数学建模经典算法
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数学建模经典算法范文第1篇
前言：数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。数学模型是一种模拟，是用数学符号，数学式子，程序，图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。在21世纪新时代下，信息技术的快速发展使得数学建模成了解决实际问题的一个重要的有效手段。
正文：自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。而数学建模作为数学方面的分支，在其中起到了关键性的作用。
谈到数学建模的过程，可以分为以下几个部分：
一.模型准备
了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。
二.模型假设
根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
三.模型建立
在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构。
四.模型计算
利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。其中需要应用到一些计算工具，如matlab。
五.模型分析
对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。
六.模型检验
将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
数学建模中比较重要的是，我们需要根据实际问题，适当调整，采取正确的数学建模方法，以较为准确地对实际问题发展的方向进行有据地预测，达到我们解决实际问题的目的，
在近些年，数学建模涉及到的实际问题有关于各个领域，包括病毒传播问题、人口增长预测问题、卫星的导航跟踪、环境质量的评价和预测等等，这些就能说明数学建模涉及领域之广泛，针对这些问题我们需要采取对应的数学建模方法，采用不同的数学模型，再综合起来分析，得出结论，这需要我们要有一定的数学基础和掌握一些应用数学方法，以适应各种实际问题类型的研究，也应该在一些数学方法的基础上，进行不断地拓展和延伸，这也是在新时代下对于数学工作者的基本要求，我们对数学建模的所能达到的要求就是实现对实际问题的定性分析达到定量的程度，更能直观地展现其中的内在关系，体现数学建模的巨大作用。
而在对数学建模中的数据处理中，我们往往采用十类算法：
一.蒙特卡罗算法
也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。如粒子输运问题。
二.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具，而在其中有一些要用到参数估计的方法，包括矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法。最基本的方法是最小二乘法和极大似然法。数据拟合在数学建模中常常有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系。
三.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现。它尤其适用于传统搜索方法难于解决的复杂和非线性问题，在运筹学和模糊数学中也有应用。
四.图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备，其中，图论具有广泛的应用价值,图论可将各种复杂的工程系统和管理问题用“图”来描述,然后用数学方法求得最优结果，图论是解决许多工程问题中算法设计的一种有效地数学模型,便于计算分析和计算机存储。
五.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。回溯算法是深度优先策略的典型应用，回溯算法就是沿着一条路向下走，如果此路不同了，则回溯到上一个分岔路，在选一条路走，一直这样递归下去，直到遍历万所有的路径。八皇后问题是回溯算法的一个经典问题，还有一个经典的应用场景就是迷宫问题。回溯算法是深度优先，那么分支限界法就是广度优先的一个经典的例子。回溯法一般来说是遍历整个解空间，获取问题的所有解，而分支限界法则是获取一个解。分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。即一种分目标完成程序算法，简单问题可用二分法完成。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
六.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
模拟退火算法的依据是固体物质退火过程和组合优化问题之间的相似性。物质在加热的时候，粒子间的布朗运动增强，到达一定强度后，固体物质转化为液态，这个时候再-进行退火，粒子热运动减弱，并逐渐趋于有序，最后达到稳定。
“物竞天择，适者生存”，是进化论的基本思想。遗传算法就是模拟自然界想做的事。遗传算法可以很好地用于优化问题，若把它看作对自然过程高度理想化的模拟，更能-显出它本身的优雅——虽然生存竞争是残酷的。 遗传算法以一种群体中的所有个体为对象，并利用随机化技术指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索 。
神经网络从名字就知道是对人脑的模拟。它的神经元结构，它的构成与作用方式都是在模仿人脑，但是也仅仅是粗糙的模仿，远没有达到完美的地步。和冯·诺依曼机不同-，神经网络计算非数字，非精确，高度并行，并且有自学习功能。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
七 .网格算法和穷举法
对于小数据量穷举法就是最优秀的算法，网格算法就是连续问题的枚举。网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
八.一些连续离散化方法
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
九.数值分析算法
在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、 函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
十.图像处理法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
这十类算法对于数据处理有很大的帮助，甚至从其中可以发现在它们中的很多算法都是数学某些分支的延伸，可能我们不一定能掌握里面的所有算法，但是我们可以尽可能学习，相信这对我们今后的数学学习有很大的帮助，然后，就是数学模型的类别。
