分类讨论的数学思想方法
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分类讨论的数学思想方法范文第1篇
当前，数学思想和数学思想方法多种多样。一个好的数学思想能轻松的解决生活中的实际问题，一种好的数学思想方法能便捷的使我们学习理解一个数学思想。本篇论文主要论述分类讨论思想和一次函数及分类讨论思想在一次函数中的应用。目前国内外论述分类讨论思想在一次函数中的应用的论文不胜枚举，大多都是从函数的概念、性质、图像、实际应用和解题需求这五个方面分类。首先，分类讨论思想是基本数学思想方法之一。它是一种解决生活中的实际问题的逻辑方法。合理地使用分类讨论思想，我们可以使繁琐的问题简单化，使解决问题的思路更有条理。分类讨论思想在教学中的应用实际就是“化整为零，各个击破”的教学策略。这也是为什么教材每个章节需要分各个小节。同时，分类讨论思想应用到数学教学中，有助于提高学生的逻辑性、条理性、概括性，对于培养学生严谨的科学态度和逻辑的数学思维有重要意义。使学生掌握分类讨论的思想方法有助于提高学生解题能力和分析问题的效绩。其次，一次函数是重要的几类函数之一，合理的利用好一次函数可以便捷的解决生产和生活中的诸多问题。近年来的考纲都有应用书本知识解决实际问题的考点，诸如成本最小化、经济效益最大化、方案最优化等等。可见掌握函数思想的重要性，因此学生应该学好一次函数。最后，学习一次函数常用到分类讨论的思想方法。分类讨论思想应用到一次函数中使教学思路更有条理，教学方案更清晰明了。
一、浅谈分类讨论思想
（一）分类讨论思想的起源
大家都知道数学思想方法的两大源头分别是中国的《九章算术》和古希腊的《几何原本》。随着古今学者的研究发展，数学思想方法已经出现了很多种。分类讨论思想方法就是众多的基本数学思想方法之一。
分类现象自古就存在。远古时期，人们收集到的食物会分类保存。能长时间保存的和不能长时间保存的、可以播种的和不能播种的植物，能圈养和不能圈养的动物。一个狩猎团体根据体质差异也有分工，行动敏捷的成员负责吸引猎物的注意力，身体壮实的负责对猎物造成伤害，臂力大的负责投掷标枪等等。现在分类现象随处可见，各种各样的职业共同推动社会发展，大小不一的零件使机器正常运行。正是因为分类思想，人们有条理的生活着，避免了很多的差错与混乱现象。分类思想是古老文明的基本思想。
司马迁编撰的《史记》 [1]卷六十五《孙子吴起列传第五》曾记载“田忌赛马”的故事，齐王与田忌赛马，双方按马的速度将马分为三等，齐王同等次的马的速度均高于田忌。田忌将马出场次序换位以下等马对齐王的上等马，以上等马对齐王的中等马，以中等马对齐王的下等马赢得比赛。田忌这种根据对方的马出场次序而相应的对自己的马出场次序作出调整的思想方法就是分类讨论思想。正是因为这一思想，田忌巧妙地赢得了比赛的胜利。为古代人的智慧史添上了绚丽的一笔。通过这个事例我们知道分类讨论思想的重要性，分类讨论思想其实与我们的生活息息相关。
现在已经有很多的学者专家都有总结分类思想的含义，在《数学思想方法教学研究导论》的第253页指出：“分类是基本的逻辑方法之一，数学中的分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。”
随着数学的发展，分类讨论思想方法逐渐演化成数学思想方法的主要思想方法之一。同时，也正使得数学这门学科使得分类思想方法更加地深化与细化。如今，分类讨论思想方法已经是中高考试中的常考点。
（二）分类讨论思想的概念界定
我们先了解分类讨论思想的汉语释义。“分类”一词在辞海中的释义为根据事物的特点分别归类。“讨论”一词在辞海中的释义为就某一问题进行商量或辩论。“思想”一词在辞海中指思维活动的结果，属于理性认识。从分类讨论思想的汉语释义可以知道分类讨论思想先分别归类再逐一商量讨论。
分类思想和分类讨论有什么区别与联系呢？按从属关系划分，分类讨论是一个种概念，分类思想是一个属概念。分类思想并不专属于数学领域，它是人们早期认识世界面貌、改善生活条件的一种思维形态，即把复杂的事物依据其种类、性质或品级进行划分或归类。分类讨论是分类思想实际应用的一种具体形式，它要求把事物进行划分归类，把分类的若干个种类进行逐一的研究讨论，最后把分类的若干讨论结果归纳总结。
在数学领域各学者对于分类讨论思想方法的概念界定几乎大同小异，对于分类讨论思想方法的概念几乎不存在争议。顾泠沅教授所著的《数学思想方法》有提到分类讨论这一思想方法。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现化整为零、集零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，有关分类讨论思想的数学问题是比较繁琐复杂的，通常安排在解答题板块，所占分值比较高。所以在高考试题中占有重要的位置。
