数学思想论文

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数学思想论文范文第1篇

在数学教学中，怎样寓知识、技能、方法、思想于一个学过程中，是数学教学的重要课题。由于数学的高度抽象性、严谨的逻辑性、结论的确定性以及应用的广泛性这些特征，决定了数学教学的难度。如果教师只是注重单纯地传授知识，而不注重学习方法的指导和能力的培养，学生就会跟在老师的后面跑，整天忙忙碌碌，全是死记硬背。听老师讲时还会，自己做时就错，临到考时就蒙，这样下去是越来越糊涂。所以，要使学生变书本知识为自己知识，就必须学会学习知识的方法。下面就其怎样使学生在原有知识基础上学习新知识的方法谈些教学体会。

新知识的获得，离不开原有认知基矗很多新知识都是学生在已有知识基础上发展起来的。因此，对于学生来讲，学会怎样在已有知识的基础上掌握新知识的方法是非常必要的。这就需要教师在教学中精心设计、抓住知识的生长点、促进正迁移的实现。

例如，在研究多边形内角和定理时，可向学生提出：我们已经知道三角形的内角和等于180°，那么，你能根据三角形的内角和求出四边形的内角和吗？这样简单、明了的一句话就勾通了新旧知识间的内在联系。问题的提出，激发了学生学习的兴趣，促使了学生思维的展开，提供了回答问题的机会，创造了活跃的教学气氛，学生会准确地回答出四边形的内角和等于360°。又问：你是根据什么说四边形的内角和等于360°呢？是猜想的？还是推理得到的？学生的回答是作四边形的对角线，将四边形分为两个三角形，而每个三角形的内角和等于180°，两个三角形的内角和等于360°。教师马上对学生的回答给以肯定和鼓励，再问：五边形、六边形的内角和等于多少度？学生很快就会回答出五边形的内角和等于540°，六边形的内角和等于720°。接着又问：你知道十边形、一百边形、一千边形的内角和是多少度吗？这是老师故意设置“知识障碍”，激发学生的求知欲望。及时引导、启发、迁移、总结规律。让学生观察、发现求四边形、五边形、六边形的内角和，都是从它们的一个顶点作对角线将它们转化为三角形来求得的，并且内角和是由从它们的一个顶点作对角线所分得三角形的个数确定的，而三角形的个数又是由这个多边形的边数确定的。从而可知从n边形的一个顶点作对角线可将n边形分成（n－2）个三角形，所以n边形的内角的和等于（n－2）·180°，即得多边形的内角和定理。这个定理的出现，是教者通过设疑、引导、启发学生思维，寻求解题方法，由个性问题追朔到共性问题，总结出了一般规律。这样做，不但使学生学会了在原有知识基础上学习新知识的方法，又培养了学生分析问题和解决问题的能力，还渗透了把多边形转化为三角形来研究的数学转化思想。

当学生在原有知识的基础上掌握了学习新知识的方法和数学的转化思想，对于诸如此类的问题就迎刃而解了。如，研究梯形中位线定理，学生很自然就会将它转化为三角形中位线来解决。对于平行四边形、梯形的问题学生也很容易就想到转化为已有知识来研究。又如，对于解二元二次方程组，学生根据已学过的解一元二次方程等知识，自然就会想到通过消元将原方程组转为一元二次方程来解之，或将二元二次方程组通过降次转化为一次方程或有一个一次方程和一个二次方程组来解决。对于分式方程要通过去分母或换元转化为整式方程来解。对于无理方程需把方程两边乘方或换元化为有理方程来解。

在数学教学中，教师只要做到精心设计教学环节，科学的提出问题，采取得体的教学方法、适时疏导，帮助学生学会用自己的语言对所学知识进行概括和总结，以知识讲方法，以方法取知识，就能够调动学生学习数学的积极性，达到开发学生智力、提高学生能力的目的。

数学思想论文范文第2篇

一、了解《大纲》要求，把握教学方法

所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。

1、明确基本要求，渗透“层次”教学。《数学大纲》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在教学大纲中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。

