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通过学习我们已经知道,数学建模就是以现实问题为特定对象,作必要、合理的简化与假设,经过分析、归纳,运用数学语言抽象出模型结构,并在实践中检验与完善的过程。将其引入数学教学之中,不仅符合数学自身的认识发展过程,也是以培养创新思维、应用能力为出发点的素质教育的客观要求。
《全日制义务教育数学课程标准》对数学建模提出了明确要求。“标准”中指出,“数学建模是数学学习的一种新的方式,它为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识;有助于激发学生学习数学的兴趣,发展学生的创新意识和实践能力”。实践证明,强化数学建模的能力,不仅能使学生更好地掌握数学基础知识,学会数学的基本思想和方法,也能增强学生应用数学的意识,比较全面的认识数学及其与社会、科学和技术的关系,提高分析问题,解决实际问题的能力。解决这类问题体现在数学建模思维过程中,要根据所掌握的信息和背景材料,对问题加以变形,使问题简单化,且重要过程是根据题意建立函数、方程(或方程组)、不等式(组)等数学模型。使学生明白:数学建模过程就是通过观察、类比、归纳、分析、等数学思想,构造新的数学模型来解决问题。数学建模的关键是善于通过对实际问题的分析,抓住其本质,联想相应的数学知识,建立数学表达式,并应用其性质找到解决问题的途径.
数学建模思想是指从实际问题中,发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程,它包括对实际问题进行抽象、简化、建立数学模型,求解数学模型,解释验证等步骤.数学建模思想广泛地体现在初中数学知识体系中,随着学生知识的增加,能力的增强,数学建模的类型也越来越丰富,初中数学建模的基本形式有方程(不等式)模型、函数模型、统计概率模型、几何模型等.。
数学建模的步骤及分析方法.数学建模由以下六个步骤完成:1、建模准备。要考虑实际问题的背景,明确建模的目的,掌握必要的数据资料,分析问题所涉及的量的关系,弄清其对象的本质特征。2、模型假设。根据实际问题的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言进行假设,选择有关键作用的变量和主要因素。3、建立模型。根据模型假设,着手建立数学模型,将利用适当的数学工具,建立各个量之间的定量或定性关系,初步形成数学模型。4、解出模型中的数学问题.利用数学知识解答求出所要解决的问题。5、还原实际问题.将已经解决的数学问题赋予它原来的实际意义,从而完成问题的解决。6、根据客观实际判断决定取舍以解答出数学问题的现实意义。
数学建模教学还有一个重要的作用就是培养学生探究科学的热情.强调遵循学生学习数学的心理规律,从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程.它提倡数学知识、数学能力、数学意识等目标的教育层次。
下面就初中数学教学中所涉及的基本数学模型进行应用举例
一、建立方程模型
例:某工程若由甲、乙两队合做6天完成,厂家需付甲、乙两队共8700元;若由乙、丙两队合做10天完成,厂家需付乙、丙两队共9500元;若由甲、丙两队合做,5天完成全部工程的2/3,厂家需付甲、丙两队共5500元。1.求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?2.若工期要求不超过15天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由。
略解:1.设甲队单独做x天完成,乙队单独做y天完成,丙队单独做z天完成,则有:
1/X+1/Y=1/6——(1);1/Z+1/Y=1/10——(2);1/X+1/Z=2/15——(3);(1)(2)(3)联立成方程组解出X=10;Y=15;Z=30.甲队做一天应付给a元,乙队做一天应付给b元,丙队做一天应付给C元,得出6(a+b)=8700——(1);10(c+b)=9500——(2);5(a+c)=5500——(3).联立方程组解得a=2550;b=2400;c=2050.按照要求从而求出答案。本题的解答过程体现了将实际问题简化抽象为数学问题,用数学语言、符号表达这一问题,然后建立方程模型、解出方程,再把数学问题还原为实际问题这一过程。
二、建立不等式模型
例(1998年河北省中考试题)某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克;计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件.已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克;生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料1O千克,按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来.
略解:设生产A种产品x件,则生产B种产品(50一x)件,依题意,得9x+4(50一x)≤360,3x+10(50一x)≤290.。x为整数,…x只能取30、31、32;相应的(50一x)的值应为:20、19、18,即有三种安排方案,设计方案见解(略)评注将实际问题中原料、产品的数量限制关系转化为数学模型—不等式组,再通过求解这个数学模型(解不等式组),就可以获得符合条件的安排方案.
