二次函数教案

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二次函数教案范文第1篇

（含答案）

1、一元二次方程x2－5x+6=0

的两根分别是x1,x2,则x1+x2等于（

）

A.

5

B.

6

C.

－5

D.

－6

2、若是一元二次方程的两个根，则的值是（

）.

A．

B．

C．

D．

3、若方程的两根为、，则的值为(

).

A．3

B．－3

C．

D．

4、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则

的取值范围是（

）

A．

B．

且

C．

D．

且

5、关于的方程有实数根，则整数的最大值是（

）

A．6

B．7

C．8

D．9

6、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（

）

A．1

B．12

C．13

D．25

7、如果方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，则实数a的取值范围是___

___．

8、关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是

。

9、关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是

．

10、已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2)

(x2－2)=

．

11、一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，则列出的方程是________．

12、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（

）．

A．12人

B．18人

C．9人

D．10人

13、某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（

）A：200(1+a%)2=148

B：200(1－a%)2=148

C：200(1－2a%)=148

D：200(1－a2%)=148

14、某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（

）．

A．正好8km

B．最多8km

C．至少8km

D．正好7km

15、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.

经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.

现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

16、两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?

17、某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

18、某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．

（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a、b的代数式表示）

（2）若一名检验员1天能检验b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?

19、某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．

20、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

参考答案

1、答案：A

2、答案：B

3、答案：B

4、解析：选B．由题意得方程有两个不相等的实数根，则=b2－4ac>0，即4+4k>0.解得且

5、解析：选C.由题意得方程有实数根，则分两种情况，当a－6=0时，a=6,此时x=，当a－6≠0时，=b2－4ac≥0，解得a≤

综合两种情况得答案.

6、解析：选C.

(，解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为，=

7、答案：a＜1且a≠0；

8、答案：

9、答案：且

10、答案：－4

11、63-

x-（63-

x）÷63×x=28

12、C

13、B

14、B

15、设每千克应涨价x元

（10+

x）（500-20

x）=6000

每千克应涨价5元

16、

解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，

则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．

依题意，得5000（1-x）2=3000

解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）

设乙种药品成本的平均下降率为y．

则：6000（1-y）2=3600

整理，得：（1-y）2=0.6

解得：y≈0.225

答：两种药品成本的年平均下降率一样大．

17、设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+×100）

解：设每张贺年卡应降价x元

则（0.3-x）（500+）=120

解得：x=0.1

答：每张贺年卡应降价0.1元．

18、（1）=a+2b或

（2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．

所以a+2b=，解得：a=4b

所以（a+2b）÷b=6b÷b==7.5（人）

所以至少要派8名检验员．

19、

解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．

（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，

则：（0.75-y）（200+×34）=120

即（-y）（200+136y）=120

整理：得68y2+49y-15=0

y=

y≈-0.98（不符题意，应舍去）

y≈0.23元

答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．

因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．

20、分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．

（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]

（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．

解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000

（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000

解得：x1=80，x2=60

二次函数教案范文第2篇

关键字：多元函数，极值，二次型，正定，负定

1.引言

由于自变量的个数大于3时,多元函数极值存在性的判定比较繁复,现行工科高等数学中关于多元函数极值存在性判定问题,局限于讨论二元函数,这是远远不够的。因此,寻求能被学生接受的自变量个数大于3时多元函数极值的存在性的判别方法是十分有必要的。本文介绍了运用线性代数的相关知识判定多元函数极值的存在性的方法。这些知识都是成熟的结果,并非作者的创造发明,但将这些知识经过整理移植到工科数学教学中去却是一个十分有意义的工作。这种方法能为大学生们十分自然地接受,而且能扩大工科学生的知识容量,提高学生运用学得的知识解决实际问题的能力,激发学生学习数学的兴趣。

2预备知识

定义1含有个变量的二次齐次函数

(2-1)称为二次型，取，则（2.1）可写成

当为复数时,称为复二次型；当为实数时,称为实二次型。记

，

则二次型可表示成

,

其中A为对称阵。二次型与对称阵A之间存在着一一对应关系,A称为二次型的矩阵,而称为对称阵A的二次型,对称阵A的秩称为二次型的秩。

定义2设有实二次型,如果对任何,都有,则称为正定二次型,并称对称阵A是正定的,记作A>0;如果都有,则称的负定二次型,并称对称阵A是负定的,记作A<0;如果都有,则称为半正定的,称对称阵A是半正定的,记作;如果都有,则称了为半负定的,称对称阵A是半负定的,记作；如果既不是半正定也不是半负定的,则称为不定的,相应地,对称阵A称为不定的。

