导数分类讨论的思路

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导数分类讨论的思路范文第1篇

ABCD分值: 5分 查看题目解析 >88．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试。跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是( )ABCD分值: 5分 查看题目解析 >填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。99．已知等差数列前n项和为.若，，则=_______， .分值: 5分 查看题目解析 >1010．圆C：的圆心到直线的距离是 ．分值: 5分 查看题目解析 >1111．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为_______.

分值: 5分 查看题目解析 >1212．在中，已知，则 .分值: 5分 查看题目解析 >1313．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点，则的值是_______，的取值范围是___.分值: 5分 查看题目解析 >1414. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说： “丁获奖”；丁说：“丙说的不对”。若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是 .分值: 5分 查看题目解析 >简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15已知函数.15.求的最小正周期；16.求在区间上的值和最小值.分值: 13分 查看题目解析 >16已知等比数列的各项均为正数，且，．17.求数列的通项公式；18.若数列满足，，且是等差数列，求数列的前项和.分值: 13分 查看题目解析 >17甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训。在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下：甲： 82 82 79 95 87乙： 95 75 80 90 8519.用茎叶图表示这两组数据；20.从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；21.现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由．分值: 13分 查看题目解析 >18如图，四边形是边长为的正方形，平面平面，, ．

22.求证：平面；23.求证：平面；24.求三棱锥的体积．分值: 14分 查看题目解析 >19在平面直角坐标系中，动点与两定点,连线的斜率乘积为，记点的轨迹为曲线.25.求曲线的方程；26.若曲线上的两点满足,，求证：的面积为定值.分值: 13分 查看题目解析 >20设函数.27.当时，求曲线在点处的切线方程；28.若函数有两个零点，试求的取值范围;29.设函数当时，证明.20 第(1)小题正确答案及相关解析正确答案

解析

解：当时，函数，因为，所以.又则所求的切线方程为.化简得：.考查方向

本题考查导数的计算，考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，本题是一道简单题.解题思路

先对函数求导，然后求出且切线的斜率以及切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程即可.易错点

本题易错在求导数时计算错误.20 第(2)小题正确答案及相关解析正确答案

解析

因为①当时，函数只有一个零点；②当，函数当时，；函数当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.又，，因为，所以，所以，所以取，显然且所以，.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.③当时，由，得，或.若，则.故当时，，所以函数在在单调递增，所以函数在至多有一个零点.又当时，，所以函数在上没有零点.所以函数不存在两个零点.若，则.当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在至多有一个零点.当时，；当时，；所以函数在上单增，上单调递减，所以函数在上的值为，所以函数在上没有零点.所以不存在两个零点.综上，的取值范围是 ……………………………………………………9分考查方向

本题考查利用导数判断函数的单调性以及判断函数的零点的应用，考查函数与方程的应用，考查分类讨论的数学思想，本题是一道难题，是高考的热点.解题思路

先求出函数的导数，通过讨论的范围，判断函数的单调性结合函数的零点个数求出的范围即可易错点

本题易错在不能够准确对的取值进行分类讨论.20 第(3)小题正确答案及相关解析正确答案

证明略.解析

证明:当时，.设，其定义域为，则证明即可.因为，所以，.又因为，所以函数在上单调递增.所以有的实根，且.当时，；当时，.所以函数的最小值为.所以.所以. …………………………………………………………14分考查方向

本题考查构造法求函数的最值，考查利用导数的应用，本题是一道难题.解题思路

导数分类讨论的思路范文第2篇

1试题的特点

1.1稳中有变，变中求新

稳定主要体现在试题的类型、每种类型的题目数量，试题的知识点分布，尤其是解答题体现高中数学的主体知识，各种题型的分数分布等都与往年保持相对的稳定.变的形式主要体现在最后一题的分数由山东自主命题开始到2011年都是14分，今年是13分，（21） ，（22）均为13分的目的是为了让考生消除对压轴题的恐惧心理，同时也告诉考生， 变化是永恒的,高考试卷不可能成为八股卷.变的另一个方面体现在试题的难度上和分布上.山东省的2011年及以前的自主命题的难题主要是21题和22题.今年的试题，据不完全统计学生感觉难题分布在多处，尤其是数列的题目（20题的第二问），学生感觉难度大，以前的山东数列题目的难度不大.填空题的最后一题和选择题的最后一题学生感觉难度都比较大.另外变化还体现在考查细微处，如第17题，把平面向量的数量积，三角函数的变形、平移、三角函数的局部值域等融为一题，设计看似平淡，实质是考查学生对三角函数的本质的理解和对函数图象的深刻把握.

