初中数学求动点最值的方法
前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇初中数学求动点最值的方法范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。
初中数学求动点最值的方法范文第1篇
一、问题原型：
（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题
二、基本解法：
对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。
三、例题解析与归纳经验
例1.要在河边修一个小泵站，分别向张村和李庄送水，问水泵站应建在河边的什么地方，可便所用的水管最短？
分析：如何证明两线段和最短？考虑到初一学的线段公理“两点之间，线段最短”，那么，如何把这两条线段转化成一条线段呢？此时，轴对称的性质，对称轴是轴对称连线的中垂线。作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B直线l于P点，此时，两线段的和PA+PB=PA'+PB=A'B最短。
例2.已知A（-1，1）B（2，3），在x轴上找一点P，使AP+BP最短。此时AP+BP的长为_______
分析：（与例1方法相同）过点P作水平线，过点P作垂直于x轴直线，两直线交于点C，A'C=3，BC=4，利用勾股定理求出A'B=5，即AP+BP的长为5。
例3.在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，M是AB的中点，点P是对角线AC上的一个动点。求PM+PB的最小值是________________.
分析：根据菱形的轴对称性可知，点B关于对角线AC的对称点就是点D，连结PD. 则PB=PD。那么PM+PB=PM+PD。即PM+PB的最小值即就是PD+PM的最小值，也就是点DM的值。因为四边形ABCD是菱形， ∠BAD=60°，ABD是等边三角形。又M是AB的中点，所以DM是ABD中线，又因为等腰三角形三线合一的性质，所以DM是ABD高线。又因为AB=2，所以AM=，DM=3，故PA+PB的最小值是3。
例4.正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形 ，点E在正方形ABCD的内部，在对角线AC上有一点P，求PD+PE的最小值____________.
分析：根据正方形的轴对称性可知，点D关于对角线AC的对称点就是点B，连结PB，则BP=DP。那么PD+PE=PB+PE。即PD+PE的最小值即就是PB+PE的最小值，PB+PE的最小值为BE。因为正方形ABCD的面积为12， 则AB=2，又因为ABE是等边三角形。又M是AB的中点，所以DM是ABD中线，又因为等腰三角形三线合一的性质，所以BE=AB=2，又所以PD+PE的最小值是3。
归纳经验：此类问题的共同特点是将两条线段的和转化为一条线段，这条线段的长度就是最短距离，怎样找到这条线段呢？步骤如下（以最后一题为例）
1.动点P在AC直线上运动，这条直线AC即为对称轴。
2.找出（或作出）点D关于这条直线的对称点B
3.连结BE，BE即就是这条线段。BE的长度即是最短距离，（当PD+PE取最小值时，点P就是BE与对称轴的交点.。
4.利用所学的知识，求BE的长度。
初中数学求动点最值的方法范文第2篇
二次函数压轴题能考查综合运用知识的能力，具有知识点多、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活等特点，因此是中考数学的难点.不过，如果我们能在做习题的基础上多总结一些方法，发现一些规律，有些难点就能较快突破.下面我们就一类二次函数与三角形面积的最值问题，来探求其中方法与规律.
一、规律发现
引例 已知二次函数y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，求PBC面积的最大值及此时点P的坐标.
【解析】本题为求三角形面积最值问题，可以采用平行线法或构造二次函数模型求最值等两种思路来解决问题.
解法1：如图1，易求直线BC的解析式为：y=-x+3，所以可设直线l为y=-x+b.过点P作直线l∥BC，则多数情况下，直线l与抛物线有两个交点，此时SPBC显然不是最大；当直线l与抛物线有唯一交点（即方程[y=-x+b，y=-x2+2x+3]有唯一解）时，点P到BC的距离最大，因此SPBC最大.①代入②化为一元二次方程可得x2-3x+b-3=0，当Δ=0时，方程有两个相等实数根，即b=[214].将b的值代回原方程组，可得此时点P的坐标为[32，154]，再由P、B、C点坐标可求得PBC的面积最大值为：[278].
解法2：如图2，同样求得直线BC的解析式为：y=-x+3.过点P作直线垂直于x轴，交直线BC于点D.