（三）分类讨论思想的分类原则与方法
分类讨论思想的分类原则：（1）所要分类的对象必须是确定的（2）分类出的各级内容必须是完整的，不能犯遗漏某一级这种错误（3）应该按同一标准分类（4）各个集域应当是互斥的，不出现重复的集域（5）分类必须逐级进行，不能越级分类。分类讨论思想的分类方法：明确分类讨论的对象，确定对象的所有内容，明_分类的标准，将对象正确进行分类；逐级进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合结论。
三、分类讨论思想在一次函数中的应用
分类讨论思想在一次函数中的应用主要体现在一次函数的概念、性质、图像与实际应用这几个方面。
（一）分类讨论思想在一次函数概念方面的应用
如何来辨别一个函数关系是不是一次函数？前面已经给出了一次函数的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linear function）.当y=kx+b中的k是变量或者x的指数是变量时，该变量取不同的值会有不同的结果，因此就需要是用分类讨论的思想方法逐一讨论。
那么我们来看这道例题：
例4 已知函数y=（m-5）x2m-1+3x-1，当m为何值时，该函数是一次函数？
分析：根据函数概念，本题应该分为三种情况讨论：当m-5=0时，函数是一次函数；当2m-1=1时，函数是一次函数；当2m-1=0时，函数是一次函数。综上所述，m=5或1或 。
（二）分类讨论思想在一次函数性质方面的应用
我们已经知道一次函数具有单调增减性，一次函数的增减性在生活中经常用到。一次函数要么递增要么递减，因此又是也需要用到分类讨论思想。
例5 一次函数y=kx+b，当2≤ x ≤ 4时，10≤ y ≤ 14。求的值。
分析：此题中一次函数的单调性尚不明确，因此需要分为两种情况讨论：
当函数单调递增时，即当x=5时，y=10，当x=4时，y=14，因此k=2， b=6
故=3，当函数是单调递减时，即当x=2时，y=14，当x=4时，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。
（三）分类讨论在一次函数图像位置方面的应用
如果一次函数y=kx+b中的k或b不明确那么一次函数图像在平面直角坐标系中的位置也将不明确，因此很多时候需要用到分类讨论思想来解决相关问题。
例6 已知正比例函数y=x和一次函数y=kx+2的函数图像与x轴围成了一个面积为1的三角形，求一次函数的解析式。
分析：此题中一次函数的斜率并不明确，因此函数图像的位置需要分为两类。因为已经知道两个函数图像与x轴围成的三角形面积是1，且一次函数经过定点（0，2）根据斜率将一次函数分为递增和递减两类：当一次函数单调递增时，一次函数经过x轴上的点A（-1，0），一次函数解析式为y=2x+2；当一次函数单调递减时，一次函数经过x轴上的点E（2，0），一次函数的解析式为y=-x+2。所以总结两类讨论，一次函数的解析式为y=2x+2或y=1x+2。作图如图3.1和图3.2。
（四）分类讨论在一次函数实际问题方面的应用
一次函数应用到实际问题中已经是常考点，这使数学更贴近生活，培养学生灵活运用知识的能力。而在一些典型题型中常需要用到分类讨论思想。
例7 小明准备换电话卡，现在他已经了解了两种电话卡的套餐。A卡套餐为每月通话不超过100分钟，则按每分钟0.2元收费，若每月通话大于100分钟则超出时长按每分钟0.16元收费；B卡套餐为每月通话不超过200分钟按每分钟0.2元收费，若每月通话超过200分钟超出时长则按每分钟0.12元收费。如果小明每月通话 分钟，请问他该如何选择套餐最划算？
分析：此题尚不明确小明每月通话时长，因此需要分三种情况讨论：
当0≤ x ≤ 100时，显然两种卡消费一样。
当100≤ x ≤ 200时，A卡有优惠，B卡无优惠，因此选择A卡。
当x>200时，设A、B两卡消费分别为y1、y2。A卡消费为y1=0.16x+20，B卡消费为y2=0.12x+40，当y1=y2时，x=500因此又需要分三种情况讨论：当x=500时，A、B两卡消费一样，当200500时，y1>y2选B卡更划算。
分类讨论思想这是数学基本思想方法之一。学生熟练掌握了这一思想方法，将更有逻辑有条理的分析处理问题。一次函数是最基本的函数，它对于解决实际生活生产需要有重要意义。教师在教学一次函数时应当科学的选取适当的教W方法，务必是学生理解掌握一次函数，并将其迁移到实际问题中去。
参考文献：
[1]司马迁，史记，北京联合出版社，2016.