1.2题目入手易，做完整难

题目层层设问，步步深入，体现选拔的功能.今年试题的区分度是近几年最高的，第21题，第22题都是三问，每一问都是层层增加难度，需要相当好的解题速度和运算能力；其余的解答题都是两问，第20题的第二问的难度明显高于前三题的第二问.试卷充分体现了人文关怀以及文理考生的差异，文科17题考生第一问不会，但也可利用第一问的结论很顺利地完成第二问．

1.3由最后两道题目把关变成多题把关

每种题型都有试题把关，这一改变体现对学生处理试题的抗挫折能力和运筹时间的能力的考查.选择题的第12题，填空题的第16题，解答题的第20题的第二问，第21题的第三问，第22题的第三问都是有一定难度的试题，都能有效起到把关的作用.

分散难点不仅为了提高区分度，更重要的是对考生的抗挫折能力的考查以及对考生如何优化整个试卷的解答流程都提出了较高的要求.不可否认应试能力也是素质教育的一部份.我们既没见过素质很高但考分很低的考生，更没见过考分很高但素质低下的学生．

1.4计算量和思维量设置恰当

和往年的高考试卷相比，今年的数学试卷更加强调用数学的思维方法去思考问题解答问题，重点考查考生的数学素养和数学洞察力.如理科第7题考查了排除法，理科第12题考查了分类讨论思想.文理科第16题、第21题对考生转化与化归的思想也提出了较高的要求.另外，今年的试卷巧妙地把计算量和思维量做到了和谐统一.如文理科第12题，如果很好地利用函数图象的对称性，就可以巧妙避免利用导数进行相对复杂的计算；文科第21题，如果考虑到椭圆的对称性，可以减少一种情形的计算；文理科第21题，在计算中间如果及时换元，则可以极大地减少计算量；文理科第22题，在计算过程中如果及时考虑函数的图象和性质，把第三问转化为两个函数间最大值和最小值的比较，就能有效地避免重复运算，做到又好又快地答题.本题把函数的单调性、图象和性质、不等式的证明以及导数的应用有机地结合在一起， 具有较高的区分度，使得不同水平的考生在此各显身手，获得与自己的真实能力和水平相应的成绩.题目避免了常规题目的俗套设计和多参数化的繁琐讨论，入口宽，梯度大，降低了运算量，提高了思维量，提高了试卷的整体质量.

1.5试题彰显创新思维品质

主要体现在选择题理科的第8、9、12题上，这三道题需要学生有很好的转化能力，既是对数学思想的考查，又是对学生思维品质全方位的考查；填空题主要体现在第16题上，学生处理变与不变的能力；解答题的创新之处主要体现在第20、21、22题，第20题的第二问通过计数问题，把学生的思维品质的考查提升到一个很高的水平.理科第21题解析几何题目，圆与抛物线有机结合，最值、存在性都是常见设问，通性通法均可处理，但本题于平淡处见精神，靠已有的基础知识、基本方法、基本思想和数学学习经验，经过研究分析才能解答，是真正的好题.对只依赖死记题型、死套模式，思维僵化的考生，产生了较大的挑战.也是学生感觉计算量最大的一道题目.第22题，在常见的背景中考查了学生处理函数的能力，虽然是常见题型，但是需要灵活的变通能力.

总之，2012年的山东省的高考数学试题的思维量明显是近几年最大的，体现创新的地方也是最多的.略显不足的是立体几何、解析几何都采用一小一大的命题模式，分值较低，略显单薄，况且文理的解析几何题都是用代数的方法处理的最值问题.再有就是计算量偏大，如第21题的第三问，还有个别地方的计算显得重复.

2对今后教学的几点建议

中学教师分析高考试题的一个比较大的功利思想是怎样有效指导下届高三的复习备考，以及对基础年级的教学的导向或引领在什么地方.试题每年都一样又不一样，一样的地方是数学知识和数学思想方法的考查，尤其是数学素养和数学思维品质的考查；不一样的地方是对这些数学知识的考查的方式不一样，考查的知识点略有差异，考查数学思维品质的深度略有差异，计算量略有差异，试题的难易不同.综合这些方面，提出以下几点建议，供各位同行参考.

2.1基础的落实是成功之本

每年的试题都有一定的知识覆盖面，不可能全部的知识点都考到，几年未出现的知识不能视为不重要的知识，更不能舍去.如弧度的问题，虽然每年都出现，作为概念的考查今年山东高考试题是唯一的一次.

2.2通性通法是成功之法

每年高考后都有这么一条建议，这一条又确实是取得高考满意成绩的法宝.例如，许多学生考后反映第21题的第三问难，我们分析到底难在哪里？难在我们的学生惧怕这么大的计算量，一遇到大的计算量，就怀疑是不是做错了，就想当然地认为有简单的方法，有捷径，导致部分同学怀疑自己的思路，在寻找捷径上浪费了时间，也影响了最后一题的解答.

