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例1 解不等式[|x+3|-|2x-1|
解 (1)当[x≤-3]时,
原不等式化为[-(x+3)-(1-2x)][
解得[x
(2)当[-3
原不等式化为[(x+3)-(1-2x)
解得[x
(3)当[x>12]时,
原不等式化为[(x+3)-(2x-1)
解得[x>2],[x>2].
综上,不等式解集为[{x|2}.]
点拨 形如[|x-a|+|x-b|≥c](或[≤c])型的不等式主要有三种解法:(1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为[(-∞,a],(a,b],(b,+∞)](此处设[ac]([c>0])的几何意义,数轴上到点[x1=a]和[x2=b]的距离之和大于[c]的全体点. (3)图象法:作出函数[y1=|x-a|+|x-b|]和[y2=c]的图象,结合图象求解.
例2 设函数[f(x)=|x-1|+|x-a|],
(1)若[a=-1],解不等式[f(x)≥3];
(2)如果[?x∈R],[f(x)≥2],求实数[a]的取值范围.
分析 零点去绝对值法适用于含有多个绝对值的不等式的求解问题.
解 (1)当[a=-1]时,[f(x)=|x-1|+|x+1|],
由[f(x)≥3]得:[|x-1|+|x+1|≥3],
方法一:由绝对值的几何意义知,不等式的解集为[{x|x≤-32或x≥32}].
方法二:不等式可化为
[x≤-1,-2x≥3,]或[-11,2x≥3,]
不等式的解集为[{x|x≤-32或x≥32}].
(2)若[a=1],[f(x)=2|x-1|],不满足题设条件.
若[a
[f(x)]的最小值为[1-a].
若[a>1,f(x)=][-2x+a+1, x≤1,1-a, 1
[f(x)]的最小值为[a-1].
所以[?x∈R],[f(x)≥2]的充要条件是[|a-1|≥2],
从而[a]的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).
点拨 含有多个绝对值的不等式,可以分别令各绝对值里的式子为零,并求出相应的根.把这些根从小到大排序,以这些根为分界点,将实数分成若干小区间.按每个小区间来去掉绝对值符号,解不等式,最后取每个小区间上相应解的并集.
含参数的绝对值不等式问题
例3 已知不等式[|x+1|-|x-3|>a].
(1)若不等式有解;
(2)不等式的解集为[R];
(3)不等式的解集为?,分别求出[a]的取值范围.
分析 利用绝对值的几何意义,求出[|x+1|-|x-3|]的最值,结合题目条件求解.
解法一 因为[|x+1|-|x-3|]表示数轴上的点[P(x)]与两定点[A(-1)],[B(3)]距离的差,
即[|x+1|-|x-3|=PA-PB].
由绝对值的几何意义知,[PA-PB]的最大值为[AB=4],
最小值为[-AB=-4],即[-4≤|x+1|-|x-3|≤4].
(1)若不等式有解,[a]只要比[|x+1|-|x-3|]的最大值小即可,故[a
(2)若不等式的解集为[R],即不等式恒成立,
只需[a]比[|x+1|-|x-3|]的最小值还小,即[a
(3)若不等式解集为[?],则[a≥4.]
解法二 由[|x+1|-|x-3|≤|x+1-(x-3)|=4]可得
[-4≤|x+1|-|x-3|≤4].
(1)若不等式有解,则[a
(2)若不等式的解集为[R],则[a
(3)若不等式解集为?,则[a≥4].
点拨 含参数的不等式有解是存在性问题,只要求存在满足条件的[x]即可. 不等式的解集为[R]是指不等式的恒成立问题,而不等式的解集为?的对立面(如[f(x)>m]的解集是空集,则[f(x)≤m]恒成立)也是不等式的恒成立问题,这两类问题都可转化为最值问题,即[f(x)f(x)max],[f(x)>a]恒成立?[a
绝对值不等式的证明
例4 设[a∈R],函数[f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1)],
(1)若[|a|≤1],求证:[|f(x)|≤54];
(2)求[a]的值,使函数[f(x)]有最大值[178].
分析 (1)[|f(x)|]是一个多项式的绝对值,所以可以考虑利用绝对值三角不等式的性质进行放缩,然后再用配方法求解.(2)从[f(x)]的最大值为[178]入手分析,[a
解 (1)方法一:[-1≤x≤1],[|x|≤1].
又[|a|≤1],
[|f(x)|=|a(x2-1)+x|]
[≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|]
[=-(|x|-12)2+54≤54].
方法二:设[g(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x].
①当[x=±1],即[x2-1=0]时,
[|f(x)|=|g(a)|=1≤54].
②当[-1
[|a|≤1],[-1≤a≤1].
[g(a)max=g(-1)=-x2+x+1][=-(x-12)2+54].
[g(a)min=g(1)=x2+x-1=(x-12)2-54].
[|f(x)|=|g(a)|≤54].
(2)当[a=0]时,[f(x)=x].
当[-1≤x≤1]时,[f(x)]的最大值为[f(1)=1],不满足题设条件,[a≠0].
又[f(1)=a+1-a=1,f(-1)=a-1-a=-1],
故[f(1)]和[f(-1)]均不是最大值.
[f(x)]的最大值应在其对称轴上的顶点位置取得.
命题等价于[a
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