数学建模插值法
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数学建模插值法范文第1篇
【关键词】 凸轮轴 曲线优化
1 引言
凸轮轴的加工方法主要有以下三种：机械靠模仿型磨削法、等转速磨削法、恒线速磨削法。目前，恒线速磨削法已成为凸轮轴的主流加工方法。所谓凸轮轴恒线速磨削加工法，就是加工时磨削点的线速度和磨削力在磨削过程中相对稳定，有利于提高凸轮的轮廓精度并能保证凸轮表面各点的粗糙度基本一致。但是由于需要在升程段每个磨削点处都改变速度，容易导致各个联动轴的加速度过大，如果机械系统和伺服系统的响应不能达到要求，反而会使工件的加工精度下降。所以为了既使加工曲线符合实际加工要求又要将机床机械系统及伺服系统的响应要求控制在允许的范围内，需要在理论曲线的基础上对凸轮轴加工过程速度曲线进行进一步优化[1]。
2 轮轴恒线速加工过程速度曲线的优化
本文是基于MATLBA7.0，建立了恒线速加工数学模型，由数学模型推导出加工过程的速度曲线函数。然后对速度曲线函数进行插值拟合，实现对速度曲线的优化，从而满足实际加工要求和降低对联动轴的响应要求。具体的实现步骤如下：
根据恒线速磨削原理建立数学模型；在MATLAB中编写M文件，完成数学模型的建立；对转速曲线进行拟合，完成对速度曲线的优化；针对凸轮轴修磨系统，将优化后的加工过程参数（凸轮轴转速）导入到凸轮轴的加工程序，从而实现加工程序的优化工作。
2.1 恒线速磨削数学模型
凸轮的整个轮廓依靠砂轮架的往复直线移动（X轴）和工件主轴的转动（C轴）这两个运动的合成运动来形成。在凸轮轴转动的同时，砂轮架的移动产生进给动作，并通过数控装置进行插补运算，控制各坐标轴按照凸轮外形轮廓运动，从而完成加工[2]。凸轮轴的恒线速加工是指磨削点的线速度和磨削力在磨削过程中相对稳定，而X轴和C轴的运动规律则需要有凸轮轴恒线速加工的数学模型计算得到。
2.2 加工过程曲线的优化
所谓加工过程曲线的优化，就是避免加工过程曲线出现尖点，使加工过程曲线更加平滑，从而避免加工过程中凸轮加速度过大，伺服系统无法满足响应要求的现象。目前通过拟合插值对加工过程曲线进行优化的方法主要有两种：三次样条曲线拟合插值法和最小二乘法拟合插值法。
三次样条曲线拟合插值，插值曲线能够通过所有已知的离散点，但是插值曲线只能反映值函数（凸轮转速函数）的局部性质。另外，因为三次样条曲线必须通过给出的离散点，这就可能造成两个离散点之间的曲率变化过快，曲线不够平滑，因此适合凸轮磨削之后的局部优化，较多应用于凸轮磨的修整系统。
最小二乘法拟合插值，拟合曲线不能通过所给的离散点，只要求在每个离散点处偏差的平方和最小，反映了值函数的总体趋势。使用最小二乘法拟合得到的曲线可以过滤掉原始升程数据中的部分误差，既能反映数据的总体分布，又不会出现局部较大的波动，更能反映值函数的特性，因此适合在凸轮磨削之前进行加工过程曲线的优化。
总之，三次样条曲线适合局部曲线的优化，而最小二乘法适合整体曲线的优化，用户可以根据自己的需求选择不同的方法。这两种方法在MATLAB中都很容易实现，他们是通过spline（）和polyfit（）这两个函数来分别实现的。
根据编制的优化程序，采用三次样条曲线对加工过程速度曲线的优化结果如图1所示：
显然经过最小二乘法优化后，转速曲线有效的避免了尖点，曲线更加平滑，这样就有效的解决了恒线速磨削的缺点，避免了加工过程中凸轮加速度过大，伺服系统无法满足响应要求的现象。
最后，可以将经过优化后的离散值（凸轮轴转速）导入到凸轮轴磨削的加工程序中去，从而对加工程序实现了优化，这样就实现了对凸轮轴加工质量和效率的提高。
3 结语
在MATLAB中完成了恒线速磨削数学模型的建模，针对凸轮轴修整系统对凸轮轴局部进行修磨的要求，利用三次样条曲线拟合插值法对加工过程曲线进行优化，得到了曲线更加平滑的转速曲线。有效的解决了恒线速磨削时，可能出现的因凸轮轴加速度过大而导致伺服系统无法满足响应，从而大幅度影响加工质量的问题。另外，将优化后的凸轮转速导入到加工程序中，有效的提高了凸轮轴磨削的加工质量和效率。
参考文献：
数学建模插值法范文第2篇
关键词：工程地质三维建模与可视化地质信息
1前言
现有的地理信息系统(GIS)都主要表达二维的地表地物的图形和属性信息，要扩展到真三维包含地下地质结构的地质信息系统还有差距。一个大型地质工程项目从可行性研究阶段、初步设计阶段到详细设计阶段，乃至到工程施工与运行阶段，往往积累了大量的地质资料，用三维模型图形图像来表达和解释如此庞大的资料，比光靠数据库和图表图纸等传统手段来得有效的多。建立工程地质体的三维模型，处理岩层界面与结构面组合关系，逼真反映地下主要地质结构全貌，将为工程地质工作者分析研究工程地质现象和发现掌握岩土体结构规律，提供一种崭新的研究手段和研究方法。
