常见的建立数学模型的方法

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常见的建立数学模型的方法范文第1篇

    一、数学建模的重要意义

    把一个实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题,即称为数学模型。数学模型能解释特定现象的显示状态,能预测对象的未来状况,能提供处理对象的最有效决策或控制。在小学数学教育中开展数学建模的启蒙教育,能培养学生对实际问题的浓厚兴趣和进行科学探究的强烈意识,培养学生不断进取和不怕困难的良好学风,培养学生分析问题和解决问题的较强能力,培养学生敏锐的洞察力、丰富的想象力和持久的创造力,培养学生的团结协作精神和数学素养。

    二、数学建模的基本原则

    1.简约性原则。生活中的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统,对原型进行一定的简约性即抓住主要矛盾。数学模型应比原型简约,数学模型自身也应是“最简单”的。

    2.可推导原则。由数学模型的研究可以推导出一些确定的结果,如果建立的数学模型在数学上是不可推导的,得不到确定的可以应用于原型的结果,这个数学模型就是无意义的。

    3.反映性原则。数学模型实际上是人对现实生活的一种反映形式,因此数学模型和现实生活的原型就应有一定的“相似性”,抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键。

    三、数学建模的一般步骤

    数学课程标准向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习内容,这些内容的呈现以“问题情景——建立模型——解释应用——拓展反思”的基本形式展开,这也正是建立数学模型的一般步骤。

    1.问题情境。将现实生活中的问题引进课堂,根据问题的特征和目的,对问题进行化简,并用精确的数学语言加以描述。

    2.建立模型。在假设的基础上利用适当的数学工具、数学知识,来刻划事物之间的数量关系或内部关系,建立其相应的数学结构。

    3.解释应用。对模型求解,并将求解结果与实际情况相比较,以此来验证模型的科学性。

    4.拓展反思。将求得的数学模型运用到实际生活中,使原本复杂的问题得以简化。

    四、数学建模的常见类型

    1.数学概念型,如时、分、秒等数学概念。

    2.数学公式型,如推导和应用有关周长、面积、体积、速度、单价的计算公式等。

    3.数学定律型,如归纳和应用加法、乘法的运算定律等。

    4.数学法则型,如总结和应用加法、减法、乘法、除法的计算法则等。

    5.数学性质型,如探讨和应用减法、除法的运算性质等。

    6.数学方法型,如小结和应用解决问题的方法“审题分析——列式计算——检验写答”等。

    7.数学规律型,如探寻和应用一列数或者一组图形的排列规律等。

    五、数学建模的常用方法

    1.经验建模法。学生的生活经验是学习数学最宝贵的资源之一,也是学生建立数学模型的重要方法之一。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学一年级上、下册中的“时、分”的认识时,由于学生在生活中已经多次、反复接触过钟表等记时工具,看到或听说过记时工具上的时刻,因此,他们对“时、分”的概念并不陌生,教学是即可充分利用学生这种已有的生活经验,让学生广泛交流,在交流的基础上将生活经验提升为数学概念,从而建立关于“时、分”的数学模型。

    2.操作建模法。小学生年龄小,生活阅历少,活动经验也极其有限,教学中即可利用操作活动来丰富学生的经验,从而帮助学生感悟出数学模型。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学四年级下册中的“三角形特性”时,教师让学生将各种大小、形状不同的三角形多次推拉,学生发现——不管用力推拉哪个三角形,其形状都不会改变,并由此建立数学模型:“三角形具有稳定性。”

    3.画图建模法。几何直观是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路、预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用,而且贯穿在整个数学学习和数学建模过程中。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学三年级下册《数学广角》中的“集合问题”时,让学生画出韦恩图,从图中找出重复计算部分,即找到了解决此类问题的关键所在,也建立了解决“集合问题”的数学模型——画韦恩图。

    4.观察建模法。观察是学生获得信息的基础,也是学生展开思维的活动方式。如何建立“加法交换律”这一数学模型?教学人教版课程标准实验教科书数学四年级下册的这一内容时,教师引导学生先写出这样一组算式:6+7=7+6、20+35=35+20、300+600=600+300、……,然后让学生认真、有序、多次地观察这组算式,并组合学生广泛交流,学生从中即可感悟到“两个加数交换位置,和不变。”的数学模型。

