数学建模的微分方程方法
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数学建模的微分方程方法范文第1篇
Abstract： This paper discussed the thought of introducing mathematical modeling to higher vocational differential equation teaching， through the analysis of the present situation of higher vocational students' mathematics study， proposed the significance and method of introducing mathematical modeling to ordinary differential equation teaching and its application of ordinary differential equations in mathematical modeling， to enable students to experience the fun of applying mathematical knowledge solving practical problems， improve student's mathematics quality， and achieve the goal of teaching reform.
Key words： higher vocational；ordinary differential equation；mathematical modeling；application
中图分类号：O175 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）24-0222-02
1 微分方程产生的背景
微分方程作为数学领域的中心学科至今已有近300年的发展历史。1676年詹姆士·贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科。微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世界的重要工具。1846年，数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发现了一颗有名的新星——海王星。1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例还有很多。微分方程在物理学、工程学、力学、天文学、生物学、医学、经济学等诸多领域都有重要作用。
2 数学建模及思想
科技的突飞猛进和社会的快速发展要求相关工作人员灵活运用数学思维方式来解决各行业各学科涌现出的大量的实际问题，从而取得更大的社会和经济效益。数学模型（Mathematical Model）是将实际问题转化成相关的数学问题，即研究分析复杂的问题并发现其中的关系和内在规律，进而用数学语言来表达。数学建模（Mathematical Modeling）是建立数学模型的一个过程，它将数学和实际问题结合起来，成为数学在相关领域被广泛应用的媒介。微分方程模型是数学建模中众多方法中的一种重要方法，其成为有效解决很多实际问题的一种数学手段。
常微分方程具有背景广、实际应用性强的特点，当前已经受到广泛关注。数学应该应用到大量的实际问题中这一观点已经在国内外新版教材中明确强调，并且编入了实际应用的例子。从而引导学生利用常微分方程来解决各种实际问题。将数学建模思想融入到教材和教学中，既可以让学生更深层次的领悟数学建模的方法和思想，又可以着重培养学生的应用数学的能力和数学思维方法，从而改变单纯地强调知识技能的教学方法。这意味着教学工作者正在逐步转变教学思想观念，是时代进步的标志。
3 高职学生数学学习现状分析
目前部分学生普遍认为大学数学属于枯燥的理论研究，通过套公式，记公式来应付考试，而没有实际的用处，造成学生对于大学数学的学习积极性不高，以及养成不良的学习习惯。同时我院的数学教学课时少（微分方程此章在教学计划中为12课时），任务又较重，造成学生学习数学的压力。因此，我们高职教师面临的重要任务是注重数学教学的方法和思想，帮助学生培养良好的数学学习习惯和学习方式，增强学生的对数学学习的自信心。