[2]王鸿钧，孙宏安，数学思想方法引论，人民教育出版社，1992.
[2]义务教育课程标准教师学习指导，2011.
[3]数学八年级下册，人民教育出版社，2013.
[4]顾泠沅，数学思想方法，中央广播电视大学出版社，2004.
[5]潘兴伟，初中数学教与学，分类思想在一次函数中的应用，2015.
[6]姬梁飞，科教文汇，论分类讨论思想方法，2017.
分类讨论的数学思想方法范文第2篇
一、符号表述与换元的思想王鹏方法
符号表述是数学语言的重要特色，它能使数学思维过程更加概括、简明.一句复杂的数学语言在用数学符号来表述时，让人一看就明白.如“甲乙两数和的三倍与它们差的两倍的差”可简单记为“3（x+y）-2（x-y）”，可见符号表述反映了数学思维的概括性和简洁性.初一学生所学习的数学知识刚刚从数过渡到式，用字母代替数的过程是从感性认识到理性认识的转化过程.列代数式、求代数式的值是换元思想方法的初始时期，由此开始，换元的思想方法便贯穿在整个中学数学教学过程中，如在方程、方程组、不等式教学中，都可强化对“元”的认识，渗透换元的思想方法.
二、化归的思想方法
化归，就是把问题进行适当的变换，将其转化为已经解决或者比较容易解决问题的思想方法.这种方法的关键在于寻找待求问题与已有知识结构的逻辑关系.中学数学处处都体现出化归的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为己知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想.在具体内容上，有加法与减法的转化，乘法与除法的转化，乘方与开方的转化，以及添加辅助线等都是实现转化的具体手段.因此，在教学中首先要让学生认识到，常用的很多数学方法实质上就是转化的方法，从而确信转化是可能的，而且是必须的.其次要结合具体教学内容进行有意识的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法.在具体教学过程中设出问题让学生去观察，探索转化的路子.例如在求解分式方程时，运用化归的方法，将分式方程转化为整式方程，进而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程组时的“消元”，解一元二次方程时的“降次”都是化归的具体体现.
三、数形结合的思想方法
著名数学家华罗庚说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞……”.数形结合的思想，可以使学生从不同的侧面理解问题，加深对问题的认识，提供解决问题的方法，有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力.
1.用“数”解“形”，利用数解决图形的问题
利用数形结合思想解题时，常用代数知识去解决图形问题.这时，应利用代数知识的运算法则或固定的数量关系图分析图形中的量，找到各个量之间的数量关系，进而明确图形特征.对相反数、绝对值的概念、有理数的大小比较、函数等知识的学习时，充分利用了数形结合的思想，很大程度上减轻了学生学习这些知识的难度，更加便于对知识的理解.
2.以“形”示“数”，用形解决数的问题
对于一些较抽象的代数问题，我们常利用已知信息去构造与之相应的图形，根据图形特征来找到代数问题的答案.
例如若m，n（m
分析本题从方程的角度求解，难度较大，将其转化为求函数y1=1和y2=（x-a）（x-b）图象交点的横坐标，即：利用函数图象求解方程组.
解函数图象如图1.