常见的数学模型有离散动态模型、连续动态模型、库存模型、线性回归模型、线性规划模型、综合评价模型、传染病模型等数学模型、常微分方程模型、常微分方程的数值稳定性、人口模型、差分方程模型，这些模型都有针对性地从实际问题中抽象出来，得到这些模型的建立，我们在其中加入适当合理的简化，但要保证能反映原型的特征，在数学模型中，我们能进行理性的分析，也能进行计算和演绎推导，我们最终都会通过实践检验数学建模的正确性，加以完善和提升，在对现实对象进行建模时，人们常常对预测未来某个时刻变量的值感兴趣，变量可能是人口、房地产的价值或者有一种传染病的人数。数学模型常常能帮助人们更好的了解一种行为或者规划未来，可以把数学模型看做一种研究特定的实际系统或者人们感兴趣的行为而设计的数学结构。
例如人口增长模型：
中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。人口数量、 质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。 在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展， 进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。 政府部门需要更详细、 更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析， 只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。 随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。
人口增长模型是由生育、死亡、疾病、灾害、环境、社会、经济等诸多因素影响和制约的共同结果，如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚，他们对人口增长的潜在而复杂的影响更是无法精确计算。这反映出人口系统具有明显的灰色性， 适宜采用灰色模型去发掘和认识原始时间序列综合灰色量所包含的内在规律。灰色预测模型属于全因素的非线性拟合外推类法，其特点是单数列预测，在形式上只用被预测对象的自身序列建立模型，根据其自身数列本身的特性进行建模、预测，与其相关的因素并没有直接参与，而是将众多直接的明显的和间接的隐藏着的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，对灰色量进行预测，不必拼凑数据不准、关系不清、变化不明的参数，而是从自身的序列中寻找信息建立模型，发现和认识内在规律进行预测。
基于以上思想我们建立了灰色预测模型：
灰色建模的思路是：从序列角度剖析微分方程，是了解其构成的主要条件，然后对近似满足这些条件的序列建立近似的微分方程模型。而对序列而言（一般指有限序列）只能获得有限差异信息，因此，用序列建立微分方程模型，实质上是用有限差异信息建立一个无限差异信息模型。
在灰色预测模型中，与起相关的因素并没有直接参与，但如果考虑到直接影响人口增长的因素， 例如出生率、死亡率、 迁入迁出人口数等，根据具体的数据进行计算， 则可以根据年龄移算理论，从某一时点的某年龄组人数推算一年或多年后年龄相应增长一岁或增长多岁的人口数。在这个人口数的基础上减去相应年龄的死亡人数， 就可以得到未来某年龄组的实际人口数。对于0 岁的新生人口， 则需要通过生育率作重新计算。当社会经济条件变化不大时， 各年龄组死亡率比较稳定， 相应活到下一年龄组的比例即存活率也基本上稳定不变。 因而可以根据现有的分性别年龄组存活率推算未来各相应年龄组的人数。
通过这样的实例就能很细致地说明数学建模的方法应用，数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。它是将研究的某种事物系统，采用数学形式化语言把该系统的特征和数量关系，抽象出一种数学结构的方法，这种数学结构就叫数学模型。一般地，一个实际问题系统的数学模型是抽象的数学表达式，如代数方程、微分方程、差分方程、积分方程、逻辑关系式，甚至是一个计算机的程序等等。由这种表达式算得某些变量的变化规律， 与实际问题系统中相应特征的变化规律相符。一个实际系统的数学模型，就是对其中某些特征的变化规律作出最精炼的概括。
数学模型为人们解决现实问题提供了十分有效和足够精确的工具， 在现实生活中， 我们经常用模型的思想来认识和改造世界，模型是针对原型而言的，是人们为了一定的目的对原型进行的一个抽象。
随着科学技术的快速发展，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等方面获得越来越广泛而深入的应用， 尤其是在经济发展方面， 数学建模也有很重要的作用。 数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中，从而使人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。数学模型就是要用数学的语言、方法去近似地刻画实际，是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、 图形或算法。也可以这样描述：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模的作用在21实际毋庸置疑，我们通过不断学习数学建可以掌握解决实际问题的强大武器。
参考文献：数学建模方法与案例，张万龙，等编著，国防工业出版社（2014）.
数学建模经典算法范文第2篇
（广西师范大学数学与统计学院 广西・桂林 541004）
摘 要 根据牛顿切线法求方程的根的思想，结合2008年数学建模A题，运用迭代法求两凸集（椭圆）的公切线，算法简洁实用，可操作性强。并证明了算法对公切线的收敛性和收敛速度。
关键词 迭代法 公切线 凸集分离 数学建模
中图分类号：O182 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdks.2015.05.014
Seek Common Tangent with the Iterative Method
ZHAO Xiaoxiang
（School of Mathematics and Statistics， Guangxi Normal University，
Guilin， Guangxi Normal University， Guilin， Guangxi 541004）
Abstract According to Newton's equation of the tangent method the root of thinking， combined with mathematical modeling A title in 2008， using the iterative method for two convex sets （oval） common tangent， the algorithm is simple and practical， workable. And proved common tangent algorithm convergence and convergence rate.