4 在常微分方程教学中渗透数学建模思想的意义及方法
常微分方程是高等数学教学内容中很重要的一部分，因为它的应用广泛，和专业课紧密联系，同时也是数学建模中处理问题的重要方法之一。在传统的教学模式下，学生在学习常微分方程这部分内容时只知道怎么解题，却不知道有什么用处，缺乏学习的动力和兴趣。很显然这样的教学模式已不适应现代社会发展的需求了。因此，全国高等院校数学课程指导委员会提出，“要加强对学生建立数学模型并利用计算机分析处理实际问题能力的培养与训练”，这说明学生需要将常微分方程，计算机等知识应用于实践，并且通过常微分方程与数学建模的有效结合来解决实际问题，在常微分方程中渗透了建模思想。
用微分方程解决问题有如下几个步骤：①提出实际问题；②根据实际问题列出微分方程，建立数学模型；③对方程进行更深层次的分析或者直接解微分方程；④分析微分方程的解来预测实际问题的发展趋势，即依据数学语言来解释实际现象或者预测实际问题。用数学语言如何阐述实际问题，如何合理假设，依据何种原理来建立微分方程，这些问题在教学讲解分析常微分方程模型时需要着重强调，适当可以利用一些数学软件。目前，我们可以通过建立微分方程模型来研究方程的解以及曲线随自变量的变化情况，逐步改变原有的只注重解题方法的关于微分方程的教学模式。用初等方法难以求出方程的解析解，这是因为模型是由复杂的方程和方程组构成。在此利用一些数学软件（Matlab，Mathematica）来求数值解并作数值模拟，从而可以提高学生灵活运用数学软件去研究和探索实际问题的能力，激发了学生的学习兴趣。
5 常微分方程在数学建模中的应用
本着“面向社会，服务专业”的精神。为了提高高职数学教学实效，提高学生学习数学的积极性，感受数学工具的价值，在建立常微分方程过程中，教师应注意数学建模思想的渗透。依据不同专业，选择和专业相关的案例。
为了调动学生学习的积极性，教师应该让学生用微分方程探索解决日常生活中遇到的问题。如利用微分方程探求凶杀案件中谋杀发生的时间，放射性废物处理问题，降落伞降落速度与时间函数关系，工、矿、化工等企业都涉及的通风问题，减肥问题，交通管理问题等等。这里举一个在讲分离变量法时介绍的案例，当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度随时间的变化规律。又如果尸体发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？下面我们来分析这个问题，首先要给学生介绍相关的牛顿冷却定律（物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比），首先设尸体的温度为H（t），其冷却速度为■，根据已知条件结合牛顿冷却定律列出方程为■=-k（H-20），初始条件为H（0）=37，这个方程对于初学者来说并不难，就是典型的可分离变量的微分方程，可以通过分离变量法解出其通解为H-20=Ce-kt，再将初始条件代入得C=17，为求出k值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条件，有37=20+17e■，求得k≈0.063，于是温度函数为H=20+17e-0.063t，将H=30代入上式解出t≈8.4，于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时，即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的。通过分析这个案例让学生体会到学习的乐趣，原来这个问题可以通过数学方法来解决，从而调动学生的积极性。数学建模思想的培养是一个长期的任务，任重而道远，教育工作者需要踏实的钻研和工作才能在教学中熟练的将常微分方程和数学建模有机结合起来，从而在教学中渗入数学建模思想。让学生自觉应用数学知识去观察和解决生活生产和科技中的问题，体会到应用数学知识解决实际问题带来的乐趣。同时提高学生的思考力，创造力和洞察力，能够增强学生应用数学思想和方法解决实际问题的能力。使其由知识型向能力型转化，全面提高学生的数学素质，达到实现教学改革的目标。
参考文献：
[1]高素志，马遵路，曾昭著等.常微分方程[M].北京：北京师范大学出版社，1985.
数学建模的微分方程方法范文第2篇
关键词：微分方程；模型；应用
对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。
一、微分方程数学原理解析