所以，m，n，a，b 的大小关系是 m
3.“数”“形”结合
“数”“形”结合是指在一些问题中不仅仅只是以“数”解“形”，或以“形”示“数”，而是需要“数”“形”互变，既要由“数”的严密联系到直观的“形”，还要由直观的“形”联系到“数”的严密，这类问题在解决过程中常需要同时从已知和未知条件入手，分析其中的联系，找到“数”“形”的内在联系，这方面的运用在解析几何中较常见.例如：如在学习完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2时，我们可构造出他们的直观模型，通过“数”与“式”之间的对比来验证、理解，从而让学生掌握公式.因此数形结合能够更直观、更形象地实现已知与未知之间的转化，充分体现解题的技巧性.
四、类比的思想方法
类比是最有创造性的一种思想方法，它是根据两个或两类对象之间有部分属性相同，从而推出它们的某种属性也相同的推理形式.类比不仅是思维的一种重要形式，而且是引入新概念的一种重要方法.例如，分式基本性质的引入是通过具体例子引导学生回忆小学数学中分数通分、约分的根据――分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质.
五、分类的思想方法
中学数学分代数部分和几何部分两大类，采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现；从具体内容上看，初中数学中实数的分类，式的分类，三角形的分类，方程的分类，函数的分类等等，也是分类思想的具体体现.对学习内容进行分类，降低了学习难度，增强了学习的针对性，在教学需要时启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想.在初中数学中，分类讨论的问题主要表现三个方面：（1）有的概念、定理的论证包含多种情况，这类问题需要分类讨论，如几何中三角形的分类、四边形的分类、角的分类、圆周角定理等的证明，都涉及到分类讨论.（2）解含字母系数或绝对值符号的方程、不等式，讨论算术根，正比例和反比例函数中的比例系数，二次函数中二次项系数a与图象的开口方向等，由于这些系数的取值不同或要去掉绝对值符号就有不同的结果，这类问题需要分类讨论.（3）有的数学问题，虽然结论唯一，但导致这结论的前提不尽相同，这类问题也要分类讨论.分类时要注意①标准相同；②不重不漏；③分类讨论应当逐级进行，不能越级.
分类讨论的数学思想方法范文第3篇
王云冰
（扬中新坝中学，江苏 镇江 212211）
摘 要：数学思想来源于数学基础知识及常用的数学方法, 在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。数学思想方法是数学教学的核心，是数学素养的重要内容之一，学生只有掌握了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，培养数学思维。所以在平时的教学中，应注重数学思想方法的渗透。
关键词：高中数学；思想方法；输血思维
一、分类讨论思想方法
例1 已知 ，函数 ，试解关于 的不等式
[分析] 当 时，函数 是关于 的一次函数， 即 ，
为关于 一次不等式，解得
当 时，函数 是关于 的二次函数， 即 ，为关于 二次不等式，继续对 讨论
若 时，不等式化为 ，解得
若 时，不等式化为 ，解得
[小结] 分类讨论要做到“不重不漏”，考虑问题要周到缜密，对相关知识点涉及的概念、定理、结论成立的条件要牢固把握，这样才能在解题时思路清晰，才知道何时必须经行分类讨论，而何时无需讨论，从而可以知道怎样讨论。
例2 设等比数列 的公比为 ，前 项和 ，求 的取值范围。
[分析] 为等比数列，且前 项和 ，
,且
当 时， ；
当 时， ，即
上式等价于 或 所以 或
综上
[小结] 在应用等比数列前 项和的公式时，要注意公式分为 和 两种情况，本题正是分类讨论中运用定义、概念和性质是分类给出的体现，注意条件是否满足，要逐个验证，分类讨论。
二、转化与化归思想方法
例3 已知 ，函数 ，若对于 ，不等式 恒成立，试求实数 的取值范围。
[分析] 对于 ，不等式 恒成立，
可化为 ，对于 恒成立，
所以 ，解得
[小结] 本题利用主元与参变量的关系，视参变量 为主元（即变量与主元的角色换位），将关于 的不等式转化为关于 的不等式，从而将问题化为熟悉的，简单的问题，是典型的转化与化归思想方法。
例4 设数列 中 ，试求通项公式