导数分类讨论的思路范文第3篇

关键词：边际分析 弹性分析 课堂设计

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）02（b）-0193-02

18世纪全世界数学史取得最大突破的时期，从传统常量数学转移到变量数学，诞生了微积分这一数学史上最辉煌的学术。并且很快被应用在各个学科领域，比如：经济学家把微积分学术去思考困扰他们多的的经济学的难题，并取得了辉煌成就。在19世纪中后期相关经济学专家把微积分的基础概念和效用概念结合到一起，从而诞生了边际效用，后期经济学家把此次经济学改革命名为“边际革命”。致使微积分的思想和概念，逐渐渗透到经济学的方方面面。

在边际分析和弹性分析的教学课堂中，教师要注重启发学生对边际分析和弹性分析概念的理解和认识，让学生从本质上理解和掌握边际分析和弹性分析，避免死记硬背。该文通过查询大量文献，并结合理论实践，深入分析和探讨了边际分析和是弹性分析的思想、步骤，从而提高课堂设计的合理性和有效性。

1 教学设计

1.1 边际分析法产生的历史背景――课程引入

在教学设计中，要首先介绍边际分析法的历史由来，在边际革命推行的后期，分析边际方法的发展方向；其次，由于边际分析是在微积分的基础概念上引进而来，所以在具体教学过程中，要把微积分思想落实到每位的学生身上；最后，分析边际分析法在经济学领域中的具体应用。

除此之外，要通过探究式教学让学生掌握数学的发展史，同时把科学家研究边际分析和弹性分析艰苦过程的进行介绍，提高学生不怕困难勇于探索的学习精神。

1.2 提出引例，引导学生建立数学模型――重点的引入

提出是否增加航班问题的引例。要求学生思考，假如你是一个航空公司经理，长假来临，你想Q定是否增加新的航班，如果纯粹是从财务角度出发，你该如何决策。换句话说，如果该航班能给公司挣钱，则应该增加。因此，你需要考虑有关的成本和收入，关键是增加航班的附加成本是大于还是小于该航班所产生的附加收入，这种附加成本和收入称为边际成本和边际收益。

联系数学建模，引导学生建立模型，并要求学生展开分组讨论，并由小组代表描述建立数学模型的过程。

最后由教师总结归纳，详细并逐步讲解、得出相应模型：

我们所面对的学生，在数学课程的学习中，其形象思维、小组合作以的实践能力毫不逊色于本科程度的学生。以上通过“提出问题、分组讨论、小组代表回答、教师总结归纳”这一师生互动过程来引入该次课程的内容：边际分析。此做法源于著名的教育心理学家桑代克的“变化引起注意”一法，通过不断变换教学手段，让学生充分参与、亲自体验理论的归纳过程。

1.3 边际经济函数（边际成本函数、边际利润函数）的定义――重点的介绍

介绍边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数的定义。

并通过举例讲解，引导学生学会利用所学知识解决实际经济问题。

例题1：设某产品的需求函数为：p= 20-q/5，其中p 为价格，q 为销售量，求边际收益函数，以及q= 20、50、70时的边际收益，并说明其经济意义。并由该例题引导学生思考在经济活动中，如何根据经济函数求最大的利润点？

1.4 最大利润原则的介绍

设总收益函数R（q）、总成本函数C（q）和总利润函数L（q）均为可导函数。提问学生取得最大利润的充分条件、必要条件。并归纳总结：取得最大利润的必要条件是：边际收益等于边际成本。取得最大利润的充分条件是：边际收益的变化率小于边际成本的变化率。

课堂练习，并要求学生板演：

练习1：某工厂生产的某种产品，固定成本为400万元，多生产一个单位产品成本增加10万元，设该产品产销平衡，且需求函数为q=1000-50p（q为产量，p为价格），问该厂生产多少单位产品时，可获得最大利润？最大利润是多少？并验证是否符合最大利润原则。

1.5 弹性分析的介绍――重、难点的突出

引导学生思考：在边际分析中，我们讨论的函数变化率与函数改变量均属于绝对数范围内的问题，是否仅仅使用绝对数的概念就能深入分析所有的问题呢？例如：甲商品的单价是10元，乙商品的单价是100元。若甲、乙商品都涨价1元，两种商品单价的绝对改变量都是1元，但是涨幅不同，甲商品的涨幅为10%，乙商品的涨幅为1%，显然甲商品的涨幅比乙商品的涨幅大，这就说明，我们仅有绝对变化率的概念还很不够，因此，有必要研究函数的相对改变量和相对变化率，而这就是弹性分析的内容。

