关于数学建模的问题

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关于数学建模的问题范文第1篇

关键词 数学建模 中学数学课堂 模块 解决问题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

早在1992年4月，国家教委颁布的数学教学大纲就指出“能够解决实际问题主要是指能解决带有实际意义和相关学科中的数学问题，以及解决日常生活和生产中的实际问题，在解决实际问题的过程中，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步培养他们分析问题和解决问题的能力，形成‘用数学’的意识。”实际上，分析解决实际问题的过程就是数学建模的过程，分析解决实际问题能力的实质是数学建模能力。于是，数学建模作为解决实际问题的一种思考逐渐得到重视和发展。现今已经有许多的数学教育研究者和数学教育事业的从业者开始尝试把数学建模思想渗入到中学数学课堂中，让学生在学习基础知识的同时，通过数学建模知识的深入，使自身解决实际问题的能力得到提高。

该如何把数学建模的思想渗入中学数学课堂中呢？在看过一些数学教育研究者关于数学建模教学的文章后，结合自身在中学从教的实践工作的情况，得到启示，我们是不是也能把数学建模的思想也相应地进行模块化的分析和整理，结合中学数学内容的模块划分，再把它渗入到中学数学课堂中呢？下面笔者将对这一想法结合具体实例进行阐述：

1 函数模型

用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要、最常用的方法。两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。

下面有一道例题是关于函数问题的，可以在讲授完如何求函数最大最小值问题时，给学生这样一道类型的题目，把建立函数模型的思想渗入课堂教学中：

例1 某旅馆有150个客房。经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：如果客房定价为160元，入住率为55%；每间客房定价为140元，入住率为65%；每间客房定价120元，入住率为75%；每间客房定价为100元，入住率为85%。欲使每天收入最高，问每间住房的定价应是多少？

经分析，为了建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下假设：假设l：在无其它信息时，不妨设每间客房的最高定价为160元；假设2：根据经理提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长；假设3：设旅馆每间客房定价相等。

模型建立：

分析：面对这一道题目，首先我们可以发现有三组条件，即对于不同的定价，会有不同的入住率，另一个就是一共有的总房间数，现在要求的是定价为多少时，旅店一天的收入是多少。这是一道有实际背景意义的题目，我们需要抓住的是“旅店的一天收入=当天每间房间的定价该定价所对应的入住房间数”，以这为依据建立函数模型。因为这道题涉及的是求函数的最大最小值，在通常情况下当函数式建立整理完毕后，我们会采用配方的方法，再根据相应的条件求出最大最小值，下面的所提供的这道题的解法就是采用了这样的方法。

根据题意，设表示旅馆一天的总收入，为与160元相比降低的房价。

由假设2，可得每降低1元房价，入住率增加为=0.005

因此旅馆一天的总收入为： =150（160）（0.55+0.005）……（1）

分析：由题目所给出的条件，我们可以看出解决这道题需要通过作图，所以我们首先要做的就是要按照题目给出的条件作出正确和恰当的图，不难得出这是一道关于三角的问题，如图2，根据图形我们就需要用到三角的相关知识，于是我们就可以试着建立三角模型来解决。

评析：这是一道关于三角问题的题目，在解题过程中经历了建立三角模型以及解三角模型的过程，用三角模型解决问题的思想贯穿整个过程。题中综合运用了三角形的相关几何知识和三角函数的知识来解决问题，题目最后的提问具有探索意味，能激发学生的兴趣和思考，在课堂中讲完相关知识点后给出上述例题，既能加深对知识的认识和掌握程度，同时也能初步学会用建立三角模型的方法来解决一些问题。

数学建模的思想是重要的，数学建模的方法是有效、实用的。对于其在现实状况下如何渗入当今的中学数学课堂，这需要许多的从事数学教育的研究者去思考，需要许多的中学数学教师去尝试，去实践。这篇论文仅是经过参阅多位数学教育工作者的著作观点并结合笔者自身在中学实践中得到的体会而写就的，对于如何把数学建模思想渗入中学数学课堂的方式做了一次探讨，必定需要多次实践检验，不断完善。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：高等教育出版社，2003：12，24，102-103.

[2] 黄忠裕.初等数学建模[M].成都：四川大学出版社，2004：6，16，33，56，79.

[3] 潘小明.试论中学数学与建模教育[J].吉安师专学报（自然科学），1999.12.