由定义,实二次型的正定性与它的矩阵的正定性是等价的。

关于对称阵的正定性有如下判别法:

定理2.1对称阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都为正;即

或A的各阶主子式都为正。

对称阵为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正,即

定理2.2对称阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正,对称阵A为负定的充分必要条件是A的特征值全为负。

定义3设有n元函数，在区域内具有一阶和二阶连续偏导数，对，记

分别称和

为在的梯度（grad）和在的海森矩阵（Hessianmatrix）

3多元函数极值的判别法

定理3.1（必要条件）：设多元函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的梯度必然为零,即

证：反证法。不妨设为极大值，而，则有某一i，使。不妨设，则存在的某一邻域，使得在这一邻域内当时，有，矛盾。

定理3.2（充分条件）：设多元函数在点的某一邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，且，则

（1）正定时，取得极小值；

（2）负定时，取得极大值；

（3）不定时，在处不取极值；

（4）半正定或者半负定时，在点处可能取极值也可能不取极值。

证：由连续性，存在点的某一邻域，使当时，与同号，于是当时，记

注意到，由一阶泰勒公式，

可知，（1）当正定时，，取得极小值；

（2）当负定时，，取得极大值；

（3）当不定时，不恒大于或不恒小于，因而不是极值；

（4）研究函数，显然，为半正定阵，而却不是的极值

由定理3.2可得如下推论

推论1设二元函数在某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又，记，则

（1）当在点处取得极小值；

（2）当，在点处取得极大值；

（3）当时，在点不取极值；

（4）时，在点可能取极值也可能不取极值。

证由定理3.2及定理2.1既得。

推论2设多元函数在点的某一邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，且，则

（1）的特征值全为正值时，取得极小值；

（2）的特征值全为负值时，取得极大值；

证由定理3.2及定理2.2既得。

例1求函数的极值

解：，

由，解得或。

当时，

因，，

正定，取得极小值；

当时，

，，

不定，在(0,1,1)点不取极值。

4结束语

上述提出的关于多元函数极值的判定方法的教学方案需同时开设高等数学和线性代数,在多元函数极值的教学中采用上述教案则是水到渠成,得心应手的事。如果按照传统的课程设置组织教学,采用上述教案也是可行的,没有多大困难,只需引进n维向量、矩阵及相应概念。这些概念在多元函数极值后面的教学中也很有用,并能激发学生的学习兴趣和积极性,激励学生去自学一些诸如线性代数,经济数学等课程,提高人才素质,并使后续的线性代数教学更得心应手。

参考文献

[1]赵贤淑.多元函数极值的求法及其应用[J].高等数学研究,1996,(01).

[2]叶克芳.多元函数的极值、条件极值和最值的关系[J].工科数学,1995,(02).

[3]邱炜源.多元函数极值的又一种判别法[J].湖州师范学院学报,1994,(06).

[4]叶淼林.关于多元函数的极值[J].安庆师范学院学报(自然科学版),1995,(04).

二次函数教案范文第3篇

概念教学的几个常见误区及应对策略

高中数学有效训练的策略分析

新课程背景下数学教学避免内容泛化的几点思考

“随机事件的概率”说课

使用新教材后的几点体会与思考

高中新旧教材中有关“数学家”栏目的研究与实践

浅谈新课程中类比教学

让“旁批”成为高中数学教学的点金石

以日积月累之功，收水到渠成之效——例谈初中几何证明题中推理根据书写的教学处理

初中数学变式练习的设计研究

对选修内容《坐标系与参数方程》中坐标系教学的思考

与学生共同经历解题研究的过程——以两道试题为例

新课程下高中数学有效课堂教学的探讨

初探新课标下初中数学愉悦式教学

初中数学课堂教学有效评价分析

用拉格朗日乘数法巧解二元函数最值

由“错设”引起的错误

从一道三角函数的设问建构三角函数图象及性质的复习课

应用数学归纳法时的常见七大误区

例析三角形的解的判定

从容易的事情开始——例说解题突破口的打开

挖掘生成资源，开展有效探究

将课堂学习自还给学生

如何关注数学文化的传承和数学精神的滋养

—道题、一类题、一条思路——对称专题“三一”复习法课堂实录

让椭圆第二定义“返璞归真”