教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《教学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、类经法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们推动信心。如初中几何第三册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《教学大纲》只是把“反证法”定位在“了解”的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。

2、从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法。比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。

二、遵循认识规律，把握教学原则，实施创新教育

要达到《教学大纲》的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：

1、渗透“方法”，了解“思想”。由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。如初中代数课本第一册《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节——“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。而两个负数比大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了形数结合的思想，学生易于接受。

在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。比如，教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆，总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”，利用形数结合方法，从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。

2、训练“方法”，理解“思想”。数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易。因此，必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算。在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用。

数学思想论文范文第3篇

1　数学思想的基本内涵

数学思想方法是前人探索数学真理过程中的精髓。而数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论的本质认识,是知识中奠基性的成分。首先,数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平。其次,数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分。如果人们站在某个位置、从某个角度运用数学方法去观察和思考问题,那么数学思想也就成了一种观点、一种认识。数学思想是对数学理论和方法在更高层次上的提炼和概括,属于理性认识的范畴。数学思想具有概括性和普通性,而数学方法它具有操作性和具体性。作为数学思想,它不仅比数学方法处于更高层次,而且是数学知识、数学方法的精髓和灵魂,其运用和发展有助于知识得到优化,有助于理性认识迅速构建,有助于将知识转化为能力。数学思想与数学方法既有联系又有区别。数学思想具有概括性和普遍性,数学方法具有操作性和具体性。数学思想是数学方法的理论基础和精神实质。数学思想都是通过某种方法来体现,而任何一种数学方法都反映了一定的数学思想。高职数学中的基本数学思想有:(1)符号化与变元表示思想。包括符号化思想、换元思想、方程思想、参数思想。(2)集合思想。包括分类思想、交集思想、补集思想、包含排除思想。(3)对应思想。包括映射思想、函数思想、变换思想、数形结合思想。(4)公理化与结构思想。包括基元与母结构思想、演绎推理思想、数学模式思想。(5)数学系统思想。包括整体思想、分解与组合思想、状态运动变化思想、最优化思想。(6)统计思想。包括随机思想、抽样统计思想。(7)辩证的数学思想。包括数学范畴的对立统一、普遍联系相互制约、量变质变、否定之否定、数学化归、极限思想。(8)整体与局部思想。

高职数学中所蕴含的这些丰富的数学思想,它们与其基础知识、基本方法一起构成了高等数学的主要内容。同时,又由于这些思想往往隐含在基础知识和基本方法里,也就伴随着数学思想产出、发展和完善的过程。随着科学技术和人类社会的不断进步,数学思想其内涵也是会更丰富的,内容也是会不断的延展的。

