讨论单调性的步骤

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讨论单调性的步骤范文第1篇

关键词：函数的单调性；数学思想；层次性；高效课堂

基本情况

一、授课对象

授课对象是四星级高中普通班学生，他们的数学基础较好，数学思维能力较活跃. 在初中，学生已经历了函数学习的第一阶段，接受了初步的函数知识，对函数的单调性有“形”的直观的认识，了解“y随x增大而增大（减小）”来描述图象的上升（下降）走势，但还没有对函数的单调性进行系统的定义，还不能形式化、符号化的表示函数的单调性，因此，他们非常迫切地想从“数”的角度知道如何理论地定义函数的单调性.

二、教材分析

1. 教材的地位和作用

“函数的单调性”是高中苏教版的实验教科书《数学》必修（1）第2・1・3节“函数的简单性质”的第一课时，在学习了函数的概念和图象、函数的表示方法，体会了两个变量之间的依赖关系的基础上，需进一步系统地研究两个变量之间的变化关系，故将学习函数性质提上了日程.

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，可以帮助解决许多实际问题. 作为数学模型，它需要从概念、表示、性质等多角度建构完善自己的数学体系，函数的单调性正是这诸多方面中一个重要的性质，它决定了函数的变化、函数图象的形状，是函数诸多性质中最核心的内容，是研究函数时经常要关注和使用的一个性质，是高考的重点、热点，它在判断或证明函数的单调性、比较大小、求函数的单调区间、利用单调性求参数的取值范围、利用单调性解不等式、对函数作定性分析、求函数的极值，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用. 同时，本小节又是后继学习指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数性质的基础，是高中数学的核心知识之一，故本节内容在函数教学中起到承前启后的枢纽作用.

2. 教学内容和教学目标

教学内容：函数的单调性

根据教学大纲的要求及本人所教班级学生的实际情况，笔者把教学目标确定如下：

（1）知识目标：使学生理解函数单调性的概念，理解函数单调性的几何特征，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明简单函数在给定区间上的单调性；

（2）能力目标：通过函数单调性概念的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察归纳、抽象、类比的能力和语言表达能力，通过对简单函数单调性的证明，提高学生推理论证的能力；

（3）情感目标：通过对新知识的探索，培养学生仔细观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，让学生体验数学的符号功能和工具功能及不断探求新知识的精神.

3. 教材的重点与难点

重点：函数单调性的概念及证明简单函数的单调性.

难点：函数单调性概念的生成及利用定义判断函数的单调性.

这是因为，对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出定义，只是从直观上接触过这一性质，学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味，容易疲劳，因此，授课时需重视概念的生成，让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，感受数学知识的螺旋上升，从理论层面上二次认识函数的单调性，其中甚至包含着辩证法的原理.另外，对概念的分析是在引入一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点，因此在课堂上突出对概念的分析不仅是为了分析函数的单调性的定义，而是想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用. 所以笔者把教学重点定为“函数单调性的概念”.

还有，学生首次接触“使用定义证明单调性”的代数论证方法，给出步骤，体现了算法思想，有利于学生理解概念，对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助，这也是不等式证明方法中比较法的基本思路，现在提出要求，为今后的教学作一定的铺垫.

教学过程

一、设计情境、引入新课

教师：图1是我市一天24小时内的气温变化图，我们已经知道它是气温θ关于时间t的函数，观察这张气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的或下降的.

学生1：在0时到4时气温逐渐下降，在4时到14时气温逐渐上升，从14时到24时，气温又逐渐下降.

教师：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征呢？为解决这个问题，首先需要建立函数单调性的严格定义. （引入课题）

2. 归纳探索，形成概念

问题1 观察下列4个函数的图象，当自变量x逐渐增大时，研究图象的变化趋势.

教师：对一次函数来说，图象一直上升或下降，但是对二次函数y=x2来说，图象先下降后上升，这说明了什么？

学生4：说明在研究二次函数的图象时需要分情况讨论. 当x≤0时，图象下降；当x≥0时，图象上升.

问题2 你能说出“图象呈上升趋势或呈下降趋势”的意思吗？

学生5：图象呈上升趋势？圳y随x的增大而增大；图象呈下降趋势？圳y随x的增大而减小.