三、建立函数模型
在数学应用题中,某些量的变化,通常都是遵循一定规律的,这些规律就是我们所说的函数。
例:某人将进价为8元的产品,按每件10元的价格出售,每天可以销售50件,若价格每提高1元销售量就减少5件.问此人将价格定为多少元时,可获得最大利润?
略解:设价格在10元的基础上再提高X元,则销售利润y=(2十x)(50一5x);显然,当X=4时,函数有最大值180,故销售价格应定为每件14元.这个定价也是符合现实意义的。解决本题的关键就是找到一种动态的等量关系,建立函数模型,然后依照数学知识解决这个数学问题,再回到实际问题中加以确定,最后得出所要求解的结论。
四、统计概率模型、几何模型等
数学建模思想的应用在统计学方面的研究也得到很好地体现,有些几何模型的建立往往依托几何图形中蕴藏的性质、定理或方程思想,在此就不再赘述。
关键词:初中数学;创新思想;建模理论
随着我国科教兴国战略的推进,教育体制的创新与改革对教学提出了新的要求。初中数学建模理论的引入,为数学课堂开辟了崭新的平台。利用数学建模思想,将实际问题展示给学生,让学生运用已经掌握的数学理论和知识,对其进行抽象概括,提炼出解决问题的方法。
一、数学建模思想的意义
教育的目标是培养学生的能力,对数学教师来说,将问题转换成数学模型的过程就是培养学生创新思维能力的过程,对于学生运用数学知识解决实际问题具有重要的意义。作为教育史上新的理论——建模理论,为数学课堂的教学带来了新的要求。建模本身就是一种对数学知识的应用过程,其内容取材于生活实际问题,其方法来源于已掌握的数学理论和方法,它通常需要学生具有敏锐的观察力、科学的思维能力和丰富的想象能力,它是对学生的智力和心理品质的综合考量。特别是数学建模竞赛的开展,不仅仅是对学生数学潜能的进一步挖掘,也是对学生积极探索知识的态度的充分考验,对于塑造学生的积极性、主动性、耐挫性等优良品质具有重要的作用。
二、数学建模教学应遵循的几个原则
1.数学建模过程中对问题的数学化要求
问题是数学建模的基础,也是数学建模所要解决的对象,只有将具体问题转换为数学化的模型,将文字语言转换为数字符号,才能使问题解决。这期间,需要在日常教学中注重对学生的阅读理解与想象能力进行培养,使学生从阅读中寻找线索,从理解中构建数学模型。
2.数学建模过程中要突出学生的主体地位
学生是课堂教育实施的主体,在教学过程中居于主角地位。在数学建模过程中,教师应该及时鼓励学生进行大胆的尝试和探索,在问题论述中多读、多想、多议,引导学生主动参与到探究问题的合作讨论中,通过不断渗透建模思想,激励学生集思广益总结出数学建模的规律。
3.数学建模过程中要把握适应性原则
在数学建模过程中,教师要对教学内容进行适当延伸和扩展,既要联系旧知识,又要适当拓宽知识渠道,与课堂教学实际相适应,确保数学知识的连贯性与过渡性。
4.数学建模过程中要注重渗透数学思想方法
数学思想方法是进行数学建模的精髓,它是学生构建数学模型的基础和支柱。由于面对千变万化的实际问题,只有科学地运用各种数学思想和方法才能从众多的实际问题中捋顺对应关系,如消元法、配比法、等价转换法、归纳类比法等。只有充分运用数学的知识和技能将数学思想转化为数学模型才能实现对数学建模的内化和掌握。
三、数学建模教学中的重点环节
1.积极创设数学问题情境,激发学生建模热情
结合学生的认知特点和对数学知识的掌握情况,从学生的实际出发适当选编问题作为学生建模的基础,并为学生在建模过程中提供必要的指导和充分的交流,以激发学生的建模热情。
2.概括问题,从问题中抽象出数学化模型
建模的过程就是对实际问题进行概括抽象的过程,通过对问题的交流、探讨与整理,抽象出数学化的式子或方程。在数学化的过程中,教师应作出及时调控,以便于学生从观察、猜测中形成正确的思路与方法。
3.对数学模型进行探究分析,形成数学素养
数学模型的建立过程,需要通过启发和指导,使学生获得对数学知识、思想和方法的真实体验,并从课题的分析和总结中受到数学素养的熏陶。
4.利用数学知识解决实际问题,享受成功的喜悦
问题的解决总是伴随着成功的体验,数学模型的建立为实际问题的解答打开了智慧的大门,学生在运用知识的过程中体验到了方法的重要和思想的威力。
总之,运用数学思想和方法建立数学模型是学生综合运用数学知识来解决现实问题的重要途径,它不仅需要学生具有较强的阅读理解能力,还需要学生对所掌握的数学知识进行分析、综合、比较、归纳,全面提升了学生的数学意识,提高了学生的探索能力和观察能力。
数学是一门高度抽象、逻辑性强的应用性学科,它不仅需要学生密切关注生活,从问题着手寻找线索,激发自己的学习潜力,锻炼思维能力,还需要学生将知识进行分析综合归类。更重要的是,数学建模在数学课堂的推广,为学生真正领略数学的奥妙与真谛创造了平台,提供了机会。
参考文献:
[1]余志成.中学数学建模序列化教学的理论与实证研究[D].江西师范大学,2006.