因为点P在抛物线上，所以可设点P坐标为（n，-n2+2n+3）（0≤n≤3），点D在BC上，因此坐标为（n，-n+3）；以PD为底边，设PDC的高为h1，设PDB的高为h2，则h1+h2=3，PD=（-n2+2n+3）-（-n+3）=-n2+3n.
SPBC=SPDC+SPDB=[12]PD・h1+[12]PD・h2
=[12]PD・（h1+h2）=[12]PD×3=[32]PD
=[32]（-n2+3n）=-[32]n2+[92]n.
这样，SPBC就是关于n的二次函数，根据二次函数性质易得当n=[32]时，SPBC的最大值为[278]，此时点P坐标为[32，154].
【发现1】在解法1中，当三角形面积取得最大值时，只存在一个PBC，但当面积缩小时，可能同时存在两个不同的PBC；
【发现2】在解法2中，将PBC进行纵向切割，将其分割为两个底边都为PD的三角形，它们的高的和就是BC两点的横坐标的差；
【发现3】注意观察两种解法中，当三角形面积取得最大值时，点P的横坐标是[32]，而点C的横坐标为0，点B的横坐标为3，可以理解为点P的横坐标恰好是线段BC中点的横坐标.其实这种情况并不是巧合，是一种规律，是可以用数学方法证明的.（有兴趣的同学可以抛物线y=ax2+bx+c和直线y=mx+n（am≠0）的交点是（x1，y1），（x2，y2）为一般情况进行证明，这里就不赘述.）
二、试刀中考
例1 （2016・江苏苏州）如图3，直线l∶y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4（a
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）略.
【解析】（1）方法略，函数解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）本题初看与上面的引例不同，但其抛物线上的动点，及计算三角形面积的最值都与引例类似，可用解法2的方法求解问题，不过考虑到纵向作垂线分割三角形计算有一定的困难，可以采用横向作垂线分割三角形，纵向距离为高.
如图4，过点M作MEy轴于点E，交AB于点D，可设点M坐标为（m，-m2+2m+3），D在AB上，因此D坐标为：
[m2-2m3，-m2+2m+3]， DM=[-m2+5m3]，
S=[12]DM（BE+OE）=[12]DM・OB
=[12]×3×[-m2+5m3]=-[12]m2+[52]m.
然后可由二次函数性质求出最大值为[258].
【评析】在平面直角坐标系中研究一些图形的面积时，可采用割补法将复杂、不规则的图形分割成若干个三角形计算.分割时要注意以下几点：①分割后的三角形面积应该容易计算；②一般的分割方法为横向或纵向；③如有必要，也可斜向分割.
如本题中也可连接OM，计算四边形BOAM的面积减BOA的面积.有时可能要进行多次尝试，才能找到更为简单的计算三角形面积的方法.
例2 （2010・江苏徐州）如图5，已知二次函数y=-[14]x2+[32]x+4的图像与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC.
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）线段AC上是否存在点E，使得EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？
【解析】（1）解答略，A（0，4），C（8，0）.
（2）易得D（3，0），CD=5.直线AC对应的解析式为y=[-12]x+4，分三种情况讨论：①DE=DC，②ED=EC，③CD=CE，可求得三个点E的坐标分别为：E1（0，4），E2[112，54]，E3（8-[25]，[5]）.
（3）本题思路较为难觅，关键要理解“S取何值时，相应的点P有且只有2个”这句话的意思：其实只要考虑S的取值范围（即最大值与最小值），然后探讨在S取不同数值时的点P的个数即可.在求S的取值范围时，还要对点P所在的位置进行讨论，当点P的位置在AC上方时，就可以用引例中的两种方法求S的最大值，我们以第二种方法来解.
过P作PHOC，垂足为H，交直线AC于点Q.设P（m，-[14]m2+[32]m+4），则Q（m，-[12]m+4）.
① 当点P在AC上方时，即0
此时当且仅当S=16时，相应的点P只有1个，当0
② 点P在AB之间时，即-2
故S=16时，相应的点P有且只有两个.