设市场上某商品的需求量q是价格p的函数，即q=q（p）。当价格p在某处取得增量p时，需求量相应地取得增量q，称p与q为绝对增量，

如果需求函数q=q（p）可导，且当p0时，极限存在，

称价格为p时，需求量对价格的弹性，简称为需求弹性，

根据经济理论，需求函数是单调减少函数，所以需求弹性一般取负值。

需求弹性的经济意义是：当价格P在某处改变1%时，需求改变

引导学生平行推广，对成本函数、收益函数、供给函数分别进行弹性分析，得出成本弹性、收入弹性。

讲解例题2：设某商品的需求函数为：求：p = 3，p = 5时的需求弹性，并说明其经济意义。

课堂练习，并要求学生板演：

练习2：已知某产品的供给函数为F（p）= ―2 + 2 p ，求价格 p = 5时的供给价格弹性，并说明其经济意义。

1.6 总结――再次围绕重难点

完成了每节课的教学内容后，在教师的引导下，师生共同归纳总结，目的是让学生在头脑中更深刻更清晰地留下思维的痕迹，调动学生的学习积极性和主动参与意识，符合教学论中的继发性原则。

先让小组代表进行总结，并由其余组员进行补充。

（1）边际分析：

①边际分析的定义。

②常用的边际函数及其经济意义。

（2）最大利润原则：

取得最大利润的必要条件：边际收益等于边际成本。

取得最大利润的充分条件是：边际收益的变化率小于边际成本的变化率。

（3）弹性分析：

①弹性的定义。

②常用的弹性及其经济意义。

归根结底，该堂课重点是边际分析、弹性分析在经济中的应用，难点是弹性分析的应用。

1.7 作业

作业是课堂教学中不可缺少的环节，配合每次课的教学内容，布置相应的作业，通过作业反馈本节课知识掌握的情况，以便下节课查漏补缺，这符合教学论中的程序原则和反馈原则。

2 结语

该章节内容，通过这样的教学设计方式，通过创设情境，实例引出问题，以思路为引线，进行基本概念、理论、方法、应用等内容的介绍与阐述，处理抽象的数学概念；调动学生的学习、思考的主动性与积极性，并通过启发，引导学生进行联想、类比和推理。对成本函数、收入函数分别进行弹性分析，得出成本弹性、收入弹性。通过小组合作学习，让学生分工合作共同达成学习目标。该节课在课堂活动中把学生分成6人一小组的学习小组，让他们围绕着课堂任务分工合作，发展他们的F队协作能力；通过小组间比赛，提高学生的合作和竞争能力。促使学生学会体验实践、参与合作与交流的学习方式。这种学法将更有利于发展学生的实际运用能力，使数学学习的过程成为学生形成积极的情感态度、主动思维和大胆实践的过程。使学生掌握边际分析、弹性分析的基本概念，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析和解决问题的能力，使学生在学习知识的同时注意与实际生活相结合，学以致用。

参考文献

导数分类讨论的思路范文第4篇

破解简单题，在读题审题的过程中，需要列出的问题有：未知数是什么；已知数据是什么；条件是什么；满足条件是否可能；确定未知数，条件是否充分，或者它是否存在、是否多余、是否矛盾等等。列出这些问题后，很容易建立起条件和所需要结论或求解结果之间的联系，从而解决问题。历年高考卷中的前6道填空题基本都属于这类情况。同学们只要考虑上述问题，做起来会相对轻松。当一道新颖或感觉陌生的题出现在你面前时，如果也能做到这样游刃有余，那学习数学就很轻松愉悦了。

当然，高考题目的形式在不断变化，难度也在不断增加。面对这种情况，很多同学感到无所适从，题目在手，不知考察哪个知识点，学到的方法不知用在何处，更不知如何解决问题。如何提高解题的实践操作性，就成了目前教学中的一大难题。笔者现将平时数学教学中摸索出的几种破题方法介绍给大家，以供参考。

一、N即1

利用数学思想里特殊与一般的思想，将题目中较大的数字或参数直接视为1，使复杂问题简单化，就容易得到求解的方法和思路；或者当题目中出现多个参数时，将其简化成较少或1个参数的问题来求解。通过对个例的认识与研究，形成对事物由浅入深、由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论、由特殊到一般、再由一般到特殊的反复认识过程。

例1、某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计。

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。

（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。

解题思路：该题我们可以借助图形，设污水处理池的宽为x米，则长为

米，先建立起函数模型。起初函数式子总造价f(x)=400×（2x+

）+248×2x+80×162相对复杂，数字很大，很繁琐。此时如果在列式的过程中，将较大的数字视为1，就会很容易发现此函数就是y=x+　的模型，这样后面的求解思路就很清晰了。则总造价f(x)=400×（2x+

+248×2x+80×162≥1290×2+12960=38880（元），当且仅当x=10时取等号。 第二问中，由限制条件知10≤x≤16。

设g(x)=x+

（10　≤x≤16）。

同样将较大数字视为1，问题自然简化成函数有限定范围、取不到等号的问题，而采用求导判断其单调性的方法得到，g（x）在[10　，16]上是增函数，所以当x=10时，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，总造价最低，为38882元。