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889(2013)06B-0074-01
数学这门学科对于学生各种思维能力的培养有着重要的意义,但是,不少初中数学教师在教学过程中过于注重教授学生数学解题技巧,忽视培养学生的数学思维方式。本文通过对培养学生建模思维的必要性和实施方式进行探讨,以期能够为促进初中数学教育改革发展提供参考。
一、培养学生数学建模思想的必要性
数学建模属于一门应用数学,同时也是一种数学的思考方法,是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。
由于许多实际问题涉及的数据多且杂乱,学生面对诸多数据无所适从,不知应把哪个数据作为思维起点,从而找不到解决问题的突破口。例如:某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元。问题一:求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天支付的总费用最少?问题二:若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠,问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由。
本题涉及的量有:每天需用面粉6吨,每吨面粉价格1800,购买面粉运费每次900元,保管每吨面粉每天3元。需解决的第一个问题是多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少;第二个问题是在每次购进面粉不少于210吨的前提下,是否考虑9折优惠。在题目给出的诸多量中,从哪个量入手?建立怎样的数学模型?怎样解决问题最便捷?很多中学生对这些问题都比较陌生。
此外,不少学生还缺乏将实际问题转化为数学化的思维。数学模式的呈现形式是多种多样的,有的以函数显示,有的以方程显示,有的以图形显示,有的以不等式显示,有的以概率显示等,碰到实际问题时,如何判断这个实际问题与哪类数学知识相关,用什么样的数学方法解决问题,大部分的学生是回答不出的。例如:某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元,以后每年上交的利润是:甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的2/3,根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2 000万元可以解决温饱问题,达到8 000万元可以达到小康水平。问题一:若以2007年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题?问题二:试估算2015年底该乡能否达到小康水平?为什么?
事实上,学生阅读了以上两个题目,问其想到了什么数学知识,许多学生答不出来。主要原因就是学生存在把主要语言换成数学语言的转换障碍。数学语言主要指数学文字语言、图形语言和符号语言,是数学区别于其他学科的显著特征,数学语言简练、抽象、严谨,甚至有些晦涩。许多学生由于过不了数学语言关,符号化意识弱,无法把普通语言转化成数学语言,从而无法将实际问题建立起数学模型。
二、数学建模思想的培养
1.培养辨异对比的思维方式。对于某些空间思维不够发达的学生来讲,很难对数学概念和理论进行快速消化。这时候就需要教师引导学生进行辨异对比的思维方式的锻炼,让学生将一些知识点――尤其是比较相似的知识点或者是容易使用错误的知识点进行比较、分辨和运用,让学生在比较解析中明白知识点的差异,这样,通过错误指示的探讨推理,学生就会进一步明白自己的思维方式的漏洞,及时进行纠正,使自己的思维朝着正确的方向发展。