在初等数学中，方程有很多种，比如线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。
微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，微分方程与微积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的有力工具，随着生产实践和科学技术的发展，该学科已经演变发展为数学学科理论中理论联系实际的一个重要分支。随着数学建模活动的日益活跃，利用微分方程建立数学模型，成为解决实际问题不可或缺的方法与工具。
而数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构.简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
二、微分方程模型应用于实际问题的方法和流程总结
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
一般用于求解微分方程的方法或形式有三种，分别是求解析解、求数值解（近似解）和定性理论方法。而建立微分方程模型的方法通常也有三种，其一是利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型；其二是利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律；其三是在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
在建立数学微分方程的流程上，我们通常第一步是对具体实际问题进行分析，找出问题中的变化量和变量关系，接着进行模型假设，将实际问题的元素用数学概念代替，然后进行符号设定，简化计算，从而建立模型，进行求解，最后用求解的结果对之前的问题分析和模型假设进行验证，验证合理后进行模型的应用和评估。
三、微分方程模型应用领域归纳和具体案例分析
从应用领域上讲，微分方程大方向上的应用领域主要分社会及市场经济、战争微分模型分析、人口与动物世界、疾病的传染与诊断和自然科学这五个方面，如果细致来讲，其中社会及市场经济方面又包括综合国力的微分方程模型、诱发投资与加速发展的微分方程模型、经济调整的微分方程模型、广告的微分方程模型、价格的微分方程模型；战争微分模型包括军备竞赛的微分方程模型、战争的微分方程模型、战斗中生存可能性的微分方程模型、战争的预测与评估模型；人口与动物世界领域包括单种群模型及进行开发的单种群模型、弱肉强食模型、两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型、无管理的鱼类捕捞模型、人口预测与控制模型；疾病传染与诊断领域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病诊断的微分方程模型、人体内碘的微分方程模型、药物在体内的分布与排除模型；自然科学领域包括人造卫星运动的微分方程模型、航空航天器翻滚控制的微分方程模型、非线性振动的微分方程模型、PLC电路自激振荡的微分方程模型和盯梢与追击问题的微分方程模型等。
尽管从上述微分方程应用领域的罗列和总结上，我们会觉得比较复杂，其实所有微分方程建模问题的流程都是严格按照问题分析、模型假设、符号设定、建立模型、模型求解和验证模型这一流程进行的，下面就结合一个案例来具体分析：
比如弱肉强食微分方程模型。生活在同一环境中的各类生物之间，进行着残酷的生存竞争。设想一海岛，居住着狐狸与野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之丰富，兔子们无无食之忧，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐狸数量增加吃掉大量兔子，狐群又进入饥饿状态而使其总数下降，这时兔子相对安全，于是兔子总数回升。就这样，狐兔数目交替地增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡。那么，如何用建立数学模型描述并预测下一阶段情况呢？在这个问题上，某一时刻兔子数量和狐狸数量就存在变量关系：
其中ax表示兔子的繁殖速度与现存兔子数成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；-cy表示狐狸因同类争食造成的死亡速度与狐狸总数成正比；dxy表示狐兔相遇，对狐狸有好处而使狐狸繁殖增加的速度。