2　数学思想对高职数学教学的启示

2.1　数学思想在数学教材内容体系中的呈现

高等职业院校的数学教学是以应用为重点,必需够用为度,突出职业教育特色。因此,使学生掌握日常生活、生产中必备的数学知识,能以数学为工具解决一定的实际问题应作为高职数学教学的主要目标之一。数学方法是指在提出问题,解决问题(包括数学内部问题和实际问题)的过程中所采用的各种方式、手段、途径等,其中包括交换数学形式。但数学教材并不是这种探索过程的真实记录。恰恰相反,教材对完美演绎形式的追求往往掩盖了内在的思想方法,颠倒了数学真理的发现过程。整个高等数学其主要思想观点就是运动与变化的观点,以运动与变化的观点去考察问题,从运动与变化中去认识事物,这是唯物辩证法在数学中的反映。例如,高等数学就是从圆的内接正多边形面积的变化中去认识圆的面积,从割线运动中去认识切线,从平均速度的变化中去认识瞬时速度等等。而初等数学基本上不涉及运动与变化,只是在几个相对固定量的关系中从已知求未知。研究对象从初等数学主要研究常量的运算和固定不变图形的性质,反映运动与变化的数学概念是变量与函数,到高等数学是以变量及变量之间的依赖关系函数作为研究对象。解决问题的基本方法是极限,这是因为在数学和科学技术应用发展中,所带来出现的问题表现出的矛盾,如“曲”与“直”、“均匀”与“非均匀”等等,虽然各自的具体意义千差万别,但表现在数量关系上都归结成“近似”与“精确”的矛盾。解决这一矛盾的有效方法就是极限方法,借助于这实质上深刻的辩证法,使人们清楚地看到,定不变的事物是过程、运动的结果。高职数学内容全面,结构严密,通过本课程的学习可以使学生初步获得从数和形两个方面洞察现实世界、用数学方法解决问题的能力。同时,它能提高学生的科学和文化素质。找到他们学习中遇到的问题和困难调动和激发学生在教和学中的积极性,发挥他们的潜能,为学生后续课程学习的奠定必需的数学基础。使学生明白高等数学这门课程正在渗透到许多专业基础课和专业课当中。高职数学既是工具,又是文化,学生自身也要加强对高等数学应用能力的培养。才能获得掌握和认识新理论、新知识、新方法强有力的工具。教师在传授知识的过程中应使数学思想的精神得以完整的体现。使学生了解和认识一个较为完整的数学知识体系。

2.2　数学思想是课堂教学实施的精髓,是学生能力培养的核心指导思想

数学既有一般科学的特征,又具有横向移植的特点,因而在整个科学领域中有着广泛应用。数学方法是指用数学语言表述事物的状态、关系和过程,并加以推导、演算和分析,以形成对问题的解释、判断和预言。数学思想以解决问题为根本,指导人们从数学概念、命题、规律、方法和技巧的本质认识中获取解决自然科学、技术科学或社会科学等各个方面问题的具体途径、策略和手段。数学是集严密性、逻辑性、精确性和创造性与想象力与一身的学科。它的这些特点决定着高职数学教学培养目标是使受教育者不仅具有一定的数学素质和应用数学知识去发现问题和解决问题的能力,而且要使学生通过学习数学,更具有敏锐的洞察能力、分析归纳和逻辑推理能力,将抽象性的逻辑思维和创造性的发散思维结合起来,创造性地应用数学知识去解决现代科学技术所面临的许多问题。进入高职学习的学生,他们在面临的学习方法和学习形式上都发生了重要的变化。目前对于入学的高职学生群体中体现入学起点较低,中学数学基础知识的能力水平参差不齐,由于高职数学要求的是“以应用为目的,以必须够用为度”教学原则,教学时间和教学内容上都进行了压缩和调整,对教师要求备课中要深入钻研教材和参阅有关参考材料,要善于从具体的数学知识中挖掘和提炼出数学思想方法,要预先把全书、每单元章节所蕴涵的数学思想方法及它们之间的联系搞明确具体,然后统筹安排,有目的、有计划和有要求地进行数学思想方法的课堂教学提出了更高的要求。教师在教学过程中应首先培养学生学习数学的兴趣,因为“兴趣是最好的老师”。教师要注重运用启发式教学原则,充分调动学生学习数学的积极性。备课充分、规范,教学态度端正,治学严谨,关心学生,做学生的知心朋友。教师在教学应教育学生树立学好数学的信心,调动和激发他们的学习热情,深刻去体会数学思想的作用和意义,逐步形成良好的学习能力,锻造学生的辨证观。例如,导数概念在工程技术上更多的是被称为在一点的变化率,在数学课上强调这一点,可使学生迅速地接受专业概念的数学描述;另一方面还要对数学概念的实质分析透彻,以使学生能够意识到哪类专业问题可以使用相应的数学概念去表述,应用相应的数学知识去解决。对于习题课的教学中,要尽可能注意避免陷入模式化的算式形式,着重要以应用为中心,生动活泼地突出应用,引导和启发学生运用数学思想和方法去思维,而去解决实际问题作用,也还要能使不同水平的学生都能意识到数学的意义,从中领略到自己需要的东西。

