分类讨论的思想方法
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分类讨论的思想方法范文第1篇
当前，数学思想和数学思想方法多种多样。一个好的数学思想能轻松的解决生活中的实际问题，一种好的数学思想方法能便捷的使我们学习理解一个数学思想。本篇论文主要论述分类讨论思想和一次函数及分类讨论思想在一次函数中的应用。目前国内外论述分类讨论思想在一次函数中的应用的论文不胜枚举，大多都是从函数的概念、性质、图像、实际应用和解题需求这五个方面分类。首先，分类讨论思想是基本数学思想方法之一。它是一种解决生活中的实际问题的逻辑方法。合理地使用分类讨论思想，我们可以使繁琐的问题简单化，使解决问题的思路更有条理。分类讨论思想在教学中的应用实际就是“化整为零，各个击破”的教学策略。这也是为什么教材每个章节需要分各个小节。同时，分类讨论思想应用到数学教学中，有助于提高学生的逻辑性、条理性、概括性，对于培养学生严谨的科学态度和逻辑的数学思维有重要意义。使学生掌握分类讨论的思想方法有助于提高学生解题能力和分析问题的效绩。其次，一次函数是重要的几类函数之一，合理的利用好一次函数可以便捷的解决生产和生活中的诸多问题。近年来的考纲都有应用书本知识解决实际问题的考点，诸如成本最小化、经济效益最大化、方案最优化等等。可见掌握函数思想的重要性，因此学生应该学好一次函数。最后，学习一次函数常用到分类讨论的思想方法。分类讨论思想应用到一次函数中使教学思路更有条理，教学方案更清晰明了。
一、浅谈分类讨论思想
（一）分类讨论思想的起源
大家都知道数学思想方法的两大源头分别是中国的《九章算术》和古希腊的《几何原本》。随着古今学者的研究发展，数学思想方法已经出现了很多种。分类讨论思想方法就是众多的基本数学思想方法之一。
分类现象自古就存在。远古时期，人们收集到的食物会分类保存。能长时间保存的和不能长时间保存的、可以播种的和不能播种的植物，能圈养和不能圈养的动物。一个狩猎团体根据体质差异也有分工，行动敏捷的成员负责吸引猎物的注意力，身体壮实的负责对猎物造成伤害，臂力大的负责投掷标枪等等。现在分类现象随处可见，各种各样的职业共同推动社会发展，大小不一的零件使机器正常运行。正是因为分类思想，人们有条理的生活着，避免了很多的差错与混乱现象。分类思想是古老文明的基本思想。
司马迁编撰的《史记》 [1]卷六十五《孙子吴起列传第五》曾记载“田忌赛马”的故事，齐王与田忌赛马，双方按马的速度将马分为三等，齐王同等次的马的速度均高于田忌。田忌将马出场次序换位以下等马对齐王的上等马，以上等马对齐王的中等马，以中等马对齐王的下等马赢得比赛。田忌这种根据对方的马出场次序而相应的对自己的马出场次序作出调整的思想方法就是分类讨论思想。正是因为这一思想，田忌巧妙地赢得了比赛的胜利。为古代人的智慧史添上了绚丽的一笔。通过这个事例我们知道分类讨论思想的重要性，分类讨论思想其实与我们的生活息息相关。
现在已经有很多的学者专家都有总结分类思想的含义，在《数学思想方法教学研究导论》的第253页指出：“分类是基本的逻辑方法之一，数学中的分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。”
随着数学的发展，分类讨论思想方法逐渐演化成数学思想方法的主要思想方法之一。同时，也正使得数学这门学科使得分类思想方法更加地深化与细化。如今，分类讨论思想方法已经是中高考试中的常考点。
（二）分类讨论思想的概念界定
我们先了解分类讨论思想的汉语释义。“分类”一词在辞海中的释义为根据事物的特点分别归类。“讨论”一词在辞海中的释义为就某一问题进行商量或辩论。“思想”一词在辞海中指思维活动的结果，属于理性认识。从分类讨论思想的汉语释义可以知道分类讨论思想先分别归类再逐一商量讨论。
分类思想和分类讨论有什么区别与联系呢？按从属关系划分，分类讨论是一个种概念，分类思想是一个属概念。分类思想并不专属于数学领域，它是人们早期认识世界面貌、改善生活条件的一种思维形态，即把复杂的事物依据其种类、性质或品级进行划分或归类。分类讨论是分类思想实际应用的一种具体形式，它要求把事物进行划分归类，把分类的若干个种类进行逐一的研究讨论，最后把分类的若干讨论结果归纳总结。
在数学领域各学者对于分类讨论思想方法的概念界定几乎大同小异，对于分类讨论思想方法的概念几乎不存在争议。顾泠沅教授所著的《数学思想方法》有提到分类讨论这一思想方法。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现化整为零、集零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，有关分类讨论思想的数学问题是比较繁琐复杂的，通常安排在解答题板块，所占分值比较高。所以在高考试题中占有重要的位置。
