系统稳定性理论
前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇系统稳定性理论范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。
系统稳定性理论范文第1篇
这是在非线性动力系统领域中起主导作用的研究人员所写的第一本有关主题的著作，对一系列非线性动力系统的稳定边界和稳定区域，提供了清晰而严密的全方位的理论，包括：连续的、离散的、复杂的、具有两个时间尺度的、以及非双曲型的系统，并附有数值实例做说明。作者还对准稳定区域（quasistability regions）、相关的稳定区域（relevant stability regions）、以及它们的完整的特征等方面，提出了一些新的概念。
本书也覆盖了旨在估算一般的非线性动力系统的稳定区域的优化方案，并且在最后部分，作者描述和说明了，书中的理论是如何应用于很多方面，包括：电力系统中瞬态稳定性分析的直接方法、为寻求一组高质量优化解的非线性优化法、非线性系统的稳定性、生态系统动力学、以及免疫问题等。
第一作者HsiaoDong Chiang是美国康奈尔大学电机和计算机科学系的教授、Bigwood Systems， Inc.（BSI） 和Globol Optimal Technology， Inc.（GOTI） 的创办人。他是IEEE的会员。
第二作者Luis F.C.Alberto是巴西University of So Paulo 的So Carlos工学院的教授，2013-2014年曾经担任SBA （巴西自动化学会）的主席。
本书目录：1.引论。第一部分 理论，含第2-9章：2.稳定性，极限族，和稳定区域；3.能量函数理论；4.连续动力系统的稳定区域；5.复杂非线性动力系统的吸引族（attracting sets）的稳定区域；6.连续动力系统的准-稳定区域；7.有约束的动力系统的稳定区域；8.连续动力系统的相关的稳定边界；9.离散动力系统的稳定区域。第二部分 估算，含第10-15章：10.对连续动力系统的稳定区域所做的估算；11.对复杂连续动力系统的稳定区域所做的估算；12.对离散动力系统的稳定区域所做的估算；13.为估算非线性动力系统的稳定区域的有建设性的方法论；14.对相关的稳定区域所做的估算；15.为近似求解稳定边界所用的数值方法的临界估算。第三部分 高等论题，含第16-19章：16.具有两个时间尺度的连续动力系统的稳定区域；17.一类非双曲型动力系统的稳定区域：理论和估算；18.一类大规模的非线性动力系统的优化估算；19.稳定区域的分岔。第四部分 应用，含第20-22章：20.把稳定区域应用于大规模电力系统的直接稳定性的分析；21.为寻求非线性规划的多重优化解的基于稳定区域的方法；22.展望以及将来的发展方向。
系统稳定性理论范文第2篇
关键词：非线性理论；工程地质；作用；理论基础
前言：
工程地质主要致力于研究建筑场地是否与工程适宜，以及建筑物与地基之间在相互作用中可能出现的问题核对这些问题的评估与预测，从而保证人类建筑工程的安全稳定，正常运行。非线性理论知识早已在工程理论研究中被广泛应用，在工程地质的问题研究中也取得了一定的成绩，尤其是突变理论、非平衡自组织理论、神经网络理论在工程地质问题的研究中取得了显著的研究成果。
1、突变理论在工程地质中的应用
突变理论主要研究的是在非线性系统中如何从连续渐变状态变成系统性质的突变。其理论中一共有其中突变模型，而尖点突变模型在工程地质问题的解决中应用最为广泛。下面就对尖点突变模型在工程地质问题解决中的作用做出详细论述：