四、结语
微分方程模型的应用让很多现实中难以具体计算的问题迎刃而解，通过对事物发展规律的掌控进行科学建模，是数学应用于生活的发展趋势，作为广大在校进行数学专业学习的同学来说，掌握好专业基本功，是将来就业工作，实现自身价值的重要途径。
参考文献：
[1]肖静宇. 几类分数阶微分方程的数值方法研究[D].哈尔滨工业大学，2013.
[2]付树军. 图像处理中几何驱动的变分和偏微分方程方法研究[D].北京交通大学，2008.
数学建模的微分方程方法范文第3篇
关键词：常微分方程；教学方法；教学效果
常微分方程是基础数学的重要分支之一，它是研究客观世界量与量之间关系的重要工具，广泛地应用于物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融等领域。常微分方程课程是我校应用数学系的一门专业基础课，同时又是数学分析的后继课程。这门课程不仅可以让学生领略到丰富的数学知识，而且引导学生用新的视角认识世界，对培养学生的数学思维起到了非常重要的作用。
如何在常微分方程的教学中，提高学生的积极主动性，发挥教师的主导作用，使教学方式由教学投入，即以教学内容、学习年限为导向，转变为教学产出，即以学习效果为导向，是教学改革中大家比较关注的问题。在常微分方程课程的教学过程中，笔者有以下的构想和尝试。
一、“任务式”教学――突出学生主体，体现教师主导
目前，课堂教学的一大弊端是教师包办和代劳太多，而学生的学习兴趣不高，“学生的主体作用”和“教师的主导”体现得都不明显。学生习惯被动地接受知识，而不是主动地学习和探索知识，很难从学习中感受到快乐。为了改变这一现状，教师在教学过程中，有意识地布置一些学习任务，要求学生去完成。这个任务绝不局限于课后的习题。
比如，常微分方程第一节绪论课，主要介绍微分方程的背景知识和基本概念。常规为两课时，课堂上能够介绍的内容非常有限。教师在教学中布置学习任务：
了解常微分方程在生产生活中的应用；
了解常微分方程的发展历史和关键人物；等等。
学生可以利用各种资源，主动查找和学习相关的资料，以作为课堂内容的有效补充。为了督促学生完成任务，教师要求学生在规定时间内以论文、PPT、影像资料等多种形式提交学习成果，并及时记录和交流，任务完成情况作为学习成绩的一部分加以体现。教师则在有限的课堂时间内，重点讲解“数学单摆”“人口模型”“传染病模型”等几个非常经典的微分方程模型，使学生了解和认识应用微分方程“思考问题--建立模型―解决问题”的过程。这样的设计，突出了教师讲解画龙点睛的主导作用，也调动了学生学习的主动性，充分发挥其主体作用。
课后学生分两次完成作业，找到了鉴别名画的真伪、测定考古发掘物的年龄、深水炸弹在水下的运动、物资的供给、红绿灯问题、需求与物价之间的关系、减肥的数学模型等诸多课本上没有的例子；制作了精美的PPT，介绍常微分方程的发展历程；从方法论的角度出发，学习和总结利用常微分方程建模的常用方法。通过学习，学生对常微分方程背景知识和广泛的应用性有了更充分的认识，对应用这个工具解决问题的方法有了更加深刻的理解。这样的作业，突破课堂限制，不仅使学生学到了知识，更主要的是，在学习的过程中学会了资料的搜集与整理以及论文撰写的基本知识与格式，提高了协作完成任务的能力。这样的学习方式，使学生成为学习的主角，而教师在学习活动中的主导和组织作用也得到了充分的发挥。
二、构建以教材为中心的“辐射式”教学内容体系
除教材知识外，“辐射式”构建本课程学习内容，建设一个以教材为中心，以资料为辅助的教学内容体系。微分方程的发展历久弥新，是一门前沿性非常强的课程。教材知识虽然经典，但是比较陈旧，不能体现这门课程前沿性的特点。为此，教师在授课过程中应给学生提供比较恰当的、既结合学习内容又比较新或者比较经典的论文资料，供学生阅读学习。在搜集资料的过程中，注重提供一定比例的外文资料。通过阅读与学习这些资料，使学生提高了学习兴趣，开阔了视野。同时，积累了专业词汇，培养了阅读外文学术文献的能力，提升了学习品质，为今后的学习奠定了良好的基础。这个教学内容体系，随着教学与科研的发展不断更新和补充“新鲜血液”，经过几轮的积累，就会形成一个丰富的、动态的常微分方程课程资料库。
不仅如此，还应要求学生学习Matlab、Maple、Mathematic等常用的工具类数学软件，并且能够把它应用到常微分方程课程的学习中，解决一些基本问题，如画相图、积分曲线（面）、求各类常微分方程的近似解等。