    5.列表建模法。把通过观察、画图、操作、实验等获得的数据列成表格,再对表格中的数据展开分析,也是建立数学模型的重要方式。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学四年级下册的“植树问题”时,教师组织学生把不同情况下植树的棵数与段数填入表格中,学生借助表格展开观察和分析,即可建立相应的数学模型——“在一段距离中,两端都植树时,棵数=段数+1;两端都不植树时,棵数=段数-1;一端不植树时,棵数=段数;在封闭曲线上植树时,棵数=段数。”。

    6.计算建模法。计算是小学数学教学的重要内容,是小学生学习数学的重要基础,是小学生解决问题的重要工具,也是小学生建立数学模型的重要方法。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学六年级下册第132~133页的“数学思考”中的例4时,教师就让学生将实验数据记录下来,然后运用数据展开计算,在计算的基础上即可建立数学模型——过n个点连线段条数:1+2+3+4+……+(n-1)=1/2 (n2-n)。其主要过程如下:

    过2个点连线段条数:1

    过3个点连线段条数:1+2

    过4个点连线段条数:1+2+3

    过5个点连线段条数:1+2+3+4

    ……

常见的建立数学模型的方法范文第2篇

关键词：数学建模 初中数学 应用题教学 运用

《数学课程标准》（实验稿）指出：数学建模可以有效描述自然现象和社会现象。强调学生从已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成相应的数学模型。在初中数学教学中引入数学建模，适当开展教学建模活动，有利于培养学生能力。数学课程多次体现“问题情境――建立数学模型――求解――解释与应用的基本过程。在初中数学教学中数学建模要重视数学知识，更应突出数学思想方法。教学中应让学生通过仔细阅读，认真审题，通过观察，实验，猜测，验证，推理与交流等对实际问题的信息进行一系列的分析，筛选，区分。找出问题中的数量关系和变化规律，建立相应的数学模型，并利用这些数学模型解决实际问题。有利于提高学生解决数学应用性问题的能力，增强学生应用数学的意识比较全面认识数学与社会，科学和技术的关系，使学生在思维能力，情感，态度和价值观等方面得到进步和发展。

数学模型在教材中很多章节都有体现如建立方程（组）模型，不等式（组）模型，目标函数模型，构造几何图形模型等以下是教学中建立模型求解的案例。

（一）建立方程（组）模型

现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系。“方程（组）”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型之一。它可以帮组人们从数量关系的角度更准确，清晰的认识。描述和现实世界，如教材中的打折销售，增长率，储蓄利息，工程问题，行程问题，浓度配比问题常可以抽象成“方程（组）”模型来解决。解这类问题关键是找出题中的相等关系列出方程（组）

（二）构建不等式（组）模型来解决问题

在市场经营、生产决策如估计生产数量、核定价格范围，投资决策、盈亏平衡分析，函数最值转化为不等式（组）模型求解

（三）建立目标函数模型

在实际生活中普遍存在方案设计最优化，如用料最省，利润最大、拱桥或喷泉设计，抛掷物体如书本的掷铅球，投篮球等问题建立实际背景建立变量之间的目标函数，如一次函数，二次函数等。利用求函数变量的最大值的问题，函数的性质求解。

（四）构造几何模型

几何与人类生活和实际需要密切相关，诸如航海、建筑、测量、工程定位、裁剪方案、道路拱桥设计，方案设计，美化设计等涉及图形的性质时，常需要建立几何模型，把实际问题转化为几何问题，进而运用数学知识求解。

（五）建立三角函数模型解决实际问题

这类题目大多材料新颖，贴近生活，要求学生能从实际的问题抽象出直角三角形模型，或通过添加辅助线构造直角三角形，然后利用解直角三角形的知识进行求解。

（六）、建立统计模型

统计知识在现实生活中有着广泛的应用，作为学生要学会深刻理解基本统计思想，要善于提出问题，考虑抽样，收集数据，分析数据，做出决策，并能进行有效的交流、评价与改进。

（七）其它模型

以上在初中教学中根据实际问题，已知信息寻找已知和所求之间的联系，通过分析、联想、归纳，将实际问题转化为方程（组）、不等式（组）、函数、几何或三角、统计等相应数学问题，构建数学模型，是解决应用题关键是重点，也是难点。因此，要加强通过对实际问题分析，数学知识，与生活、生产实际联系起来，就能增强学生应用数学模型解决实际问题知识，从而提高学生创新知识和实践能力。