1.1层状结构斜坡稳定性的定性分析
层状机构斜坡的稳定性问题一直困扰着地质界以及岩石力学界的学者以及工作人员，其中可以根据岩层倾角与斜坡坡角之间的关系分成三种不同的斜坡问题类型，不同的类型的变形破坏方式也不相同，这三种类型分别为：顺层斜坡、反倾岩层斜坡、近直立岩层斜坡。其中顺层斜坡的变形破坏主要为滑移弯曲变形，反倾岩层斜坡主要为弯曲拉裂变形，近直立岩层斜坡主要为崩塌破坏。不同类型的问题要建立不同的理论模型加以解决分析，其中反倾岩层斜坡问题为实际的工程地质中遇到较多的问题，那么我们这里就详细介绍一下。
用非线性中突变理论解决反倾岩层斜坡问题时，首先要通过力学模型建立实际系统的势函数表达式，然后经过适当的变换得出函数的平衡曲面方程，然后再根据系统失去稳定性时的充分条件。经过理论的系统分析以及结合实际工程建设施工中的情况，倾斜角为30～70度的反倾岩层斜坡是稳定性最差的情况。应用这种研究方法对于由层状围岩组成的地下洞室发生顶拱塌落和弯折内鼓失稳的条件的研究也具有很好的效果。
1.2狭窄煤柱冲击地压稳定性的定性分析
狭窄煤柱冲击地压的发生是由于刚度比不够，并在多种外界扰动触发下所造成的一种岩体失稳现象。矿山中冲击地压有相当一部分发生在煤柱上，发生原因为在煤柱的逐渐破坏中，由于煤柱上层覆盖有坚硬岩层，发生冲击地面。在发生时顶板岩层并不破坏而只是参与到能量的释放中，在这种情况下我们多采用刀柱式采煤法。根据刀柱式采煤法我们建立数学模型，
通过研究模型我们得知煤柱的刚度在小于梁的刚度时，冲击地面就不会发生，相反当煤柱刚度大于梁的刚度时，就会发生。可见煤柱冲击地面的发生于介质强度并非有密切的联系。
2、神经网络理论在工程地质的应用
神经网络理论的原理在于模仿人类大脑的功能，通过对一直的样本的学习研究，建立输入输出之间的非线性的联系，对于这些已有的关系进行存储，便可以对于未知的样本进行预测了，下面我们以神经网络理论在预测水库诱发地震震级的例子，来说明圣经网络理论在工程地质中的应用。
首先我们要建立一个水库诱发震级的学习样本表，我们在此表的建立上通过分析国内外上百余个水库诱震资料的分析处理，在七个方面得到了量化的数据，对于一些不能量化的用二值模式表示。其中这七个方面分别为：坝高、库容、库区建库前地震概况、库区岩性特征、主要成因类型、库区内有无大的活断层通过、库区是否岩溶地区。之后利用样本表建立BP算法网络，然后根据样本表建立不同方面的节点，其中输入层要建立14个节点，输出层要建立3个节点，中间层要建立12个节点。然后进行至少两万次的学习训练。其中输出层建立的三个节点所代表的意义为最大震级的三个指标。实际工作表明这项技术对于预测水库诱震方面精确度可达到80%以上。
3、非平衡自组织理论在工程地质的作用
3.1对于岩石累进性破坏的研究
任何岩石都是含有大量孔隙和微裂纹以及组成岩石晶粒间的接触界面，岩石通过这些极其不明显的“结构面”分成了无数个小的单元。所以，我们可以把任何岩石看作一个复杂的巨大系统，这系统中包含着无数的子系统。并且可以用热力学和统计力学的知识来定量描述分析。在岩石不收任何外力的情况下就会表现出非线性的性质。在三轴压缩试验过程中，在每个轴向压力小于岩体的自身强度时，岩体的变形破裂就会呈稳定发展趋势，这种情况应于系统演化的非平衡线性区，此时如果停止对岩石加力，岩石系统将会一直保持在稳定状态下。但是如果所加的力大于岩石自身的强度时，岩石系统就会进入远离平衡区，随之产生的就是系统内部各子系统之间发生长程关联的非线性相互作用，并且各子系统将表现明显的“相干效应”和“协同效应”，最终我们可以见到的最为直观的就是导致岩石发生雪崩式的破坏。由此可见岩石的累进性破坏是一种自组织过程，各岩石单元之间的自组织过程是最终导致岩石发生累进性破坏的本质原因。