在发散中超越“思考与探索”的文本资源

设计教案的几点体会

数学证明教学要教什么

刍议教师在数学教学中的作用

敢问有效教学之路在何方

几个有趣的无理不等式

浅谈作差法中的数学思想

例谈数学解题中对称性的巧用

向量法与综合法在几何解题中的整合

数学化归思想在七年级教学中的渗透——从新人教版七（上）课本谈起

平面向量基本定理的体积表示及其应用

用三视图来确定小正方体的块数

构造齐二次式解决圆锥曲线的两类定值问题

椭圆的内接三角形的一个性质的简证及其推广

函数凸性巧证一类条件不等式

构造等差数列研究高考三角求值问题

利用导数研究函数极值要注意检验

从思维的层次性谈“定义法解题”

例析高考数学中函数模型的最优化问题

—道高考试题的探究

谈二次函数在高考中的应用

一道课本例题的探究

《算法初步》高考题型例析

中考试题中的探究性问题简析

一道竞赛习题的解法探究

有圆真好——一道初中数学竞赛题的推广及解法

在数学教学中培养学生的辩证思维

对充分条件与必要条件教学的几点认识

从一节评优课看数学课堂教学重、难点的处理

一道高三调研试题的探究

一道中考动手操作探究题的变式与拓展

二次函数教案范文第4篇

在新课程观的引导下。课程设计更加突出“以学习者为中心”的理念，需要一线教师转变了教学观念，教学中努力创设有效的学习环境，支持学生自主建构知识。这就要求在数学教学过程中，不仅要教学生学会数学知识，更要教他们学会学习数学的方法。要教会学生学习数学，教师由前台的表演者转变为后台的导演者，承担着准备、设计、引导、参与等的学习支持者的角色。

1 教师教学知识的结构

这里所提供的教学课例，是从一个研究中心借鉴而来，有关学生在探索数学问题的一些片段，其目的是发展一个模型的过程，我们从资料来源进行刻画，通过分析学生数学学习的一些过程，说明教师为数学教学所需要的知识，它们的成分、结构与特征。

课例1（初三）数学课上，罗伊（Roy）老师提出一个问题，他交给学生一组形状各异的纸片，让学生把这组纸片放大到原来的125%。罗伊说明活动的意义。

他让学生提出完成任务的方案与检验结果的标准，学生进行交流，并就不同的纸片如何一一对应取得共识。罗伊给学生说明任务，让他们思考有关策略，并相互解释他们放大一个纸片图形的策略，找出共同认可的策略。

教师引导学生相互合作进行工作。按照学纲的精神，学生个人能力和班级水平，指导学生“通过合作，实现每个人的潜力”。罗伊强调贯彻学纲及教学目标.注意合作学习的重要性，注意突出了制度的维度。

数学活动的关键因素是教师对活动的设计，它是教学计划的核心。在教学设计中，教师要调用四个方面的知识，即：（1）教学规定的维度：教学大纲，相应的教材和教学参考书，这些文献所涉及的知识；（2）教学目标的维度：对活动目标的分析，关心它能够推动什么，思考学生在活动中应该得到哪些方面的发展；（3）数学的维度：与活动相关的数学知识，如课例中，需要进行数学推理，推理中所用的概念，定理与性质，推理的数学表述，数学活动过程的记录；（4）教学法的维度：与他人一起学习，在数学活动中，班级、小组构成小社会，师生交流，相互争论，教学相长。由课例可见，教师要从多方面考虑设计数学活动，需要把各种各样的知识与能力有机结合起来，从而说明教师数学教学知识的多样性与综合性。

教师及时作了总结，同学们通过合作学习，把组合问题与二次函数联系起来，又把连续型函数与离散型函数区分开来，我们的学习有了新的收获。这里可见到教师在教学中各种各样的扮演角色，在教育的水平上，把学生的问题抛回给学生分享，引导他们负责任地提出有效的解答。

2 实践巩固知识结构

实践出真知，尝试出结果，敢于尝试才能见彩虹。收集与整理应从点滴做起，注意收集与整理如下三方面的资料：

2.1 试卷

2.1.1自编的期中期末试卷

试卷能反映教育者对教材内容的整体观念和能力水平。出卷时应考虑知识点是否全面突出？基本、提高和能力题的比例是否合理？能否测验出学生的分析问题和解决问题的能力？是否利于学生创新思维的发展？出卷是教师的必修课。从考试的目的，到选题的精妙、方法的应用、发展的空间，无不反映教育者的深思熟虑和高瞻远瞩。含金量高的试卷就是一种教学成果的展示.只有重视自己的编拟实践和总结，才能扬长避短，使试卷出得更科学、更有质量。若能将自编自出的试卷收集装订成册，则不失为提高教学效益的良方。