有时题目中出现了字母（参数），同学们往往会觉得解决起来就比较棘手。其实若将其中的参数具体化，利用一般到特殊的思想，将其视为1，认清题目的基本模型，找到相关的知识点和解决方法，再回到一般情况，回到题目中的具体条件进行分类，就能使问题得到解决。

例2、已知函数g（x）=

+1nx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx-

-1nx，m∈R。

（1）求θ的值。（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围。（3）设h（x）=　，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）>h(x0)成立，求m的取值范围。

解题思路：这道题目中，可将（1）问中的sinθ视为1，函数基本模型还原，就可以得到此题是利用求导解决函数单调性问题。从而由题意得知：g′（x）=

+　≥0在[1，+∞）上恒成立，即

≥0。在解这个不等式时，仍可将sinθ视为1，还原为求解分式不等式，找到基本思路。θ∈（0，π），sinθ>0。故sinθ·x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只需sinθ·1-1≥0，即sinθ≥1，只有sinθ=1。结合θ∈（0，π），得θ=　。

在（2）中，f（x）-g（x）=mx-　-21nx，也可以将m视为1，认清是含有分式函数、对数函数在内的函数单调性求导问题。因为f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，所以（f（x）-g（x））′=

，所以mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立。mx2-2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即m≥

，故m的取值范围是(-∞，0]∪[1，+∞）。

在（3）中构造出F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F（x）=mx-　-21nx-　。仍可以用这样的想法来理清解题思路，后分类进行讨论，解得m>

。

在平时的检测中，如果碰到一些字母或参数较多的问题，只要本着“多就是1”的原则，就会成竹在胸，不会有恐惧感，心定气闲之余，问题也就迎刃而解。

例如（08江苏高考第11题）：

已知x、y、z∈R+，x-2y+3z=0，则　的最小值______。

说明：本题有着将三元化为二元的思想，由x-2y+3z=0得y=

，代入　，利用二元基本不等式问题轻松解决。

再如：在ABC中，a、b、c成等差数列，且公差d

分析思路：结合已知条件初步分析，不可能将三条边一一解出来，又因为是求比值，所以在这题中看起来是三条边，其实就是两个元素间的关系问题。带着这个想法，着手分析两个元素，努力找出相互关系。根据a、b、c成等差数列，不直接用2b=a+c，而用b-d、b、b+d，再根据大边对大角、大角为A、小角为C的规律，由正弦定理可得

=

，即

=

。运用倍角公式和余弦定理，代入整理有b=-5d，从而得出a∶b∶c=6∶5∶4。

二、数即形

数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面。面对难以下手的代数形式，可以用相应的几何图形去思考；不好解决的几何图形问题，可以寻找相关的代数形式来解决。通过数与形相互转化的方式解决数学问题，实现数形结合的有机统一，常常会与以下内容有关:(l)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图像的对应关系；(3)曲线与方程的对应关系；(4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义等。

第一种情况：可将较为复杂的代数问题利用相应图像解决。

例1、若直角坐标平面中两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f（x）的图像上，②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数f（x）的一个“友好点对”。

已知f（x）

，则f（x）的“友好点对”有______个。

解题思路：要解决好这个问题，列式分析判断是很困难的。可通过平移、描点得到函数的图像后，将y轴一边的图像与原点对称，就可直接观察交点个数得解。

又如：在平面直角坐标系xoy中，若直线y=kx+1与曲线y=|x+　|-|x-　|有四个公共点，则实数k的取值范围是______。这道题如果利用两个式子之间的关系来解答是无从下手的，但若在同一坐标系中先分类讨论去绝对值，将函数分段，作出曲线y=|x+　|-|x-　|的图像，然后将过（0，1）的直线围绕点旋转，很快就能得到符合题目要求的条件，相切位置可通过求导也可通过方程联立求得。

第二种情况：

题目中给出图形或图形的简单描述，求解相关问题。这种题型一般不能通过图形观察得到所要的结果，这就需要找到与其配套的代数模型，或放在坐标系中用代数方法来研究，将问题简化、破解。

例1、若AB=2，AC=　2BC，则SABC的最大值______。

解题思路：本题若知道C点的轨迹是圆，就可以直接通过图形观察什么位置的三角形面积最大。还可以通过以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-1，0）、B（1，0）。设C（x，y），由AC=　2BC可得（x-3）2+y2=8，方程出来后就很容易得到C在以（3，0）为圆心、2　2为半径的圆上运动。SABC=　·AB·|yc|=|yc|≤2　2。这就是我们常说的解析法，换而言之就是用代数思想解决几何问题。

例2、（南京09年二模）从等腰直角三角形纸片ABC上，按图示方式剪下两个正方形，其中BC=2，∠A=90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为______。