数学建模能力的培养不在于某堂课或某几堂课，而应贯穿于学生的整个学习过程，并激发学生的潜能，使他们能在学习数学的过程中自觉地去寻找解决问题的一般方法，真正提高数学能力与学习数学的能力。数学应用与数学建模，其目的不是为了扩充学的课外知识，也不是为解决几个具体问题进行操作，而是要通过教师培养学生的意识，教会学生方法，让学生自己去探索、研究、创新，从而提高学生解决问题的能力，让数学进入生活，让生活走进数学。

参考文献：

[1]全日制《数学课程标准》实验稿

[2]叶其孝主编《中学数学建模》湖南教育出版社。1998

常见的建立数学模型的方法范文第3篇

关键词：常微分方程；数学建模；人口预测；传染病

1 引言

方程是数学学科的重点内容之一，如线性方程、对数方程等，在一些实际问题的求解方面有着十分重要的应用，但是依旧存在许多的问题无法通过初等数学中的一些常见方程进行刻画和求解。一般来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数或微分的关系式。数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型。而由于常微分方程能够有效地对复杂的实际问题进行刻画，因此在数学建模问题的求解方面有着十分广泛的应用。

2 常微分方程模型

微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系。微分方程是自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式。在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质。构造常微分方程的数学模型有如下几种方法：

（1）运用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型

主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的。如力学中万有引力定律等。

（2）利用导数的定义建立微分方程模型

（3）利用微元法建立常微分方程模型

（4）模拟近似

模拟近似是在事物发展的规律不很清楚的复杂问题中常用的方法，该过程往往是近似的，需要对最后的求得的解进行分析，将计算结果与实际相比较是否符合实际。

3 常微分方程求解数学建模问题

3.1 基于常微分方程的经典数学建模问题

用数学语言来对研究目标随时间变化过程进行描述，建立的动态模型就是微分方程模型。微分方程模型的建立通常是依据物理、化学、工程科学等中的基本原理，待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来。下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型。

例1 细菌群落增长问题

已知初始时刻细菌群落的总数为y0，T时刻为yT，求解0～T时刻内任意时间细菌数量。

例3 红绿灯问题

交通红绿灯在人们生活中有着重要的作用，其中黄色指示灯对保障交通安全发挥了重要作用，那么黄灯持续时间多长为宜？

分析：驾驶员看到黄色信号灯后立即做出决定是否停车。若停车，则需要判断停车距离是否满足条件，该条件是由速度决定的。而已经过线无法停住的车辆，黄灯需留有一定的时间保障其能够通过。据此，对上述问题进行求解：

（1）根据法定最高限速v0计算停车线位置，使得停车线到路口的距离满足刹车需求；

（2）根据停车线和速度v0计算黄灯持续时间。

如上图所示，绿色曲线为实际人口统计，蓝色为指数模型预测结果，红色为阻滞增长模型预测结果。可见，指数模型在19世纪以前预测结果与实际基本吻合，但是之后的预测值大大超过实际值。而阻滞增长模型具有较高的预测精度，符合实际变化规律。

3.3 基于常微分方程的传染病预测模型

目前，大多数传染病模型都是对由Kermark和MeKendrick所建立的SIR模型的修正而得到的。SIS模型中染病者康复后可以再次被感染；SIR模型中康复者后获得终身免疫力：而SIRS模型中康复者有暂时免疫力，一段时间后重新成为易感者。下面，本文以北京市SARS传播为研究对象，建立传染病模型进行分析研究。SARS的传播可以分为三个阶段：

（1）控制前的自然传播模式阶段。

（2）过渡期阶段，政府采取隔离措施前的一段时期内。

（3）控制阶段，即政府采取隔离治疗措施阶段。

4 小结

本文对常微分方程模型在数学模型中的应用进行了研究分析，对建立微分方程的方法进行了介绍，并给出了生物学、社会科学、统计学、物理学、医学等多个学科的实例，基于常微分方程建立相关数学模型对实例中的问题进行了求解。随着社会的进步和发展，基于常微分方程的数学模型对解决复杂的实际问题发挥着日益重要的作用。

参考文献

[1]王高雄等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2001.1.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.6.