2.1.2名校名师所出的试卷

开拓眼界，博采众长，是出好试卷的外因条件。在日常教学中要主动积极联系收集名校名师所出的各类试卷，并应亲自做一遍以领会其出题的目的、策略和方法，这样可从中了解教学信息、动态和走向。

2.1.3历届中考和高考试卷

中考与高考集中反映了地区和国家的教学水平和教改趋向。试卷均依据大纲，科学地设计出试卷的范围、结构、能力和方法。它为各地学校出卷提供依据，具有样板性，这些试卷拿到手，同样应解答一遍，搞清其含意，找一些规律以提升、效法和参照。

2.2教案

教案如同剧本，优质课相当于一场好戏。剧本为一剧之本，好的教案也是优质课的前提。教案体现了教学目的和方法，为了取得最佳教学效果，教者会明确知识点在体系结构中的位置。在抓重点，突破难点，抓实“双基”上，好的教案能收到事半功倍之效。若把自己编写的教案分年级集中装订，加入自设的资料库，则意义很大。旧教案是新教案的基础，能起补充和完善作用，使新教案更具质量。另外，还应主动收集名师的教案。有比较才有鉴别，名师的教案的特色和先进做法可提供学习与参考，同样将这些资料装订入库。

2.3分析概括能力

分析概括即及时对教学内容进行点评，指出重点、难点与关键。这是从实践到认识，从感性到理性的飞跃过程。只有通过分析概括，才能让学生清楚知识点的内涵、外延和拓宽，真正理解和掌握知识，起到画龙点睛之效。要尊重学生的学习需求，选取的素材既要符合学生已有的知识与经验，又能为新知的学习提供有益的载体或背景，诱发学生积极、主动地参与数学活动，促进学生建构、理解和掌握新知，从而提高课堂教学的效果。总而言之，作为数学老师既要提高自己的专业知识也要坚固综合素质的提高，并在实践中进一步巩固检验再次提高。

参考文献：

[1]毛法元.如何练就一个出色的数学教师[J].中学数学月刊，2013（1）.

[2]王林全.数学教师教学知识的结构与特征[J].中学数学月刊，

二次函数教案范文第5篇

【关键词】一元二次不等式 二次函数 方程 数形结合 图象

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682(2010)07-0140-02

一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点之一。从内容上看,二次不等式、二次方程与二次函数密不可分,该内容涉及的知识点较多且应用广泛。从思想层次上看,它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想,这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。我们现用的教材在处理上是下了一番功夫的,它将二次不等式的解法分成了两部分――首先介绍了一元二次不等式的概念和用因式分解法解一元二次不等式,即利用“同号两数相乘得正,异号两数相乘得负”的原理,将一元二次不等式转化为一元一次不等式组加以解决。毫无疑问,这种解法具有极大的局限性和不完整性,这就为后面介绍二次不等式的图象法(也就是结合了与二次函数之间的关系)作了必要的铺垫和准备。一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的主要工具,它可渗透到中学数学的几乎所有领域中,对今后的学习起着十分重要的作用。笔者将从以下两个方面去探讨教学中一元二次不等式的解法及与二次函数的关系。

一、明确教学目标及教学重难点

教学分为三大目标。①知识目标:使学生掌握一元二次不等式的图象法,理解掌握这种解法的理论依据,并在教学中渗透高考对本内容的考察程度;②能力目标:通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想,培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力,培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质;③德育目标:通过图象法,有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般观点和方法,培养学生良好的心理素质和竞争意识。没有目标就像无帆的船,所以在教学中始终要坚持以贯穿这样的目标为中心,让学生做到心中有数,清楚学习一元二次不等式的重要性,从而进一步提高学生学习的积极性与主动性,从而教学才会卓有成效。

教学重点与难点:教学重点是三种类型的一元二次不等式图象解法。教学难点是二次不等式、二次方程和二次函数三者关系的有机联系,数形结合和分类转化等数学思想的理解和运用。学生在学习中必须明确清楚这两者之间的关系,不然会把握不住学习的方向性,针对重要环节以及薄弱环节可以相应的采取不同的学习方式,达到有的放矢,需要掌握的知识点(即重点,有时难点也是重点)要非常熟悉,需要理解的知识点了解它所要体现的内容即可。