3.2对斜坡演化的自组织过程的研究
无疑我们都知道各类斜坡都经历着三个阶段，平衡态，衡态，远离平衡态，这三个阶段是任何一个复杂的体系形成结束都要经历的过程。任何一个斜坡体系都是由无数个相互交错的裂缝岩体所构成，一个斜坡系统都是一个复杂的系统，其中包含了无数个小的子系统，一个斜坡从平衡状态变成非平衡状态都经历着系统内部各子系统的自组织过程，并且大量研究表明斜坡体系的演变过程中的确表现出了非线性系统所具有的规律，在失去稳定性之前都会表现出明显的异常。所以我们在研究斜坡演化的过程中都可以利用微分方程进行系统的定量的研究，并且根据三个不同的观测时序，例如应力时序，位移时序，降雨时序。便可以确定推测出斜坡系统的稳定性。
除此之外，利用非线性理论中非平衡自组织理论来研究滑坡滑面的形成等方面也取得了很显著的进展。
结语
非线性科学理论以其能够揭示自然界事物发展规律的特定，备受各类工程学领域的青睐，并在实际工作中被广泛的应用。非线性理论在对于工程地质方面的贡献远远不止我们上面论述所提到的方面，可以说非线性理论在整个工程地质领域留下了浓墨重彩的一笔，在未来的工程地质学科发展中我们要重视非线性理论知识的应用。
参考文献：
[1]. 李思平，孙连英.基于非线性理论的边坡稳定性评价模型[J].水文地质工程地质.2002（02）
[2]. .突变理论在岩体系统动力失稳中的应用[J].岩土力学.2009（03）
[3]. 胡庆丰；刘翠竹.高速滑坡三维理论模型[J].山西建筑.2009（27）
[4]. 曹杰，赵筱青.突变理论在斜坡稳定性评价中的应用[J].云南地理环境研究.2000（02）
系统稳定性理论范文第3篇
关键词 非线性；机械系统；PID控制；渐进稳定性
中图分类号TH13 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2012）64-0099-02
虽然当前控制理论与技术实现了持续的发展和进步，同时人们也提出了不同的非线性比例的积分和微分方程，有效改善了传统线性PID品质，但大多数的实际机械控制系统依旧采用传统的线性PID进行控制。而PID控制的非线性机械系统的稳定性分析一直是研究中的难点。
Arimoto提出了不确定的非线性机械系统PID局部控制趋向稳定性，而Kelly则提出根据饱和函数在实践中的引入明确了非线性不确定机械系统控制的全局渐进稳定性。相应的专家还了解到自适应饱和P加D控制过程中所呈现的机械系统全局稳定性特点。根据近期的文献研究了解到，专业的研究者所提出的新型的饱和函数，有效证明了P加D饱和同步误差的非线性控制机器人系统的全局渐进稳定特点。
1 机械系统动力学模型与特性
n自由度的自由度旋转关节非线性机械系统动力学模型描述如下：
上述公式中，q为关节位置， 为速度矢量， 为加速度矢量，M（q）为对称正定惯性矩阵，而B0为关节线性阻尼摩擦力矩阵，C(q，)为哥氏力以及离心力矩阵，而g（q）是重力向量，U(q)是由于重力而形成的势能，而则是力矩控制矢量。
非线性机械系统一般具有一下所示的结构特性：
1）当B0，实际上也是线性阻尼矩阵为对角正定矩阵，惯性矩阵保持对称正定且并非无限，是有界的，其范围满足如下关系式：
其中的λm（M）以及λm(M)表示的是在M（q）矩阵中的最小特征值和最大特征值。
2）对于特定的qd以及任意的q以及α>0，有一个恒定的对角正定矩阵保证下列关系式成立：