【评析】本题的第（3）题问法比较难理解，尤其是“相应的点P有且只有2个”，这需要对此问题有一定的研究经验，知道引例中的平行线研究方法的原理（关键是不同面积数值与点P的个数的对应关系），否则不容易联想到要考虑PAC面积的取值范围.当然，在具体计算S的最大值时，还是用设坐标，用含m的代数式表示PAC的面积的方法更为简洁一些.
初中数学求动点最值的方法范文第3篇
关键词：初中数学； 二次函数； 三角形面积问题
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）10-035-001
一、抛砖引玉
建模：已知直角坐标中点B（3，0），C（0，3）D（1，4），求出顺次连结这三点的三角形的面积。
引导问题：在平面直角坐标系中画出BCD的图形。探索根据已知三点的坐标如何来求出BCD的面积。在求BCD时遇到困难时能否用数学的“割补法”帮助你解决这个问题。请你提出你的观点并大胆地尝试。
教学感悟：本次建模是为下面引出问题作下伏笔，我们尽可能让学生提出不同的分割思想，让学生提出不同的见解，说出不同的解决问题方法。
二、构建例题
例题：如图（7）已知抛物线图象过A（-1，0），C（0，3）且对称轴为直线x=1。
（1）求抛物线的解析式，图象与x轴的另一个交点及顶点D的坐标；（2）求DCB的面积。
引导问题：求二次函数的解析式有哪三种方法？本题采用哪一种方法解题比较简单？求DCB面积时我们需要做些什么准备工作？B、C、D坐标求出后三角形面积如何求？它与上述的模型有类同之处吗？如有类同，哪些分割法比较适宜本题？请你试试并求出答案。
设计意图：通过本题学习使学生进一步掌握二次函数解析式的三种不同的表达式，让学生体会到不同的选择带来不同的简便效果，进一步让学生掌握平面直角坐标中求斜三角形面积的不同分割方法。
变式题1：如图（8），已知抛物线与坐标轴交于C、B两点，D是直线BC上方的二次函数的一点动点，（点D与B、C不重合），点D运动到什么位置时DBC的面积最大，求出此时点D坐标和三角形面积的最大值。
引导问题：（1）从例题到变式题，两题都是求三角形面积，两者是否存在差别。（2）变式题中已知二次函数解析式能求出B、C的坐标并能求出BC的长，当点D与到直线BC距离最大时DBC面积最大？你会不会求出D与到BC最大距离，如不能，你用什么方法来解决你的问题？二次函数最值问题对你解决问题是否有帮助呢？如有帮助，那么如何建立DBC面积关于点D的坐标的函数关系式？建模中的三角形分割思想对你解决本题有什么启发？
变式题2：已知抛物线y=-x2+2x+3与直线y=-x+1交于C、B两点，D是直线上方BC的二次函数的一点动点，（点D与B、C不重合），点D运动到什么位置时三角形DBC的面积最大，求出此时点D坐标和三角形面积的最大值。
引导问题：变式题（2）与变式题（1）有什么区别与联系？它们有类同点吗？如有类同则上题几种解题方法能适应本题吗？在这几种方法中哪种方法比较简便，能不能用上面感悟的方法来解决本题？请你试试。
略解：过D作DE//y轴交BC于点E，DE//y轴，xp=xE，点D的坐标（x，-x2+2x+3），点E坐标（x，-x+1），
变式题3：已知抛物线y=-x2+2x+3与y=-x+1直线交于点C，与x轴于点B，D是直线BC上方抛物线上一个动点，（点D与交点不重合）点D运动到什么位置时DBC的面积最大，求出此时点D坐标和三角形面积的最大值。
引导问题：变式题（3）与变式题（2）有区别和联系吗？这两题的主要不同之处在哪里？能不能用相同的方法求解。
透析：随点D的运动位置不同，DBC将出现以下三种不同的图形：
我们发现SDBC=■DFxB-xC，当直线与二次函数的解析式确定，B、C的坐标也就确定，SDBC面积与DF的长度有关，当DF有最大值时，SPBC的面积也存在最大值。
略解：过D作DF//y轴，交直线BC于点F，DF//y轴，xD=xF，点D的坐标（x，-x+1），点F坐标（x，-x+1），DF=yD-yE=（-x2+2x+3）-（-x+1）=-x2+3x+2。
初中数学求动点最值的方法范文第4篇
【关键词】 动 静 参数
一 、 以"静"克"动"
1.参数法
①直角坐标参数法
例1（2013四川德阳，24，14分）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（0为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0 ， 6），将BCD沿BD拆叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE拆叠，恰好使点A落在BD边的F点上.