2.培养联系整体的思维方式。数学学科的特点是需要思维的扩散和联系,而建模思想的培养同样需要联系整体,所以培养学生建立整体思维也是教师的教学重点。教师在进行一个知识点的教学时,经常联系已经学习过或者即将学习的知识点进行联系教学,这也是整体思维的一种体现。
3.培养学生的求异思维。数学思维讲究灵活多变性,一个数学问题可以用多种思维方式来解析,相应的就会出现多种解题方式。教师在数学问题的解析上不要急于将自己的方法告诉学生,而是要引导学生从不同角度对其进行分析和探索,以提高思维的灵活性和拓宽思维空间。
4.培养学生的发散思维。教师要根据学生的具体情况,根据学生已掌握的知识,有意识地将知识点进行串联和深化结合,锻炼学生的发散思维,拓宽学生的思考界限,进而提升学生的数学思维能力。
关键词:高中数学;建模思想;运用
数学是解决生活问题的重要工具,在高中数学教学中运用建模思想,符合新课程标准对学生学习数学的要求,能够提高学生的创新能力和解决实际问题的能力。由于高中数学内容较为繁杂,而高中学生的心智模式还不成熟,教师在高中数学中运用建模思想时要根据学生的实际水平,并遵循一定的原则灵活运用。
一、数学建模的含义
1.数学模型与数学建模思想
数学模型是利用数学语言把某种事物的主要特征表述出来的一种数学结构,它主要反映数学的数量关系和空间形式。数学建模思想在数学问题和实际问题中都有着广泛应用,并随着计算机技术的不断发展,推动了数学建模知识的完善和普及。
2.高中数学建模要解决的问题
高中数学建模要解决的问题主要有三种:第一种,条件完全明确,问题有准确答案;第二种,条件不完全明确,需要在建模过程中对假设明确化;第三种,条件不明确,情况复杂,而且存在多个变量。在高中数学中建模一般步骤如下图所示:
二、高中数学教学中数学建模思想的具体运用
1.理顺数量关系,渗透线性规划思想
高中学生对事物有着好奇心和求知欲,但是他们的心智还不成熟,而数学建模需要具备灵活的思维方式,这就要教师在教学过程中帮助学生理顺数量关系,其中要用到一种重要的数学方法:线性规划。线性规划是辅助人们进行科学管理的一种数学方法,运用线性规划思想建立数学模型一般有以下三个步骤:首先,根据影响所要达到目的的因素找到决策变量;其次,由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数;再次,由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。这样我们得到的数学模型的目标函数为线性函数,约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
2.多角度思考建模,培养学生的发散性思维
发散性思维是一种扩散状态的思维模式,它表现为多维发散状,如一题多解、一物多用等,在数学教学中要运用多种方法解决一类问题,从多角度进行思考建模。主要的发散性思维方式有逆向思维、横向思维、平面思维、组合思维,这些思维方法都可以运用到数学建模中,从而帮助学生从全方位出发,建立数学模型。
3.理论联系实际,培养学生解决实际问题的能力
数学的学习是指向实用性的,高中数学的学习中经常会遇到很多与实际生活联系紧密的问题,如买房问题、银行贷款问题等,这些问题的解决方法能够指导学生的实际生活,因而在高中数学教学中教师要把数学和实际生活紧密联系起来建立数学模型,培养学生解决实际问题的能力。
数学建模思想的运用能够提高高中数学的课堂效率,能够提高学生学习数学的兴趣,因此在高中数学课堂中教师要引导学生从多角度出发建立数学模型,要帮助学生理顺数量关系,渗透数学建模思想,并理论联系实际,提高学生解决实际问题的能力。
参考文献:
[1]何明.新课改背景下的高中数学模型的建模研究[J].教育科学论坛,2009(12).
[2]王茜.构建数学模型 培养创新思维[J].成功:教育,2009(8).
[3]陆世标.数学建模在中学数学教学中的渗透和实例[J].南宁师范高等专科学校学报,2008(2).
[4]傅海伦.论课程标准下的数学建模教学的优化[J].中小学教师培训,2008(4).