[3]东北师范大学微分教研室.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005.4.

[4]刘双等.SARS临床病例及影像学分析[M].中国医药科技出版社，2003.5.

常见的建立数学模型的方法范文第4篇

关键词：最优化理论 数学 建模 探究

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）09（a）-0236-02

1 建模与最优化

1.1 建模的含义与意义

数学中所说的建模就是运用数学的表达方式将客观存在的问题描述出来的整个过程。在这个描述的过程中，最重要的就是“建”，应该让学生的创造性思维在这一过程中被激发出来。建模不仅仅只是停留在数学知识上，而且它还在现实世界上更具有重要意义。

从传统来看在普通的工程技术方面，数学建模已然拥着有很重要的地位。但是，随着社会科技的发展，一些新技术的出现，例如：军事、医院、经济、生物等，这些新技术的出现往往伴随着新的问题产生。普通的数学模型显然已经不能解决这些新出现的新问题，如果能够将数学模型和计算机模拟相结合产生的CAD技术广泛应用起来便可以轻松的解开这些问题。由于其速度快、方便、实用等特点已经广泛的替代了传统手段。在高新技术方面，数学建模是不能被其他方式方法所替代的。

1.2 建模的基本方法

在数学建模的过程中可以运用的方式很多，如，类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数学规划、机理分析、排队方法、对策方法等等，在这里只简单介绍三种常见方法。

（1）机理分析法：从认识每件事物本质的不同开始，找到能够反应事物内部机理的规律。值得注意的一点是，机理分析并没有固定的模式的，是需要结合实际案例来进行科学的研究。

（2）测试分析法：经过多次反复的试验和分析，从中找到与提供的数据最为符合的模型。

（3）二者结合：选择机理分析建立模型结构，选择测试分析找到模型参数。

1.3 数学建模的步骤

确定一个数学模型的办法不只一个，根据问题的不同，就要学会选择建模的方式。即便是相同的问题也要从多个角度考虑，能够建立出多个不相同的数学模型，具体建模的方法和步骤如下。

第一，模型准备。如果要对一个问题建立数学模型，必须要提前了解该次建模所要达到的目的，然后要尽可能多的收集与之相关的问题进行分析，深入细致的调查与研究，尽量避免可能会发生的错误。

第二，模型假设。一般情况下一个实际问题会涉及到很多因素，但是要想转变为实际数学问题，不需要各个方面都考虑到，只需要抓住其中的主要因素，对其进行与实际想吻合的假设即可。

第三，模型建立。要以实际问题的特征为依据，用数学工具根据已有的知识和搜集的信息进行建立正确的数学结构，要明确决定使用的数学结构、数学工具的类型。只要能够达到最终所要的目的，选择的数学方法越简单越有利于构建数学模型。

第四，模型求解根据前几步所得到的资料，可以利用各种数学上的方式方法进行求解。在这个过程中，可以充分使用现代计算机等辅助工具。

第五，模型分析、检验。在得出结论后，要将结论与事实进行比对，避免造成过大误差，以确保模型的合理性、准确性以及适用性。如果与事实一样，就可以进行实际运用。反之，则修改，重新建模。

事实上，现实生活中的问题是复杂多样的，甚者有时千差万别，有时必然事件和偶然事件会共同存在其中。在探索某件事情的过程中，因为其不断地变化，所以一般不能轻易的求得变量之间存在的关系，建立方程。所以，在错综复杂的变量中，一定要要能够从这些变量中选择主因，确定变量，找出其中真正存在的隐含联系。

1.4 最优化的含义

最优化技术是近期发展的一个重要学科分支，它可以用在多种不同的领域，例如：经济管理、运输、机械设计等等。最优化的目标是要从这些多种办法中选出最简便的办法，将这个可以最简便达到目标的办法就叫做最优方案，寻找的这个最佳方法叫做最优化方法，关于这个方法的数学理论就叫做最优化论。在这个过程中必须要有两个方面：第一，是可行的方法；第二，是所要达到的目标。第二点是第一点的函数，如果可行的方法不存在时间问题，就叫做静态最优化问题，如果与时间相关，称之为动态最优化问题。