（1）求BC的长，并求拆痕BD所在直线的函数解析式；
（2）过点F作FGx轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线 经过B、H、D三点，求抛物线解析式；
（3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B， D点），过P作PNBC，分别交BC和BD于点N、M，是否存在这样的点P，使 ，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
解：（1），（2）略
（3）P在抛物线上，P（x， ），M（x， ），N（x，6）， ，PM=MN，即： . ， ，
， .当 时， ，
当 时， ，P（ ，2）或P（ ，6），
P不与B重合，P（ ，6）舍去，点P的坐标是（ ，2）.
说明：坐标参数法是把动点的坐标用未知参数体现运动特点表示出来，这样动点就可以象定点那样参与运算，使"动"的对象过渡到"静"的对象，然后利用用运动规律列出含有参数的关系式，最后解出所设的未知参数.这类问题在这几年的中考卷中出现比较多.
②一般参数法
例2如图，P与x轴相切于坐标原点O，点 A（0，2）是P与y轴的交点，点B（-2 ，0）在x轴上， 连结BP交P于点C，连接AC并延长交x轴于点D.
（1）求线段BC的长；
（2）求直线AC的函数解析式；
（3）当点B在x轴上移动时，是否存在点B，使BOP∽AOD？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）BC=2；
（2）如图，过点C作CEx轴于E，CFy轴 于F，在PBO中，CF∥BO， 即 .解得CF= 同理 ，可解得CE= 因此点C坐标为（- ， ）.设直线AC的函数解析式为y=kx+b.由于直线AC过A（0，2），C（- ， ）两点. 所以有 ，解得 所求函数解析式为y= x+2.
（3）略.
说明：参数法是数学中很重要的解题方法，在解决"动"的问题中，也往往利用参数这一"法宝"，充分运用变"动"为"静"的辨证关系，所有的与"动"有关的因素，即动因都可以用参变量来描述.这样，就可以与“不动”因素一起参与运算了。
2.特殊位置法
例3 如图，已知AB是O的直径，直线MN与 O相交于点E，F，ADMN，垂足为D.
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）若把直线MN向上平行移动，使之与AB相交，其它条件不变，请把变化后的图形画出来，并指出∠BAE与∠DAF是否仍然相等（直接回答，不必证明）？
解：（1）略；
（2）使MN过O点，（如右图）在这种特殊位置时，就很 容易看出关系式∠BAE=∠DAF仍然成立.
说明：本题利用了MN在移动中的特殊位置，使问题变得既简单又明了.这是与"动"有关的巧妙方法.
3.数学模型法
例4 如图所示，RtABC≌RtDEF，∠C=∠F=30°，AB=DE=a，当两个三角形沿直线FC移动时，求图中阴影部分的面积的最大值.
解：显然有ABC≌DEF设MB=x，则由已知可得AB=a，AM=a-x， ∠A=∠AMK=60°.EC=BF= x，BC= a，AMK为等边三角形 S阴影=SABC -SAMK -SNEC = BC×AB- AM× AM - × x 2 = × a2- （a-x）× （a-x） - × x 2= a2- （a-x）2- x2= （2ax-2x2）= - x2+ax。 当x= a 时，阴影部分的最大值是 a 2， S阴影 = a2 .
说明：许多运动中的最值问题往往借助于函数知识，利用函数中的定义域和二次函数的最值求解.所以往往采用建立函数模型.使动的对象通过设的未知量，而和如"静"的对象一样参与运算，从而达到目的.当然还有方程模型，不等式模型（此问题与2006年呼和浩特市的中考题相同，只不过呼市的问题中AB是一个常数 . ）
二、 以"动"克"静"
1.位置无关法
例5 如图1， 在矩形ABCD中， 横向阴影部分是矩形，另一阴影部 分是平行四边形.依照图形标注的数据计算图形空白部分的面积，其面积是（ ）
A. bc-ab+ac+c B.ab-bc-ac+c
C. a +ab+bc-ac D.-bc+a -ab
说明：本题把阴影矩形动起来，平移到图2的位置，问题就容易得多.因为本题中仅仅与图形的面积有关，与图形的位置无关.这类问题往往是采用使静的图形动起来，运动到与解题相当有利的位置.本题的正确答案是B.