[4] 冯永明，张启凡.对“中学数学建模教学”的探讨[J].数学教育学报，2000.5.

[5] 杨序及.初等数学建模实验[J].川北教育学院学报，2002.11.

[6] 袁竞成.中学数学应用问题与数学建模的差异研究[J].中学数学教学参考，2001.7.

[7] 唐勇.对中学数学建模的认识与思考[J].攀枝花学院学报，2005.2.

[8] 卢雪梅.实际生活与建模[J].黔东南民族师范高等专科学校学报，2005.6.

[9] 袁震东.数学建模与中学数学[J].数学教学，2005.1.

[10] 黄乐华.中学数学建模的理论与实践思考[J].龙岩师专学报，2003.12.

关于数学建模的问题范文第2篇

关键词：数学建模；案例教学；策略

中学数学建模案例教学的环节是创设实际问题情境，引导学生理解实际情境并将实际问题用数学语言描述出来，进而抽象简化成数学模型，然后利用数学知识求解数学模型解答实际问题，同时检验和完善数学模型，在教学过程中，学生需要借助数学知识、数学思想与方法来分析与解决问题，教师若想在教学过程中不仅重视数学模型知识的教学，而且还想提高学生的数学应用意识和数学思维能力，则需重视教学过程中的理论指导，不断探索有效的教学策略，文章以建构主义理论为指导，通过教学实践与探索，研究得出关于中学数学建模案例教学中应把握好的教学策略。

1 数学建模在中学数学教学中的作用

1.1 什么是数学建模

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。

1.2 数学建模在中学数学教学中的作用

数学建模是中学开展探究性学习的好题材。数学建模包含了合作学习、自主学习和探究性学习的诸多因素和作用。数学建模是提高参与者数学素养的一种很好的形式。越来越多的国内教育工作者都有这样的认识：数学知识的掌握不全是教出来的，而是自己做出来的，数学建模正好是一个学数学、用数学、做数学的过程，它体现了学和用的统一。

2 中学数学建模案例教学的研究策略

2.1 数学建模案例教学应与教学过程有机结合

数学建模的案例教学对教师来说，教师的主导作用体现在通过设置恰当的问题、适时地点拨来激发学生自主探索解决问题的积极性和创造性上，学生的主体作用体现在问题的探索发现，解决的深度和方式上，由学生自主控制和完成。这种以学生为主体、以教师为主导的课堂教学结构体现了教学过程由以教为主到以学为主的重心的转移。课堂的主活动不是教师的讲授，而是学生自主的自学、探索、发现解决问题。教师应该平等地参与学生的探索、学习活动，及时发现学生在建模过程中遇到的问题并加以提示与诱导，教师不应只是“讲演者”，不应“总是正确的指导者”，而应不时扮演下列角色：模特、参与者、询问者、仲裁者和鉴赏者。

2.2 数学建模活动中应强调学生的主动参与

现代建构主义理论，强调学生的自主参与，认为数学学习过程是一个自我的建构过程，在数学建模活动过程中，教师要引导学生主动参与，自主进行问题探索学习。发展性教学论指出：教学活动作为学生发展的重要基础，首先是学生主动参与，其目的是促进学生个性发展。要体现学生主体性，就要为学生提供参与的机会，激发学生学习热情，及时肯定学生学习效果，设置愉快情境，使学生充分展示自己的才华，不断体验获得新知，解决问题的愉悦。在建模活动过程中，教师不是以一个专家、权威的角色出现，而是要根据现实情况，采取一切可以调动积极性的策略来鼓励学生主动参与到建模的思维活动中来，切忌将个人的意志强加给学生而影响学生个性的充分发展。

2.3 数学建模案例教学过程应强调合作功能

学习者与周围环境的交互作用，对于知识意义的建构起着关键性作用.建模过程中，学生之间由于个体知识经验和认知水平、心理构成存在差异，对于同一问题，每个学生的关注点不会相同，对问题的思考和理解必然也不一样。案例教学过程中应强调学生在教师的组织和引导下一起讨论交流观点，进行协商和辩论，发现问题的不同侧面和解决途径，得出正确的结论，共享群体思维与智慧的成果，以达到整个学习共同体完成所学知识的意义建构.这种合作、交流可以激活学生原有的知识经验，从中获得补充，发展自己的见解，为建立数学模型提供良好的条件.教学过程中，教师应当鼓励学生发现并提出不同的观点和思路，对于同一问题的理解，也要鼓励学生根据自己的思维，自主、创新的寻找解决问题的方法，不断提高学生综合运用知识的能力，不断积累运用数学知识解决实际问题的经验，提高学生的数学建模意识和建模能力。