在日常生活和学习中，能用到最优化的有两个方面：一是在实际生活中所遇到的生产和科技问题，需要建立一个数学模型。二是在数学学习中所遇到的数学问题。如果我们单纯要解决第二类问题的话，资料已经足够的完善了。但是生活中多数属于第一类问题，是没有资料能够依靠的。而能够找到最优化解是实际问题中最重要的一步，否则技术的发展将十分困难。

2 建模最优化的应用

想要在实际中应用最优化方法，总共有两个基本步骤：第一，要把实际问题用数学模型建立出来，也就是用数学建模的方法建立解决问题的优化模型。第二，优化模型建设之后，要利用数学方法和工具解开模型。优化建模方法与一般数学建模有一定的相同之处，但是优化模型更有其特殊之处，所以，优化建模必须要将其特殊性和专业性相结合。同时，在解释问题的过程中也一定要注意将客观实际与数学知识结合起来。

同一个问题要通过不同的数学建模进行解决，得到更多的“最优解”，从而从其中挑选出最大价值的答案。所以说，只有建立独特的模型才能得到最大的创新价值。

典型的最优化模型可以描述成如下形式：

Min{f（X）|X∈D}

其中，X=（x1，x2，…xn）T为一组决策变量，xi（i=1，…，n）通常在实数域R内取值，称决策变量的函数f（X）为该最优化模型的目标函数；为n维欧式空间Rn的某个子集，通常由一组关于决策变量的等式或不等式描述，比如：

Minf（X）

s.t.Ci（X）≥0（i=1，2，…m1）

Ci（X）=0（I=m1+1，…m）

这时，称模型中关于决策变量的等式或不等式Ci（X）≥0（i=1，2，…m1）、Ci（X）=0（I=m1+1，…m）为约束条件，而称满足全部约束条件的空间Rn中的点X为该？

模型的可行解，称

即由所有可行解构成的集合为该模型的可行域。

称X∈D为最优化模型Min{f（X）|X∈D}的（全局）最优解，若满足：对X∈D。

均有f（X*）≤f（X），这时称X*∈D处的目标函数值f（X*）为最优化模型。

Min{f（X）|X∈D}的（全局）最优值；称X*∈D为最优化模型Min{f（X）|X∈D}的局部最优解，若存在δ>0，对X∈D∩{X∈Rn| }。

均有f（X*）≤f（X）。（全局）最优解一定是局部最优解，但反之不然。

数学建模以“建”字为中心，最重要的一点还在于如何将建立起来的数学模型利用数学工具求解，现实生活的数学模型往往涉及的无非是一个最优化问题，在原有现实给予的条件中，怎样得到最优解实际中最优化问题表现形式如下。

minf（X）

s. t.AX≥b.

以目标函数和约束函数存在的特征，这些问题可以分成各种类型，例如：线性规划、非线性规划等。但是，不管问题怎样变化，除去简单的数学基础理论解决办法和微分方程理论的话，最终只能选择最优化理论方式来解决这个问题。

在平时的生活中，最优化理论通常只会出现在管理科学和生活实践中的应用，而线性规划问题是因为各个方面都已经成熟，所以被人们广泛接受。因此，目前对非线性规划理论和其它优化问题探索较多。还记得高中的时候解决非线性的函数都是通过局部线性化来使问题简单化，现在解决非线性规划问题也是一样的，尽量将非线性规划问题局部线性化来解决。

下面求解指派问题最优化的例子。

例：分别让小红、小兰、小新、小刚4人完成A、B、C、D4项工作，各自完成各项工作所需要的时间如表1所示，现在应该如何安排他们4人完成各项工作，使得消耗的时间最短？

这类问题显而易见的就是指派问题 ，而经过建立模型后我们也会很清楚的意识到匈牙利算法是解决指派问题最简单的算法。如果用一般的方法求解，在这个过程中很可能遇到求解整数规划的分枝定界法或是求解0-1规划的隐枚举法，这个求解方式将会非常复杂。所以，可见所建立的数学模型非常关键。