（三）分类讨论思想的分类原则与方法
分类讨论思想的分类原则：（1）所要分类的对象必须是确定的（2）分类出的各级内容必须是完整的，不能犯遗漏某一级这种错误（3）应该按同一标准分类（4）各个集域应当是互斥的，不出现重复的集域（5）分类必须逐级进行，不能越级分类。分类讨论思想的分类方法：明确分类讨论的对象，确定对象的所有内容，明_分类的标准，将对象正确进行分类；逐级进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合结论。
三、分类讨论思想在一次函数中的应用
分类讨论思想在一次函数中的应用主要体现在一次函数的概念、性质、图像与实际应用这几个方面。
（一）分类讨论思想在一次函数概念方面的应用
如何来辨别一个函数关系是不是一次函数？前面已经给出了一次函数的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linear function）.当y=kx+b中的k是变量或者x的指数是变量时，该变量取不同的值会有不同的结果，因此就需要是用分类讨论的思想方法逐一讨论。
那么我们来看这道例题：
例4 已知函数y=（m-5）x2m-1+3x-1，当m为何值时，该函数是一次函数？
分析：根据函数概念，本题应该分为三种情况讨论：当m-5=0时，函数是一次函数；当2m-1=1时，函数是一次函数；当2m-1=0时，函数是一次函数。综上所述，m=5或1或 。
（二）分类讨论思想在一次函数性质方面的应用
我们已经知道一次函数具有单调增减性，一次函数的增减性在生活中经常用到。一次函数要么递增要么递减，因此又是也需要用到分类讨论思想。
例5 一次函数y=kx+b，当2≤ x ≤ 4时，10≤ y ≤ 14。求的值。
分析：此题中一次函数的单调性尚不明确，因此需要分为两种情况讨论：
当函数单调递增时，即当x=5时，y=10，当x=4时，y=14，因此k=2， b=6
故=3，当函数是单调递减时，即当x=2时，y=14，当x=4时，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。
（三）分类讨论在一次函数图像位置方面的应用
如果一次函数y=kx+b中的k或b不明确那么一次函数图像在平面直角坐标系中的位置也将不明确，因此很多时候需要用到分类讨论思想来解决相关问题。
例6 已知正比例函数y=x和一次函数y=kx+2的函数图像与x轴围成了一个面积为1的三角形，求一次函数的解析式。
分析：此题中一次函数的斜率并不明确，因此函数图像的位置需要分为两类。因为已经知道两个函数图像与x轴围成的三角形面积是1，且一次函数经过定点（0，2）根据斜率将一次函数分为递增和递减两类：当一次函数单调递增时，一次函数经过x轴上的点A（-1，0），一次函数解析式为y=2x+2；当一次函数单调递减时，一次函数经过x轴上的点E（2，0），一次函数的解析式为y=-x+2。所以总结两类讨论，一次函数的解析式为y=2x+2或y=1x+2。作图如图3.1和图3.2。
（四）分类讨论在一次函数实际问题方面的应用
一次函数应用到实际问题中已经是常考点，这使数学更贴近生活，培养学生灵活运用知识的能力。而在一些典型题型中常需要用到分类讨论思想。
例7 小明准备换电话卡，现在他已经了解了两种电话卡的套餐。A卡套餐为每月通话不超过100分钟，则按每分钟0.2元收费，若每月通话大于100分钟则超出时长按每分钟0.16元收费；B卡套餐为每月通话不超过200分钟按每分钟0.2元收费，若每月通话超过200分钟超出时长则按每分钟0.12元收费。如果小明每月通话 分钟，请问他该如何选择套餐最划算？
分析：此题尚不明确小明每月通话时长，因此需要分三种情况讨论：
当0≤ x ≤ 100时，显然两种卡消费一样。
当100≤ x ≤ 200时，A卡有优惠，B卡无优惠，因此选择A卡。
当x>200时，设A、B两卡消费分别为y1、y2。A卡消费为y1=0.16x+20，B卡消费为y2=0.12x+40，当y1=y2时，x=500因此又需要分三种情况讨论：当x=500时，A、B两卡消费一样，当200500时，y1>y2选B卡更划算。
分类讨论思想这是数学基本思想方法之一。学生熟练掌握了这一思想方法，将更有逻辑有条理的分析处理问题。一次函数是最基本的函数，它对于解决实际生活生产需要有重要意义。教师在教学一次函数时应当科学的选取适当的教W方法，务必是学生理解掌握一次函数，并将其迁移到实际问题中去。
参考文献：
[1]司马迁，史记，北京联合出版社，2016.