2.3　数学知识背景学习能深化学生对数学思想的认识

学生在数学教学过程和学生的学习过程中,教材是按知识的体系编写的,是逻辑的,严谨的。对于知识产生的背景和解决的过程介绍的甚少。适当地给学生介绍有关数学发展史,适时开展一些数学讲座如“数学热门话题”,“数学史上的三次危机”等,开阔学生眼界。在高职数学教学中适时去介绍和挖掘教学内容与所学专业和实际生活中实例的联系,也会对学生学习数学知识起到一定的作用,对他们也能够形

成良好思维和学习兴趣也有帮助。这样既能突出高职的培养目标,学生充分了解数学的发展、数学的价值,培养学生战胜困难的决心,去激发学生的求知欲望。

2.4　数学思想对教师素质的要求

数学知识在当今的国民经济发展和科学技术中得到广泛的应用,同时也在不断的知识扩充和延展。对于我们教师来说,自己知识的学习和提高从来都是必要的,也是重要的。同时,数学教师还应充分发挥其自身的人格魅力,以增强数学教学的实效性。这样的高职数学教学中,自然也会对教师素质的要求会更高。面对高职学生的能力培养,同时也是一个复杂的系统工程,让教师和学生都要意识到数学知识的传授和学习,不单单仅是各自单方面所要完成的任务,也是在“教”与“学”的过程中,对学生的数学素质、科学的思维能力建立与培养的过程。这样才能去提高学生的综合素质,培养出基础知识扎实,应用能力好,具有良好品格的高等技能型适用人才。

数学思想论文范文第4篇

“亲其师，信其道，乐其学”．和谐的师生关系，是教学中师生交流合作活动的基础、动力和保证．首先，教师在进行教学的过程中要不断重视自身的情绪表达，培养起良好积极的情绪范围和情绪能量．其次，和谐的师生关系，也是学生产生积极情感体验的手段．和谐的师生关系需要教师与同学的共同经营，其中一个重要方面就是教师对每个学生自有品性及人格的认可．例如，在接任七(4)班的数学教学工作时，我认识了小霞．由于先天智力不行，加上后天不认真和单亲家庭，她很自卑，导致学习落后．同学们讥笑她，家长也责备她．开学后，我首先制止同学们对她的讥笑和瞧不起，动员大家给她更多的关心和爱护．学习与生活中的每一丝进步都及时进行肯定，不仅在同学面前正式鼓励，还及时向她的家长肯定她的成长，这种肯定不仅表现在语言上，也体现在每次的善意眼神及行为中．由于老师的表率作用，带动了全班同学对她的尊重．她逐渐走出了自卑的阴影，有学习的兴趣，成绩也提高了，人也开朗了．教师对学生的关爱和尊重，教师的每一个眼神、每一句话中，都可以使学生受到激励，感到振奋，从而形成一种积极向上的情感．这种学习情绪的调动更是单纯的学习沟通无法带来的，只有良好情绪的共同感染才能引起．于是，教师的情绪便对学生的情绪起着尤其关键的影响与作用，只有让学生真切地感受到自己对教学及学生的热忱、积极向上的教学情绪、真诚自然的教学态度，才能让学生感受到积极轻松的氛围，继而在这种课堂氛围下接纳授课内容．我会真诚对全体学生说:“老师的教学需要全体同学的支持和配合，老师愿意和同学们一起学好数学．我不期盼学生背负着从前一纸成绩的压力，更期待的是学生拥有良好的心理，和建立在良好心理基础上的奋斗意识．一切从现在开始，只要肯努力，我相信每个同学都会进步!”在执教过程中，对于学习成绩与动力暂时不突出的同学，课上在尊重为主的前提下关注这些学生的行为，更是及时肯定他们踊跃参与课堂活动的表现;平时对他们学习上的困难进行耐心辅导，关注他们的点滴进步，不断给他们加油鼓劲，使他们总是生活在希望之中．我真切地意识到，在老师孜孜不倦的鼓励与肯定下，学生往往会形成更多的学习主动性与积极性，进而取得更多的进步．