下面采用匈牙利方式求解。

如此得到的最优指派方式是：小红D、小兰B、小新A、小刚C。

通过求解上面这个最优指派问题，让我们了解了运用数学模型的简单方式。模型求解成为数学建模之后最重要的一步，并且也是到了考验是否能对最优化理论知识完整求解的时候。同时，也通过上面的例子，解释了数学建模在解决最优化的实际问题中的广泛应用。该文所分析的例子只是数学建模中的一个代表性的应用，数学建模与平时生活所遇到的一些事物之间的联系是息息相关的，随着现代科学技术的飞速发展，相信数学建模思想越来越得到广泛的应用。

综上所述，在数学建模和最优化理论之间，二者是相辅相成、密不可分的关系，数学建模的过程不能离开最优化理论，最优化理论也需要建模的支持。数学模型在产生于生活和实践中，模型也会随着事物的改变而越来越复杂。因此，最优化理论也会根据模型建立的不断发展越来越完善。从另一方面看，最优化理论的不断完善也会影响着数学模型不断地提高与优化，为解决客观问题提供最为重要的一步。但是，距离目标还是有一定的距离，同时也显现出了这其中所包含的一些问题，比如说数学建模被其他专业接受的力度不够，受益面小等。要想解决这些问题，就必须对优化建模进行深一步的改革与探索。

参考文献

[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

常见的建立数学模型的方法范文第5篇

关键词：数学模型教学；综合应用；强化意识

《全日制义务教育数学新课程标准（修改稿）》指出：数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。我认为，具体的数学知识是载体，发展数学思考和综合运用的能力是归宿。数学模型不仅为数学表达和交流提供有效途径，也为解决现实问题提供重要工具，可以帮助学生准确、清晰地认识、理解数学的现实意义，更进一步培养学生应用数学的意识以及分析和解决实际问题的能力。

一、初步认识数学模型

所谓数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。数学模型也不是对现实系统的简单的模拟，它是人们用来认识现实系统和解决实际问题的工具。数学模型是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、翻译的结果。它是使用数学语言精确地表达了对象的内在特征。通过数学上的演绎推理和分析求解，使得我们能够深化对所研究实际问题的认识。数学模型是数学知识和应用能力共同提高的最佳结合点，是启迪创新意识和创新思维的重要手段，也是培养学生主动探索和团结协作精神的有力措施。

二、初中数学常见的基本数学模型：方程（不等式）模型、函数模型、几何模型、概率模型、直角三角形模型等。

1、方程（不等式）模型：现实生活中广泛地存在等量关系，如利息和税率、百分比、工程问题、行程问题等，通常都需要建立方程（组）的模型来解决问题；生活中的不等关系主要体现在市场营销、生产决策、统筹安排等方面，对于此类实际问题可以考虑通过建立不等式（组）的模型来解决。

2、函数模型：当涉及到总运费最少或利润最大等决策性问题时，可通过建立函数模型，运用函数的解析式、图像、列表等方法来解决实际问题.

例如：某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元.

（1）求这两种品牌计算器的单价；

（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出费用y1、y2（元）与x（个）之间的函数解析式；

（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由。

此问题先考查方程组模型，求出这两种品牌计算器的单价；然后根据两个商店促销方式的不同，建立一次函数模型；最后根据费用之间的不同关系列出方程、不等式，决定解决问题的最佳方案。

当从实际生活中观测得到的数据间存在线性关系时，可用一次函数模型加以解决；在涉及到用料最省、造价最低、利润最大等问题时，可用二次函数模型进行解决。

3、直角三角形模型：当涉及测量高度、测量距离、航海、拦水坝等实际问题时，可考虑建立直角三角形模型。

例如：如图，在某飞机场东西方向的地面上有一长为1km的飞机跑道MN，在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距千米的C处.

（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）

（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由.

本题考查了解直角三角形以及方位角，勾股定理的应用，作出辅助线构造成直角三角形模型是解题的关键。也可以建立一次函数模型来解决问题。

三、当前初中数学模型教学中存在的几个问题

1、教师对初中数学模型教学及其重要性认识不到位。教师未深入理解数学模型教学的有关知识，不能体会到数学模型教学对学生的成长的重要意义。在课堂教学中，教师未能大胆地进行数学模型教学，导致学生对各种数学基本模型认识不够，掌握不牢，应用不灵活，遇到较复杂综合应用题便束手无策。