国外三维地质建模和可视化研究发展较快。加拿大阿波罗科技集团公司推出的三维建模与分析软件MicroLYNX，通过对离散点采样、钻探采样和探槽采样等空间数据的处理，产生剖面、块和面等模型，确定矿藏分布和等级变化并计算矿藏储量。加拿大GemcomSoftwareInternationalInc.公司开发的Gemcom软件通过钻孔、点、多边形等数据，利用实用的图形编辑和生成工具，显示钻孔孔位分布，运用不规则三角网建立表面和实体模型，运用多义线圈闭岩层和矿体边界进行储量和品位分析，提供了交互操作功能并允许用户根据自己的经验和专家知识勾画地质模型，实现任意剖面切割任意角度观察和实体与实体或实体与表面的交切与布尔运算等。国外软件主要是瞄准采矿工程，能够较好地满足采矿工程活动中的矿产资源勘探和评价、地下矿井和露天矿坑设计和规划、矿产资源管理和采矿生产管理等需求。美国Kinetix公司开发的3DStudioMAX，Alias/Wavefront公司开发的Maya和微软公司开发的Softimage等大众化的三维建模软件，在构建工业和建筑模型与动画制作方面有其独到之处，但交互查询的功能较弱，与工程勘测数据库结合并应用于工程地质三维建模方面还有较大距离。
张菊明等对风化带分布、多层地层等地质信息的可视化和断层错断岩层的表达和显示的算法[1,2]进行了较为深入的研究，为工程地质三维可视化软件的开发准备了数学基础，并借助AutoCAD平台实现了复杂三维地质图形的显示。国内的灵图VRMap地理信息系统软件有较强的地形模拟和地表地物的查询功能，但不是真三维的地质建模工具。北京东方泰坦科技有限公司开发TITAN三维建模软件，基于框架建模的思想，利用平行或基本平行的剖面数据，建立起三维空间复杂形状物体的真三维实体模型，但目前只是初步的三维建模与图形处理的引擎，在面向具体专业时，需要添加或扩充专业模块，比如工程地质专业模块等。
纵观国内外几种软件的研究与开发现状，它们为工程地质三维建模与可视化打下了很好的技术基础，提供了很宝贵的开发经验。但是，对于工程地质专业的地质体建模与可视化分析的针对性不强，不能够很好地满足工程地质生产与研究的专业功能需要。因此本文将从分析工程地质的三维建模和可视化的关键技术问题入手，简单描述作者在工程地质三维建模和可视化方面的初步开发研究成果。
2关键技术问题分析2.1离散数据的插值与拟合
工程地质复杂地质体中的各种地质信息，包括地表地形、地下水位、地层界面、断层、节理、风化带分布、侵入体及各种地球物理、地球化学、岩土体的物理力学参数或数据的等值面(线)等，都可以看作是三维空间中的函数，它们的拟合函数要根据实际勘测数据建立，实测数据越丰富，越能够真实描绘出这些信息的空间分布规律。地表地形测量数据、地下水位埋深测量信息等的单值曲面图形生成可归结为双自变量离散数据的插值和拟合，多值曲面如倒转褶皱和空间等值面等，则应采用多参变量插值等其他一些较复杂的方法。空间曲面插值函数有以下构造方法，如与距离成反比的加权方法(Shepard方法)，径向基函数插值法(Multiquadric方法)[3]，平面弹性理论插值法[1,2]等，它们同样适用于单个连续地层界面、地球物理勘探数据、地球化学勘探数据以及岩土体物理力学参数在地质体空间的分布。
2.2三维数据结构
工程地质体一般是不规则形体，在计算机图形学中曲线和曲面总是分别通过很多微小直线段和微小三角面逼近来模拟地层岩性界线和岩层曲面，即岩层界面（和地表曲线、地下水位面等地质层面界线）和岩层曲面都分别是许多微小直线段和微小三角面的集合。地质体三维空间数据结构是工程地质三维建模和可视化的基础，这就要求必须具备有效的分层的三维数据结构，能够确保人机交互和查询的实现。
2.3曲面求交
地质体中存在大量各种层面，当出现地层不整合、断层错断岩层、地层尖灭和地下水出露于河谷地表等情形时，就自然会遇到曲面间求交的问题；地质体三维模型的上部边界是地表曲面，通过数学方法拟合出的岩层面或地下水位面不应超出地表曲面，即超出部分不应显示。同样的，当显示多层地层时，下面的每一岩层应以其上一岩层为边界。因此，为了可视化地层界面必须要解决地层面与地表、断层面和其他地层面的求交问题。另一方面，在剖面图成图时，地质界线的绘制是通过显示剖面(平面)与各种地质界面(曲面)求交所得出的交线。因此曲面求交包括地质界面（层面）之间的相交，和地质界面与剖面的相交两类问题。
2.4三维拓扑结构分析
