以同样比例减少。加上纸本身的拉力，把报纸对折第九次无疑比一次将512张报纸对折更要困难！

讲圆定义时，可以动手将一根绳子固定在一点上，然后拉紧绳的某一个点形成的轨迹就是圆。通过这个操作，学生形象生动的记住了圆的第一定义。在现行课本中存在大量的此类实例，如研究图形的平移、旋转、中心对称，概率中的随机试验，函数图像的画法及性质得出等等，都给学生提供了通过操作掌握有关知识点的问题情境。

4.为深化学生认知结构而设计的认知冲突型问题情境

以富有挑战性、探究性且处于学生认知结构的最近发展区的问题为素材，可创设认知冲突型教学情境，使学生处于心欲求而不得，口欲言而不能的“愤悱”状态，引起认知冲突，产生认知推敲，从而激起学生强烈的探究欲望和学习动机。

例如：在学生学完三角形全等的判定之后，我就为学生们设计了这样一个问题情境。课本上举例说明了“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角不一定全等”，那么“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”在什么情况下全等？什么情况下不全等呢？以上这一情境，激起了学生们的探究欲望，有利于学生在自主探索中寻找答案。

5.从生活实际中创设问题情境

教育起源于生活，很多数学知识和理论都来自于生活，能从生活中建立起来的数学模型。一个来自于生活的话题，经过组织展开数学学习，课堂气氛就会十分热烈，学生的参与率会大大提高。如《直线与圆的位置关系》这节课中，如果我们把太阳看作圆，地平线看作直线，那么太阳在初升的一系列过程中，它们之间有几种位置关系呢？在这样的课堂的气氛下能使学生充分地展开思维，都成了问题的主角，在宽松的课堂气氛下，学生就能自信地，愉快地交流，每个学生都得以参与和体验。学生在获取基础知识和基本技能的同时，亲历一个这样的“过程”，不仅能激发学生的思维积极性，加深对教材的理解，而且能获取情感体验，激发学生的潜在力，同时，为学生的创新提供了必要的前提。

参考文献