二、掌握一元二次不等式与二次函数的密切联系

首先,要掌握二次函数和一元二次方程之间的联系,二次函数的图象是一条抛物线,其开口方向由二次项系数决定,可得此重要结论:二次函数与x轴的交点坐标的横坐标就是其对应的一元二次方程的根――有两个不相等的实数根则有两个不同的交点,有两个相等的实数根则有一个交点,没有实数根则没有交点。从而可观察到二次函数和不等式的关系就是不等式的解集和方程的根之间的关系:“小于取中间,大于取两边”,从而归纳出图表(一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的关系):

从上表中我们就可求解一元二次不等式,如高一教材中第22页的例题:求解不等式(x+4)(x-1)

与 ,从而求出不等式的解集。

我认为还可以采取更为简洁的方法求解此类不等式,如上例中的4比-1大,从而可判断出x+4比x-1大,因此可得到x+4>0,x-1

(x+a)(x+b)>0, 或(x+a)(x+b)

的解法,只需去判断a与b的大小,就可知x+a与x+b的大小,也就进一步求出不等式的解集。这种方法显然比上述方法显得更为简单,并且避免了讨论。

其次,要渗透一元二次不等式与二次函数间的密切联系,这建立在对一元二次不等式和二次函数的知识点掌握牢固的基础上。如二次函数的定义域、值域、单调性、最值和图象等性质,学生都需要理解透彻,不等式与二次函数结合的知识,在一定程度上可以很准确的反映学生的数学思维。

例如,设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)

-x=0的两个根x1,x2满足0

(1)当x∈(0,x1)时,证明x

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0< 。

解题思路:本题要证明的是x

由题中所提供的信息可以联想到:①f(x)=x,说明抛物线与直

线y=x在第一象限内有两个不同的交点;②方程f(x)-x=0可变为ax2+(b-1)x+1=0,它的两根为x1、x2,可得到x1、x2与a、b、c之间的关系式,因此解题思路明显有三个:①图象法;②利用一元二次方程根与系数的关系;③利用一元二次方程的求根公式,辅之以不等式的推导。现以思路②为例,解决这道题:

(1)先证明x

由00,从而证得x

根据韦达定理,有x1x2= ,0

=f(x1),又c=f(0),f(0)

根据二次函数的性质,曲线y=f(x)是开口向上的抛物线,因此,函数y=f(x)在闭区间[0,x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到,而且不可能在区间的内部达到,由于f(x1)

(2)

函数f(x)图象的对称轴为直线x=- ,且是唯一的一

条对称轴,因此,依题意,得x0=- ,因为x1、x2是二次方

程ax2+(b-1)x+c=0的两根,根据韦达定理得x1+x2=- ,

x2-

我们还可以对上述例题进行相应的变形可得:已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0),设方程f(x)=x的两个实根分别为x1、x2。

(1)若x1

x0>-1;

(2)若|x1|

对于这个例题,我们采取的常规思路如下:

(1)证明:f(x)=x,ax2+(b-1)x+1=0。

设g(x)=ax2+(b-1)x+1,由题意可得:

,即

x0=- >-1

(2)对于方程ax2+(b-1)x+1=0,令b-1=c,则有ax2+cx+1=0。

由|x2-x1|=2,得 ,即c2-4a=4a2,c2=4a2

+4a(1)

又|x1|

即-6

而=c2-4a>0,4a

由(1)(2)得a>

c2=4a2+4a>  c> 或c

又b=c+1,b> 或b

上述例题中的第(2)小题我们还可采取例外的思路进行求解,而且这种思路显得更为快捷和简便,解法如下:

由|x2-x1|=2,得|x2|-|x1|≤|x2-x1|=2,又|x1|

对于方程ax2+(b-1)x+1=0,由韦达定理我们有 =x1

x2≤|x1||x2| 而|x2-x1|= =2,(b-1)2

=4a2+4a,又a> ,b> 或b< 。

上述思路就是有效的结合了不等式与函数、方程的思想,这样就可大大简化运算的过程,而且思路清晰,学生较容易接受,因此我们在教学过程中对于这一类问题就要扩展学生的思维,不让其只陷入一个思路当中,这样就无形中使学生得到了思维的锻炼,又增强了学生学习数学的兴趣。

综上所述,二次不等式与二次函数之间有着丰富的内涵和外延,以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,更好的区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

参考文献

1人民教育出版社中学数学室编.全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(上).北京:人民教育出版社,2007:21～23

2 任志鸿.高中新教材优秀教案高一数学(上).海口:南方出版社,2006:78～83