从地质学角度看，拓扑是地质对象间关系的表格，拓扑表存储层位间上覆、下伏和交切(被断层切割后地层的拓扑表达)等的地层学关系及地质空间位置关系。拓扑也可视为允许这些地质关系合理储存的数据结构。例如，考虑多层地层，上一个岩层的底面和与其相邻的下一个岩层的顶面是上下岩层这两个实体的公共部分或共享边界，它们之间的拓扑关系就是相邻和同一的关系，在存储数据时只存储上一个岩层的底面或其相邻的下一个岩层的顶面，即相邻岩层的边界曲面可以存为一个地层曲面，大大减少数据存储量。评价地质模型系统的优缺点往往决定于描述地质对象所用的拓扑结构[4]。
2.5可视化技术
工程地质复杂地质体可视化，是利用计算机技术将工程勘测获得的数据，转换为形象直观的便于进行交互分析的地下地质结构空间形态的立体图和剖面图形，其基础是工程数据和测量数据的可视化〔5〕。利用可视化技术可以从庞大的地质勘测数据中构造出地质工程中对于边破稳定性和地下硐室变形破坏等起关键作用的岩层和结构面，并显示其范围、走向和相互交切关系，帮助工程地质人员对原始数据做出正确解释，继而为工程地质分析具体问题提供决策支持。
3工程地质三维可视化技术的初步开发与应用3.1研究框图
工程地质复杂地质体三维建模与可视化的研究框图如图1所示。
基于离散采样数据的插值与拟合的思想，即将离散数据转化为连续曲线曲面,工程地质复杂地质体三维建模与可视化的过程是，从勘探数据库中提取各种地质信息的坐标位置及岩土体的物理力学参数，通过不同的拟合与插值函数得到地质层面(曲面)和地质实体的三维计算机图形显示，表达地质信息在研究区域内的分布规律。生成地质岩层面和地质实体后，实现从任意角度观察建立的模型，实现根据指定的剖面走向、倾向和倾角生成垂直剖面。
3.2初步开发与应用3.2.1工程勘测空间数据库管理
在收集整理现场勘测数据后录入金沙江某水电工程勘测空间数据库各分项数据表，这些数据表不仅包括地质信息的位置数据，更重要的是提供属性数据。
以地层岩性数据表为例，要求录入钻孔编号、岩层起始深度、岩层终止深度、层厚、岩性（地层名称）、地层代码（地层年代）、岩层走向、岩层倾向、岩层倾角、接触关系、地质描述等数据。随着工程勘测的进展，能够方便地修改补充和管理勘测数据。图2是工程勘测数据库中钻孔地层系统数据表的管理界面。
3.2.2三维浏览
通过孔口坐标和测量数据等的离散数据的拟合和插值法绘制坝址区的右岸地表曲面网格（图3），进而可在三维图形环境中进行虚拟现实浏览观察（图4）。
3.2.3三维地质立体图
利用工程勘测数据，建立了坝址区右岸三维立体地质图。该坝址区自上而下地层岩性组合为：第四系崩坡堆积物，侏罗系泥岩、粉砂质泥岩、泥质粉砂岩，三叠系上统厚至巨厚层状细至中粒砂岩，三叠系上统薄至中厚层状粉细纱岩、粉砂岩，三叠系上统中厚至厚层状中粗砂岩。通过有限的工程勘测数据得出的立体图，能够较好地满足工程地质的精度。图5表达了该坝址区右岸三维地质图。
3.2.4三维可视化查询
通过图形与工程勘测数据库中的属性数据的链接，实现可视化查询地层岩性和其他工程地质信息，最终完成向三维地质信息系统的转变。图6是一简单的被断层错断的水平多层地层模型，通过模型的每个地层实体名称与数据表中的岩石名称字段对应链接，能够查询地层的岩性，地质年代，起止深度和地质描述等工程地质人员关心的地质信息。
4结论
(1)运用先进的可视化技术与交互图形技术建立数据库，存储和管理现场勘探实测和试验数据，建立工程地质体的三维模型，工程地质工作者可随着勘察或研究工作的不断深入细致，对研究(工作)区域随时补充信息来自动显示地质信息在研究(工作)区域内的分布，从而不断提高模型精度，并且利用模型反馈回来的信息及时发现已有勘察工作中的不足，从而及时修改勘察或研究工作方案，指导下一步勘探或研究工作的实施。
(2)工程地质三维建模与可视化的深入研究，可以充分利用已有现场勘探实测或试验数据，达到节约投资减少勘察或研究成本的目的。当现场勘探和试验数据资料不足情况下，通过对已有数据的插值与拟合到建立三维模型，可以推断和预测未知区域或研究较少区域的地质信息或岩土体物理力学参数的分布趋势，从而为减少勘探工作量提供科学的可靠的依据，达到节约花费，为生产或研究部门产生直接经济效益的目的。
(3)工程地质岩土体是复杂的不规则形体，存在各种地质岩性层面、结构面以及各种空间分布的地质与力学信息，完全表达地质信息的空间分布及岩层和结构面间的位置关系，工程地质三维建模与可视化研究是大有作为的。
参考文献：
[1]张菊明.三维地质模型的设计和显示,中国数学地质进展.北京:地质出版社,1995,158-167