在实际的分析过程中，也就是公式中，对于任意的qd，也就的任意给定的期望位置，设计出线性PID控制器，通过综合的考量能与任何的模型信息适用，同时实现了非线性机械系统渐进稳定性位置的控制，从而致使非线性机械系统从初始的位置渐进稳定达到目标状态。
2 非线性机械系统PID控制渐进稳定性分析
2.1 传统线性控制半全局渐近稳定性
传统PID线性控制:
公式中的Kp+Ki为恒定对角正比例，而Kd为微分增益矩阵；Ki为积分增益矩阵。
将上述两个公式带入非线性机械系统的动力学模型后，可得出闭环系统的方程如下：
其中B=B0+Kd，通过上述公式，可得知ΔqT TzT为相应系统中唯一静态平衡点。
根据对传统线性PID控制的非线性机械系统的分析，可得出相应的定理：
根据非线性机械系统模型定义，传统线性PID控制系统的应用过程中，通过传统控制器的比例与微分增益参数适宜的不等式方程的设定和完善，那么系统的位置误差处于半全局的渐进收敛状态。也就的存在稳定的吸引域保证。
由于公式所表示的Lyapunov函数V保持正定的。并且函数V的值将顺着闭环系统实现了时间倒数在平衡点附近内部吸引域的半负定。同时实际上值为零实际上也是Δq的值为零以及的值为零。根据LaSalle的不变性原理可了解到，吸引域D的值使处于其吸引域内部的初始值都将渐进稳定实现平衡位置的收敛。这似乎达到了局部渐进稳定的结果，然而实际上影响吸引域大小的常数值没有出现在非机械系统的控制器中，这个影响的正常数值大小可随意自定。同时也是吸引域的大小为整体的状态空间体系，由此，根据相关学者的相似讨论可推算出闭环系统的半全局渐进的稳定性特点。
2.2 改进后的非线性PID控制的全局渐近稳定性
根据相应的仿真模拟实验可知，改善完成之后的NPI-D控制器当中，控制系统中的等价比例的控制参数小于或者等于线性PID的控制参数，非线性机械系统控制器的位置和误差可根据仿真试验的结果看出，在通过了初始控制值的误差暂时状态过渡完成后，机器人系统位置控制误差逐渐接近零。同时实现改善后的非线性机械控制系统，也就是NPI-D系统，与传统的PID控制系统相比具有更快的反应速度。根据推算的理论体系和结论明确到，本论文提出的非线性机械系统NPI-D控制器的改进措施引入了较新的且将小误差放大的饱和函数，从而明确了在较小的控制增益状况下依旧能实现较快的过渡过程。为了保证非线性机械系统全局区域稳定性而采取的，通常所用的双曲余切函数无法放大误差，为了实现满意的系统过渡，机械系统中的比例以及积分的增益都相对大一些。
首先通过相类似的势能函数，实现对相应系统稳定性特点的推导：
针对近似的势能函数求导可得出非线性的饱和函数如下所示：
其中唯一的静态平衡点为
对于公式中所控制的闭环系统，可推出如下定理：
对近似势能函数所表示的非线性机械系统，通过改进的非线性机械NPI-D控制系统，控制器比例以及微分增益都要满足相应的不等式，那么系统位置位差呈现全局渐进收敛，也就是。
3 结论
通过对相应线性控制的非线性机械系统渐进稳定的分析，清晰明确地回答了这一开放性问题。虽然并没有对线性控制全局的渐进稳定性进行阐述，但实际证明了实际机械系统中的半全局的渐进稳定性，同时在传统的线性PID控制半全局渐进稳定性的分析基础之上，提出了改进的NPI-D控制体系，通过相应专业理论的应用证明了闭环系统呈现全局渐进稳定性，通过实际的实例进一步表明了理论分析结果的正确和有效。
参考文献
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[4]尚宏，陈志敏，任永平.一种新型非线性PID控制器及其参数设计[J].控制理论与应用，2009(4) .