三、“过程化”教学――注重学习过程的管理和引导
为了体现学生是学习的主体，改变单一的考试办法，应分阶段分任务进行考核。考核内容有：
第一，期中、期末考试。
第二，作业考核。
过程考核分课内作业和课外作业。课内作业是常规的课后习题；课外作业有课堂笔记、文献阅读、本课程相关资料整理等。
第三，课外学习内容考核。
主要有数学软件学习、实验课内容学习和操作等。各类学习内容在考核中都占有一定的比例，以此调动学生学习的主动性，使得总评成绩能够比较全面地反映学生的学习情况。
在考核方式的比例分配和成评定过程中，引入学生的意见，甚至部分展示内容中可以让学生的评分占一小部分。
四、“建模化”教学――突出应用，提高能力
微分方程来自于实践，主要解决实践中遇到的各种问题，建模是利用微分方程解决问题的第一步，也是关键一步。常微分方程教学应该尽可能地体现这一特点。
笔者在每一部分的教学中都尽可能引入实例，展现建模过程。完成知识点学习之后，每一章也都以解决一个实例问题作为结束。
在教学过程中，笔者根据教学进度，设计了四节“实验课”内容，体现出微分方程课程的实用性的特点。比如，在学习了解对初值的连续依赖性之后，为了使学生了解参数变化对方程解的影响，教学中增加了关于“混沌”的实验内容。通过对经典的Logistic模型数值解的计算，在计算机上让学生看到混沌现象的发生。在学习了微分方程组之后，增加了以了解微分方程组的应用和求解为目的的实验课――“盐水浓度计算”。在这个试验中，一个复杂过程被拆分成较简单的子系统，一个独立的微分方程描述一个子系统，于是一个微分方程组描述整个系统。
实验课环节比较完整地体现了问题的提出、分析、建模、解决等过程。学生使用计算机软件进行模拟或者近似解计算，提高了解决问题的能力。
五、“开放式”教学
学生的学习不拘泥于课堂，除了前面介绍的几种方法外，笔者还注重营造学术氛围，使学生感受到研究学习的乐趣。
一是请校内外专家为学生作比较通俗的学术报告，介绍微分方程领域的前沿工作、发展动态、趋势和应用，以及学习数学的方法等。通过这些学术活动，使学生在了解前沿的数学知识的同时，能够感受数学与数学家的魅力，寓教于乐、寓教于趣。
二是组织小型“学术活动”，通过分组学习，对于作业完成比较好的学生，在课堂上留5～10分钟时间，请他们给班级同学介绍成果。这项活动极大地激发了学生的学习热情和表现欲望，效果非常好。
六、“研究式”教学――通过师生的科研活动，促进教学，培养兴趣
微分方程课程是一门前沿性非常强的课程，即便是基本的知识点，也可以挖掘出可以研究的科研课题。
首先，在教学中，引导学生选择课题，参与科研活动，发现和完成一些小的科研任务，学生的创造力得到了很好的开发和提高。比如：课题组教师指导学生完成论文《幂级数法求解微分方程的近似解》《一类双反馈系统正解的稳定性研究》《人口流动对传染病的影响》等，基于课堂教学，又高于课本经典内容，这些研究成果的整理发表，极大地激发了学生的学习热情。
其次，我们认识到科研活动是教师保持创造性的重要保障，教师应该科研与教学并重，教学相长。只有知识渊博，富有创造性的教师，才有可能培养出具有创新精神的人才。只有富有教育责任感和工作热情的教师，才有可能引导学生进行富有成效的学习。在工作中，常微分方程教学团队的教师成立有非性分析研究所，每个人都主持有省部级或者国家级科研项目，为不断提高这门课程的教学质量提供了重要保障。
总之，经过几年的教学实践，我校努力践行“学生为学习主体、教师为学习主导”的原则，以课堂教学为核心，同时突破课堂有限的时空限制，通过各种教学形式，促使学生主动学习，积极探索。在鼓励和帮助学生获得知识的同时，培养学生的学习能力、分析解决问题的能力，获得了有效的学习成果。同时也真正体现出教师在教学过程中引导、指导、主导的作用。
参考文献：
[1]张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践[J].高等理科教育，2003（1）：19-21.
[2]赵中，陈莹.应用型本科高校“常微分方程”教学模式改革与探索[J].鞍山师范学院学报，2014，（2）：11-13.
[3]周玉兴，蒋心学，韦新.《常微分方程》课程教学改革的探讨[J].数学教学研究，2013，32（12）：63-65.
[4]王锐.应用型高校常微分方程教学模式改革[J].阴山学刊（自然科学），2017（1）：120-121.
[5]唐玉萍.常微分方程教学模式转变初探[J].四川文理学院学报，2015（2）：66-68.