Key words iterative method; common tangent; separation of convex sets; mathematical modeling
0 引言
随着计算机加入科学研究的行列，迭代算法作为计算机能执行的有效算法，在解决实际问题中起着越来越重要的作用。区间二分法、牛顿法等都是经典的迭代法。
2008年高教社杯全国大学生数学建模竞赛甲组A题《数码相机定位》问题的一种解决思路是通过求公切线交点的方法来确定圆心。而求两个椭圆（或R2内任意有界闭凸子集）的公切线就可以用迭代算法来实现。尤其是在离散（椭圆由相片给出，而相片只能分解为离散的像素点）的情况下，迭代算法更加适合于计算机的实现。
1 数码相机定位
08数模A题的数码相机定位问题给出了标靶以及标靶在相机中的像，如图1、2要求设计算法求出相片中圆的圆心，以建立像坐标系到世界坐标系的点点对应，从而完成系统标定。具体题目见文献[1]。
图1 标靶 图2 标靶在相机中的像
公切线交点的方法是指根据直线的像还直线的原理，作圆A与圆C、圆A与圆E的外公切线，如图3，四条切线有四个交点，构成正方形，正方形对角线交点即为圆A的圆心。在相片中，只需求出变形后的圆A与圆C、圆A与圆E的外公切线，即可确定圆心。图4。
图3 标靶中的公切线 图4 像中的公切线
所以问题可转化为设计算法求两圆的外公切线。而本文主要研究如何用迭代法来求两圆的公切线。
2 外公切线算法
求两个椭圆（或R2内任意有界闭凸子集）的外公切线的迭代算法，具体操作步骤如下：
（1）对给定的两个椭圆A、B，分别任意给出一条切线和，切椭圆A，切椭圆B，两切线在两圆的同侧，且只与一圆线切，如图5。
图5 初始切线 图6 第一次迭代
（2）过和的交点做和的角平分线，如图6。
（3）将平移至与圆相切，如果能与两圆都相切，即为所求公切线，则停止。若不能与两圆都相切，将平移至较近的圆，并取代与该圆相切的直线。如图7，平移后与圆B相切，且用取代。
（4）过和的交点做和的角平分线，如图8。
（5）将平移至于一圆相切，如果能与两圆都相切，即为所求公切线，则停止。若只能与一圆相切，将平移至该圆，并取代与该圆相切的直线。如图9，平移后与圆A相切，且用取代。
图7 调整初始切线 图8 第二次迭代
图9 调整初始切线 图10 第三次迭代
（6）过和的交点做和的角平分线，如图10，重复以上过程。
（7）当与两圆相切或与两圆距离达到足够小的精度时，停止。
在实际操作中，做两直线的角平分线可改为取两直线斜率之和的一半为斜率做直线，这样并不影响收敛性和收敛速度。
定理1 上述步骤给出的平分直线的斜率收敛于两椭圆的外公切线的斜率。且收敛速度为（）。
证明：设的斜率为，的斜率为，两椭圆公切线的斜率为，
不妨设取代了，则根据的取法，有
同理，OO≤， ≥2。
即上述步骤给出的平分直线的斜率收敛于两椭圆的外公切线的斜率。且收敛速度为（）。
3 算法实现
在上述迭代法实现应用过程中，我们一般适当调整坐标系，使得所求公切线的斜率大致在0.5到1.5之间，并选择合理的初值，使得每次所选的角平分线是两椭圆同侧的直线，而不是另一条将两圆分开的角平分线，如图11。同时，也可减少计算精度带来的误差。
图11 适当选取初始切线的角平分线
以08数模A题为例，我们给出用matlab编程实现上述迭代算法的具体过程。
按照上述方法继续迭代，直到达到允许精读。由图12-17 可以看出，当迭代四五次以后，就已经相当精确。
值得注意的是，同样的思路可以用来求内公切线，进而可以将两个凸集分离。
图12-17 matlab编程实现迭代算法的过程
参考文献
数学建模经典算法范文第3篇
【关键词】配电通信网;LR-PON;带宽分配;IPACT
1.引言
智能电网的目标是以坚强网架为基础，以通信信息平台为支撑，以智能控制为手段，实现“电力流，信息流，业务流”的高度一体化融合。坚强在输电，智能在配用电，配电网的自动化和信息化是建设智能电网的主要内容[1-2]。随着智能电网的不断发展，配电自动化对通信系统的可靠性、实时性、双向性、灵活性和可扩展性等方面的要求越来越高，因此，配电通信网成为了智能电网建设的关键部分。近年来，国家电网和南方电网都加大了配电通信网的试点，逐步形成了基于SMTP的骨干层和以EPON为主无线公网为辅，其他通信方式补充的接入层两级架构。PON（无源光网络）技术高带宽、点对多点、WDM信道和TDMA接入的优势，非常适合配电网树形链路的拓扑结构并且能最大限度满足其通信要求。因此，以EPON为主，无线公网为辅，其他通信方式补充的接入层方案逐渐成为主流[3-5]。随着智能电网通信技术的不断发展，配电通信网络覆盖的范围也越来越广，OLT与ONU之间的距离将会增加，可能超过IEEE802.3ah-2004标准中定义的OLT到ONU的最大距离20km。又由于传统的EPON技术采用的分光器为无源器件，该器件无法实现对光信号的放大。旨在扩展OLT与ONU之间距离的长距离无源光网络（LR-PON）作为下一代光接入网技术应运而生。LR-PON不仅扩展了距离，而且增大了分光比。