教师：当函数图象在某区间上上升时，则称函数为该区间上的单调增函数；当图象下降时，则称函数为该区间上的单调减函数. 这是我们对单调性的“形”的认识，根据“形”的定义，你能说出气温变化图这个函数的单调性吗？

学生6：函数在区间[0，4]上是减函数，在区间[4，14]上为增函数，在区间[14，24]上减函数.

教学设想：通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力与数形结合语言转换能力.

问题3 利用函数y=x2的图象，试比较下列各数的大小：22，32，42，（4.1）2，（5.2）2，（6.4）2

学生7：从函数y=x2图象上看，因为当x≥0时，图象上升，y随x的增大而增大，故22

问题4 对函数f（x），如果-2

学生8：不能，比如函数y=x2，图象在（-2，3）上先下降后上升，函数应该先减后增.

问题5 若函数f（x）对于区间（0，+∞）上无数多个自变量x1，x2，x3，…，当0

学生9：不能，如图6所示.

问题6 在函数y=x2的图象位于y轴右侧部分随便（任意）取两点，横坐标分别为x1，x2即0

学生：是. （齐声）

问题7 在函数在函数y=x2的图象上任意取两点，横坐标分别为x1，x2，当x1

学生10：不是. 当点都取在y轴左侧部分上时，x1y2. 当点一个取在y轴左边，一个取在y轴右边时，x1

问题8 能不能试着用数学符号说说什么是单调增函数？并且画出示意图吗？

学生11：设函数y=f（x）的定义域为D，区间I？哿D.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1

问题9 对于定义中的关键词“区间内”、“任意”、“当x1

学生12：不能，否则要出现问题4、5、7中的情况.

问题10 类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？

学生13：如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f（x2），那么就说y=f（x）在区间I上是单调减函数，I称为y=f（x）的单调减区间.

教师：这样我们得到了单调增函数、单调减函数的定义，并且如果函数y=f（x）在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I上具有单调性. 单调增区间和单调减区间统称为单调区间.

教学设想：通过问题串，铺设形成概念的阶梯，不断创设疑问，引导学生积极思考、讨论，让学生一步步体会出概念，把握住概念中的关键词“区间内”、“任意”、“当x1

3. 数学应用，掌握方法

例1 画出下列函数图象，并写出单调区间：

练习1 课本37页练习？摇？摇 1、2、6、7

教学设想：1. 利用图象判断函数的单调性，从“形”的方面体会函数的单调性，理解单调性的几何意义，体会函数的单调性是函数的局部性质.

2. 进一步体会单调性定义中的“任意”这一词；理解区间I？哿A.

教师：对于给定的图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判断函数的单调性，也能找到单调区间，而对于一般的函数，我们怎样判断函数的单调性呢？我们需要学习“数”的方法研究函数的单调性.

教学设想：（1）应用定义给出形式化的证明，从“数”的方面理解单调性.

（2）为了学生能很快形成证明思路，掌握证明方法，指出函数单调性证明的要点.

方法：作差比较法.

步骤：

①设变量：设区间上的任意两个值x1，x2，且x1

②作差：f（x1）-f（x2）；

③变形：主要使用通分、因式分解、配方等手段使之成为几个因式乘积形式；

④断号；

⑤定论.

其中作差是依据，变形是手段，判断正负是目的.

4. 回顾小结，提高能力

本节课主要内容：

1. 函数单调性及生成的过程，感受了数学研究问题从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程；

2. 判断函数单调性的方法：图形法、变量值法、定义法；

3. 利用定义证明函数单调性的步骤，感受代数推理的严谨性；

4. 本节课涉及的数学思想方法：数形结合思想、等价转化思想、类比思想.

教学设想：学生概括，教师补充共同完成，体现师生互动.

5. 作业布置，巩固成效

习题2.1（3） 1、7 （2） （4）

思考：已知函数y=f（x）在定义域R上是单调减函数，且f（a+1）>f（2a），求a的取值范围.

教学设想：课后及时复习可以温故知新；作业分层对学有余力的学生能起到开阔思维的作用.