系统稳定性理论范文第4篇
关键词：脆弱性；复杂性科学；金融系统
中图分类号：F83 文献标识码：A
原标题：基于复杂性科学的金融系统脆弱性研究综述
收录日期：2014年1月27日
20世纪九十年代以来，全球范围内金融危机频繁爆发，给经济与社会的发展带来严重冲击。如何从根源上去认识并把握金融危机，已成为各国政府以及金融理论界讨论较为频繁的话题之一。Minsky等人认为，金融危机是由于金融系统本身的脆弱性所致，由于金融风险的积累和系统抗风险能力的不足，金融系统具有高度敏感性，在受到攻击时极易发生剧烈的金融动荡。随着经济金融化、金融全球化和金融自由化的发展，金融系统复杂程度不断增加，现有的金融脆弱性理论在解释金融危机成因时表现出诸多困惑与不足。如何从复杂性角度分析金融系统的脆弱性，评价与研究金融系统复杂性对系统脆弱性的影响机理已经迫在眉睫。本文就此对基于复杂性科学的金融系统脆弱性研究的相关文献进行系统梳理，为进一步分析金融系统的脆弱性、防范金融危机提供借鉴。
从复杂性科学角度对金融系统脆弱性进行研究主要集中在以下两个方面：
一、金融系统复杂性对金融系统脆弱性的影响
在金融系统复杂性对系统脆弱性的影响上，Borio（2001）、Goodhart（2004）等学者认为金融失衡及其释放被定义为是金融系统的“过度顺周期性”，是高度非线性的，这是当前金融系统的内在的潜在特性。徐加根（1998）也认为金融危机爆发的主要原因在于金融体系本身极为复杂的非线性机制，这就是金融危机产生的微观基础。
Bookstaber（2008）、岳玉霞（2012）考察了复杂系统中不确定性的影响。Bookstaber（2008）认为在由无数金融机构与金融工具组合而成的复杂系统中，如果无法预计失误，且在问题扩散之前没有时间重设程序，则在出现差错时，危机就不可避免，并且可能不断恶化。岳玉霞（2012）认为，现代金融是一个复杂开放的演化系统，在金融市场运行中，投资者和银行家等的非理会使各种金融变量的不同运动不断地撞击金融脆弱性，市场预期归一化一旦形成，就会主导经济金融运行，并越过金融稳定的边界，导致宏观金融波动。
伍志文（2003）、杨辉和杨丰（2010）基于金融系统的耦合性作出了研究。伍志文（2003）提出金融脆弱性是金融制度或金融结构的脆弱性，是由于内外因共同作用使三个子系统功能耦合，互相适应的金融体系稳健性状态受到破坏，金融制度结构出现非均衡风险积聚。杨辉和杨丰（2010）认为现代金融危机破坏性之所以越来越强烈，一个重要的原因是金融市场的复杂性和紧耦合度越来越高，由此导致各类风险的相互作用、相互加强，并最终导致系统风险的形成。
Shenhar（1994）、RBA（2008）、杨晓光（2009）等解释了金融创新的复杂性对金融系统脆弱性的影响。Shenhar（1994）的研究说明复杂产品创新过程存在较大的不确定性，可能有事先未预料到的事情发生。RBA（2008）认为，复杂的金融创新比单一的创新工具对双向交易和流动性更加敏感，从而具有更大的脆弱性。杨晓光等（2009）认为基于信息技术的金融业过度发展强化了世界经济系统的复杂性，加大了世界经济系统的整体风险。石睿（2011）认为金融创新的复杂性和“捆绑效应”使得各个金融机构的风险在整个金融体系中被放大，从而带来脆弱性，最后可能诱发严重的危机。胡永康和姜玉英（2009）认为复杂金融工具高杠杆功能的滥用是风险蔓延的罪魁祸首，复杂金融工具信息披露不透明、风险管控体系不健全，无疑对金融危机起到了推波助澜的作用。
王辉（2012）认为金融复杂性从四个角度引致金融不稳定：（1）有限理性假设下金融产品复杂性创造了资产买方和卖方之间的不对称信息；（2）金融产品复杂性会引起评级膨胀；（3）金融产品复杂性阻碍了风险的充分分散；（4）金融市场结构的复杂性使得风险更容易传染。
二、基于复杂性科学方法的金融系统脆弱性研究
在基于复杂性科学方法的金融系统脆弱性研究上，Stutzer（1980）首先将混沌理论应用于经济学，在哈维尔模经济增长方程中揭示了混沌现象。Bascompte（2006）等将空间随机过程理论应用于预测和管理金融系统风险。Baumbach（2007）等指出，金融系统作为复杂的自适应系统，必须具备强健性才能抵御风险的冲击。Markwat和Kole（2009）构建了基于多元线性Logit回归排序模型，发现在亚洲金融危机中，泰国股票市场崩盘后，以骨牌效应的形式传染到东南亚各国，在利率、汇率等共同的作用下形成了金融危机。
Haldane（2009）、Caballero和Simsek（2011）应用复杂网络理论进行研究。Haldane（2009）将国际金融体系视为一个复杂且自适应的金融网络，这个网络“既强健又脆弱”，容易对主要的金融中心丧失信心，而且扰动会在国际上进一步快速传播。金融危机则是该金融网络在压力条件下的行为表现。Caballero和Simsek（2011）在一个复杂金融网络中引入局部知识的假设，金融机构对金融网络不完全了解，只对自己的交易对手有了解，而不了解交易对手的交易对手的信息，经济环境的复杂性在金融市场脆弱性中起到关键作用。
Andreia（2005）、南旭光（2005）、胡立法（2009）等认为，金融系统的熵和耗散结构导致了系统的脆弱性。Andreia（2005）在研究投资组合的问题中，将熵和方差分别作为风险度量，比较了它们之间的差异，并得出熵作为风险度量要比方差更准确的结论。南旭光（2005）将熵及耗散结构理论引入金融体系，分析了金融系统熵变效应，指出金融脆弱是由其内部熵增所引起。胡立法（2009）认为，在虚拟经济系统中，如果系统中基元和组分的活动不受限制、系统缺乏与外界进行物质和能量的交换、或者系统的耗散结构的稳定性受到外界的扰动，将导致虚拟经济系统的崩溃，爆发金融危机。黄煦凯（2012）认为，现代虚拟金融资产和实物资产的倒金字塔结构引起了金融系统的熵增，而熵增又诱发金融不稳定性，当不稳定性达到一定程度的就引起金融危机。
胡映月（2006）、严太华和艾向军（2007）、方芳（2011）结合复杂系统脆性理论进行了分析。胡映月（2006）从复杂系统脆性理论和界壳论出发，结合可拓学、架对分析等知识探讨了系统危机检测方法。严太华和艾向军（2007）根据复杂系统脆性理论，建立一种包含外部环境输入和系统内部组成的金融体系脆弱性结构模型。金融体系脆弱性结构模型包括四层结构：金融体系脆弱性风险、体系内部结构、脆弱性事件集、脆弱性因子集。其中，上层的内部组织结构是金融体系脆弱性风险的内因，下层外部性脆弱环境是其外因，外因作用于内因，并通过其内部金融机制形成脆弱性风险。方芳（2011）利用复杂系统脆性理论分析美国次贷危机的脆性联系过程、脆性激发过程，系统地分析了金融制度和金融风险，并基于此提出金融危机的防范措施。
唐毅南和陈平（2010）引入群体动力学和高阶矩表象来研究金融危机动力学机制，认为趋势瓦解和高阶矩发散是金融危机典型的动力学特征。任飞等（2011）依据复杂性科学的思路，运用委托驱动的微观模型，研究大波动极端事件重现时间间隔的动力学机理，发现重现时间间隔的分布和价格波动序列的记忆性相关。
张晨宏等（2010）根据系统自组织临界理论，结合沙堆模型原理分析并解释了2008年10月爆发的美国金融危机是美国金融系统自组织过程中系统发生突变的表现。此后，张晨宏等（2012）又应用了系统自组织临界理论、突变及混沌理论，对2006年1月至2009年4月的美国标准普尔500指数进行对数收益序列分形检验、统计分析和分形维计算，揭示了美国金融危机爆发前后三个不同时段的系统复杂性。
在突变理论的运用上，南旭光和罗慧英（2006）、王静和孙园青（2010）进一步进行了研究。南旭光和罗慧英（2006）根据金融体系的非线性及出现的突变现象，将突变理论应用到金融脆弱性分析与评价中，构筑金融体系脆弱性综合评价突变模型，在分析金融体系构成要素、建立脆弱性评价体系的基础上，运用突变理论归一公式，量化递归计算出金融体系脆弱度，以此判断金融体系脆弱性程度。王静和孙园青（2010）将尖点突变模型应用于金融生态系统中，得出金融生态环境的完善可以约束企业的失信行为，防止企业行为的不稳定性，从而提高整个金融生态系统的质量的结论。
此外，李超（2010）运用分形经济理论构建了美国经济的五维复杂经济系统，在一定程度上实证了美国金融危机的独立性和必然性。刘湘云和杜金岷（2011）基于演化博弈和复杂性科学分析研究得出：全球化金融复杂系统中，经济人行为模式变迁、金融结构变迁和金融制度变迁是协同演化的，而这些因素与金融危机息息相关。