2.等价变换法
例6 已知如图1，AB为过圆心 O的直线，弦CD∥AB . 弧DC的度数 为60°，如果O的半径为r，求图中 阴影部分的面积.
解：如图2所示，把点B平移到O点，即连结OC和OD.则图2中的阴影部分的面积就等于图1中阴影部分的面积.而图2中的阴影部分的面积就是扇形，就容易求了.为 πr .
说明：点B从原来的位置平移到圆心O得到扇形OCD，实际上是一种等积变形.即从"静"到"动"实现等价变换.
3.定值问题
例7 已知，如图，三角形ABC中，AB=AC，过BC上 一点D作垂线交两腰所在的直线于E，F.求证：DE+DF为定值.
分析：由等腰三角形ABC及DFBC于D，可以得到当动点D到达BC中点时，可确定所求的定值为2AH.
证明：过A作AHBC于H，则BDE∽CDF∽BHA.
① ， ②，又BH=CH. ①+② 得 = = = =2.DE+DF=2AH. 而AH为定值.DE+DF为定值.
说明：几何中的定值问题，往往是寻找某些运动中几何图形的特殊位置.从这些特殊位置中再去寻求不变量即定值.从而使问题得以解决.
4.构造法
例8 已知如图，ABC中，AB=AC，∠APB>∠APC，求证：PC>PB.
证明：将ABP绕A点向逆时针方向旋转，使AB与AC 重合，得ACD，连结PD则ABP≌ACD.
AP=AD，BP=CD，∠APB=∠ADC.
AP=AD，∠APD=∠ADP.
∠APB>∠APC，∠ADC>∠APC，∠ADC-∠ADP>∠APC-∠APD.
∠PDC>∠DPC，PC>DC.
说明：本题就是把"静"的ABP作适当的旋转运动，得到ACD，使得问题得以解决.这是充分利用"动"与"静"这对辨证的关系解决问题的最好例子.其实这也可以归纳到构造法中去.
4."确定"与"不确定' "动点"与"定点"的相对性
例9如图，在矩形ABCD中 ，AB=3，AD=4，P是AD 上的动点.PEAC于E，PFBD于F，则PE+PF的值为（ ）
A. B.2 C. D.
解：把A看成是P点运动过程中的一个动点， 则此时PE=0， PF为RtBAD斜边上的高线，
AB=3，AD=4，BD= =5.斜边上的高线AH为 = .应选A .
初中数学求动点最值的方法范文第5篇
【关键词】课题学习;最短路径问题;实施;交流
序言
最短路径问题的教学在初中教学中出现有几种类型，频繁出现的主要在几何与函数知识点教学方面，以学生能力提升为主，教师应当在选择课题时注意此点，采用便捷、灵活的计算方法和技巧，优化教学方法，提高学生解题的效率，培养学生数学逻辑思维能力。
1.课题学习原则
课题学习属于新颖的学习方式，课题学习课堂上教师需要对教科书或者是相同类型的课题、题型进行有效整合，通过教师的教学引导，综合运用各种解题方法对课题进行解决，积累更多课题知识，提高自主探究能力，拓展学生学习交流，引发更多学习创新方法，课题学习有关特征主要有四种：主体性，课题学习可以充分体现出学生在学习的过程中是要通过合作讨论、自主探索的学习方式，才可以在解决数学问题有清晰的解题步骤和思考思维，以问题作为出发点，然后主动思考问题，体现了学生主体地位突出;探究性，课题学习教学需要教师引导学生对问题进行探究，绝不可直接解答题目反而遏制了学生探究思维的开发，必须要体现课题学习的探究性;综合性，课题学习所涉及的内容比较广泛，如果是在初中三年级的话，学习最短路径问题就会涉及到整个初中数学知识体系，包括的范围广，或者还接触到其他学科中去，体现课题学习的综合性强的特点;开放性，课题学习不局限与教材的内容，学习本来就具有融会贯通的思维能力，没有持久不变的题目，只有永恒的逻辑思维，当遇到相类似的题型，就需要学生使用解题技巧和数学理论知识结合起来，教师亦当如此。
2.强化对“课题学习”理论的认识的理解