教学反思

讨论单调性的步骤范文第2篇

一、函数单调性的定义

在苏教版高中数学教材必修1中，对函数的单调性定义是：一般地，设函数

y=f (x)的定义域为A，区间IA.如果对于区间I内的任意两个值

x1，x2，当x1

f (x1)

y=f (x)在区间I上是单调增函数，I称为

y=f (x)的单调增区间.如果对于区间I内的任意两个值

x1,x2，

当x1

f (x1)>f (x2)，那么就说

y=f (x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f (x)的单调减区间.如果函数

y=f (x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数

y=f (x)在区间I上具有单调性.

在单调区间内，函数如果是单调增函数，那么该函数的函数图像是呈上升状态的，相反，则为下降状态.

二、运用函数单调性定义解题

解答题中研究、讨论、证明函数单调性，定义法是我们需要考虑的一种方法.尤其是在题目中明确要求用定义法进行证明时，定义法就无可回避，因此要熟练掌握用定义法证明单调性的步骤.特别要强调的是带有无理式的函数在用定义法进行论证的过程中要注意无理式的有理化.

例1 已知函数

f (x)=x+x2+2（

x∈R），用单调性的定义证明函数

y=f (x)在R上是单调递增函数.

解析：设

x1,x2∈R

且x1

所以f (x1)-f (x2)=

x1+x21+2

-x2-x22+2

=

x1-x2+(x1-x2)(x1+x2)

x21+2+

x22+2

=(x1-x2)

x21+2+

x1+

x22+2+x2

x21+2+

x22+2,

因为x1-x20,

x22+2+x2>0,

x21+2

+x22+2

>0,所以f (x1)

R上单调递增.

例2 已知函数f (x)=x3+

sinx,x∈(-1,1)，若

f (1-m)-f (m2-1)

解析：

由函数的单调性定义可知，若函数

y=f (x)在区间I上为单调增函数，且

f (x1)

x1

f (x)在区间(-1,1)上是单调增函数，因此，

f (1-m)-f (m2-1)

，可化为

f (1-m)

1-m

-1

-1

，从而求出

m的取值范围为

(1,2).

三、运用函数图象解题

在函数的解题中，利用函数图象进行解题是最常见的方法，因为根据图象学生能够更直观的看出函数的性质，利用数形结合的方式更容易进行解题.从图象上看，在单调区间上的增函数，随x值的增大，它的图象呈逐渐上升的趋势，在单调区间上的减函数，随x值的增大，它的图象呈逐渐下降的趋势.教学中，除了掌握我们所学的基本初等函数的图象外，教师可以让学生掌握几种常见函数的图象，如，

f (x)=x+1 x,f (x)=x-1 x

等，让学生记住该类函数的单调性.

另外，可以从函数图象的奇偶性特点进行分析函数的单调性.奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点的对称区间上具有相反的单调性.

如：已知f (x)=x(1 2x-1+

1 2)，（1）判断

f (x)的奇偶性；（2）求证

f (x)>0.

在第（1）问判断出

f (x)为偶函数的前提下，求证第（2）问时，只需要证明

x>0时

,

f (x)>0，即只需要证明

1 2x-1

+1 2>0

，可以大大简化运算.

四、运用复合函数解题

在高中数学中，对于复合函数的定义是函数

y=f (g(x))

是用函数

y=f (t)和函数

t=g(x)组合而成的，其中

t=g(x)为内层函数，

y=f (t)为外层函数.复合函数单调性的定义是如果内外层函数的单调性不同即一增一减，则复合函数的单调性是递减函数；相反，如果内外层函数的单调性相同即同增同减，则复合函数的单调性是递增函数.

如,判断函数f (x)=3x2+1的单调性时，首先应该区分出该复合函数的外层函数为

f (t)=3t，内层函数为

t=x2+1.其中内层函数

t=x2+1是关于y轴对称的偶函数，在

(-∞,0)上是递减函数，在

(0,+∞)上是递增函数.而外层函数

f (t)=3t是指数函数，在

(-∞,+∞)上为递增函数.根据复合函数同增异减的判断原则可知，当

x∈(-∞,0)时，函数

f (x)=3x2+1为单调递减函数，而当

x∈(0,+∞)时，函数

f (x)=3x2+1为单调递增函数.