关键词:初中数学;建模;障碍;心理;课堂活动
在素质教育全面落实的今天,加强对学生数学意识的培养,促进学生掌握正确的数学思想,是初中数学教学的重要内容。让学生从数学的角度分析实际问题,解决数学问题,会让学生的创造性思维得以形成,让学生意识到数学知识与实际的联系。加强数学建模的实施,创设符合初中生心理特点的数学课堂,会让初中数学教学的效率快速提高。
一、突破学生数学建模障碍,需要肯定学生主体地位
学生是数学学习活动的中心。而课堂中的老师、教材以及学习用具,都是学生的学习手段,是为了学生实现个人提高而服务的。在教学中,教师要肯定学生的主体地位,让学生具有主人翁意识,从而快速成为数学活动中的主角。在初中数学中进行建模教学,就决定了学生的主体地位。教师在教学活动中需要鼓励学生进行大胆尝试与探究,让学生在口头表达或者实践操作、思维运动中发现数学新知,在课堂中始终保持积极的状态。
比如,在讲解有关多姿多彩的图形相关知识时,教师需要在课堂中给学生一定的时间,让学生自己动手进行图形模型的制作,利用不同的图形去制作一个属于自己的数学艺术品。在动手过程中,学生需要思考自己的建模目标,测量相关数据,更需要针对图形的数学性质进行思考。在进行图形知识的讲解时,教师也要有效地渗透建模思想,从而引导学生与自己一起认识到数学建模的重要意义。
二、突破学生数学建模障碍,需要分层平等对待学生
在初中数学学习阶段,学生需要通过建模去有效地解决实际问题。但是,在传统数学教学体制的影响下,当代初中生的动手能力一般较差,数学知识的应用意识明显不足。在初中数学教学中实施建模教学,教师要从学生的数学学习能力出发,考虑每一个学生在数学学习中存在的差异。利用具有差异性的要求进行分别指导与教学,让学生确立起不同的数学建模学习目标,更容易满足学生的心理需求,让学生建立起数学学习的自信心。教师要多给予学生独立建模的机会,让学生独立去完成数学建模操作,让学生具有课堂体验感。在教学中,教师要多引导,多帮助,多鼓励,特别是对于中等学生来讲,要多启发,从而促进学生建模水平的提高。
比如,在讲解有关角的知识时,教师可以让中等及以上水平的学生自主完成一个建模小论文,对自己的建模目标进行确立,通过建模活动记录数学知识的开发过程与结果。而对于数学学习能力不足的学生,教师要多进行建模思想的渗透,为其安排相对容易的建模题目,不要求其完成建模记录。分层教学,会让数学教学活动符合全体学生的心理需求,促进教学活动效率的提高。
三、突破学生数学建模障碍,需要渗透数学思想方法
数学知识不是初中生数学学习的全部,掌握数学思想与方法,是数学学习的重点。学生只有掌握了正确的数学思想与方法,才能将数学学科知识与技能转化为自己的能力。要帮助学生突破建模学习的障碍,教师需要在建模教学过程中渗透科学的数学思想与方法。教师可以将方程思想、数形结合思想以及等价代换思想、换元法以及配方法等多种数学思想方法渗透于建模教学过程中。在建模教学中关注数学思想与方法的渗透,是满足初中生数学学习心理需要的重要手段。让学生感受到数学课堂的全面性,感受到数学知识的体系,这样能增强学生的心理学习动力。
比如,在讲解一元一次方程时,教师可以将数形结合的思想渗透到建模过程中,利用思想方法的融入帮助学生突破数学建模的障碍,让学生的建模学习更加轻松,从而创设一个符合学生心理的课堂。
四、突破学生数学建模障碍,需要强调数学的应用性
突破学生数学建模的障碍,就是为了让学生掌握应用数学知识的方法。将数学教学与生活问题进行有效的结合,在解决生活实际问题的过程中融入数学建模,会大大降低数学建模学习的难度,也会满足学生的心理需求。像在学习有关地板砖应用问题、教室内日光灯的排列方法等问题时,教师就可以利用建模活动引导学生解决问题。在学元一次方程时,教师可以利用鸡兔同笼的问题开展建模教学,让初中生在建模的过程中去分析问题,发现建模知识的应用性。当学生可以利用建模去快速解决问题,提升自己解决问题的效率时,他们就会产生数学建模学习的愉悦感,课堂氛围也会变得轻松起来,学生的心理需要也因此而得到满足。强调数学知识以及建模思想的应用性,调动学生的心理因素,有利于学生数学建模障碍的突破。
综上所述,对学生的数学建模能力进行培养,会让学生的数学应用意识得以形成,让初中数学教学满足教育改革的要求。数学建模不仅是一种重要的数学思想,更是学习数学的一种新方法。
参考文献: