首页 > 文章中心 > 零点分段讨论法

零点分段讨论法

前言:想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗?我们特意为您整理了5篇零点分段讨论法范文,相信会为您的写作带来帮助,发现更多的写作思路和灵感。

零点分段讨论法

零点分段讨论法范文第1篇

例1 解不等式[|x+3|-|2x-1|

分析 利用零点分段法求解.

解 (1)当[x≤-3]时,

原不等式化为[-(x+3)-(1-2x)][

解得[x

(2)当[-3

原不等式化为[(x+3)-(1-2x)

解得[x

(3)当[x>12]时,

原不等式化为[(x+3)-(2x-1)

解得[x>2],[x>2].

综上,不等式解集为[{x|2}.]

点拨 形如[|x-a|+|x-b|≥c](或[≤c])型的不等式主要有三种解法:(1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为[(-∞,a],(a,b],(b,+∞)](此处设[ac]([c>0])的几何意义,数轴上到点[x1=a]和[x2=b]的距离之和大于[c]的全体点. (3)图象法:作出函数[y1=|x-a|+|x-b|]和[y2=c]的图象,结合图象求解.

例2 设函数[f(x)=|x-1|+|x-a|],

(1)若[a=-1],解不等式[f(x)≥3];

(2)如果[?x∈R],[f(x)≥2],求实数[a]的取值范围.

分析 零点去绝对值法适用于含有多个绝对值的不等式的求解问题.

解 (1)当[a=-1]时,[f(x)=|x-1|+|x+1|],

由[f(x)≥3]得:[|x-1|+|x+1|≥3],

方法一:由绝对值的几何意义知,不等式的解集为[{x|x≤-32或x≥32}].

方法二:不等式可化为

[x≤-1,-2x≥3,]或[-11,2x≥3,]

不等式的解集为[{x|x≤-32或x≥32}].

(2)若[a=1],[f(x)=2|x-1|],不满足题设条件.

若[a

[f(x)]的最小值为[1-a].

若[a>1,f(x)=][-2x+a+1, x≤1,1-a, 1

[f(x)]的最小值为[a-1].

所以[?x∈R],[f(x)≥2]的充要条件是[|a-1|≥2],

从而[a]的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).

点拨 含有多个绝对值的不等式,可以分别令各绝对值里的式子为零,并求出相应的根.把这些根从小到大排序,以这些根为分界点,将实数分成若干小区间.按每个小区间来去掉绝对值符号,解不等式,最后取每个小区间上相应解的并集.

含参数的绝对值不等式问题

例3 已知不等式[|x+1|-|x-3|>a].

(1)若不等式有解;

(2)不等式的解集为[R];

(3)不等式的解集为?,分别求出[a]的取值范围.

分析 利用绝对值的几何意义,求出[|x+1|-|x-3|]的最值,结合题目条件求解.

解法一 因为[|x+1|-|x-3|]表示数轴上的点[P(x)]与两定点[A(-1)],[B(3)]距离的差,

即[|x+1|-|x-3|=PA-PB].

由绝对值的几何意义知,[PA-PB]的最大值为[AB=4],

最小值为[-AB=-4],即[-4≤|x+1|-|x-3|≤4].

(1)若不等式有解,[a]只要比[|x+1|-|x-3|]的最大值小即可,故[a

(2)若不等式的解集为[R],即不等式恒成立,

只需[a]比[|x+1|-|x-3|]的最小值还小,即[a

(3)若不等式解集为[?],则[a≥4.]

解法二 由[|x+1|-|x-3|≤|x+1-(x-3)|=4]可得

[-4≤|x+1|-|x-3|≤4].

(1)若不等式有解,则[a

(2)若不等式的解集为[R],则[a

(3)若不等式解集为?,则[a≥4].

点拨 含参数的不等式有解是存在性问题,只要求存在满足条件的[x]即可. 不等式的解集为[R]是指不等式的恒成立问题,而不等式的解集为?的对立面(如[f(x)>m]的解集是空集,则[f(x)≤m]恒成立)也是不等式的恒成立问题,这两类问题都可转化为最值问题,即[f(x)f(x)max],[f(x)>a]恒成立?[a

绝对值不等式的证明

例4 设[a∈R],函数[f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1)],

(1)若[|a|≤1],求证:[|f(x)|≤54];

(2)求[a]的值,使函数[f(x)]有最大值[178].

分析 (1)[|f(x)|]是一个多项式的绝对值,所以可以考虑利用绝对值三角不等式的性质进行放缩,然后再用配方法求解.(2)从[f(x)]的最大值为[178]入手分析,[a

解 (1)方法一:[-1≤x≤1],[|x|≤1].

又[|a|≤1],

[|f(x)|=|a(x2-1)+x|]

[≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|]

[=-(|x|-12)2+54≤54].

方法二:设[g(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x].

①当[x=±1],即[x2-1=0]时,

[|f(x)|=|g(a)|=1≤54].

②当[-1

[|a|≤1],[-1≤a≤1].

[g(a)max=g(-1)=-x2+x+1][=-(x-12)2+54].

[g(a)min=g(1)=x2+x-1=(x-12)2-54].

[|f(x)|=|g(a)|≤54].

(2)当[a=0]时,[f(x)=x].

当[-1≤x≤1]时,[f(x)]的最大值为[f(1)=1],不满足题设条件,[a≠0].

又[f(1)=a+1-a=1,f(-1)=a-1-a=-1],

故[f(1)]和[f(-1)]均不是最大值.

[f(x)]的最大值应在其对称轴上的顶点位置取得.

命题等价于[a

免责声明:以上文章内容均来源于本站老师原创或网友上传,不代表本站观点,与本站立场无关,仅供学习和参考。本站不是任何杂志的官方网站,直投稿件和出版请联系出版社。

AI文章写作

高效、专业、量身定制满意为止!

开始体验

相关期刊更多

中学数学

省级期刊 审核时间1个月内

湖北省教育厅

贡嘎山

省级期刊 审核时间1个月内

中共甘孜州州委宣传部

盐业与化工

统计源期刊 审核时间1-3个月

中盐制盐工程技术研究院

工信部备案:蜀ICP备18023296号-3川公网安备51010802001409 出版物经营许可证:新出发蓉零字第CH-B061号 统一信用码:91510108MA6CHFDC3Q © 版权所有:四川好花科技有限公司

免责声明:本站持有《出版物经营许可证》,主要从事期刊杂志零售,不是任何杂志官网,不涉及出版事务,特此申明。

在线服务

文秘服务 AI帮写作 润色服务 论文发表