五、运用导数法解题

导数作为研究函数的工具，开辟了许多新途径.特别是对于具体函数，利用导数求解函数单调性，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握.

例3 （2013年江苏高考第20题）设函数

f (x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a为实数.

（1）若f (x)在

(1,+∞)上是单调减函数，且g(x)在

(1,+∞)上有最小值，求a的取值范围.

解析：（1）

因为f ′(x)=1 x

-a=1-ax x，考虑到函数

f (x)的定义域为(0,+∞)，且

f (x)在(1,+∞)上是单调减函数，所以a>0.

令f ′(x)

x>1 a，所以

f (x)在区间

(1 a,+∞)上是单调减函数.由于

f (x)在

(1,+∞)上是单调减函数，故

(1,+∞)(1 a,+∞)，从而

1 a≤1，所以得a≥1.

令g′(x)=ex-a=0得

x=lna，当

x

g(x)单调递减；当

x>lna时，

g′(x)>0

，

g(x)

单调递增；又

g(x)在(1,+∞)上有最小值，所以

lna>1，得

a>e.综上，a的取值范围为

讨论单调性的步骤范文第3篇

一、知识结构

（1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.

（2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.

二、重点难点分析

(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明.

(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.

三、教法建议

（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.

（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.

函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值开始,逐渐让在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.

函数的奇偶性教学设计方案

教学目标

1.使学生了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.

2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.

3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.

教学重点,难点

重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断

难点是对概念的认识

教学用具

投影仪,计算机

教学方法

引导发现法

教学过程

一.引入新课

前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.

对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?

(学生可能会举出一些数值上的对称问题,等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如和等.)

结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于轴对称的吗?

学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个只能对一个,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.

二.讲解新课

2.函数的奇偶性(板书)

教师从刚才的图象中选出,用计算机打出,指出这是关于轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?

学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令比较得出等式,再令,得到,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在,使与不等呢?(可用课件帮助演示让动起来观察,发现结论,这样的是不存在的)

从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个,都有成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.

(1)偶函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(板书)

(给出定义后可让学生举几个例子,如等以检验一下对概念的初步认识)

提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出或的图象让学生观察研究)

学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.

(2)奇函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做奇函数.(板书)

(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)

例1.判断下列函数的奇偶性(板书)

(1);(2);

(3);;

(5);(6).

(要求学生口答,选出1-2个题说过程)

解:(1)是奇函数.(2)是偶函数.

(3),是偶函数.

前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证与之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?

学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明与不等.如即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要)

从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的=不能经受任意性的考验,当时,由于,故不存在,更谈不上与相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.

教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?

可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.

(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)

由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.

经学生思考,可找到函数.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?

例2.已知函数既是奇函数也是偶函数,求证:.(板书)(试由学生来完成)

证明:既是奇函数也是偶函数,

=,且,

=.

,即.

证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现,只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如,,,,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类

(4)函数按其是否具有奇偶性可分为四类:(板书)

例3.判断下列函数的奇偶性(板书)

(1);(2);(3).

由学生回答,不完整之处教师补充.

解:(1)当时,为奇函数,当时,既不是奇函数也不是偶函数.

(2)当时,既是奇函数也是偶函数,当时,是偶函数.

(3)当时,于是,

当时,,于是=,

综上是奇函数.

教师小结(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当检验,并不能说明具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须均有成立,二者缺一不可.

三.小结

1.奇偶性的概念

2.判断中注意的问题

四.作业略

五.板书设计

2.函数的奇偶性例1.例3.

(1)偶函数定义

(2)奇函数定义

(3)定义域关于原点对称是函数例2.小结

具备奇偶性的必要条件

(4)函数按奇偶性分类分四类

探究活动

(1)定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗?

(2)判断函数在上的单调性,并加以证明.

讨论单调性的步骤范文第4篇

关键词：微分中值定理；单调性；极值；泰勒公式；凹凸性

引言：在数学分析中，不等式的讨论甚至不等式的推演是很常见的.对简单不等式的证明可以通过作差或作商或与1作比较解决.碰到较为复杂的不等式使用高等数学的方法讨论将会收到事半功倍的效果，本文总结了几种利用高等数学知识证明不等式的方法.

1 利用函数的单调性及微分中值定理

命题1：设f（x）定义在区间I内，若f'（x）＞0（或f'（x）＜0），x∈I则函数f（x）在I内严格增加（或严格减少）.

实质：根据所证的不等式构造一个函数F（x），利用导数的符号判断F（x）的单调性，使得被证明的不等式转化为一个单调函数在两点的函数值的比较.

命题2：（lagrange中值定理）若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则f'（?孜）=■，其中?孜∈（a，b）.

例1：设e＜a＜b＜e2，证明ln2b-ln2a＞■（b-a）.

证明：对f（x）=ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理得：ln2b-ln2a=■（b-a），（a＜?孜＜b）

设?渍（t）=■，则?渍'（t）=■

当t＞e时，?渍'（t）＜0，所以?渍（t）单调减少

从而?渍（?孜）＞?渍（e2）

即■＞■=■

故ln2b-ln2a＞■（b-a）

应用函数的单调性及微分中值定理证明不等式问题是一种较常用的方法，具体步骤如下：

①在[a，b]上由题意引入函数f（x）.

②写出微分中值公式f'（?孜）=■，?孜∈（a，b）.

③这里的关键也是辅助函数的引入，对f'（?孜）进行估值m≤f'（x）≤M从而有m≤■≤M.

2 利用曲线的凹凸性

命题3：若f（x）为（a，b）内的凹（或凸）函数，且x1，x2，…，xn∈（a，b）

则f（■）≥■

（或f（■）≤■）

当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.（可由函数凹凸性的定义和推论证明）

例2：证明当x＞0，y＞0时，xlnx+ylny≥（x+y）ln■

证明：令f（t）=tlnt，则f''（t）=■，当t＞0时，f''（t）＞0为凸函数

当x＞0，y＞0时有■≥f（■）

即xlnx+ylny≥（x+y）ln■

此方法适用于函数在指定区间上的曲线具有凹（凸）性，证明的具体步骤是：

①引入辅助函数，求辅助函数的一二阶导数.

②判断二阶导数在所给区间上的符号.

3 利用函数的极值与最值

定义：设f（p）定义在U（p0），若?坌p∈U（p0），p≠p0，f（p）＜f（p0）（或f（p）＞f（p0）），求n元函数f（x1，x2，…，xn）在约束条件g（x1，x2，…，xn）=0下的条件极值，可先构造函数

F（x1，x2，…，xn，λ）=f（x1，x2，…，xn）+λg（x1，x2，…，xn）

然后分别对x1，x2，…，xn，λ求偏导数的方程组

■=0■=0…■=0■=g（x1，x2，…，xn）=0

解上方程组得函数F（x1，x2，…，xn，λ）的唯一稳定点p（x10，x20，…，xn0，λ0），再根据具体问题加以分析判断F（x1，x2，…，xn，λ）是否存在极大值或极小值，最后代入稳定点即可得到所证不等式.

例3：设x，y，z为正数，且满足x+y+z=6，求证：xy+yz+zx≤12.

证明：设F（x，y，z，λ）=xy+yz+zx+λ（x+y+z-6）

并令■=y+z+λ=0■=x+z+λ=0 ■=x+y+λ=0■=x+y+z-6=0

解之得唯一解x=y=z=2，λ=-4

因为F（x，y，z，λ）有最大值F（2，2，2，-4）=12

所以?坌x，y，z∈R+，F（x，y，z）=xy+yz=zx≤12

当我们构造好函数F（x）后，求出在指定区间上的最大值M最小值m，则有m≤F（x）≤M.

4 利用积分的性质

命题4：（柯西—施瓦茨不等式）设f（x），g（x）在[a，b]上均连续，则[■f（x）g（x）dx]2≤■f2（x）dx■g2（x）dx

例4：设f（x）在[0，1]上连续，试证■e■dx■e■dx＞1

证明：因为f（x）在[0，1]上连续，

所以e■，e■在[0，1]上连续，且恒为正

于是（■■■dx）2＜■e■dx■e■dx

即（■dx）2≤■e■dx■e■dx

所以■e■dx■e■dx≥1.

参考文献：

讨论单调性的步骤范文第5篇

《网络环境下普通校高中数学“导学探究”的实验与研究》这一课题的研究，使我们转变教学观念和教学方式，构建多元化的教学共同体，努力营造信息化学习环境，科学地激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，帮助学生形成自主、合作、探究的学习方式，探索并初步形成了我校特色的高中数学“导学探究”教学模式。 “导学探究”的教学模式包括课前、课中、课后，是以学案为载体，以导学为方法，教师的指导为主导，学生的自主学习为主体，师生共同合作完成教学任务的教学模式。

1 新授课导学案编写实例

课题：§3.2立体几何中的向量方法（2）

【学习目标】

1 理解直线的方向向量与平面的法向量。

2 能用向量的方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

3 经历转化的过程，感受数形结合的理念，能由向量运算结果回归几何结论。

4 体验解题快乐，感受成功喜悦。

【学习重点】

理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法（“三步曲”）。

【学习难点】

建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。

【预习指导】

（预习教材P105～ P110，找出疑惑之处.）

复习1：已知a・b=1 ，|a|=1 ，且m2a+b， 求m .

复习2：什么叫线线角？线线角的大小如何度量？线线角的范围是什么？

复习3：什么叫线面角？线面角的大小如何度量？线面角的范围是什么？

复习4：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？

1、讨论：如何利用异面直线的方向向量求线线角？

设 θ（0°

你能说说向量角与线线角的关系吗？

向量a ，b的夹角 或补角是异面直线a，b 的所成角 θ，当 锐角时，向量角与线线角 ，当 钝角时，向量角与线线角 。

尝试1：已知向量AB=（0，1，1） ，CD=（2，-1，1） ，求直线AB，CD所成的角。

2. 讨论：如何利用法向量求线面角？ 面面角？

（1）直线AB与平面α所成的角 θ，可看成是向 量 AB所在直线与平面α的法向量 n所在直线夹角的余角， 从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，我们可以得到如下向量法的公式：sin θ= |cos| = .

你能说说向量角与线面角的关系吗？

当直线的方向向量与平面α的法向量 n所成的角为锐角时，直线AB与平面α所成的角 θ为其 ； 当直线的方向向量与平面α的法向量 n所成的角为钝角时，直线AB与平面α所成的角 θ为 。

尝试2：已知直线AB的方向向量a=（-1，1，1） ，平面α的法向量 n=（2，-1，-1） 求直线AB与平面α所成角的余弦值。

（2）设 n1，n2分别是二面角a-1-β中平面 a，β的法向量，则n1，n2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小.则，先求 cos= 。再求二面角a-- β的平面角θ= 或 θ=π-（ n1， n2 为平面 a，β 的法向量）.

你能说说向量角与面面角的关系吗？

当两个法向量 n1， n2 的正方向相同（一个指向二面角内，另一个指向二面角外）时，则为其夹角，即 θ=；当两个法向量n1， n2 的正方向相反（同时指向二面角内或外）时，则为补角，即 θ=。

尝试3：已知n1 =（-3，1，0），n2=（1，0，0）分别是二面角 a-- β中平面a， β的法向量，求二面角a-- β 平面角的值。

设计意图：为适应我普通校学生的实际情况，初期阶段主要培养学生看书的习惯，力求问题的设置定位在“学生的最近发展区”，使学生肯学、乐学，期望学生带着浓厚的表现欲和强烈的求知欲愉快地走进课堂。

【导学诊断】

1. 已知cos=-12，则 a，b的夹角为.

2. 在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D ′中，平面 ABB′A′的一个法向量为 ；

3. 在棱长为1的正方体ABCD- A′B′C′D ′中，异面直线A ′B和 CB′所成角是 ；

设计意图：诊断反馈学生的预习成果，鼓励学生板演，让学生有展示的空间，感受成功的体验。鼓励生生互评，提高学习兴趣。

【师生互动】

类型一 异面直线所成的角

例1、如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCD- A′B′C′D ′的棱 BB′B′C′、 的中点.求异面直线MN与 CD′所成的角.

类型二 直线与平面所成的角

例2、长方体 ABCD-A1B1C1D 1中，AD= AA1=2，AB=4，E、F分别是A1D1 、AB的中点，O是BC1 与B1C的交点. 求直线OF与平面DEF所成角的正弦.

类型三 二面角

例3、：长方体ABCD- A1B1C1D 1中，AD=AA1 =2，AB=4，E、F分别是A1D1 、AB的中点，O是BC1 与B1C的交点. 求二面角A1 -DE-O余弦

设计意图：让学生通过对预习中的“问题”进行探究，在“学案”导引下，进行自主学习、主动探究；在自学中理解知识、发现问题；在合作、交流中培养能力、解决问题。

【总结提升】

1. 空间的二面角、二面角和异面直线的夹角，都可以转化为利用公式cos =a・b|a|・|b|求解.

2 解空间图形问题时，可以分为三步完成：

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题（还常建立坐标系来辅助）；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义

设计意图：指导学生对本节课的学习内容的进一步归纳总结，构建数学知识体系，也为学生课后自主复习指引方向。

【目标检测】

1、若直线 ∫的方向向量与平面a 的法向量的夹角等于120° ，则直线 ∫与平面 a所成的角等于 （ ）

A. 120 ° B. 60° C. 30° D.以上均错

2、若M、N分别是棱长为1的正方体ABCD - A′B′C′D ′的棱A′B′，BB ′的中点，那么直线 AM，CN所成的角的余弦为（ ）

A. 32 B. 1010 C. 35 D. 35

3 在棱长为1的正方体ABCD - A′B′C′D ′ 中，

（1）求直线 BC′与平面 A′BD所成角的余弦值。

（2）求二面角 A′- BD-C′的余弦值。

设计意图：针对学生似懂非懂的、容易混淆的问题，紧贴教学目标，精选检测内容，达到了解学生掌握情况的目的，巩固课堂成果，实现“节节清”。

【复习反思】

1、知识梳理――请列出本节知识清单

（1）用直线的方向向量求异面直线所成的角

（2）用直线的方向向量和平面的法向量求直线与平面所成的角

（3）用两个平面的法向量求二面角

2、重点提炼――主要题型，典型解法，注意事项：

（1）求直线的方向向量和平面的法向量

（2）利用公式 cos =a・b|a|・|b|求解

（3）结合条件判断“向量角”与“线线角”、“线面角”、“面面角”的关系

3、思想方法――体现哪些数学思想？运用哪些数学方法？

（1）转化的思想――将求“线线角”、“线面角”、“面面角”转化为求“向量角”。

（2）数形结合的思想――用代数的方法解决几何的问题

（3）运算能力――向量是躯体，运算是灵魂；没有运算的向量只能起路标的作用

设计意图：本栏目特设置在作业巩固栏目之前，其首要目的就是培养学生复习反思的习惯，明了复习反思的途径，提升复习反思的能力。

【作业巩固】

1、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D 1中，B1E1 =C1F1=A1B14，求 BE1与DF1 所成的角的余弦值.

2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1B1的中点.求

（1）直线DF与平面AEC所成角α的正弦值.

（2）平面ADF与平面AEC所成角 的余弦值.

设计意图：巩固学习成果，丰富优化知识结构，迁移知识能力。

【自我评价】

1、真知灼见：学了本节你有何独到的见解？

2、自我评价：（ ）A.很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

设计意图：培养学生自我评价的习惯，突出学生的主体意识。“真知灼见”既可培养学生“提炼”能力，也可为师生互动增加新的渠道。

2 高三第一轮复习课导学案编写实例

课题：函数的单调性

【学习目标】

1、理解函数单调性的概念。

2、学会利用定义判断证明函数单调性。

3、掌握函数单调性的性质，并能简单应用。

4、以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。

【学习重点】

函数单调性的概念、函数单调性的性质。

【学习难点】

判断证明函数单调性方法及函数单调性的函数单调性简单应用。

【预习指导】

一、单调性

（1）单调函数的定义

（2）单调区间的定义

若函数 f（x）在区间 Ι上是 ，则称函数 f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 Ι叫做 f（x） 的 。

探究一：①你能说说单调区间与定义域的关系吗？

②你是如何理解函数的单调性在图象上的反映？

若函数 f（x）在整个定义域Ι 内只有唯一的一个单调区间，则 f（x）称为 .