ZhangJuming.DesignandDisplayofthree-dimensionalgeologicalmodel,AdvancementofChinesemathematicalgeology.Beijing:PressofGeology,1995,158-167
[2]张菊明孙惠文刘承祚.局部间断拟合函数在地质曲面分析和显示中的应用,中国数学地质进展.北京:地质出版社，1995,14-23
ZhangJuming,SunHuiwen,LiuChengzuo.Applicationofpartiallydiscontinuousfittingfunctioninanalysisanddisplayofgeologicalcurvesurface,AdvancementofChinesemathematicalgeology.Beijing:PressofGeology,1995,14-23
[3]唐泽圣等.三维数据场的可视化.北京:清华大学出版社,1999,130-135
TangZesheng,etc.Visualizationofthree-dimensionaldatasets.Beijing:PressofTsinghuaUniversity,1999.130-135
[4]孟小红王卫民姚长利等.地质模型计算机辅助设计原理与应用.北京:地质出版社，2001,4-8.
MengXiaohong,WangWeimin,YaoChangli,etc.PrincipleofComputer-aideddesignofgeologicalmodelanditsApplication.Beijing:PressofGeology,2001,4-8
[5]张生德张时忠门吉华.可视化技术及其在地质勘探中的应用浅析.地质勘探安全，2000(4),42-43
ZhangShengde,ZhangShizhong,MenJihua.BriefanalysisofVisualizationtechniqueanditsapplicationingeologicalexploration.Securityofgeologicalexploration,2000(4),42-43
数学建模插值法范文第3篇
关键词：样条插值；三弯矩方程组；追赶法；数值解
中图分类号：TP391 文献标识码：A、
在汽车门曲线设计中，运用三次样条插值法构造了严格方程组，利用追赶法求解方程组，这对于车门的设计是很有意义的，并用Matlab进行了数值实验得到了数值解，绘出了曲线图，进而，我们将三次样条插值算法与分段线性插值、分段抛物插值、邻近点插值的结果进行比较，实验结果表明，三次样条插值算法能获得高精度的插值结果，该样条插值算法是最为适合汽车车门设计的办法。
1 样条插值算法
要明确该方法在车门中的应用，首先要明确什么是样条插值算法，并且了解它的分类，每个方法适合的地方，这样才可以发挥每种样条方法的作用。样条的定义是：在传统的工程师制图时，把富有弹性的细长木条用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后沿木条画下曲线，这样就能成为样条曲线。在一条光滑曲线上，通过一系列形值点，即三次样条插值。就数学而言，如果要想得出关于曲线函数组的完整的过程，则需要对三弯矩方程组进行求解。
样条插值算法主要是工程实验、勘测、设计中常见的列表函数之数值插值方法、程序实现及工程应用，应用此法可方便地将任何列表函数计算到工程设计、施工所需要的精确程度，并且可以给出各参数随主要参数变化而变化的光滑曲线，并将其应用推广到一般情况，该技术在众多工程中都有使用。就“样条”此词的来源，则是工程设计过程中，绘图人员会使用的一种工具，该工具能够在一些指定点的基础上形成一条光顺的曲线，换而言之，“样条”是一种细木条（或者薄钢条），该种物质具有良好的弹性。然后对指定点进行线条链接，此种链接具有两种特点：连续的坡度和曲率。而后在对上面原理进行模拟的基础上产生的分段低次多项式，即函数插值在曲线分段地方具有光化性特点的数学模式，此种形式不仅避免了振荡现象的产生，而且在数值稳定和收敛方面也会取得良好的结果。
近些年来，随着计算机的开发与运用，两者之间完美的结合，不仅使得该项形式在外观设计方面有良好的收获，而且使其自身成为在进行函数逼近时候所使用的有效工具。随着优势的突出，其使用范围在不断地的扩大，无论是数学领域还是其他相关领域都与其有着不可分割的密切联系。综上所讲，才可以将样条函数准确的列出来，并且准确的指导各项工作的进行，保证其数据的可靠性。