2.4 数学建模案例教学过程中应强调数学思想的教学，强调数学思维的培养

高中数学建模的案例教学过程中，蕴含着许多的数学思想方法。教学过程中教师应把建模知识的讲授与数学思想方法的教学有机地结合起来，在讲授建模知识的同时，更突出数学思想方法的教学。首先是数学建模中化归思想方法，还可根据不同的实际问题渗透函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、类比归纳与联想思想及探索思想，还可向学生介绍消元法、换元法、待定系数法、配方法、反证法等数学方法。只要教师在高中数学建模教学中注重全方位渗透数学思想方法，就可以让学生从本质上理解数学建模思想，就可以把数学建模知识内化为学生的心智素质。同时，数学建模活动由于其本身的特性，抽象、概括、逻辑性强，因而数学建模活动是高中生进行创新思维训练、智力发展的最好的载体，为了发展学生的智力，在数学建模教学中应改变只偏重建模知识而忽视智力发展的现状，加强对学生思维能力的培养，学生在数学建模学习过程中，特别强调要提高分析问题解决问题的能力，发展学生的数学应用意识与数学建模思想，提高学生的创新思维能力。

2.5 案例教学过程中应强调信息技术的使用

在案例教学的过程中，强调计算工具的使用并不仅仅是指在计算过程中使用计算工具，更重要的方面是在猜想、探索、发现、模拟、证明、作图、检验中使用计算工具。对于水平较高的学生，教师可以引导他们把计算机的使用和“微型的科研”过程结合起来，让学生尝试自己提出问题、设计求解方案、使用计算工具，最终解决问题，进而找到更深入的问题，从而在数学建模的过程中逐渐得到科研的体验。

2.6 案例教学过程中要强调非智力因素发展

非智力因素包括动机、兴趣、情感、意志、态度等，在数学建模案例教学过程中培养学生的非智力因素就是要使学生对数学建模具有强烈的求知欲，积极的情绪，良好的学习动机，顽强的意志，坚定的信念和主动进取的心理品质.在高中数学建模案例教学中教师可根据高中生的心理发展水平和具体情况，结合高中数学建模的具体内容，采取灵活多样的形式，讲解数学建模的范例在日常生活、社会各行业中的应用，激发学生强烈的求知欲，树立正确的学习动机。激发学生参加数学建模活动的强烈兴趣，让学生充分体会数学建模的实用性、趣味性.

3 在数学建模案例教学中的存在的一些问题

3.1长期以来，我国的中学数学教育理念受传统的中国文化和教学教育模式的影响较为深刻。就教育观来说，基本方式是“苦读+考试”；就数学观来说，依然是“计算+逻辑”。培养出来的学生大多高分低能，学生往往能够迅速识别题型，套用解题的技巧与方法，但对处理实际生活中的数学问题，他们显得束手无策。

3.2中学学校数学教学改革偏重于对教的研究，但对于学生是如何学的、学的活动是如何安排的，往往较少问津。我们的学生对非常规的求异思维，对未知领域的较深程度的探索显得不足。

3.3受社会风气影响，大多数中学生整体素质下移，学生数学基础普遍偏差，对数学课缺乏兴趣，存在厌学情绪。

总之，在中学数学建模的案例教学过程中，教师应把学生当做问题解决的主体，不要仅仅是把问题解决的过程展示给学生看。问题坏境与问题解决过程的创设应有利于发挥学生的主动性、创造性和协作精神，让学生能把学习知识、应用知识、探索发现、使用计算机工具、培养良好的科学态度与思维品质更好的结合起来，使学生在问题解决的过程中得到学数学、用数学的实际体验。从而提高案例教学课的教学效率，提高学生的数学思维能力与建模能力。

参考文献

[1]张可锋.新课标下的高中数学建模.教育研究，2011（9）.

[2]李炳照.数学建模思想融入数学类课程的思考与实践.高等理科教育，2006（10）.