分析：本题设出两正方形的边长为变量x、y，根据BC长可得到关系式x+y=1，再根据基本不等式的变形式子x2+y2≥

得解。

例3、将边长为1m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=

，则S的最小值是______。

分析思路：通过图形是不容易得到最值结果的，可从代数角度去思考。设剪成的小正三角形的边长为x，

再利用导数求函数最小值方法。

S′（x）=0，0

。

三、繁即简

利用化归与转化思想，能将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题，灵活多变，无统一模式。可利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。鼓励学生读题时要告诉自己：复杂的就是简单的，考再难的题，知识点和方法都是自己掌握的。有了这样的心理暗示，一则增加了自信，二则思考问题就会有方向，朝着基本方法和基本知识点、通性通法去思考。

例1、（09年江苏高考第14题）：设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn=an+（n=1，2，…），若数列{bn}有连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中，则6q=_____-9______。

解题思路：本题牵涉到两个数列，把握以等比数列为背景这一关键，将各数按照绝对值从小到大的顺序排列，各数减1，结合等比正负相间的特点，化繁为简，再通过观察即可迅速得解。

例2、（江苏2011高考20题）：设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，当n>k时，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）=2（Sn+Sk）都成立。（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{an}的通项公式。

解题思路：本题为最后一题压轴题，学生看到这道题的第一感觉是复杂，进而惊慌失措。要做到不慌不忙、快速而准确的解题，就要全面地、细致地弄清问题中的各种信息，理出思路，进行破题。

例如：第（1）问中利用k=1，n>1，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1），Sn+2+Sn=2（Sn+1+S1）。具体到Sn，Sn-1，Sn+1，S1之间的关系，将繁杂进行第一步简化；接着思考Sn，an的关系，作差后有：an+2+an=2an+1，所以，n>1时，{an}成等差，进而得到第二步简化；而a2=2，视Sn=a1+a2+…+an回归到前三项和而进行第三步简化。从而有S2=3，S3=2（S2+S1）-S1=7a3=4，a5=8。

第（2）问实际是第一问的反复重演。可借助（1）中的解题思路将繁琐的问题进一步简化，从而由题意可得：

n>3，Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3），（1）；n>4，Sn+4+Sn-4=2（Sn+S4），（2）；n>4，Sn+4+Sn-2=2（Sn+1+S3），（3）；n>5，Sn+5+Sn-3=2（Sn+1+S4），（4）。

当n≥5时，回归到简单的（1）、（2）、（3）、（4），化繁为简，此题即破。由此可知，只要目标明确，条理清楚，就能成功解题。如：

由（1）（2）得：an+4-an-3=2a4，（5）由（3）（4）得：an+5-an-2=2a4，（6）由（5）（6）得：an+5=an-3+ad2=an+4-2a4+2d2，（9），an+4=an-2+2d1=an+5-2a4+2d1，（10），由（9）（10）得：an+5-an+4=d2-d1，2a4=d1+d2，an-2-an-3=d2-d1;{an}（n≥2）成等差，设公差为d。

在（1）（2）中分别取n=4，n=5得：

2a1+6a2+15d=2（2a1+5a2+5d），

即4a2-5d=-2；2a1+8a2+28d=2（2a1+7a2+9d），

导数分类讨论的思路范文第5篇

关键词:锁相跳频源;环路带宽;相位裕量;环路滤波器;ADS

中图分类号:TN742文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2010)05-022-03

Accurate Design and Simulation of Loop Parameters of Four-order

Charge Pump PLL Frequency Hopping Source

YOU Fabao,WANG Dong

(Xi′an Electronic Engineering Research Institute,Xi′an,710100,China)

Abstract:The PLL frequency hopping source has been the main design scheme of modern microwave frequency source,because of its performance advantage.An accurate design method of three order loop filter with simulation procedure is clearly introduced to simplify design process based on loop bandwidth,phase margin and spur attenuation for current charge pump PLL frequency synthesizer chip.Using simulation tool ADS,a simulation of S-band frequency hopping source is used to verify the accuracy of this method.

Keywords:PLL frequency hopping source;loop bandwidth;phase margin;loop filter;ADS

0 引 言

锁相(PLL)跳频源的低杂散特性是直接数字频率合成器(DDS)所无法比拟的一个优点。PLL跳频源的主要设计工作就是正确选择和设计环路滤波器,使跳频源指标在相位噪声、杂散抑制、跳频速度和稳定性等方面合理兼顾,实现综合性能最佳。目前,国内外已经发表了许多相关文献,对各种环路滤波器的设计进行了系统的分析与讨论。

由于有源环路滤波器与无源环路滤波器相比,不但增加相噪,复杂程度,还增加成本,故除了在特定必需的场合下,一般都用无源环路滤波器。通常大部分锁相环采用二阶低通滤波器,但是对于要求较高的锁相环跳频源选择更高阶的滤波器来进一步抑制频谱杂散是必要的,但是阶数的增加会使环路滤波器中元件参数值的确定更为复杂。