[分析] 用 代替 ，把数列递推关系进行变形，化为熟悉的问题来解决。
令 ，则
代入递推关系得 ，即
令 则 ，
故 ，
故
[小结] 本题采用换元的方法，把关于数列 的递推式化为数列 递推式，再构造数列 ，求出 的通项公式，从而求出 ，利用构造法将不熟悉的问题转化为熟悉的问题解决，是转化与化归思想方法的运用
三、函数与方程思想方法
例5 方程 有解，求实数 的范围。
[分析] 先分离参数 ，再构造函数 ，
分类讨论的数学思想方法范文第4篇
关键词： 中学数学教学 数学思想方法 教学策略
一、数学思想方法的内涵、重要性及中学数学中常用思想方法
1.内涵。
数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是人们认识、理解、掌握数学的意识，是在一定的数学知识、方法的基础上形成的，是数学方法的灵魂，并指导方法的运用。数学思想和数学方法同属于数学方法论的范畴，它们有时是等同的，并没有明显的界限，基于它们的这种关系，在中学数学中把它们统称为数学思想方法。
2.重要性。
数学思想方法是数学的灵魂，是数学知识内容的精髓，是沟通数学各分支、各部分的纽带，是知识转化为能力的桥梁，是进行数学创造的源泉，也是数学教育价值的根本所在。为此，重视数学思想方法的教学极其重要，能帮助学生更好地确立数学思想方法的意识，学会运用数学思想方法处理数学问题，能起到很好的启迪作用，提高个体思维品质和数学能力，是培养创新型人才的基础，也是数学素养的重要内涵之一。
3.中学数学中主要的数学思想方法。
用字母代替数、函数与方程、数形结合、数学模型、分析与综合等思想方法是中学数学中比较基本、重要的数学思想方法。
二、中学数学思想方法教学中存在的问题
1.重知识记忆，轻思想指引。
表现为偏重于概念、定理和公式的死记硬背，忽视对知识形成或背景的表现。重视对数学内容的讲解，忽视数学思想方法的归纳提高。在数学复习时，缺乏对数学思想方法的系统指导和点拨。例如：讲解三角函数诱导公式时，在黑板上罗列出所有诱导公式，让学生记忆，而不对推导加以论证或说明。这种让学生死记硬背的方法，只会加重学生的记忆负担，却没有教给学生合理的思考方法，导致学生只能机械模仿。其实这节课教师只需强调两个字：画图，引导学生用数形结合思想解决这个问题，在图形的基础上根据三角函数的定义便可得出诱导公式。这样即使日后学生忘了诱导公式，也还是能通过数形结合的方法获得。
2.重结论获取，轻过程探索。
表现为在定理和公式的教学中，只注重定理和公式的证明过程，忽视定理和公式的探索发现过程。在例题、习题的教学中只看重解题结果的正误，忽视解题方法的探索，少考虑所运用数学方法的合理性。例如：“两角和与差的正弦、余弦、正切”一课中两角和的余弦公式的推导，其思路是：运用两点间的距离公式，把两角和的余弦cos（α+β）用α、β的三角函数表示。大部分老师都是按教材中的这种方法推导出余弦公式的，这种重公式证明过程的教学，结果使得学生只知道公式的推导过程，可为什么要构造出距离等式呢？对此学生感到难以理解，其实这就是因为教师在教学中忽视了公式的探索发现过程。
3.重题型的套路，轻思想方法的归纳和提高。
表现为把注意力集中在题型套路及一招一式的总结，忙于套题型、按规定步骤训练求解，忽视数学思想方法的升华和提高，数学方法的概括和总结；注重个别、特殊的技巧，忽视通性通法的运用。例如：证明立体几何相关问题时，只强调记住定理，抓住定理中的条件，而忽视转化化归思想在其间的运用。立体几何中相关问题的解决就是转化化归思想，将面、面关系转化为线、面关系，再转化为线、线关系，从而通过解决线、线关系解决问题。
三、数学教学中突出数学思想方法的教学策略
1.制定教学目标时，重视数学思想方法的教学要求。
教学中应掌握如下两点：
①明确教材中的数学思想方法。数学思想方法是隐性的本质的知识内容，它是前人探索数学过程的积累，但教材对完美演绎形式的追求往往掩盖了内在的思想方法，因此一定要深入分析教材才能明确教材内在的思想方法。如，平行线分线段成比例定理一课，用面积法给出该定理的证明，把线段比转换为面积比，这里就蕴涵了由未知化为已知的转化化归思想方法。
②明确教材中的数学思想方法是属于哪个层次的要求。中学教材中数学思想方法很多，有些思想方法是很重要很基本的，运用其分析、处理和解决数学问题的机会比较多，而有些思想方法出现的频率很小，也就是说数学思想方法有轻重之分。故在制定教学目标前要明确数学思想方法属于哪个层次的要求，是了解、理解、掌握，还是灵活运用。具体属于哪个层次要求就要看该思想方法在这节课中的重要性和对以后学习影响的大小而定。如一元一次方程的应用一课，方程思想要求在了解感受层次上，而等差（或等比）数列的通项公式或前n项和公式一课，方程思想要求在运用层次。