[3]袁震东编著.高中数学-数学建模 . 华东师范大学出版社

[4]岳卫芬 硕士论文.关于数学学习策略及其教学研究. 华中师范大学2005年

关于数学建模的问题范文第3篇

关键词：数学建模 调研 海南高校 精品课程

一、调研的基本情况

在海南省建设国际旅游岛的过程中遇到的如环境监测、能源优化和景点规划等一系列实际问题如何建模解决成为了海南省内外人士关注的问题，同时在全国大学生数学建模竞赛以及美赛的推动下，海南省各高校逐步开始建设具有自己特色的数学建模工作，致力于为建设国际旅游岛奉献一份力量。本文将对此进行一系列调研分析。

1.数学建模是什么。

数学建模是用数学语言描述实际现象的过程，运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

2.对学校和学生的影响。

全国大学生数学建模竞赛在与“挑战杯”创业大赛和“外研杯”英语演讲比赛组成大学生的三大项国赛中，其是要求学生知识全面、大脑灵活、开拓创新和坚持不懈并且最容易获得奖项的国赛。对学校而言：①数学建模可以提高高校教师的素质；②可以提升学校的综合实力；③为学校优秀毕业生争取更多的保研资格等。对学生而言：①数学建模过程中的信息收集处理、分析解决问题和语言文字表达能力的培养对日后的毕业设计具有很大影响；②数学建模过程中的思考与团结互助对学术的创新研究具有促进作用；③数学建模还可以让学生深切感受、理解知识产生和发展的过程等。

为了直观展示调研结果，我们将所得数据整合如表1所示。

由表1，海南省各高校数学建模指导率为56.25%，其中本科指导率为100%，专科为30%，可知专科院校指导力度不够；另外，对于多数综合性大学，其在数学建模的参与获奖方面均远远高于文科或医科等，得知多数非综合性大学的学生综合素质相对欠缺。我们了解了海南省各高校数学建模的现状：各自发展，本科优势很大，专科较为落后。

5、案例分析。

为了更为清晰的展现海南省各高校数学建模的现状，以我比较熟悉也是自己亲身参加了培训的海南大学为例，简要研究其近十年来的发展。相关数据如图2。

从图2中可以明显的看出海南大学数学建模仅仅竞赛方面逐年提升，无论是参赛规模还是获奖数量，都有了很大的进步。

二、调研中发现的问题及相关思考

根据“数学中国论坛”不完全统计，以2012年全国大学生数学建模竞赛数据为例进行分析，如表2所示。

综上：海南赛区参赛规模上低于全国平均水平，我们猜测是海南高校少、学生少的原因；另外在全国奖获奖比率中海南赛区高于全国平均水平，说明参赛队员的综合能力较强。对于此，我们不得不产生以下的思考。

1.海南各高校是否有正式的数学建模实验室？

由于调查问卷回收不完整，所以统计不全面。目前知道海南大学、海口经济学院和三亚学院等在内的多数高校具有该实验室，预计海南省各高校数学建模实验室拥有率约为70%，主要集中在本科院校。

2.本科与专科间的差距最主要原因是不是因为指导老师能力问题？

数据显示本科高校在数学建模方面建设工作做的较为完善，远远优于专科院校，我们考虑可能是因为多数本科教师综合能力强于专科教师，且本科学生的基础知识掌握由于专本科学生也是一个重要原因。

3.各高校对数学建模建设工作中所投入的人力物力是否合理？

本文曾试这收集关于各高校人力物力投入的相关信息，但是所获不多，就海南大学而言，个人感觉在人力上从培训到指导都有多名专业的指导老师，物力上优秀组别有学校免费报名，这极大地激发了学生们参赛的热情，大大的推动了海南大学数学建模建设工作的进行。

三、调研的结论与相关建议

综合以上分析，我们得出：①海南省各高校近年来参加全国大学生数学建模竞赛的学校在逐步增加，其中本科尤为明显；②海南省参与全国大学生数学建模时获得全国奖的比率高于全国平均水平；③海南省各高校自身的数学建模指导或是课程开设覆盖率50%，不利于学生对数学建模兴趣的培养，思维的启发和数学建模知识体系的完善。

针对以上结论和对数学建模的自身了解，并结合现阶段海南各高校数学建模水平提出以下建议：①创建专业的数学建模实验室，增加数学建模专业指导老师，对学校热爱数学建模的学生进行正确的引导，对其完成的任务进行指导，以提升学生对数学建模的热爱；②开设数学建模精品课程。数学建模作为21世纪最广泛的学术研究，是解决实际问题的有效数学方法，也是高校各科综合体现的最佳手段，我们应将其增加为我们的精品课程，以培养学生自主创新、思维活跃的综合能力，从而为祖国培养栋梁、为海南建设国际旅游岛培养人才增添一份动力。

参考文献：

[1]李绍波，朱宁.地方高校数学建模教学团队建设探讨[J].广西.广西教育2012.31

[2]林李.“数学建模”课程建设的几点思考[J].广西.广西财经学院学报.2006.10.