但是，在IEEE802.3ah标准中并未对EPON的带宽分配策略进行规定，公网中广泛使用的EPON设备不能完全适应电力应用的需求。电力的配用电业务分为三类：A类控制业务，即对配电网及其设备的远程监控，涉及配电自动化和配电变压器监控;B类管理业务，即电力公司与终端用户之间的互动操作，包括用电信息采集和费控，负荷控制，分布式电源接入和充电桩管理等;C类辅助业务，即现场视频语音数据等辅助业务。因此，研究面向电力领域，适应生产管理和辅助需求以及不同QOS（服务质量）要求下的细粒度，优先级的动态带宽分配技术，引导电力LR-PON设备制造有重要的价值。
2.PON系统带宽分配算法研究
自EPON技术被提出之后，由于EPON系统上行方向多个ONU在规定的时隙内向OLT上传数据并请求下一次传送数据所需要的带宽，在这个过程中，所有ONU共享上行信道，因此存在一个信道争用的问题，如何合理分配上行信道带宽，避免数据碰撞，使信道得到充分高效公平的利用变得尤为重要。带宽分配算法按照有无统计时分复用可分为静态带宽分配（SSA）和动态带宽分配（DBA）[6]。在SSA算法中，每个ONU获得的授权带宽大小一样，虽然此算法公平且易于实现，但负载小的ONU会浪费很多带宽，而负载过大的ONU会导致丢包率和时延的增大;在DBA算法中，OLT根据ONU上报的Report信息获得各ONU的实时带宽请求，动态地为各ONU分配带宽，因此DBA可以合理并充分地使用带宽资源。
随着智能电网的不断发展，多种业务对带宽的需求日益增长。带宽的高低是衡量配电通信网络是否能满足各种业务需求的最根本指标。为保证网络中各种业务的服务质量，文献[7]提出在ONU内设置三个不同优先级的队列，根据优先级高低来分配带宽。文献[8]提出将ONU分为两类，即带宽保证ONU和非带宽保证ONU，同时把上行带宽分割为相等的小单元，优先分配带宽保证ONU。文献[9]提出基于动态分组的EPON带宽分配算法，该算法根据ONU的负载情况，为其设置不同的权重，然后通过权重大小来分配带宽。文献[10]为解决长距离EPON在授权过程中的过授权问题，提出了基于帧分片的增强型IPACT算法，以解决过授权带来的带宽资源浪费问题。在作者仔细研读大量参考文献的基础上，认为目前研究的带宽分配算法从研究角度的不同可以分为两大类。一类是基于业务分类，另一类是基于授权机制，即：
EPON带宽分配算法
在DBA算法中，最经典的就是由Kramer等人在2001年提出的IPACT算法[11]。IPACT是一种基于授权/请求的周期不固定的带宽分配方案。IAPCT算法中，OLT广播所有授权GRANT信息帧且建立了轮询表，以记录每个ONU下一周期请求传输的数据量REPORT和RTT大小，OLT根据轮询表中记录的数据来给各个ONU分配不同的时隙，并且OLT每接收到一个新的REPORT信息帧就更新轮询表中相应ONU的缓冲区数据量和RTT的大小。以3个ONU为例IPACT算法原理流程图如图1所示。
3.改进IPACT算法
IPACT是最早提出的动态带宽算法，该算法采用间插的方式，这样OLT就不需要等到接收完上一个ONU的数据后再给下一个ONU发送授权。而且轮询周期不固定，OLT根据ONU的负载自适应分配带宽，实现带宽复用。DBA算法的思想是通过即时的网络负载来动态调整轮询周期，根据ONU的需求来动态分配带宽。其数据包的延迟由如图2所示的三部分组成。
由图可得包延迟：d=dpoll+dgrant+dqueue
dpoll：数据到达ONU和ONU发送下次Request的时间，一般dpoll=T/2，T为轮询周期。
dgrant：从ONU发出Request到收到OLT的Grant的时间。
（3）
式中q为用户端数据包队列的长度，包含新到达的数据;Wp[i]表示待定的授权窗口的大小，即新的数据包到达之前已经请求传输但还未获得授权的传输窗。
dqueue：从OLT收到Grant后数据包的队列延迟，取模是为了防止q比WMAX[i]还大。
（4）
表1给出了IPACT算法中的四种授权服务机制和授权窗口大小的数学表达式。
表1 IPACT三种授权服务机制以及授权窗口大小
授权服务类型 授权窗口大小 服务描述
固定服务 Wgi（j+1）=WMAX 无论ONU请求传输多少数据，OLT都给ONU授权预定义的最大传输窗WMAX，所以此服务的轮询周期为一个固定值TMAX，所以此服务一般用作对照。
有限服务 Wgi（j+1）=MINWri（j）
WMAX ONU请求传输多少数据，OLT就授权多大的传输窗，但不能超过最大传输窗口WMAX。所以此服务的轮询周期最小。
门限服务 Wgi（j+1）=Wri（j） 此服务没有最大传输窗WMAX的限制，ONU请求传输多少数据，OLT就授权多大的传输窗口。此服务仅受ONU的最大缓存限制，ONU请求的传输窗不会超过它的最大缓存Q。
在上表中，Wgi（j+1）表示第i个ONU第j+1次获得的授权窗口的大小，Wri（j）表示第i个ONU第j次请求的传输窗口大小。在固定服务下，无论ONU请求多少，OLT都给它授权最大传输窗WMAX;在有限服务中，如果ONU第j次请求的数据大于WMAX就仅给它授权WMAX，如果小于WMAX，那么j+1次授权就正好是它第j次请求传输的数据窗大小;在门限服务下，ONU请求多少OLT就授权多少，但此服务必须受限于ONU的缓存大小。由此可见，三种授权服务方式都存在请求了但未被授权传输的情况，因此，如果按照请求传输窗口来计算平均轮询周期和包延迟就显得很不合理。