样条在数学学科中是非常重要的，尤其是进行数值分析时候，样条本身就是非常特殊的函数，并由多项式进行分段定义。此外，在造船行业或者进行建筑工程绘图时，工程师可以用其绘出自己所需要的光滑图纸。在我国早期时候，此种模式被称为齿函数。就插值问题而言，多项式插值远没有样条插值耐用。低阶样条插值不仅可以取得与高阶多项式插值较为类似的结果，而且可以防止非稳定因素的产生。
随着科学技术快速发展，计算机在工程设计过程中，不仅能够起到有效的辅设计而且便于复杂工程图形的产生与模拟。而在进行样条设计的时候，计算机的运用更能是绘图者得心应手，简化样条构造，是十分有效的方法之一。
目前有两种样条函数方法：规则样条函数方法和张力样条函数方法。规则样条函数方法使用可能位于样本数据范围之外的值来创建渐变的平滑表面。张力样条函数方法根据建模现象的特性来控制表面的硬度。它使用受样本数据范围约束更为严格的值来创建不太平滑的表面。通常我们也使用基数样条函数可以创建一些平滑线来连接给定的点集，从而更好的保证数据的准确性。
插值的方法主要有：拉格朗日插值，分段插值，样条插值。拉格朗日插值就是上面的这种插值。就上述原则而言，分段插值类似即是对两个点之间进行直线确定，最后对所有直线进行集合，这个集合不仅相当于一个折现，而且是一个对所有的点进行联通的分段函数。除此之外，我们也可以设计为对三个点进行直线的连接，然后所设定的抛物线。此法可以避免产生龙格现象。综上所述，样条插值，即先进行分段，然后链接，在链接过程中，样条时线便的光滑不粗糙。
2 汽车车门的曲线设计
现代汽车车门设计是一个非常复杂的系统工程，在满足造型要求、法规要求、人机工程要求和功能要求的前提下，进行布置一个车门系统，下文着重从几个方面对车门功能零件布置进行简要说明。
目前，汽车车门的结构形式很多，主要有旋转门、拉门、折叠门和外摆车门，本文主要介绍旋转车门。车门的作用是，乘员上下车时打开和关上，行驶时防止乘员掉出来，并防止乘员和车室内被风吹雨淋。车门是一个相对独立的零件，它的设计将直接影响到安全性、视野性、方便性、密封性及噪音等方面的性能。所以就需要有一个准确的计算方法来确定车门的位置和性能，车门的设计过程是整车开发流程中的一部分，主要分为概念设计和工程设计两大主要阶段。概念设计阶段主要是根据竞争车型或经验值制定车门的主要性能指标，再根据造型曲面的输出、结构配置等输入条件布置车门、绘制主要断面。所以车门的设计在汽车的整个结构中是起到至关重要的作用的。下面介绍车门目标性能参数的制定：该参数的制定就要使用本文提到的差值算法，在整车开发的概念设计阶段，车门的主要性能指标需要定义，包括车门的静态弯曲扭转刚度、一阶二阶模态、表面抗凹性能等，目标值的制定可以通过测量竞争车型或根据经验值确定。同样，在车门的铰链中也要使用该种插值法，车门是靠两个铰链悬挂在门柱上的，整个车门的质量及车门上使用者所施之力，如果车门关闭，则由三个部分进行支承，即由铰链、门锁及固定在车身门柱上的锁扣系统。如果车门打开，则支承由铰链完全承受。然后车门的实际下垂情况，一般因载荷所产生，即铰链与车身或车门的连接部位发生变形所致。
3 样条插值算法在车门曲线设计中的具体应用
数学建模插值法范文第4篇
关键词:曲面拟合; 高斯函数; 双三次B样条插值; 径向基函数
中图分类号:O241.6文献标识码:A
1引言
随着激光测距扫描等三维数据获取硬件技术的日趋完善,人们可以得到精度和密度都越来越高的物体表面三维数据,利用物体表面三维数据来建立真实物体数字模型也成为近年来国际图形学界的一种发展趋势,曲面重构作为这种建模方法的一个重要研究课题也得到了广泛的探讨和研究,成为国际上的研究热点之一.曲面重构可分为插值和逼近两种方法｡曲面插值就是重构出来的目标曲面必须通过所有的采样点,包括型值点,边界及曲面内部法矢等信息;逼近曲面只是对采样点进行有权逼近,它不一定要求所有的采样点都落在目标曲面上,而只需要重构曲面满足用户的反求设计要求即可｡本文通过分析现有方法存在的困难,提出了一种基于径向基函数与B样条结合使用的曲面拟合方法,较好地解决了散乱数据插值和拟合的计算不稳定性问题｡考虑用于多变量函数插值的径向基函数方法.给定函数肌R+R,对于数据方程(1)对任何数据{Xj,fj}∈RdR,当Xj两两不同时都有解的充要条件是:对任何两两不同的Xj,矩阵((Xk-Xj))是非奇异的.正定函数是满足这种性质的函数.我们知道,Gauss函数､逆Multi-Quadric函数都是正定函数.对于数据量少的情况,径向基函数插值的结果较令人满意,而且计算也比较简单.但同时也存在一些问题,比如方程系数矩阵的条件数问题.径向基函数插值最终归结为求解一个线性方程组,在大数据时这是一个大规模矩阵的求逆问题.当数据较多时,得到的矩阵一般是数值不稳定的.