关于数学建模的问题范文第4篇

关键词： 数学建模 线性代数数学 思想渗透

1.引言

线性代数是理工科各专业数学教学的主要课程之一[1]，教学主要是偏重自身的理论体系，强调其基本定义、定理及其证明，其教学特点是：概念多，符号多，运算法则多，容易混淆，内容上具有较高的抽象性、逻辑性.通过线性代数的学习可以培养学生的推理能力和逻辑思维能力.传统教学中基本采用重概念，重计算的思路方法，这样教学的结果只是让学生感觉到学习线性代数的抽象性、逻辑性，并没有体现出它的实用性，从而造成了学生学习线性代数的障碍和困难，以致学生毕业后不懂得如何运用学过的数学知识解决实际问题.因此线性代数教学的效果直接影响学生在实践中对数学的应用能力.本文结合线性代数课程内容的特点与教学实践，探讨了如何在线性代数教学中渗透数学建模的思想，丰富课堂教学的内涵，有效提高课堂教学质量.

2.数学建模的本质

数学建模就是运用数学的语言和方法建立数学模型[2].而数学模型是根据现实世界某一现象特有的内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一种抽象简化的数学结构.这些结构可以是方程、公式，算法、表格、图示，等等.如何在线性代数教学中渗透数学建模思想，对于培养学生学习线性代数的兴趣，提高学生的思维创新能力有重要作用.

数学建模是利用数学工具解决实际问题的动态过程，这就特别体现了“用数学”的思想.自20世纪80年代以来，数学建模教学开始进入我国大学课堂，至今绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效途径.从1992年起，由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，二十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展.每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛.2013年，来自全国33个省/市/自治区（包括香港和澳门特区）及新加坡、印度和马来西亚的1326所院校、23339个队（其中本科组19892队、专科组3447队）、70000多名大学生报名参加本项竞赛.全国大学生数学建模竞赛已经成为社会和学界普遍关注的一项大学生课外科技活动.

3.数学建模思想的渗透

（1）在定义教学中渗透数学建模思想

线性代数中的基本定义都是从实际问题中抽象概括得出的，因此在讲授线性代数定义时，可借助定义产生的历史背景进行剖析.通过问题的提出、分析、归纳和总结过程的引入，使学生感受到由实际问题背景转化为数学定义的方式和方法，逐步培养学生的数学建模思想.例如：在讲述行列式定义时，可以模拟法国数学家Cauchy求解空间多面体模型体积的过程，从平行四边形面积和空间六面体体积出发，得到2阶和3阶行列式的基本公式，从而引发学生对高阶行列式公式推导的兴趣[3].在矩阵定义的引入时，可以从我国古代公元一世纪的《九章算术》说起，其第八章“方程”就提出了一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致.这是世界上最早的完整的线性方程组的解法.与线性代数中Cramer法则完全相同.公元四世纪的《孙子算经》建立了“鸡兔同笼”模型，实际上就是矩阵在线性方程组中的应用.这会极大地提高学生兴趣，形成爱国情怀.有了实际应用背景，学生的学习目的更明确.

（2）在例题教学中渗透数学建模思想

教材中的例题就是最简单的数学建模问题.因此，在讲授理论知识的同时，要选择一些现实问题引导学生进行分析，通过适当的简化和合理的假设，建立简单的数学模型并进行求解，解释现实问题.这样既让学生了解了数学建模的基本思想，又让学生体会了线性代数在解决现实问题中的重要作用，提高了学生分析问题和解决问题的能力.

例：假定某地人口总数保持不变，每年有5%的农村人口流入城镇，有1%的城镇人口流入农村.问该地的城镇人口与农村人口的分布最终是否会趋于一个“稳定状态”.