[2]王鸿钧，孙宏安，数学思想方法引论，人民教育出版社，1992.
[2]义务教育课程标准教师学习指导，2011.
[3]数学八年级下册，人民教育出版社，2013.
[4]顾泠沅，数学思想方法，中央广播电视大学出版社，2004.
[5]潘兴伟，初中数学教与学，分类思想在一次函数中的应用，2015.
[6]姬梁飞，科教文汇，论分类讨论思想方法，2017.
分类讨论的思想方法范文第2篇
一、符号表述与换元的思想王鹏方法
符号表述是数学语言的重要特色，它能使数学思维过程更加概括、简明.一句复杂的数学语言在用数学符号来表述时，让人一看就明白.如“甲乙两数和的三倍与它们差的两倍的差”可简单记为“3（x+y）-2（x-y）”，可见符号表述反映了数学思维的概括性和简洁性.初一学生所学习的数学知识刚刚从数过渡到式，用字母代替数的过程是从感性认识到理性认识的转化过程.列代数式、求代数式的值是换元思想方法的初始时期，由此开始，换元的思想方法便贯穿在整个中学数学教学过程中，如在方程、方程组、不等式教学中，都可强化对“元”的认识，渗透换元的思想方法.
二、化归的思想方法
化归，就是把问题进行适当的变换，将其转化为已经解决或者比较容易解决问题的思想方法.这种方法的关键在于寻找待求问题与已有知识结构的逻辑关系.中学数学处处都体现出化归的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为己知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想.在具体内容上，有加法与减法的转化，乘法与除法的转化，乘方与开方的转化，以及添加辅助线等都是实现转化的具体手段.因此，在教学中首先要让学生认识到，常用的很多数学方法实质上就是转化的方法，从而确信转化是可能的，而且是必须的.其次要结合具体教学内容进行有意识的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法.在具体教学过程中设出问题让学生去观察，探索转化的路子.例如在求解分式方程时，运用化归的方法，将分式方程转化为整式方程，进而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程组时的“消元”，解一元二次方程时的“降次”都是化归的具体体现.
三、数形结合的思想方法
著名数学家华罗庚说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞……”.数形结合的思想，可以使学生从不同的侧面理解问题，加深对问题的认识，提供解决问题的方法，有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力.
1.用“数”解“形”，利用数解决图形的问题
利用数形结合思想解题时，常用代数知识去解决图形问题.这时，应利用代数知识的运算法则或固定的数量关系图分析图形中的量，找到各个量之间的数量关系，进而明确图形特征.对相反数、绝对值的概念、有理数的大小比较、函数等知识的学习时，充分利用了数形结合的思想，很大程度上减轻了学生学习这些知识的难度，更加便于对知识的理解.
2.以“形”示“数”，用形解决数的问题
对于一些较抽象的代数问题，我们常利用已知信息去构造与之相应的图形，根据图形特征来找到代数问题的答案.
例如若m，n（m
分析本题从方程的角度求解，难度较大，将其转化为求函数y1=1和y2=（x-a）（x-b）图象交点的横坐标，即：利用函数图象求解方程组.
解函数图象如图1.
所以，m，n，a，b 的大小关系是 m
3.“数”“形”结合
“数”“形”结合是指在一些问题中不仅仅只是以“数”解“形”，或以“形”示“数”，而是需要“数”“形”互变，既要由“数”的严密联系到直观的“形”，还要由直观的“形”联系到“数”的严密，这类问题在解决过程中常需要同时从已知和未知条件入手，分析其中的联系，找到“数”“形”的内在联系，这方面的运用在解析几何中较常见.例如：如在学习完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2时，我们可构造出他们的直观模型，通过“数”与“式”之间的对比来验证、理解，从而让学生掌握公式.因此数形结合能够更直观、更形象地实现已知与未知之间的转化，充分体现解题的技巧性.