三、结论与展望
随着世界经济的发展，国际经济一体化趋势加强，金融危机产生的原因和机理更为复杂，每一次新的危机都会带来新的困惑，金融系统脆弱性理论取得了新的进展，一些学者也在利用复杂性科学原理解释金融系统脆弱性上作出了尝试，但是现有的研究并没有系统性考虑当前金融系统的复杂性，也没有深入揭示金融系统复杂性对系统脆弱性的影响，在复杂性科学方法的应用上也只局限于表象的解释，没有给出金融系统脆弱性到金融危机的动态演变机理。金融系统复杂性的内涵尚待挖掘，金融系统脆弱性到金融危机的复杂演变过程中量的积累和质的提升的深刻内涵仍需要进一步揭示。
主要参考文献：
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系统稳定性理论范文第5篇
关键词：Nadolschi混沌系统；混沌同步；线性状态反馈；渐近稳定
中图分类号：TP18 文献标识码：B
文章编号：1004-373X(2008)09-100-02オ
Synchronization of Nadolschi Chaotic System Based on Linear State Feedback Control
MIAO Lihua1,KUANG Baoping1,ZHAO Yan2
(1.Information Technique Center,Shenyang Medical College,Shenyang,110031,China;
2.Information Science & Engineering College,Northeastern University,Shenyang,110004,China)
オ
Abstract：Synchronization control of a class of new chaotic system named Nadolschi chaotic systems is studied.A multi-variables linear state feedback controller is designed for the response system.Then,the synchronization of chaotic system is converted into the stabilization of error systems at the zero equilibrium point.According to Lyapunov stability theory,the sufficient condition of synchronization of the Nadolschi chaotic systems is derived.Simulation results are presented to demonstrate the effectiveness of the proposed method.The designed controller is simple and convenient to implement.
Keywords：Nadolschi chaotic system;chaotic synchronization;linear state feedback;asymptotic stability
1 引 言
自从Pecora和Carroll [1]在1990年发表具有代表性的混沌同步方面的文章以来，许多控制方法被应用到混沌同步控制中[2-10]。其中，基于线性状态反馈方法的控制器具有设计简单，易于实现等优点，在混沌控制领域得到了广泛的应用[9]。文献［9］对多种常见的混沌系统如Lorenz系统族、Rossler系统等采用线性状态反馈控制器实现了混沌同步，这些混沌系统的共同特点是方程的右端只含有1个或者至多含有2个非线性项。1944年，Nadolschi研究刚体运动时引入一个混沌系统[11]，其特点是方程右端含有3个非线性项。由于其结构的特殊性，文献［9］提出的方法不可以直接应用到该系统中。