只有明确了以上两点才能更准确更全面地把数学思想方法真正体现在教学目标要求上，从而为更好地设计教学奠定基础。
2.教学时，重视知识形成过程中数学思想方法的训练。
数学思想方法蕴含于数学知识中，没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。
①在概念教学中，由于概念是抽象、枯燥、难于记忆的，这就要求教师要向学生提供丰富、典型、正确、直观的背景材料，引导学生对其进行分析、综合、比较、分类、抽象、概括、系统化、具体化，使学生弄懂概念的涵义，搞清与相关概念的区别和联系。有时也可借助图形理解概念，因为图形是形象直观的，将概念与图形之间建立对应关系，使学生想到概念就能在头脑中出现相应的图形，看到图形就能联系其学过的概念，这样必然会使概念更容易理解、记忆，也使运用概念解决实际问题更便捷。如，讲椭圆概念时，可用实物教具让学生观察椭圆的作图过程，然后把实物模型化为数学图形，通过观察、分析图形概括出椭圆的定义，这里观察、分析、模型、数形结合等数学思想方法都得到了训练。
②对于规律（定理、公式、法则等），要重视其发生过程的教学，教师应善于引导学生通过感悟的直观背景材料或已有的知识发现规律，不过早地给结论，弄清过程，充分向学生展现自己是怎样思考的，使学生领悟其中的思想方法。例如，正弦定理的教学中，结合图形推导出正弦定理的公式，训练学生数形结合的思想方法。
总之，在教学过程的每一个环节都要有意识地引导，抓住每一个训练数学思想方法的好机会，学生才能逐渐步入数学思想方法的自由王国。
3.知识应用时，重视数学思想方法的揭示和提炼。
教学的目的是授学生以“渔”而非“鱼”，所以教学中要重视数学思想方法的揭示和提炼。例如，用配方法求函数最值时，提炼出转化化归思想。其实用配方法求最值，只要掌握会求二次项系数为1最值就行了，其余运用配方法求最值问题都可化归为求二次项系数为1的最值。如求-2x■+4x+1的最值可通过提取-2把它转化为求x■-2x-■的最值。学生只要掌握了这种化归的数学思想方法，不论题目怎么千变万化都能迎刃而解。
4.小结复习时，重视数学思想方法的系统归纳。
同一内容往往蕴含不同的数学思想方法，同一思想方法常常分布在许多不同的知识点中，因此要利用小结复习归纳出数学思想方法的系统。系统归纳可从两个方面进行。
①归纳某一部分知识蕴涵了哪些数学思想方法
如：解不等式■
方法（一）用代数方法中的转换化归求解。要使■有意义，必须有1-x■≥0即-1≤x≤1，当-1≤x≤1时，x+1≥0.又因为x=-1时，■=0，所以x≠-1，即-10，故（■）■>（x+1）■，化解得x（x+1）
图3
方法（二）用数形结合转化为半圆与直线的位置关系。令f（x）=■，g（x）=1+x.如图3可知当-1
②归纳某一数学思想方法分布在哪些知识点中
分类讨论思想方法是中学数学思想方法中比较重要的数学思想方法它可以分布在如下几个知识点中：因概念分段定义引起的分类讨论；因公式分段表达引起的分类讨论；因所实施的运算引起的分类讨论；因图形位置不确定引起的分类讨论；因图形的形状不同引起的分类讨论；因字母系数参与引起的分类讨论；因条件不唯一引起的分类讨论。
概括数学思想方法可以加强学生对数学思想方法的运用意识，也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解，有利于强化所学知识，形成独立分析、解决问题的能力。如：对立体几何内容的复习时，对其转化的思想方法进行整理和小结：把“高维”转化为“低维”（常通过截、展、平移、旋转、降维）；把“一般形体”转化为“特殊形体”（常通过分解或扩充以特殊化、熟悉化）；把“几何结论”转化为“代数、三角目标”（常通过几何图形数量化及引入相应目标以代数化、三角化）。进一步明确立体几何中的转化思想和策略，还可对立体几何中的概念类比、结论类比、方法类比的小结，归纳出立体几何中的类比思想方法。
总之，数学教学是数学活动的教学，我们要在整个数学活动中展现数学思想方法，减少盲目性和随意性，从使学生掌握知识，形成能力和良好思维品质的全方位要求出发，精心设计一堂课的各个环节。
参考文献：
[1]徐有标，刘治平.高考中的数学思想方法，2003：1.