图1 IPACT算法原理流程图
图2 数据包时延组成
图3 PON系统传输授权图
图4 三种授权服务的平均轮询周期
图5 三种授权服务的平均包延迟
随着智能电网通信技术的不断发展，配电通信网络覆盖的范围也越来越广，其通信业务更是复杂多样，要求其通信网提供比传统服务质量（QoS）机制更具针对性的灵活高效的QoS机制保证[12-13]。传统EPON已经无法满足配电通信网的接入要求，LR-PON将会是最优的配网接入方式。因此对传统IPACT算法进行改进，使其更适合长距离LP-PON配电通信网接入就很有必要。
OLT通过对ONU的带宽请求和算法规则来授权传输窗口的大小即Grant信息，以此保证整个上行带宽的公平共享。设ONU的个数为N，第i个ONU从用户侧接收流量服从λipacket/sec的泊松分布，每个包大小为S字节，EPON数据链路速率为RU=1Gbps，所以每个ONU的负载Li为：
（5）
整个网络的总负载为N个ONU的负载之和：
（6）
现考虑一个含有N=3个ONU的PON系统，它的传输窗授权如图3所示。
图3中Ti（k）表示第i个ONU的第k个周期时间，Vi（k）表示第i个ONU在时间k的传输窗大小，从图中可以清楚地看出，基于前一个周期到达的数据包个数的传输窗有一个可以变化的长度。例如，在时间k=1时，V1（1）的大小取决于图中前一个轮询周期T1（0）时间内到达的包个数N1（0）=5（即图3中的P1-P5）。设T1（j）为第i个ONU的第j个轮询周期，由于数据包到达服从速率为λi的泊松分布，所以在前一个轮询周期时间T1（j）内到达n个数据包的概率为：
i=0，1，2…… （7）
所以，平均包到达数量，E[Ti（j）]为第i个ONU在第j次轮询的平均轮询周期。第i个ONU在第j+1次轮询周期内请求的平均窗口大小为：
（8）
式中Wri（j-1）表示第i个ONU在第j-1次轮询周期内请求的窗口大小，Wgi（j）表示第i个ONU在第j次轮询周期内根据第j-1次轮询周期的请求获得的授权窗口大小，所以，当Wgi（j）
平均轮询周期E[C]为N个传输窗所用的时间加上保护时间Tguard，即：
E[C]=
（9）
公式（10）主要用于计算OLT的平均轮询周期，前两行主要用于有限服务和门限服务两种服务方式，如果第j次授权的窗口Wgi（j）大于等于第j-1次请求的传输窗Wri（j-1），就说明第j次请求的传输窗只含有新到达的数据包，第j+1次的授权只包含新到达的数据包;如果第j次授权的窗口Wgi（j）小于第j-1次请求的传输窗Wri（j-1），就说明第j次传输没有把第j-1次请求的传完，那么第j次请求的输窗不仅包含新到达的数据包，还包含第j次未传完的数据包Wri（j-1）-Wgi（j）。式中第三行表示固定服务的平均轮询周期。
根据改进后的平均轮询周期E（C）和每个数据包的延迟d，得到改进后网络中的数据包平均时延E（D）为：
（10）
4.实验及仿真分析
本文通过研究服从泊松分布到达的数据流，来分析IPACT的三种经典服务模型，提出适用于配电通信网LR-PON的平均轮询周期的数学模型，并以此来研究基于不同服务的数据包时延的数学模型，并通过网络仿真软件OPNET[14-15]对新数学模型下的平均轮询周期和数据包延迟性能进行分析比较。根据OLT的平均授权窗口大小，分别对各种授权服务方式进行平均轮询周期的计算。利用网络仿真软件OPNET进行LR-PON建模，由于授权服务机制不同，Q-Wp[i]的值也就不一样，从而网络中数据包的平均时延也不相同。设ONU的个数N=16，最大传输窗WMAX=15000Bytes，保护时间Tguard=5μs，链路速率RU=1Gbps，然后分别对上述三种服务进行平均轮询周期和平均包时延仿真比较，结果分别如图4和5所示。
在图4中，固定服务的平均轮询周期在任何负载情况下都是一个相同值，这是由于固定服务的授权窗口大小始终为最大传输窗WMAX，根据公式（9）它的平均轮询周期就为一个常数与负载大小无关。限制服务即ONU请求多少OLT就授权多少，如果ONU请求大于最大传输窗，OLT只授权最大传输窗，因此限制服务的轮询周期随着网络负载的增大而增大，当网络负载超过一定程度，由于OLT只授权最大传输窗，所以轮询周期与固定服务相同。门限服务是ONU请求多少OLT就授权多少，但有队列大小限制，因此，在重负载时，ONU的请求会超过最大授权而小于队列缓存长度，平均轮询周期则会一直增大超过固定服务的平均轮询周期，由于队列缓存是个定值，所以此服务下的平均轮询周期增大到一定程度也会趋于一个固定的阈值。
在图5中，固定服务，限制服务，门限服务的平均包延迟依次减小，这是由于固定服务的轮询周期比较大，接收的数据包比其他服务多，而限制服务与门限服务的轮询周期比较短，在一个轮询周期内没有多余的时间去接收更多的数据包，导致数据包的延迟很小。