针对四阶锁相跳频源三阶环路滤波器的环路参数,进行了系统分析,提出了一种环路滤波器参数近似准确的设计方法,设计思路清晰,出发点明确,并且用ADS仿真了一个S波段的锁相跳频源验证了此方法的准确性。

1 环路滤波器设计的基本原理

在锁相环的设计中,一般根据输出频率范围选择合适的锁相环芯片和压控振荡器,根据频率步进确定分频比N和鉴相频率,综合考虑锁相环的锁定速度、主要相位噪声和杂散来源来确定滤波器的性能指标。

环路带宽:它是环路参数设计中最关键的参数,一般说来,与VCO的相位噪声、锁定时间和分辨率成反比;与参考频率、PFD/CP和LF相位噪声成正比。环路带宽越小,参考杂散越小,但跳频速度越慢;环路带宽越宽,跳频速度越快,但参考杂散越大,因此,必须对这种矛盾进行折衷。一个可行的方法是:选择环路带宽充分满足锁定时间的要求,并保证足够的相位裕量即可。在锁定时间要求不严的情况下,将晶振噪声与VCO噪声交点处的频率作为环路带宽。

相位裕量:它与系统的稳定度有关,是环路滤波器设计的重要参数。相位裕量选择得越低,系统越不稳定;相位裕量选择得越大,系统越稳定,但系统的阻尼振荡越小,即以增加锁定时间为代价。因此,要考虑适合的相位裕量,一般说40°~50°为最佳相位裕量。仿真表明,在48°时锁定最快,在50°时相位噪声最佳。

杂散抑制度:主要是指对杂散的衰减,用于二阶以上的环路滤波器的设计中,抑制度增大时,环路带宽减小,因此要合理折衷,当仍然达不到要求时,可以考虑用更高阶的环路滤波器。

在确定以上指标后,就可以进行滤波器的设计。

2 三阶环路滤波器分析

三阶环路滤波器如图1所示。它是在二阶滤波器后连接一个一阶RC低通滤波器。由于电流型电荷泵鉴频鉴相器作为该滤波器的输入,使PLL成为三阶┒型环,其性能要优于电压型鉴相器采用有源滤波器的理想二阶环。其传递函数为:

F(s)=1+sT2sA0(1+sT1)(1+sT3)

=1+sT2s(A2s2+A1s+A0)

(1)

其中:

T2=R2C2(2)

A0=C1+C2+C3(3)

A1=A0(T3+T1)=

C2C3R2+C1C2R2+C1C3R3+C2C3R3(4)

A2=A0T3T1=C1C2C3R2R3(5)

相应的锁相跳频源的开环传递函数为:

H0(s)=KN1+sT2s2A0(1+sT1)(1+sT3)=

KN1+sT2s2(A2s2+A1s+A0)(6)

式中:K为环路总的增益;N为分频比,在环路参数的设计中可以选择最大和最小分频比的几何平均值。

图1 三阶无源环路滤波器

3 三阶环路滤波器参数设计

3.1 T2,A0,A1,A2值的确定

根据开环单位增益带宽ωp、相位冗余度φp,对鉴相频率ωr泄漏的抑制度Atten(单位:dB)确定T2,A0,A1,A2的值[4]。

将s=jω代入式(6)得:

H0(jω)=-KN1+jωT2ω2A0(1+jωT1)(1+jωT3)(7)

根据相位裕量φp的定义:

φp=180°+atctan(ωpT2)-

atctan(ωpT1)-atctan(ωpT3)(8)

对式(8)求导,令dφp/dωp=0

0=T2(1+ω2pT21)(1+ω2pT23)-T2(1+ω2pT22)•

(1+ω2pT23)-T3(1+ω2pT22)(1+ω2pT21)(9)

由于ω2pT1T31,略去高次项并引入修正因子γ得:

T2歃忙鬲2p(T1+T3)(10)

γ数值的确定是一个设计、验证、修正、再设计、再验证的过程,在初次设计取1即可。

将式(10)代入式(8)得:

T1+T3sec(φp)-tan(φp)ωp(11)

选定滤波器对鉴相频率ωr泄漏的抑制度为Atten(单位:dB),由式(7)得:

H0(jω)ω=ωr=KN1+(ωrT2)2ω2rA01+(ωrT1)21+(ωrT3)2

KT2Nω3r1A0T1T3=10Atten/20(12)

A2=A0T1T3=KT2Nω3r10Atten/20(13)

下面确定参数A0,它是环路滤波器的总电容。

根据 H0(jωp)=1,由式(7)得:

H0(jω)ω=ωp=KN1+(ωpT2)2ω2pA01+(ωpT1)21+(ωpT3)2

=K1+(ωpT2)2Nω2p•

1A01+ω4p(T1T3)2+ω2p(T1+T3)2-2ω2pT1T3

=1(14)

整理得到关于A0的一元二次方程:

p1A20+p2A0+p3=0(15)