基于径向基函数与B样条的散乱数据拟合方法张量积B样条插值也是实际中常用的插值方法.对于较均匀的矩形网格数据,其插值效果较好.而对于非均匀的大量散乱数据,B样条插值同样存在计算不稳定问题,而且所生成的插值曲面的光滑性无法保证本文针对径向基函数插值和B样条插值的优点和缺点,提出一种新的散乱数据拟合方法:径向基函数与B样条结合使用的曲面拟合方法.
2散乱数据拟合方法
这种方法的整体思想是:将拟合散乱数据点的问题转化为拟合有序点列(其投影是平面上的网格点)的问题,并通过径向基函数插值方法预估这些有序点列的值,然后再用张量积B样条插值这些有序点列,从而得到需要的拟合曲面.
(1)设曲面的原始数据点集合为S;
(2)设S0为点集S在XOY平面上的投影点集,并圈定S0的边界(为了便于编程实现,我们一般圈定矩形区域);
(3)对S0进行网格划分为M×N个区域,这些网格上的点即为我们要用B样条插值的点在XOY平面上的投影;
(4)将原始数据点集S分块,设块数为p,每块数据点的个数为nk(k=1,2,…,p)个(可根据数据点的分布特征和S0的网格来进行分块);
(5)每小块数据点集sk(k=0,1,…,p)分别用不同的径向基函数fk(k=1,2,…,p)进行插值,生成分块插值曲面;
(6)根据分块插值曲面函数fk(k=1,2,…,p)来分别求出步骤(3)中网格点所对应的函数值,所有函数值的集合构成了B样条插值点集Pij(i=0,1,…,M,j=0,1,…,N);
(7)利用点集Pij作B样条插值曲面,生成B样条插值网格曲面;
(8)根据误差分析进行网格调整,提高逼近精度.设第h块数据点集sh={qi(i=1,2,…,nh)},所对应的函数值为f的值,从而求得所有区域的径向插值曲面方程,利用求得的分块径向插值曲面方程,我们可以求出步骤(3)中网格点所对应的函数值,从而取得B样条插值点集Pij(i=0,1,…,M,j=0,1,…,N).于是,待求的B样条插值曲面方程为利用参考文献中的方法,即可求得所要的B样条插值曲面.
3算法实例分析
由前面几节的论述可以看出,笔者提出的基于径向基函数和B样条的散乱数据拟合算法是一个逐步实现的过程.本文采用基于高斯基函数和双三次B样条进行具体计算.高斯函数插值法的数学模型为双三次B样条插值曲面方程为:下面介绍两个具体的计算实例,不失一般性,我们取两组不容易画网格的散乱数据点.图1给出了两组原始数据点在XOY平面上的投影点集分块以及划分网格.图2给出了两个由高斯分块插值曲面上的网格点生成的双三次B样条插值曲面(网格较稀疏).图3给出了两个由高斯分块插值曲面上的网格点生成的双三次B样条插值曲面(网格较密).从拟合曲面的生成过程可知,用本文方法生成的曲面形状和逼近精度与各高斯分块的α值以及预处理网格点的疏密程度有关.表1给出第一组散乱数据的各参数变化对曲面最终逼近精度的影响情况,其中qs表示原始数据点,Qs为原始数据点对应的生成曲面上的点,即qs与Qs在XOY平面上具有相同的投影,mxqs-Qs表示qs与Qs的最大误差,1/n∑qs-Qs表示qs与Qs的平均误差.显然,适当选取各分块的值对曲面拟合结果有一定的影响,通过网格点预处理加密可以有效地提高逼近精度.表1各参数变化对曲面最终逼近精度的影响情况各参数取值图1两组原始数据点在XOY平面上的投影点集分块以及划分网格
图2由斯插值曲面上的网格点生成的B样条插曲面 图3由斯插值曲面上的网格点生成的B样条插曲面
4结论
由前面的论述可以看出,本文提出的算法具有以下优点:
(1)较好地解决了径向基函数插值方法插值大量散乱数据的计算不稳定性问题;
(2)较好地解决了张量积B样条插值曲面不适合于插值非矩形网格数据问题;
数学建模插值法范文第5篇
由于现代化信息技术的进步发展，岩土工程勘察和工程设计也得到了进一步的提升，然而限于一些客观因素和综合条件，岩土工程勘察设计还是存在不少有待改进的地方，如勘察资料太过地质专业化，不同领域专业设计内系统联系不足，封闭独立性强，尤其是数字化地图和设计系统之间缺乏贯通。另外部分行业工程还存在设计系统软件功能不完善、勘察信息技术化程度较低，使得其综合系统空间特征分析能力和数据研究结果与市场行情不符，也落后于实际功能使用。为确保有效克服并改善这一现状，就必须要构建岩土工程勘察数字一体化系统，确保该多专业学科综合系统能够在统一框架结构和和谐工作环境中进行勘察、设计，确保其系统工程设计和具体实施的准确性和有效性能够大大提高，这也有利于提高岩土工程勘察设计工作效率和质量。一般岩土工程勘察一体化主要包括纵横向一体化和松散密切一体化，所谓的岩土工程勘察一体化，则是借助岩土工程勘察测绘技术，依据其相应工程数据库系统，利用网络通信和CAD手段通过相应计算机软件来有机集成并整合工程项目所有相关信息，并构建相应的计算机辅助信息处理程序，使得岩土工程勘察能够由原来的手工完成转变为现代化CAD技术完成，这种岩土工程勘察一体化系统能够有效进行信息化数据采集、数字化综合处理勘察资料、自动化处理图文信息，高效智能化实现工程设计，由于该信息系统能够产生极大的社会价值和应用价值，在加上其创立构建的全新数据分析流程也需要结合工程项目实际工作进行，因此岩土工程勘察系统中的地理信息系统、地质统计信息、岩土工程建模、数据库系统等等也必须要充分引进市场先进计算机体系和行业经验信息，这样才能够使得该系统在实际工作中发挥其应有的价值和功能，才能够使得其岩土工程勘察设计工作做到最佳，从而给我国社会带去更多的经济效益。
2岩土工程场地方域数字化—地理信息系统
岩土工程场地方域数字化也就是岩土工程项目地理信息系统，简称GIS，基于互联网技术的WebGIS具备分布式应用结构、广泛的访问范围、独立的平台和成本低的系统，这门系统涵盖了计算机信息科学技术、地理学等多门学科知识，主要是在计算机硬、软件和系统信息科学理论支持下，科学综合分析和规范管理空间物理力学信息的地理数据，从而为该工程项目决策规划和管理研究提供所需信息，这对各种野外场地工程勘察测量工作极为有利。虽然地理信息系统与岩土工程勘察设计一体化是不同领域，然而岩土工程力学信息里面包含了诸多地理信息，这些信息都与空间坐标相关，而后者工作必须在空间信息基础上进行设计分析、评估决策，也就是说岩土工程勘察设计需要全面地理信息的支持，而地理信息系统则就是有效采集、管理和分析各种空间信息的系统，因此将地理信息系统综合运用到岩土工程勘察设计工作中就能够充分借助GIS强大的数据采集、空间分析查询和管理效能来对岩土工程勘察设计、具体实施所需多种信息进行准确分析和高效管理，与传统勘察设计相比，地理信息技术应用优势十分明显：首先，地理信息系统采集处理数据快速且高效，其数据采集质量更高，数据来源更广；其次，岩土工程勘察设计数据内容复杂，形式多样，而地理信息数据库就能够准确描述表达空间实体，且其图形、图像和属性数据高度集成准确，从而为勘察设计信息、科学构建规范专业设计、分析评价和辅助决策模型提供了全面信息支持功能；然后，GIS中拓扑叠加、缓冲区、数字地形等空间分析功能也能够发挥其良好的分析效能；最后，GIS还具备高效的可视化操作效能，从而使得岩土工程勘察设计可视化操作平台成为可能。
3岩土工程场地物性数字化——地质统计学
所谓的地质统计学主要是基于区域化变量理论基础上发展起来的，通过变异函数来研究分析不同空间随机分布的结构性数据以及它们之间的空间格局变异状况，然后对这些数据进行专业评估分析或者模拟相关数据离散波动性，该学科包含了典统计学和空间统计学知识，主要就是针对地理地质的特征进行分析。在岩土工程勘察设计中，其勘察岩土性质与地质历史和应力等密切相关，尤其是岩土物性指标与其所处空间位置有很大联系，具备一定的空间相关性，而且这种相关性能够在土层随意两点中体现出来，且两点距离越大，其相关性会随之减少，反之则增加。一般描述岩土空间自然相关性主要借助随机场模型，利用方差折减系数来联系岩土物性中“点”与其所处空间的变异性来综合反映计算岩土物性相关距离，在分析岩土工程可靠性时就要依据该数据，这也是岩土工程可靠度研究的重要基础计算分析工作。岩土物性参数统计中，相关距离是其中重要的参数之一，一般土层剖面岩土物性完全相关距离以内，两点岩土物性完全相关，在限定相关距离意外，两点岩土物性相互独立，因此只要计算某工程特定土层岩土物性参数相关距离就能够直观了解该岩土地质物性状况，其相关距离计算方法主要有平均零跨法、相关函数法、递推平均法、回归模拟法等等，不同方法都有其相应的理论依据，其应用难易度和可靠度也都各有差异，各有其优势。
4岩土工程场地地层数字化——岩土工程建模
不同领域行业内都有其相应模型，如城市规划模型、机制模型、计算模型、演化模型等等，可以说所谓的模型就是依据数据实物、工程设计图纸与构思来按照其主要属性特性、比例和生态状况来构建相似物体图件，从而有效显示或揭示该类事物问题，而在岩土工程勘测工作中，其岩土工程地质模型就是利用工程性质将其工程岩土条件要上按照实际存在状况清晰简明表示在地图图形中，也就是能充分反映工程与地质条件相互联系依存的图示。借助该模型能够和那后拉近地质与岩土工程之间距离，有利于工程勘察设计人员深入掌握认识和准确应用岩土工程数据结果，能够使得岩土工程信息研究利用工作得到深化，使得工程岩土变形破坏等关键条件工作信息更准确，有效推动了地质工程结合后其岩土变形规律、物理效应等理论实用工作的快速进行，从而使得岩土工程信息研究工作方面得到更大的实质性进展。不同的岩土工程其构造规模、起因、形态结构都有一定差别，而这些地质构造基本都可以抽象认为是点线面体等元素的集合，所谓的点元素集合就是指测点、线元素集合就是指地质剖面线、面元素集合则是指人工填土厚面等、体元素集合就是地下岩体形状特征。不同地质对象都有一定空间位置范围，具备一定形态地质特征，且与其他地质对象有一定空间关系，因此地质对象主要特征就是空间、属性以及空间关系等特征。一般地质对象能够依据地质体形状产状来分析其表征，然后根据地质对象的年代、岩性、空隙渗透率、含水和力学等不同属性参数来分析其空间分布状况，一般岩体地质对象空间上主要表现邻接、包含相离等拓扑关系。因此构建岩土工程模型就要基于岩土工程空间特征、岩土工程属性等之间对照关系来进行，其构建模型依据就是利用人们对外界客观信息认知的精炼和图示，主要根据工程信息数据来源、质量来筛选已有资料，目前是预测某个或者多个工程地质变量的空间变化规律。岩土工程地质建模工作主要通过精确表示工程地质体外表来描述该地质对象的建模方法，也就是表面模型法。岩土工程地质建模有可视性和可修改性等特征。所谓可视性就是指对岩土工程地质模型进行可视化表述，能够利用三维景观模式、掀盖层三维景观模式、投影值线模式以及切面模式等来表达，可修改性就是指工程地质模型如果在勘探工作中获得了新的数据信息，必须要对原有地质模型进行细化，或者岩土工程项目研究人员在不断研究下对地质模型有了新的体会和领悟也需要修改模型。在应用岩土工程地质模型中，核心关键部分就是根据某组已知离散、分区数据按照相应数学逻辑关系推算其他位置点、区域数据的计算过程，也就是空间数据插值过程，其中样点范围包括局部拟合、整体拟合，空间数据插值则又趋势面法、按距离平方反比加权插值法。另外应用关键技术就是项目工程勘察参数结构设计和地层处理模拟，前者体现场地岩土物理空间拓扑关系，后者体现不同生成地层空间叠加分布。只要根据具体需求模拟研究区域某点虚拟钻孔土层状况和虚拟岩土工程剖面图和相关属性等值线，并完成所有等值线搜索即完成其相关应用。
5岩土工程数据库系统
构建全方位、多层次和多角度的岩土工程数据库系统，其勘察所获数据必须要包括以下几点信息：第一，所有建筑工程在其施工场地的地层信息，也就是地层年代、液化等级、沉积现象、特征周期以及液化指数；第二，岩土工程勘察地理范围内的所有地址勘察资料；第三，通过科学筛选、分析处理后的不同勘察点，也就是土层物理力学、地理物理力学以及环境物理力学等相关指标信息。只有基于这些信息才能构建科学、完整有效的数据库系统，其步骤如下：首先，设计数据库相关概念模型。在岩土工程勘察一体化中，数据库信息管理是其基础功能，鞥能够良好解决繁杂、多元数据库应用过程中的系列问题，因此就可以立足于数据库的良好应用上科学构建合理应用型数据库表结构，这样才能够有效获取能完整表达地层信息数据的概念数据模型。其次，构建相应数据库。岩土工程勘察数据库系统主要包括用户输入初始化数据、系统转化的中间数据以及转化后最终形成的数据。用户输入的初始化数据主要是通过观察勘察探测点所得的数据组合；中间数据则是经过系统处理转化的、与底层层面密切相关的剖面模型、等值线模型以及三维表面模型数据；而最终数据种类较多，基本都是结合用户需求转化的文档、图形等资料。
6结语