在图6中，带宽利用率随着网络负载的增大而增大，在ONU处于轻负载时，两种算法的利用率基本一样，但是当ONU的负载超过50%时，改进型IPACT算法的带宽利用率要高于经典IPACT算法，这是由于网络负载增大时，经典IPACT算法下的每个ONU请求的带宽都相应增加，但OLT没有授权它请求的带宽大小，有一部分数据虽然请求了但是并没有传输，如此反复请求就会降低带宽利用率。
图6 两种算法的带宽利用率
5.结束语
本文建立了经典带宽分配算法IPACT数据包延迟的数学模型，并在此基础上依据配电通信网LR-PON接入要求针对IPACT算法的不同服务类型的平均数据包时延和轮询周期进行分析和改进，使用优秀的网络仿真软件OPNET对适用于配电通信网的LR-PON系统进行建模，使用相同的场景和设置参数，分别对不同的服务类型进行仿真，最后对新数学模型下的平均轮询周期和平均包延迟性能进行分析和比较。最后对改进后的IPACT算法和经典IPACT算法的带宽利用率进行比较，当网络负载超过50%时，改进后的IPACT算法的带宽利用率要明显高于经典IPACT算法。
基于时分复用的EPON（即TDM-PON）虽然是所有用户共享上行带宽，但实际也限制了每个用户的可用带宽，带宽利用率低且难以支持以太网之外的业务。伴随用户宽带业务的不断增加和光纤器件成本的降低，基于波分复用的EPON（即WDM-PON）可以提供虚拟点对点的带宽，能够更加有效的利用光纤的巨大资源，这些优越的性能使得WDM-PON在不久的将来必将超越TDM-PON成为下一代配电通信网接入的必然选择。
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数学建模经典算法范文第4篇
医学图像在获取与传输的过程中，会受到各种形式噪声的干扰。近年来，一些新的滤波技术逐渐受到相关学者的重视并被应用到医学图像的降噪中[1-3]。文献[3]提出的非局部均值(Non-localMeans,NLM)滤波算法考虑了尽可能多的相似性结构信息，但该算法存在耗时、搜寻相似像素不充分的不足。相关文献报道了一些改进的NLM滤波算法，如鲁棒的快速算法[4]、基于核回归的改进算法[5]、基于奇异值分解和K-均值聚类的自适应改进算法[6]、基于矩的改进算法[7-8]。这些改进算法均取得了较好的去噪效果。为提高NLM算法的去噪性能，本文提出一种基于梯度信息的自适应的医学图像去噪NLM改进算法(ANLM)，并通过实验验证了算法的有效性和可行性。
2经典的非局部均值滤波算法
文献[3]中提出的经典NLM算法原理为：含噪图像f{f(i)|iI}的任一像素点i处被滤波的灰度值()fi为：()(,)()jIfiwijfj(1)222,||()()||1(,)e()ijfNfNhwijZi(2)其中，权重w(i,j)满足0≤w(i,j)≤1和(,)1jwij；22,||||为度量像素i和j的相似程度的高斯加权欧氏距离；a为高斯核的标准差，a0；h为控制衰减程度的参数；kN表示中心位于像素k的方形邻域。正则化常数Z(i)为：222,||()()||()eijfNfNhjIZi(3)为避免过加权，当ij时，权重w(i,j)为：w(i,j)max(w(i,j)),ij(4)NLM算法的核心思想是在一个称为搜索窗的大的像素范围内搜寻尽可能多的、与被滤波像素相似或匹配的其他像素参与到滤波过程中，以改善滤波效果。搜索窗内2个像素点i和j的相似性通过称为相似窗的2个邻域Ni和Nj中所有像素点的加权欧氏距离来度量。该距离越小，则i和j的相似程度越高，权重w(i,j)值越大。本文将上述算法称为经典的非局部均值算法(CassicalNL-means,CNLM)。显然，CNLM算法中相似窗的平移操作只能找到位置不同的相似像素，数量相对较少。若能同时对相似窗进行平移和旋转操作，则能找到更多的位置匹配或方向匹配的像素，从而提高算法的性能。本文基于这一思想，利用梯度信息，提出一种自适应的非局部均值滤波算法(AdaptiveNL-means,ANLM）。
3自适应非局部均值滤波算法
3.1算法原理
所提出的ANLM算法将待滤波图像的梯度幅度信息和方向信息引入到了CNLM算法中。对于图像f，像素点i处的梯度定义为：
3.1.1基于梯度幅度的滤波参数选择
对于式(2)中滤波参数h的选择，国内外研究者已做了一系列研究[7,9-10]。本文依据梯度幅度信息选择滤波参数h。具体思想为：由于较大的梯度幅度|f(i)|表明相似窗Ni内可能存在图像边缘或纹理，而较小的|f(i)|则表明Ni为较为平坦的区域。因此，为避免过于平滑图像的边缘或纹理细节，对于较大的|f(i)|，选取较小的参数h；反之，则选取较大的h。本文采用Sobel梯度算子计算梯度。ANLM算法结合一个最佳的梯度优化阈值optiT对h进行多种选择，即：0opti0optiopti00.8|()|1.50.9|()|1.5hfiThhTfiTh≥≤其他(8)其中，0h为CNLM算法所用的h值，0h。这样，对|f(i)|不同的点，选择不同的h值，很大程度上实现了既保护边缘、又平滑噪声的滤波效果。
3.1.2基于梯度方向的更多匹配像素搜索