对于不同的专业，可以有所侧重地补充不同类型的模型，例如：在线性方程组教学时，对于数学专业的学生，可以加入不定方程组类的模型；在线性变换教学时，对于信息专业的学生，可以加入关于计算机图形处理模型；在矩阵教学时，对于土木专业的学生，可以加入弹性钢梁受力形变模型等.

（3）在数学建模的过程中领悟线性代数的理论

利用课余时间，进行数学建模培训，在建模过程中，不断加深和巩固课堂教学内容.例如：交通流模型、人口增长模型、保险模型、传染病模型等[4].在建模时会应用到行列式、矩阵、特征向量等知识的应用.某种意义上，数学建模就是一个小型的科研活动，通过此项活动培养学生应用所学知识解决具体问题的能力.

4.结语

在线性代数教学中融入数学建模思想，在数学建模过程中充分应用线性代数的理论[5]，不仅可以深化教学改革[6]，激发学生学习线性代数的兴趣，使学生了解数学知识在实际生活中的应用，还能提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，为后续课程的学习打下坚实的基础，真正做到“学以致用”.这对大学数学的教学改革和课程建设都将起到积极的推动作用.

参考文献：

[1]陈凤娟.线性代数的教学研究[J].高师理科学刊，2012，32（1）：74-76.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]DavidcL.线性代数及其应用[M].沈复兴，译.北京：人民邮电出版社，2007.

[4]马知恩，周一仓，王稳地，靳祯.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京：科学出版社，2004.

关于数学建模的问题范文第5篇

［关键词］ 初中数学；数学建模；函数；能力；培养

《初中数学新课程标准》指出：数学要致力于学生思维的培养、动手能力的提高，以及注重其数学实际运用能力，将形式化的数学通过学生主动的建构和自我认知，形成牢固的知识体系，并能在实际问题中熟练运用． 结合笔者教学的经验，笔者认为数学实际运用能力相对于传统数学知识而言，体现在数学应用型问题和数学建模之上．何为数学建模呢？用数学教育家佛莱登塔尔的话来说：就是把实际问题转换为一种抽象情境下的数学问题，通过解决数学问题进而解决实际问题的一种模式，其基本思路如图1所示.

传统的数学课程比较注重理论性的数学知识，并且过于注重知识的连接性和反复性、熟练性，久而久之形成了我国特有的中学数学教学特色：即扎实的双基、创新的不足以及动手能力的缺失． 近年来，新课程持续的开展正是为了解决上述问题，在教材中较多的出现了以应用型问题为背景的数学试题，这正是数学建模在初中数学中较为合理的表现形式． 下面，笔者结合苏教版实际教学案例，浅谈初中生数学建模能力的培养．

■ 从几何图形中培养建模思想

例1如图2所示，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径. （2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长. （3）求点B1到最短路径的距离．

分析?摇 本题为中考原型问题，其将“教材最基本的对称模型思想”放到一个具体的几何图形模型中，解决此问题的关键是指导学生将实际问题（空间几何）转化为平面问题，利用对称最短路径思想基本原型求解．在这里，我们将实际问题蚂蚁爬行的最短路径转化为数学模型：两定点之间的最短距离问题．

解析?摇 （1）如图3所示，木柜的可见表面展开图是两个矩形，即ABC1′D1和ACC1A1． 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图3所示的AC1′和AC1.

（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，爬过的路径的长l1=■=■，蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2=■=■，l1>l2，最短路径的长是l2=■．

（3）作B1EAC1于点E，则B1E=■・AA1=■・5=■■为所求．

说明?摇 本题以实际应用型问题为背景，将距离和最值隐藏于问题的情境之中，其建模的角度在于，要求学生以教材中最基本的模型知识为保障，在分析最值可能产生的前提下，将蚂蚁爬行的几何图形问题转化为数学建模之后的距离最小问题，即两边之和的最小值问题．

下面来看看教材中本实际问题的数学原型：（1）点M，N在直线AB的异侧，在AB上找一点P，使点P到点M，N的距离和最小．

解决方法：如图4所示，利用三角形两边之和大于第三边可知，三点共线时距离和最小．

（2）已知点M，N在直线AB的同侧，在AB上找一点P，使点P到点M，N的距离和最小．

解决方法：将同侧点问题转化为异侧点问题，作点M关于直线AB的对称点，问题转化为教材基本模型（如图5所示）．

因此，培养学生将实际问题转化为抽象数学问题是值得教师不断研究的．

■ 从动态问题中培养建模思想

例2如图6所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，一只毛毛虫（P）从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，一只蜗牛（Q）从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，毛毛虫（P）、蜗牛（Q）分别从D，C同时出发，当蜗牛运动到点B时，毛毛虫随之停止运动，设运动时间为t秒.