教师在进行“课题学习”的课堂之前，帮助学生对各个类型的知识点进行回顾，把相关的数学概念和定理整理归纳好，思考各个类型知识点和问题的解决途径和技巧。同时，教师也需要加固课题学习所涉及的数学知识点和教学的相应技巧与教学方法，充分做好备课工作，深刻认识到“课堂学习”的重要教学理念和实际的教学目标，做好课堂的教学规划和改善课堂教学流程。
3.规划“课题学习”教学方案
此次“课堂学习”的教学内容是关于初中数学最短路径的问题，教师需要根据学生所学过的知识内容进行规划后课堂教学的方案，分配好各个知识点的最短路径问题在课堂上利用的时间，知识点的难易程度、解题方法和教学方式会决定所耗费的时间长短。关于最短路径的问题教师首先收集好典型且具有意义性的题目，并且了解如何进行解答。例如教师可以从蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食，其原理是线段之和最短的问题或者是数模、函数等方面进行收集相关的数学题目，此外，在题目中还需要对该知识进行拓展，或者构思不同方式的题目，拓展学生思维的界限，教师还应强调由易到难的教学观念。
例如：
问题一、如图1，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
图1
此问题的要求就是要在直线上找到一个点，这一点要使得直线同侧的两个定点到这点的距离之和要达到最短，此题利用到“两点间的所有连线中，线段最短”的理论来进行论证求解。除了这一题外还有其他相同类型的题目比如：蚂蚁的爬行问题，如图2是一个长方体木块，已知AB=5，BC=3，CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是多少？
图2
这都属于最短路径的数学题目，涉及到几何体的内容，需要拆开的方式来求证。
问题二、数学知识点不仅仅只有这点，还有关于几何方面的知识都有最短路径的探究：
如图3，AB是O的直径，AB=2，OC是O的半径，OCAB，点D在弧线AC上，弧AD等于2倍的弧CD，点P是半径OC上的一个动点，求AP+PD的最小值是多少？
图3
这类型的题目需要结合到几何定理知识来求解。
教师在进行“课题学习”之前就需要对这些类型的题型完全把握好，分析几何型和数形结合的问题，理清解题的过程，贯穿到哪些方面的数学定理、概论。结合到题目的难易程度或者知识点范围，可以规划几个课时才可以解决，制定明确的课堂流程。
4.利用教学方法促成“课题学习”教学
教师进行改善教学方法，需要考虑到“课题学习”的主要特点来制定相应的教学方法，就从它有主体性的特点来思考。教师可以展开小组合作讨论活动，对最短途径问题进行探索，为学生提高情境教学的环境，提高学生课题学习课程的兴趣，培养学生探索思维，创新思维。例如在“问题一”中的第二类型的题目上展开小组讨论活动，由于问题难度不算高，教师可以一两人为一小组，提倡学生利用上现有制作的数学模型展开讨论，可以把制作好的长方体标记好有字母的标记，让学生进行思考探索，学生在探索思考过程中，加上动手的操作，就可以理解到如何进行解决问题。从小组讨论的教学方式来说，极好地体现了“课题学习”教学的有效性。此外，教师还应该采用数形结合法来教学，图像的表达可以把抽象的数学条件，诱导出形象的图像，加快学生解题速度。
结语：综上所述，数学问题万变不离其宗，所有题目或者题型的变化，都可以找到问题的突破口，结合数学理论知识就可以把问题解答，课题学习的关键作用使得学生在学习过程中对知识点的回顾，加深对知识的理解，同时可以培养学生的创新思维和探索精神。
【参考文献】
[1]叶澜.《“新基础教育”探索性研究报告集》，三联书店，1996年版
[2]戴向阳.动点下的线段最值解法探微.中学数学教学参考，2014（3）