依据式(7)计算点i处和点j处的梯度方向j,i以及二者之差ji。依据将相似窗Nj绕中心旋转：当大于0时，顺时针旋转；反之，逆时针旋转。旋转间隔为π/4，总的旋转角度为/(π/4)(π/4)。图1给出了Nj相对于Ni的旋转过程。可见，Nj逆时针旋转π/4后，得到jN，而jN与Ni的像素结构完全相同。这样，通过旋转操作，提高了2个相似窗的相似程度，即减小了式(2)中的距离22,||||，找到了平移操作所不能找到的匹配像素点。(a)Ni(b)Nj(c)jN图1相似窗旋转过程图2和图3分别给出了CNLM算法和ANLM算法对于中心像素点的权重分布比较。相比CNLM算法，ANLM算法找到了更多的匹配像素点，这表明ANLM算法具有更好的去噪性能。可见，ANLM算法依据|f(i)|实现了参数h的自适应选择；依据实现了邻域Nj的自适应旋转操作，保证了算法的优越性。此外，考虑到多数医学图像对称或近似对称的特点，搜索窗由中心分别位于i处和与i纵向对称的像素点处的2个方形区域组成，进一步提高了匹配点的数量。
3.2优化阈值T
opti的确定ANLM算法中一个关键点是式(8)中阈值Topti的确定。本文用实验的方法建立Topti与噪声标准差之间的数学模型，从而依据图像噪声实现Topti的自适应选择。具体思想为：对多幅医学图像添加标准差为的噪声得到噪声图像。之后，对每幅噪声图像的梯度幅度|f|进行阈值化，即：||||||0||TffTffT≥(9)选取不同的T，求取使原图像||0f与阈值化||Tf之间的均方误差err最小的T值，作为优化的阈值Topti，即：2opti01argmin((|()||()|))ITTiTfifi(10)即通过最小二乘法确定Topti。这样，选取多个不同的值，得到多个相应的Topti，进而确定出二者的关系模型，作为自适应选择Topti的依据。4.1节详述了具体建模过程。
3.3ANLM算法步骤
ANLM算法的具体步骤如下：
(1)对于像素i和j，依据式(6)和式(7)计算梯度信息。
(2)计算噪声标准差，依据所建立的Topti与模型及式(8)确定梯度阈值化参数Topti和滤波参数h。
(3)依据ji，将相似窗Nj绕其中心旋转/(/4)(π/4)°。
(4)确定中心点与i纵向对称的搜索窗siN。
(5)依据式(1)~式(4)计算i点处的滤波值()fi。
(6)使i遍历像素点集合I中的每一个像素点，重复上述步骤(1)~步骤(5)，得到最终的滤波图像f。
4实验结果与分析
本文将CNLM算法和ANLM算法分别应用于一幅对称的几何图像和2幅医学CT图像的去噪过程中。在图像中添加均值为0、标准差分别为5、10、15、20、25的5种高斯噪声。搜索窗大小为21×21，相似窗大小为3×3。图4为未受噪声污染的原图及=10时相应的包含高斯噪声图像。
4.1优化阈值T
opti的建模根据式(9)和式(10)所描述的理论依据，通过实验建立最佳梯度阈值Topti与噪声标准差之间的数学模型。图5为当σ=10时均方误差err与阈值T的关系曲线，可见，err具有全局极小值。图6为3幅图像Topti与之间的关系曲线。可见，除过几何测试图像曲线上最右边一点(25,37.2)外，Topti与成近似的线性关系。对应于腹部CT图像与胸部CT图像的Topti与近似线性数学模型分别为：optiT1.860.8(11)optiT1.641.9(12)对于该类医学图像降噪时，可将上述2个线性模型的综合作为自适应选择Topti的依据。
4.2算法性能比较
图7~图9分别为3幅图像的CNLM滤波和ANLM滤波结果及相应的方法噪声。比较2种算法所得结果图像的视觉效果可知，ANLM算法明显优于CNLM算法，尤其在图中标注的矩形区域内，后者具有更强的对比度。此外，相对于CNLM，ANLM所对应的方法噪声也更接近于高斯白噪声。这进一步表明了ANLM算法去噪性能的改善。上述结果表明，在引入梯度信息、考虑了相似窗的旋转不变性和自适应地确定滤波参数h之后，ANLM算法在平滑噪声的同时较好地保持了图像的边缘，滤波性能明显提高。
数学建模经典算法范文第5篇
关键词：自动发电控制、建模、辨识
Abstract: as the power plant control system is extremely complex, the delay, are the major factors to nonlinear, close. Classic identification method can not the identification. This paper makes use of the Matlab software adopts advanced identification algorithm and method of fuzzy control is to coordinate control system (CCS) and of automatic generation control (AGO system modeling, simulation and optimization, to overcome the shortcomings, hope and counterparts from common.