二、以情引趣，创设新鲜的学习情境，让学生学习劲头足

数学教学不仅是一种活动，而且是一种充满情感交流的过程．师生的交流沟通，不仅应饱含情感与尊重，更应在这样的基础上及时鼓励学生的积极性，这样才能将精神源头转化为实际行为．在教学过程中，对教材的深度钻研是合理规划课堂内容的基础，在这一层面上将数学教材总结的生动有趣，才能使学生有更大兴趣．兴趣是通往一门新知识的钥匙，学生的兴趣能够深层影响其学习动力．在讲授数学知识时，可以更多设立中等难度引导学生思考的范围，让其进行积极深入的思索，引起学生对新领域新知识的兴致．班里几个同学在抛硬币，教师可以提问:一个硬币正面向上的可能性有几种?两个呢?这样的引发学生思考的提问，能够逐步地引发学生的疑惑与求知的欲望，进而让学生在新课程的讲授中更加集中注意力并积极参与，在接下来的课程中，接二连三的抛出让学生思考的问题，将课程的讲授自然地深入进行，而学生也就在稍有间断的思考中不断获取新的书本知识．然后又问:三个硬币呢?学生带着疑问看多媒体计算机演示．精心安排与引导的课程环节，能够让学生一直处在被求知欲与好奇心包围的氛围之中，教师不仅将课本知识得以传授，更可以通过轻松有趣的沟通方式与学生建立情感深入交流，让全体学生都在轻松的学习过程中体会到独立思考的乐趣，通过多次这样的教学慢慢培养学生主动思考与积极参与的有益习惯．

三、以情促知，恰当地将知识潜移默化，能使学生兴奋，对正确理解和巩固知识有好处

赞可夫认为，少儿的情绪反应和其好奇、疑惑、思考、探索等行为是紧密相关的，并且会互相影响．也就是说愉悦、轻松、有成就感的学习过程能够潜移默化地引导学生的学习行为，进而达到促进学习劲头的良性循环．然而，这样的良性循环并不是一次或几次就能达到的结果，授课的过程是漫长且需要耐心的，根据不同学生的基本情况进行分层次教学模式，不对优秀学生偏袒也不对暂时落后的学生另眼相看，在让每一位学生都能感受到相比从前自己的进步，让学生从内心深处认可自己的进步与潜力，在不断提升的自我认可度基础上，逐步用行动证明自身的努力成果．在教学过程中，我力求做到如下两点:一是反馈练习的设计注重层次性，突出针对性:足量的基本练习给基础较差的学生创设了成功的机会;设置不同层次的练习题目，分为必做和选做等多种题型，这样就能让学习成绩较好的学生有更多的发挥空间与求学动力，不会感觉到知识的信手拈来，让这部分学生迎难而上．二是练习形式的多样性，增强趣味性．巩固反馈阶段，有书面练习，口答练习，也有动手操作练习，有小组合作，也有竞赛，调动学生学习的积极性，激发他们的学习兴趣，动静结合，充分开发学生的潜能，增强学生以学为主的情感．

四、以言唤情，用情促行

教学语言既是一门科学，也是一门艺术．它是提高课堂教学效果行之有效的重要手段．有人说“教师应该是语言大师”．这句话说得非常恰当，因为教师就是通过语言来授之以理、授之以法的．有的教师总是能把一节课讲得有声有色，很好地完成教学任务．而有的教师则词不达意，言不传情，因此效果极差．可见，课堂教学语言的艺术是多么重要．在数学教学过程中，教师的专业术语精确练达固然重要，更让学生产生情感共鸣的还应是教师的言语方式及个人风度涵养，优秀的师风师德配合表达风趣、结构严谨的语言，必然能吸引更多学生的注意力与求知欲．例如，有的教师在初次接触几何课的学生面前，用一支笔能测量高楼的悬殊对比这一生动例子，很好地抓住了学生的疑惑心理，学生听后目瞪口呆，随后议论起来如何测量．教师提问:想知道如何测量吗?学生回答非常想知道．那我们必须学好八年级的几何!本节课学生情绪高涨，听得、学得、做得都非常认真、入神、到位．在上课的同时，教师要经常用“你太棒了!”“还有别的做法吗?”用这样的提问式语句与互动方式，提供给学生自主发挥想象空间的平台，通过几何就在生活中随处可见的例子，拉近新课程与学生的心理距离．