为此，本文针对Nadolschi混沌系统，提出一种新的线性状态反馈同步方法，并根据Lyapunov稳定性理论，得出使Nadolschi混沌系统达到自相似结构同步的控制器增益取值范围，该方法的有效性在数值仿真中得到了验证。
2 问题描述
考虑一类混沌系统:
И
1=－x2x3+ax12=x1x3+bx23=x1x2/3+cx3
(1)
И
当参数取值为a=5,b=－10,c=－3.8,初值(x10,x20,x30)=(－12,5,－4)时,Ц孟低炒嬖谕1所示的奇怪吸引子，即为混沌系统，通常被称为Nadolschi混沌系统。
图1 Nadolschi系统的奇怪吸引子
本文的目标是，将式(2)作为响应系统，取式(1)为驱动系统，设计一个稳定的控制器使上述系统实现自相似结构渐近同步。
И
1=－y2y3+ay12=y1y3+by23=y1y2/3+cy3
(2)
И
其中参数取为a=5,b=－10,c=－3.8，初值取为(y10,y20,y30)=(－7,8,－11)。И
3 线性状态反馈控制器设计
在混沌同步中，用到的反馈方法主要有参数反馈和状态变量反馈两种。参数反馈是指利用反馈的误差信号去调整系统的参数，使两个混沌系统实现同步化。状态变量反馈指的是反馈的信号直接加到响应系统的状态变量上去，不改变系统的参数。状态变量反馈可以有多种形式，可以是线性的，也可以是非线性的。这里，采用线性状态变量反馈方法设计同步控制器。
引入状态反馈控制的响应系统可以表示为:
И
1=－y2y3+ay1－k1(y1－x1)2=y1y3+by2－k2(y2－x2)3=y1y2/3+cy3－k3(y3－x3)
(3)
И
其中，k1，k2和k3为控制增益。
由驱动系统(式(1))和响应系统(式(3))构成的误差系统可以表示为:
И
1=1－1=(a－k1)e1－x3e2－y2e32=2－2=x3e1+(b－k2)e2+y1e33=3－3=13x2e1+13y1e2+(c－k3)e3
(4)
И
显然，误差系统的原点（e1=e2=e3=0В┦歉孟低车钠胶獾悖因此，可以选取合适的k1，k2和k3У闹担使误差系统在零平衡点处渐近稳定，即混沌系统达到自相似结构同步。
4 Nadolschi混沌系统同步的充分条件
[HTH]定理[STHZ]1[STBZ] [HTSS]对于式(4)所示的误差系统，当下列条件满足时，误差系统是渐近稳定的，即驱动系统和响应系统达到渐近同步。
И
k1>a+1(5)
k2>b+1(6)
k3>c+(13x2－y2)24+4y219
(7)
И
证明 选取如下的Lyapunov函数:
И
V=12(e21+e22+e23)
(8)
И
对其求对时间的导数，可得:
从上式可以看出，当条件式(5)、(6)和(7)满足时，Иё苁切∮0的，根据Lyapunov稳定性理论，误差系统(式(4))是渐近稳定的，证毕。
注释：根据混沌系统具有状态有界性，可以从仿真试验中获得每个状态变量的取值范围，即y1∈［－d1,d1］，y2∈［－d2,d2］，x2∈［－d3,d3］，因此，控制增益k3У娜≈捣段б部梢运嬷确定。
所以，根据定理1，可以找到适当的控制增益k1，k2和k3，使Nadolschi混沌系统达到自相似结构渐近同步。
5 仿真研究
为说明所提方法的有效性，下面进行仿真研究。系统参数分别取a=5,b=－10,c=－3.8。从系统的仿真试验中可以得出d1=27，d2=23，d3=23。于是，根据定理1，可以取k1>6，k2>－9，k3>555.32使Nadolschi混沌系统达到自相似结构同步。这里取k1=10，k2=10，k3=600。И
施加控制后的误差系统状态响应曲线如图2所示。从仿真图中可以看出，Nadolschi混沌系统可以很快地达到自相似结构渐近同步，达到了预期的控制目标。
图2 误差模糊系统状态响应曲线
6 结 语
本文研究了Nadolschi混沌系统的同步控制问题，基于Lyapunov稳定性理论，设计了相应的线性状态反馈控制器，使Nadolschi混沌系统达到自相似结构渐近同步。从仿真结果可以看出，该方法取得了良好的控制效果。
参 考 文 献
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