其中:p1=1+ω2p(T1+T3)2;p2=-2A2ω2p;p3=ω4pA22-K1+(ωpT2)2Nω2p2。

求解此一元二次方程取其最大正值为A0。

至此,环路滤波器的参数T2,A0,A1,A2全部确定。

3.2 环路滤波器元件参数值的确定

由T2,A0,A1,A2的值确定环路滤波器元件参数[5]C1,C2,C3,R2,R3的值。

滤波器元件的参数值要由方程(2)~(5)来确定,要由四个方程确定五个未知量,则必须确定一个参量,首先确定哪个未知数有很多种选择,但选择有┮桓霆原则,即保证最靠近压控振荡器的电容最大,这样可以减少压控振荡器电容对环路的影响,同时使R3比较小,减少电阻热噪声。基于上面这个原则,选取C1的值为需要预先确定的未知数,将这四个方程进行变换,得到┦(16),C3是C1的函数:

C3=-T22C21+T2A1C1-A2A0T22C1-A2(16)

当C1取值时,C3的值为最大,因此C3对C1的导数为零,得到C1:

dC3dC1=C21-2A2T22C1+A2A1T32-A2A0T22C1-A2T222=0(17)

进而求出C1:

C1=A2T221+1+T2A2(T2A0-A1)(18)

确定C1后,进而确定其他的滤波器参数:

C3=-T22C21+T2A1C1-A2A0T22C1-A2(19)

C2=A0-C1-C2(20)

R2=T2/C2(21)

R3=A2C1C3T2(22)

这种设计方法保证能够非常精确地求出滤波器的参数值,同时也能够保证C3的值最大,R3的值最小。

3.3 环路滤波器设计流程

根据前面两小节环路滤波器参数设计的理论分析和推导,总结环路参数计算的流程如图2所示[5]。

图2 环路参数计算流程图

鉴于手工计算比较繁琐,根据前面分析的计算流程,编写了Matlab程序计算环路参数值。需要说明的是,对鉴相频率泄漏的抑制不能盲目取大。从Matlab仿真可知,在ωp,φp,ωr确定后,抑制过大,会使滤波器C3的计算值减小,甚至为负值,这是不允许的,因此需要在抑制度和能够接受的C3的最小值之间折衷,以减小VCO输入电容对环路的影响。一般原则是在C3的最小值达到要求的前提下使抑制度最大。若优化设计后抑制度仍然达不到设计要求,可以尝试采用更高阶的环路滤波器。

4 S波段锁相跳频源设计实例

S波段锁相跳频源技术指标如下:频率范围为1 930~2 030 MHz;频率间隔为5 MHz;输出功率大于-8 dBm;相位噪声小于-85 dBc@1 kHz。

选择ADI公司的ADF436O-2芯片为核心芯片。ADF436O-2内部集成了电荷泵鉴相器、R分频器、N分频器和压控振荡器。芯片内部集成压控振荡器能有效减少电路板带来的相位噪声和杂散信号,并且设计调试相对简单。

该实例选取ωp=2π×40×103 rad/s,鉴相频率泄漏衰减度取Atten=95 dB,相位裕量取50°。通过Matlab仿真计算得到环路滤波器的参数值;通过ADS软件进行仿真,得到此跳频源的实际环路带宽为39.81 kHz,相位裕量为49.5°,在鉴相频率处的衰减为95.5 dB,和设计目标值基本一致。锁相环路的开环幅频、相频特性曲线如图3所示。

图3 锁相环路开环幅频、相频响应曲线

进一步仿真得到:锁定速度在57 μs,精确到1 kHz;双边带相位噪声:-94.8 dBc@1 kHz,-94 dBc@10 kHz。如图4和图5所示。

图4 锁相跳频源跳频锁定时间仿真

图5 锁相跳频源相位噪声仿真

从理论分析和仿真结果来看,设计的锁相跳频源是成功的,能满足设计指标要求,可以进行实际的电路制作。

5 结 语

介绍了一种四阶锁相跳频源环路参数中相对准确的设计方法,设计思路清晰,出发点明确,应用Matlab仿真得到

元件参数值后并在ADS中验证了该方法的准确性,在锁相跳频源的工程设计中有着重要的指导意义。

参 考 文 献

[1]张厥胜,郑继禹,万心平.锁相技术[M].西安:西安电子科技大学出版社,2002.

[2]张涛,陈亮.电荷泵锁相环环路滤波器参数分析与设计[J].现代电子技术,2008,31(9):87-90.

[3]Banerjee D.PLL Performance,Simulation,and Design[M].Second Edition.2001.

[4]刘光祜.锁相跳频源的极值相位裕量设计法[J].电子科技大学学报,2001(6):551-554.

[5]项顺祥.S波段频率合成器的设计[D].西安:西北工业大学,2007.