五、结语

数学思想论文范文第5篇

关键词：算经十书，传统数学思想，新理解

Abstract:Exploringandstrivingfortheconstantlyimprovingmethodsandtechniquesofcalculation,stressingtheexplicitthinkingbasis,andconcentratingonitsflexibleandwideapplicationisthepithofthemathematicideasofSuanjingshishu,thethreadofwhichisadvancingalongtheexploration,improvementanddevelopmentoftuibu(thescienceofcalculatingtheastronomiccalendar).Itcombinescalculationwithanalogy,andthus,formsitsuniquetraditionalstyleandmethod.

KeyWords:SuanJingShiShu,TraditionalMathematicalThinking,newunderstanding

在世界科学史中，中国传统数学是一颗灿烂的明珠。在中国传统数学中，“算经十书”是典型的代表。所谓“算经十书”，指的是中国十部古算书：《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》（元丰年间已失传，后来以《数术记遗》代之）、《缉古算经》。唐代时期，国子监内设算学馆，置有博士、助教，指导学生学习数学，规定这十部书为课本。许多人为这十部算书作注释，作增补删改，历代华夏子孙学习它，研究它，中国数学也因它而形成自身的传统并将此传统继承和发扬。“算经十书”就其内容来说，属于初等数学；就其数学思想和数学方法来说，则是十分高深的。下面，我们阐述其数学思想。

1.探索和追求精益求精的计算方法和技巧

就数学内容而言，“算经十书”以善于计算而见长，并且这一长足的发展还被推进到让世界其他各国都望尘莫及的地步，这已是中外中算史家的共识。“算经十书”能如此辉煌耀目，是跟它着力探索和追求精益求精的计算方法和技巧分不开的。

“算经十书”中最早的一种《周髀算经》，其第一章叙述了西周开国时期（约公元前1100年）周公与商高的一段问答。从这段问答中，我们可以见到我国早期数学思想的一些初步端倪。当周公问商高“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？”时，商高答道：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。”接着，商高还说：“故折矩以为句广三，股脩四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘，得三、四、五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”这里，我们可以清新地见到，我们祖先在早期“定天下”、“治天下”时，已经看到了数学的重要性（如大禹、周公）；而掌握到一些数学知识的人（如高商），是注意数学思想和数学方法的。比如，我们从上述商高答问中，就可以看到，古人理解“数之所由生”，是将形与量结合起来考察的。圆和方都是形，而形是有数量关系的，从考察形可以探讨到“数之法”，但这形中又包含着丰富的数量关系，特别是平方关系（九九八十一）。数之法是从圆形和方形开始的。圆是内接正多边形经过无数次的倍边之后所得到的正多边形的极限（我国最早的极限思想，是不是来自于这种“圆出于方”的观念，希望读者引起注意）。矩是木匠用的曲尺，形如L，方中的直角，非矩不能作，所以说方出于矩。矩形的面积又不外于二数相乘，也就是说，要算出来。我国古代算法好凭口诀，而乘法口诀是从“九九八十一”起的，古人用“九九”作为乘法口诀的简称，故有“矩出于九九八十一”。这里所包含的用数的性质来研究形的性质的思想，与古希腊的数学思想旨趣相映。古希腊的毕达哥拉斯定理：a2+b2=c2。而当a=b=1时，则

c=，这既不是自然数，也不是自然数之比，所以不能是可接受的正常的数，被称为无理数，导致了第一次数学危机，从此古希腊数学发展的方向产生了大改变，“几何化”占了主导地位。[1]商高提出了著名的“句三股四弦五”这个勾股定理（也称勾股弦定理、商高定理），是从“折矩”而来然后得“积矩”的，3，4，5及其平方的关系可以体现出勾股定理，但中国并没有由此而产生数学危机，也没有发生发展方向的大改变，反而为“几何代数化”[2]这个中国传统数学发展主导方向奠定了很好的基础。中国早期讲究以算的方法去解决实际数学问题，是“数之所由生”的重要思想。