Keywords: of automatic generation control, modeling, identify
中图分类号： TM621文献标识码：A 文章编号：
火电厂过程控制系统
火力发电机组的生产过程自动化随着科学技术的发展和自动化水平的提高，它所包含的功能越来越丰富，概括起来有以下几个方面：自动检测，顺序控制，自动调节，自动保护。
单元机组自动控制的功能是通过各种自动化系统实现的.大容量单元发电机组的自动化系统土要可分为计算机监视(或数据采集)系统、单元机组协调控制系统、锅炉自动控制系统、汽轮机自动控制系统、发电机和电气控制系统、辅助设备自动控制系统等。
现代的AGC是一个闭环反馈控制系统，主要由两大部分构成:
（1）负荷分配器:根据测得的发电机实际出力、频率偏差和其它有关信号，按一定的调节准则分配各机组应承担的机组有功出力设定值。该部分由传统的电网调度功能实现。
(2)机组控制器:根据负荷分配器设定的有功出力，使机组在额定频率下的实发功率与设定有功出力相一致。电厂具备ACC功能时该部分由机组协调控制系统(CCS)自动实现。
自动发电控制( Automatic Generation Control)简称为AGC是建立在以计算机为核心的能量管理系统及发电机协调控制和高可靠信息传输系统基础之上的远程闭环控制系统。
自动发电控制(AGC)系统建模
对于多区域AGC系统建模，由于AGC系统位于电厂各个机组的上层，对该系统进行全面的建模是比较复杂的，因此，根据AGC系统的结构、物理机理，对控制对象进行适当简化，借助Matlab仿真软件1201211，建立如图2-2-4所示的简化后的AGC各区域控制机组模型图。
图1 AGC系统中Plant模块仿真模型
以两区域AGC模型为例，根据其运行机理，有如下的数学模型表达式：
上式中: -频率偏差信号；-发电功率偏差信号；-负荷需求变化；-控制器时间常数；-汽轮机时间常数；α12:两区域的功率比位；αβ:控制器死区常数。
根据相关原理及相关公式分析，假设只在第一个区域发生1%的负荷扰动，仿真结果如图2所示。从仿真结果中可以看出，通过对PTD参数进行调节，该系统可以使两区域频率偏差4"从调节到零，但是其超调量比较大，可以对控制器进行改进，采用模糊P1D控制器进行PID参数的自整定，以达到更好的控制效果。
图2 AGC系统仿真结果
协调控制系统(CCS)建模
ccs的仿真模型有很多，本文从中选取汽包炉的CCS系统建模研究对象，旨在研究汽包及蒸汽管道续热系数。
图3 汽包炉的CCS系统建模图
根据相关原理及公式，在该系统中选择燃料最指令和汽机阀门开度指令作为输入，主蒸汽流量(与实际功率相对应)和汽包压力作为输出，构成一个TITO(两输入、两输出)系统，考虑输入输出端口的匹配性，进行Mat lab仿真，其Simulink仿真图如图4所示。
图4 imulink仿真图
以上仿真结果表明，该方法改善了系统的控制效果。
结论
本文主要以火电机组的自动发电控制系统为例，借助Matlab软件采用先进算法及模糊控制方法对带协调控制系统((CCS)模型的自动发电控制((ACC)系统进行建模、仿真及其优化。研究表明，建立火电厂的Matlab纯软件仿真模型是完全可能如果条件允许.可建立硬件在回路仿真系统，结合软硬件各自的特以提高系统梢度、降低建模难度。
参考文献
吕崇德，大型火电机组系统仿真与建模，清华大学出版社.2002