2、学生心理因素――缺乏足够的信心。用数学模型解决实际问题，是一种创造性地劳动。心理学研究表明，良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件，它主要包括以下要素：（1）自觉的创新意识；（2）强烈的好奇心和求知欲；（3）积极、稳定的情感；（4）顽强的毅力；（5）独立的个性；（6）强烈而明确的价值观；（7）有效的组织能力。多数学生不具备以上心理品质，因而遇到数学实际问题时，感到茫然，甚至产生畏惧心理。

2、学生的抽象能力较弱。数学模型学习的第一步是整理数据，简化实际问题，对有用信息加工处理，提取问题中的有用信息，建立这些信息之间的相互联系，然后用合理的方式表达信息。有些学生不能将这些信息很好地整合在一起，未能采用表格或信息图等方法，分析清楚各信息之间的内在联系。

四、笔者对目前初中数学模型教学的一些体会

1、教师一定要转变教学观念，坚持做好师生的角色定位。教师要转变教学观、学习观、发展观，这样更有利于发挥教师的主导作用和学生的主体作用，教师的主导作用体现在创设好的问题环境，激发学生自主地探索问题的积极性和创造性等方面。学生可以通过观察、收集、比较、分析、综合、归纳、转化、构建、解答等一系列认识活动来完成建模过程，学生能成为学习的主体。教师应是课堂教学的设计师――设计精彩准确的开端和拨乱反正的思维技能；参谋长――提出求解的建议以及可参考的数学信息，不能代替学生做出决断；询问者――明知故问，问原因、找漏洞，督促学生理清楚，说明白；鉴赏者――评判学生学习全过程与数学成果的价值、意义、优劣，鼓励学生有创造性的想法与做法教师的指导作用更多的表现在“策略”的指导，立足于学生对问题的分析，对解决问题过程的理解，而不仅仅是对学生正确的解答的满足。教师与学生分享彼此的思考、见解和知识，交流彼此的情感、观念与理念，丰富教学内容，求得新的发现，真正实现教学相长。

2、顺利进行数学模型教学的关键在于提高教师的业务水平。一个优秀的教师，应该是研究型的教师，不仅要有丰富的教学经验，还要有理性的思考，以研究者的眼光审视、反思、分析和解决自己在教学实践中遇到的问题，始终把日常教学工作与教学研究融为一体，这既是时代对教师的要求，也是教师作为学生学习促进者的前提条件。教师应不断学习数学模型教学，掌握数学数学模型教学的方法和步骤，并能自主地设计出有针对性的数学综合性问题，使数学模型教学更合理、更高效。

3、教师要有针对性地开展数学模型教学。有效的开展数学模型教学一定要结合学生的年龄特点、知识结构和智力水平。学生必须先掌握基础知识和基本技能，设计出梯度合理的数学模型问题，让不同层次阶段的学生，通过开展数学模型教学活动，得到学数学，用数学的实际体验，培养学生勤于思考，勇于探索问题的勇气与敢为人先的精神，从而达到全面提高学生素质的目的。切忌一味追求建模题目“新、奇、特”，使学生望而生畏，从而影响数学模型教学活动的健康发展。

4、数学模型教学中，学生的主要学习方式是：主动学习、实践学习、合作学习。学生的主体作用体现在对数学问题的探索、发现、解决的深度和学习方式等方面。要求学生对有关数学知识充分理解，有时还涉及其他自然科学知识；要求学生具备敏锐的洞察力，良好的想象力以及灵感和顿悟，较强的抽象思维和创新意识；要求学生具备较强知识应用能力和实践能力。另外，随着科学技术的进步，计算机的广泛应用，计算能力的日益提高，数学计算工具正在更新，可以借助有图象的高功能计算器，这为数学模型求解创造了条件，不但保证了数学模型的实际应用，也为数学模型的广泛普及提供了条件。

数学模型教学是提高课堂教学效率的助推器。教师不断强化数学模型教学，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识和基础技能，学会数学思想和方法，也为学生树立正确的数学观，增强应用数学的意识，它不仅改善了教师的“教”和学生的“学”，也促进理论知识与实际问题结合。教师不断强化数学模型教学，促使学生更进一步了解数学与科学、技术、社会的关系，全面落实素质教育，为建设祖国培养更多的高科技人才。

参考文献：

[1]《全日制义务教育数学新课程标准（修改稿）》