四、类比的思想方法
类比是最有创造性的一种思想方法，它是根据两个或两类对象之间有部分属性相同，从而推出它们的某种属性也相同的推理形式.类比不仅是思维的一种重要形式，而且是引入新概念的一种重要方法.例如，分式基本性质的引入是通过具体例子引导学生回忆小学数学中分数通分、约分的根据――分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质.
五、分类的思想方法
中学数学分代数部分和几何部分两大类，采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现；从具体内容上看，初中数学中实数的分类，式的分类，三角形的分类，方程的分类，函数的分类等等，也是分类思想的具体体现.对学习内容进行分类，降低了学习难度，增强了学习的针对性，在教学需要时启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想.在初中数学中，分类讨论的问题主要表现三个方面：（1）有的概念、定理的论证包含多种情况，这类问题需要分类讨论，如几何中三角形的分类、四边形的分类、角的分类、圆周角定理等的证明，都涉及到分类讨论.（2）解含字母系数或绝对值符号的方程、不等式，讨论算术根，正比例和反比例函数中的比例系数，二次函数中二次项系数a与图象的开口方向等，由于这些系数的取值不同或要去掉绝对值符号就有不同的结果，这类问题需要分类讨论.（3）有的数学问题，虽然结论唯一，但导致这结论的前提不尽相同，这类问题也要分类讨论.分类时要注意①标准相同；②不重不漏；③分类讨论应当逐级进行，不能越级.
分类讨论的思想方法范文第3篇
中学数学中重要的思想方法有：函数与方程的思想方法、分类讨论的思想方法、化归与转化的思想方法、数形结合的思想方法。
一、函数与方程的思想方法
1、函数与方程思想方法的含义
函数与方程的思想是中学数学的基本思想。
（1）函数的思想，是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
（2）方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质分析、转化问题，使问题获得解决。
（3）函数思想与方程思想是密切相关的。对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看作二元方程y- f（x）=0。方程问题也可以转化为函数问题解决，如解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点。
二、函数与方程思想方法的应用
1、用函数观点去处理数列问题。
（3）公比q为参数的等比数列前n项和及求极限问题。
（4）解析几何中含参数的直线与圆锥曲线的方程问题。
如：对轨迹方程中参数a 的讨论，确定曲线的类型。对直线的斜率分存在和不存在进行讨论。
（5）在立体几何中，根据直线和平面所成角的概念，根据线与线，线与面，面与面的位置关系分类讨论。
如：在同一平面的两条直线的位置关系分平行或相交进行讨论。
（6）排列组合应用问题，根据加法原理分类计算。
注意区分“分类”与“分段”的区别：分类是解决两个对象的方法，结果对于每一类情况都要给出问题的结论；分段是解决一个对象的方法，结果对于每种情况的结论要合并。
三、化归与转化的思想方法
分类讨论的思想方法范文第4篇
一、应用实例讲解数学思想
数学知识的学习与掌握必须由听讲、练习、复习等过程巩固，数学思想方法必须经过反复的练习才能让学生真正领悟。通过反复的练习、逐步完善才能让学生形成利用数学思想方法解决问题的意识，构建自我数学思想方法解题系统。函数章节作为高中数学教学的重要组成部分，开展函数教学，重点培养学生的分析、综合思维方法，有利于学生依据已知条件，分析、讨论对知识进行整合，帮助学生建构整体的数学思维，提升学生进行自主学习获得的成就感。
解析：这是一道较为典型的函数例题，老师根据数学思想的要求传授学生解题的方法，也可以依据这一道例题对其它相关例题的解题方法进行概括性的讲授，确保学生遇到这类题目可以快速、准确的找出解题方法。
本例题构造出奇函数g（x），再借助奇函数定义解题非常容易。这道例题也展现出构造的数学思想，实际解题时，我们一般会构造一个比较熟悉的模式，从而将不熟悉的转化为所熟悉的问题进行思考、解答。例如，学习三角函数时，经常会运用辅助角公式构造一角一函数已有的模式。由此可知，构造法有助于学生多方位的思考问题，对提升学生学习的深度和广度具有重要意义。
二、应用数形结合思想
数形结合作为数学解题中比较常见的思想方法，运用这种方法可将部分抽象的数学问题转变成可直观的内容，促使问题求解的问题更加简洁。