（1）设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

分析?摇 本题为背景经过包装的实际应用型问题，其实质是点运动问题，在教学过程中教师要引导学生将数学本质挖掘出来，使其跃然纸上． 在解决问题的过程中，分类讨论数学思想也是必不可少的．

解析?摇 （1）由图可知，S=■×12×（16－t）=96－6t．

（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：

①若PQ=BQ，在RtPMQ中，PQ 2=t 2+12 2，由PQ 2=BQ 2，得t 2+12 2=（16－t） 2，解得t=■．

②若BP=BQ，在RtPMB中，BP 2=（16－2t） 2+12 2，由BP 2=BQ 2，得（16－2t） 2+12 2=（16－t） 2，无解，所以BP≠BQ．

③ 若PB=PQ，由PB 2=PQ 2得（16－2t） 2+12 2=t 2+12 2，解得t■=■，t■=16（不合题意，舍去）．

综合上面讨论可知，当t=■秒或t=■秒时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．

说明?摇 实际应用型问题在去情境时，要引导学生掌握抽象的数学化本质. 正确处理中考中常见动态应用型问题，有助于提高其“去情境、知本质”的数学建模思想．在转化为数学问题之后，问题所需要的基础知识是一种动态函数的思想，正确的分类和运算是解决问题的保障．笔者曾经用中考问题做过测试，能全部将三种分类计算正确的学生少之又少，他们出现的错误主要集中在基本运算、勾股定理使用、因式分解运算等匪夷所思的错误，因此平时提高教学也不能忽视在运算环节给予学生更多方面的指导．

■ 从函数问题中培养建模思想

例3一次足球赛中，某人对着球门练习射门，如图7所示，足球运行的轨迹是抛物线，其飞行高度记为y（m），且y是关于时间x（s）的函数，已知足球飞行1 s时，此时足球高度为2.44 m，足球从飞出到落地共用3 s．

（1）请写出高度y关于时间x的函数关系式.

（2）在飞行中足球高度能否达到4.88 m？请解释依据.

（3）若最后足球沿着球门左上角飞入球门，球门的高为2.44 m． 请问：离球门左边框12 m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框才能将足球击出？

分析?摇 围绕抛物线为数学本质建构的数学建模问题，是典型的中考应用型函数建模问题．关于此类函数建模的数学应用型问题，笔者建议：（1）了解与本类数学问题相关的函数模型；（2）建立合乎依据的数学函数类型；（3）将足球飞行轨迹的问题抽象为数学建模中的抛物线问题，极大地增强学生将实际问题数学化的能力．

解析?摇 （1）由题意，将问题转化为坐标系中的抛物线问题，如图8所示，令y=ax2+bx，依题可知：当x=1时，y=2.44；当x=3时，y=0．所以a+b=2.44，9a+3b=0， 解得a=－1.22，b=3.66，所以y=－1.22x2+3.66x．

（2）不能. 理由：由4.88=－1.22x2+3.66x化简得x2－3x+4=0，因为（－3）2－4×4

（3）由2.44=－1.22x 2+3.66x化简得x 2－3x+2=0，解得x■=1（舍去），x■=2. 所以平均速度至少为■=6（m/s）．

说明?摇 本题的实际背景是考查二次函数为背景的函数型数学建模问题，教师对应用型问题的教学指导要注重将学生从纯粹理论的解题中解放出来，善于从实际问题中抽象函数的本质，进一步提高其解决数学建模能力． 对函数型建模问题要多研究、多训练，提高学生从实际应用型问题中提炼不同函数的能力．

总之，新课程下的初中数学不再像传统教学一样只注重纯粹理论性的数学解题，更注重生活中数学的应用和培养学生解决实际问题的能力． 通过上述小结的三类问题，引发笔者产生了一些思考：

（1）数学建模在初中数学中的应用大都还是限于一些函数应用型问题的具体体现，在教学中教师要以这些应用型问题为背景，以学过的数学理论知识来解决实际问题，这对学生在脑海中产生数学建模的概念大有帮助.