分类讨论的数学思想方法范文第5篇
一、初中数学思想方法在解题中的应用
在整个初中数学教学中蕴含多种数学思想方法，但最基本的数学思想方法是数形结合的思想方法、分类讨论思想方法、化归转化的思想方法、函数的思想方法，能掌握好这些基本思想方法，就相当于抓住了初中数学知识的灵魂。下面就以上四种方法分别加以举例说明。
1.数形结合的思想方法
所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，以达到使复杂问题简单化，抽象问题具体化。数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用广泛，灵活巧妙。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形无数时难入微。”就是对数形结合思想方法的作用进行了高度的概括。在数学教学中，许多定律、定理及公式等常可以用图形来描述。如勾股定理、平方差公式等都是通过几何图形来得到的结论。利用图形的直观，可以由抽象变具体，模糊变清晰，使数学问题的难度下降，从而可以从图形中找到有创意的解题思路。
2.分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将数学对象分为不同种类的一种数学思想。在初中数学中常见的需分类讨论的知识点有：绝对值，一元二次方程根的情况，简单的分段函数，已知等腰三角形的一个内（外）角或两边，已知直角三角形的两边，未明确对应关系的全等或相似，点在圆的优弧或劣弧上，在平面直角坐标系中已知两点构建等腰三角形或直角三角形等。
掌握分类讨论思想，有助于提高学生理解知识、梳理知识和掌握新知识的能力。对数学内容进行分类，可以降低学习数学的难度，增强学生学习的针对性，因此在教学中应启发并引导学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类讨论的思想方法。
3.化归转换的思想方法
化归，指的是转化与归结。即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，从而最终解决原问题的一种思想。数学问题的解决过程其实就是一系列转化的过程，初中数学处处都体现出化归转换的思想方法。如代数式的求值中的未知向已知转化；多元向一元的转化；数与形的转化；分式方程化为整式方程；高次方程向低次方程的转化；四边形问题转化为三角形问题等。而实现这种转化的常用方法有：待定系数法、配方法、整体代入法等。例如：已知a-b=2，b-c=1，求代数式a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值。观察此题，
要求出此代数式的值很容易联想到两数差的平方公式，因此可将代数式进行扩大2倍并配方，变换出（a-b）2，（b-c）2，（a-c）2 的形式，而根据题目条件易求出a-c=3，故代
数式a2+b2+c2-ab-bc-ca= 1/2 ×[（a-b）2+（ac）2，（b-c）2]=1/2×[22+22+12]=7。
因此，我们在数学教学中，首先要让学生看到常用的很多数学方法的实质就是转化的方法，其目的就是把未知的量向已知的量转化，复杂的问题向简单的问题转化，从而在其脑海中树立化归转化的思想方法；其次结合具体的教学内容进行有针对性的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。
4.函数的思想方法
函数思想的本质是变量与变量之间的对应关系。华东师大版教材把函数思想已经渗透到初一、二教材的各个内容之中。如根据不同的值求代数式的值、锐角三角函数等，因此，我们在教学中要有意识地渗透函数的思想方法。例如某市的最后一题选择题：若关于x 的一元二次方程ax2+2x-5=0 的两根中有且仅有一根在0 与1 之间（不含0 和1），则a 的取值范围是（）
A.a3C.a-3
首先关于x 的一元二次方程ax2+2x-5=0 有不同两根，则a≠0，Δ>0，解得a>-15且a≠0，观察和四个答案没有太大的联系，故必须从另一个角度去考虑此题，细看条件，此方程的两根中有且仅有一根在0 与1之间，故想到了函数的思想，可把方程ax2+2x-5=0 转换为函数y=ax2+2x-5，当x=0，则y=-5