解析：数形结合思想是数学教学的重要思想之一，主要包括“以形助数、以数辅形”这两方面的内容，求解几何问题也是研究数形结合的重要手段。同时，在求解方程解的个数及函数零点问题中也能应用。以形助数和以数辅形可以让繁杂的问题变得更加直观、形象，提升数学问题的严谨性和规范性。因此，对部分抽象的函数题目，数学教师应正确引导学生运用数形结合的思想方法，使得解题思路峰回路转，变得清晰、简单。
三、应用分类讨论思想
分类讨论思想就是依据数学对象本质属性的共同点与不通电，把竖向对象划分成多个种类实施求解的一种数学思想。高中数学函数章节教学中使用分类思想方法，有利于学生形成缜密、严谨的思维模式，养成良好的数学品质。解决数学函数问题时，如果无法从整体角度入手解决问题，可以从局部层面解决多个子问题，从而有效解决整体的问题。
分类讨论就是对部分数学问题，但所给出的对象不能展开统一研究时，必须依据数学对象本质属性的特点，把问题对象划分为多个类别，随之逐类展开谈论和研究，从而有效解决问题。对高中数学函数进行教学过程中，经常根据函数性质、定理、公式的限制展开分类讨论，问题内的变量或包含需要讨论的参数时，必须实施分类讨论。高中数学教学中，必须循序渐进的渗透分类思想，在潜移默化的情况下提升学生数学思维能力和解决问题的能力。
解析：本例题解法可以根据函数图象，借助偶函数图象关于y轴对称进行解决，也可以根据两个变量所处的区间，展现出分类讨论的思想。对复杂的问题进行分类和整合时，分类标准与增设的已知条件相等，完成有效的增设，把大问题转换成小问题，优化解题思路，降低解决问题的难度。
四、结语
总之，高中数学函数章节是整个数学教育的重要部分，对其日后学习高等函数发挥着重要作用。高中数学函数知识涵盖多种数学思想方法，数学思想方法是解决数学问题的钥匙和重要工具，因此，数学老师必须对函数实施合理的教学，让学生更全面的掌握数学教学思想方法，从而提升学生的综合思维能力。
参考文献：
分类讨论的思想方法范文第5篇
其中分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，对培养学生思维的条理性、缜密性，提高学生全面、周密地分析问题和解决问题的素质和能力起到十分关键的作用，故“分类讨论”思想在初中数学中占有重要地位。但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，创设情景，予于强化，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。
分类讨论一般应遵循以下的原则：
1.对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准。
2.分类要完整：不重复，不遗漏。
3.有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。
而在初中数学的教学过程中我们常在以下情况中应用分类讨论思想：
一、在概念教学中渗透分类讨论意识和原则
分类讨论是重要的数学思想方法，由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类：
例：比较a与-a的大小。
分析：易得a〉-a 的错误，导致错误在于没有注意到数a可表示不同类型的数。应分a〉0，a= 0，a
又例：在学习绝对值的定义时，要有意识地启发学生从有理数分类进行认知的迁移，帮助学生概括出a>0，a=0，a
二、在法则、定理、公式导出过程中体现分类讨论思想
有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定限制条件下才成立，这就要在教学的过程中逐步体现分类讨论思想。
例：方程kx2-2x+5=0有几个实数根？
学生往往不注意k对方程性质的影响，讨论或讲评中，使学生明确系数k决定方程的次数，从而分k=0，k≠0两类讨论。当k≠0时，再分>0，=0，
例：解关于x的不等式：ax+3>x+a
分析通过移项不等式化为（a-1）x>a-3的形式，然后根据不等式的性质可分为a-1>0，a-1=0，和a-1
当a-1>0，即a>1时，不等式的解是x>a-3>/a-1；
当a-1=0，即a=1时，不等式的左边=0，此时不等式不成立；
当a-1
又例：二次函数y=kx+b的图像过哪几个象限？
这道题势必要考虑图像的变化趋势，又要考虑图像与y轴交点的位置。要对字母k和b进行分类讨论。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。
三、在几何中，常常由于图形的的形状、位置的不同而要进行分类讨论
例如：若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得或解得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。
又例如：已知半径为a的两圆外切，半径为2a且和这两圆都相切的圆共有多少个？