数学建模的微分方程方法范文第4篇
【关键词】数学方法；高等数学思想；应用
中图分类号：G64文献标识码：A文章编号：1006-0278(2012)02-146-01
数学是一门高度抽象的理论性学科,又是一门应用广泛的工具性学科, 数学是许多自然学科的基础，数学思想是在对数学基本知识提炼出来的系统的具有规律性的理论和想法，而数学方法是在数学思想的基础上解决数学问题的步骤和程序，二者是相互联系的，反映了数学知识的精髓。
一、数学思想方法特征
（一）数学建模的思想方法
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。数学建模有以下几个过程：模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算。模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
（二）微积分和极限的思想方法
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。微积分的出发点是直观的无穷小量，使用极限运算分析和处理函数在一点附近的变化规律。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。研究函数的微分和积分及其应用的一门数学分科在代数概念基础上建立，为其他科学提供了重要的数学工具。
二、数学思想方法在经济学领域的应用
（一）函数和微分方程
为了研究市场价格、供需求量等各种经济变量之间的关系，常需要运用到函数的思想。利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量(供给量) 之间的函数关系，根据市场调查和统计，建立正确的数学函数，来分析和研究市场行情。利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量(供给量) 之间的函数关系分析关于国民收入Y、储蓄S与投资I的关系问题等。比如在宏观经济研究中，国民收入Y，国民储蓄S，和投资I，均是关于时间t的函数。且在任一时刻t，储蓄额S(t)为国民收入Y(t)的倍，投资额I(t)是国民收入增长率的倍。假设在时刻t的储蓄额全部用于投资，即S=I，列出微分方程 t。
（二）导数和极限
经济学中的许多问题诸如边际问题，还和导数存在着密切的联系,在建立了正确的函数之后，要分析边际成本、边际需求、边际收益的量，就必须运用到微积分思想中的求导。在整个宏观经济市场，分析国民收入、储蓄与投资的关系问题。例如某企业对其商品的销售情况进行了大量调查和统计分析后，得出总利润W(Q)(元)与每月产量Q(吨)的关系为W=W(Q)=1000Q-5Q2，要分析每月销量分别是5、10、15时边际利润并作出经济解释，边际利润函数W’(Q)=100-10Q则W’(Q)|Q=5=50，L’(Q)|Q=10=0，W’(Q)|Q=15=-50，计算结果说明当每月生产量为5吨时再增加一吨,利润将增加50元；当产量每月为10吨时,再增加一吨,利润不变；当产量每月为15吨时,再增加一吨,利润减少50元。经过边际利润的分析说明，对企业家来说，并非生产的产品数量越多,利润越高。
三、数学思想方法在技术和工程领域的应用
到目前为止，数学的所有一级分支都已经找到了应用领域，从自然科学、社会科学、工程技术到信息技术，数学的影响无处不在。微积分是高等数学的基础，应用范围非常广，基本上涉及到函数的领域都需要微积分的知识。级数中，傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等，电子产品的制造离不开微积分的数学思想。线形代数是目前应用很广泛的数学分支，数据结构、程序算法、机械设计、电子电路、电子信号、自动控制、经济分析、管理科学、医学、会计等都需要用到线形代数的知识。微分方程包括常微分方程和偏微分方程，是流体力学、超导技术、量子力学、数理金融、材料科学、模式识别、信号(图像)处理 、工业控制、输配电、遥感测控、传染病分析、天气预报等领域重要工具之一。
综上所述，高等数学思想方法不仅在数学学科领域的教学和研究中发挥极大的作用，同时也有力的促进了诸如经济学、统计学和工程技术领域的飞速发展。
参考文献：
[1]王文省,陈德新,周金锋.谈数学思想方法的应用[J].高等理科教育,2003（1）.