2.判断单调性的方法：

（1）定义法，其步骤为：① ；② ；③ ④ ；⑤ .

（2）导数法，若函数 y=f（x）在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则 f（x）在这个区间上是增函数；②若 ，则 f（x）在这个区间上是减函数.

（3）图象法：如果f（x） 是以图象形式给出的，或者 f（x）的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。

二、单调性的有关结论

1.在公共定义域内，若f（x） ， g（x）均为增（减）函数，则 f（x）+g（x） 函数；

2.若 f（x）为增（减）函数，则-f（x） 为 ；

3.复合函数y=f[g（x）] 是定义在M上的函数，若f（x） 与g（x） 的单调相同，则 f[g（x）]为 ，若f（x） ，g（x） 的单调性相反，则 f[g（x）] 为 .

探究二：①你能说说求复合函数单调区间时一定要求解什么吗？

②你能归纳判断复合函数单调性的口诀吗？

4.奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .

探究三：函数y=1x 在（-∞，0） 和 （0，+∞） 内都是单调递减的，你能说它在整个定义域即 （-∞，0） ∪（0，+∞） 内单调递减吗？为什么？

【导学诊断】

1、下列函数中，在区间（0，2）上递增的有

① y=-1x ②y=-x ③y=|x-1 | ④ y=x2+2x+1

2 函数y=2-x2+4x-3 的递减区间为

3 已知函数f（x）=x2+2（a-1）x+2 在区间（-∞，4]上是减函数，则 a的取值范围为

4 已知f（x） 是定义在 R上的增函数，f（13）=0 ，则不等式f（2x-1）〈0 的解集为

【师生互动】

题型一 函数单调性的判断和证明

例1 求证：函数f（x）=-1x-1 在区间（-∞，0）上是单调增函数。

变式训练1：判断函数f（x）=1x +x在区间（0，+∞）上单调性情况。在区间（-∞，0）上呢？

题型二 函数单调区间的求法

例2 试求出下列函数的单调区间.

（1） y=|2x-1 |+2； （2） f（x）=log12 （-x2+4x-3）。

变式训练2：求函数f（x）=x2+1（-2≤x ≤1）

-x+3（x1）的单调递减区间。

题型三 函数单调性的应用

例3 已知函数f（x） 的定义域为[-1，1]，且对于任意的x1 ，x2∈[-1，1]，当x10.

（1）试判断函数f（x） 在区间[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；

（2）解不等式f（5x-1）

变式训练3：已知f（x） 是定义在（-2，2）上的减函数，并且f（m-1）-f（1-2m） >0，求实数m 的取值范围.

【总结提升】

1、函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域.

2、函数的单调性可以借助函数图象来研究，增函数的图象自左向右是上升曲线，减函数的图象自左向右是下降曲线.

3、利用函数单调性可比较大小、解不等式、求函数值域或最值等，既是一种方法，也是一种技巧，应加强函数单调性的应用，提高解题技巧.

4、函数的单调性不同于周期性与奇偶性，它仅仅是函数的局部性质.

【目标检测】

1、下列函数f（x）中，满足“对任意 x1，x2 ∈ （0，+∞ ），当 x1 f（x2）的是（ ）

A.f（x） =1x B. f（x）=（x-1）2 C . f（x）=ex D f（x）=1n（x+1）

2、函数 y=log12（x2-5x+6）的单调增区间为

3、已知f（x）=（3a-1）x+4a，x≤1

1oga x，x>1是 （-∞，+∞）上的减函数，那么 a的取值范围是

4、如果二次函数f（x）=x2-（a-1）x+5 在区间〔12，1〕 上是增函数， f（2）的取值范围.

5、已知函数f（x） 在定义域[-2，2]上递增，求满足f（1-m）-f（m2-1）

【复习反思】

1、知识梳理――请列出本节知识清单：

2、重点提炼――主要题型，典型解法，注意事项：

3、思想方法――体现哪些数学思想？运用哪些数学方法？

【作业巩固】（略）