数学建模的微分方程方法范文第5篇
(1)将教材中的数学知识运用现实生活中的对象进行还原，让学生树立数学知识来源于现实生活的思想观念。
(2)数学建模思想要求学生能够通过运用相应的数学工具和数学语言，对现实生活中的特定对象的信息、数据或者现象进行简化，对抽象的数学对象进行翻译和归纳，将所求解的数学问题中的数量关系运用数学关系式、数学图形或者数学表格等形式进行表达，这种方式有利于培养、锻炼学生的数学表达能力。
(3)在运用数学建模思想获得实际的答案后，需要运用现实生活对象的相关信息对其进行检验，对计算结果的准确性进行检验和确定。该流程能够培养学生运用合理的数学方法对数学问题进行主动性、客观性以及辩证性的分析，最后得到最有效的解决问题的方法。
二、高等数学教学中数学建模能力的培养策略
1．教师要具备数学建模思想意识
在对高等数学进行教学的过程中，培养学生运用数学建模思想，首先教师要具备足够的数学建模意识。教师在进行高等数学教学之前，首先，要对所讲数学内容的相关实例进行查找，有意识的实现高等数学内容和各个不同领域之间的联系;其次，教师要实现高等数学教学内容与教学要求的转变，及时的更新自身的教学观念和教学思想。例如，教师细心发现现实生活中的小事，然后运用这些小事建造相应的数学模型，这样不仅有利于营造活跃的课堂环境，而且还有利于激发学生的学习兴趣。
2．实现数学建模思想和高等数学教材的互相结合
教师在讲解高等数学时，对其中能够引入数学模型的章节，要构建相关的数学模型，对其提出相应的问题，进行分析和处理。在该基础上，提出假设，实现数学模型的完善。教师在高等数学的教学中融入建模意识，让学生潜移默化的感受到建模思想在高等数学教学中应用的效果。这样有利于提高学生数学知识的运用能力和学习兴趣。例如，在进行教学时，针对学生所学专业的特点，选择科学、合理的数学案例，运用数学建模思想对其进行相应的加工后，作为高等数学讲授的应用例题。这样不仅能够让学生发现数学发挥的巨大作用，而且还能够有效的提高学生的数学解题水平。另外，数学课结束后，转变以往的作业模式，给学生布置一些具有专业性、数学性的习题，让学生充分利用网络资源，自主建立数学模型，有效的解决问题。
3．理清高等数学名词的概念
高等数学中的数学概念是根据实际需要出现的，所以在数学的教学中，教师要引起从实际问题中提取数学概念的整个过程，对学生应用数学的兴趣进行培养。例如在高等数学
教材中，导数和定积分是其中的比较重要的概念，因此，教师在进行教学时，要引导学生理清这两个的概念。比如导数概念是由几何曲线中的切线斜率引导出来的，定积分的概念是由局部取近似值引出的，将常量转变为变量。
4．加强数学应用问题的培养
高等数学中，主要有以下几种应用问题:
(1)最值问题
在高等数学教材中，最值问题是导数应用中最重要的问题。教师在教学过程中通过对最值问题的解题步骤进行归纳，能够有效地将数学建模的基本思想进行反映。因此，在对这部分内容进行教学时，要增加例题，加大学生的练习，开拓学生的思维，让学生熟练掌握最值问题的解决办法。
(2)微分方程
在微分方程的教学中运用数学建模思想，能够有效地解决实际问题。微分方程所构建的数学模型不具有通用的规则。首先，要确定方程中的变量，对变量和变化率、微元之间的关系进行分析，然后运用相关的物理理论、化学理论或者工程学理论对其进行实验，运用所得出的定理、规律来构建微分方程;其次，对其进行求解和验证结果。微分方程的概念主要从实际引入，坚持由浅入深的原则，来对现实问题进行解决。例如，在对学生讲解外有引力定律时，让学生对万有引力的提出、猜想进行探究，了解到在其发展的整个过程中，数学发挥着十分重要的作用。
(3)定积分
微元法思想用途比较广泛，其主要以定积分概念为基础，在数学中渗入定积分概念，让学生对定积分概念的意义进行分析和了解，这样有利于在对实际问题进行解决时，树立“欲积先分”意识，意识到运用定积分是解决微元实际问题的重要方法。教师在布置作业题时，要增加该问题的实例。
三、结语