在古代，不管是西方国家或中国，数学的发展都跟勾股定理结下不解之缘，这不是偶然的历史巧合，而是不同渊源和发展脉络的科学认识的一种必然交汇，其原因是由人们的实践活动决定的。作为人类早期的数学研究活动，很自然地会碰到考察形的性质及数量关系，直角三角形成为关注的对象是在情理之中。正如赵爽所说的，早期先人们（如大禹）能掌握有关的数学知识是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思维方式会导致数学发展的不同朝向，至少在初等数学领域内是存在的。古希腊在数、形简单和谐的观念被打破之后发生大转向，从重算发展到重证，发展到重视几何证明，往后的趋势就是有了这种发展趋势和成果的集大成标志——欧氏几何的产生，它是西方国家初等数学体系确立的标志，而中国此时并不发生方向的大改变，而是沿着算的道路继续前进，往广度和深度上延伸发展，导致的是中国传统数学体系的形成——《九章算术》的出现。《九章算术》中有许多具有世界意义的成就，如负数计算、分数计算、联立一次方程解法等，正是沿着探索计算的方法和技巧前进的结果。可贵的是，我们的祖先在此数学思想的指导之下，并不以原有的结果为满足，没有停留在原有的水平上裹足不进，而是精益求精地深入下去。如《九章算术》246道题，有解题方法202“术”，在当时有如此辉煌成绩已难能可贵，但三国魏晋时期的刘徽，就在《九章算术》的基础上，仔细作注，不但为《九章》提供了系统的理论依据，而且大力向前推进，提出了许多创见，将探讨和讲究精益求精的计算方法和技巧这种数学思想，提到一个更高的水平，并对后世的发展带来了深刻的实际影响，如他发现的割圆术，为后来祖冲之求得更精确的π值奠定了基础，唐李淳风注《九章算术》时说：“刘徽特以为疏，遂乃改张其率，但周径相乘数难契合。祖冲之以其不精，就中更推其数。”刘徽本人告诫人们他所得到的“徽率”太小，后人也正是沿着刘徽的思想方法再继续前进，将π值愈推愈精确。在求积问题上，刘徽也有突破，他提出了推求球体积的著名的“牟合方盖”理论，之后，祖暅在刘徽研究的基础上，精益求精，得到了闻名于世的“祖暅定理”，并具体求出了“牟合方盖”。这长江后浪推前浪，一浪更比一浪高的中国高超的算法技巧，正是在一条清晰的传统思维途径――探索和讲求精益求精的计算方法和技巧中进行和取得成就的。如《张丘建算经》自序中这样写道：“其夏侯阳之方仓，孙子之荡杯，此等之术皆未得其妙。故更造新术推尽其理。”在探索精益求精的算法道路上更上一层楼，就是《张丘建算经》的数学指导思想，正是在此思想的指导之下，出现了举世闻名的“百鸡问题”。

2．讲究明确的思想依据

数学思想研究的是数学产生和发展的思想方法和思想依据。“算经十书”不仅在数学知识上光彩耀目，在数学思想上也独树一帜，其显著的特点是对于作为每项有意义的数学成果，都讲究其明确的思想依据。

刘徽精细地注释了《九章算术》，从而确立了中国传统数学理论体系。刘徽的数学思想和方法，对后世影响极深。如王孝通在《上缉古算经表》中云：“徽思极毫芒，触类增长。”说刘徽的思想方法是“一时独步”。而刘徽对自己所接触和研究的数学，是十分讲究明确的思想依据的。“算经十书”中有二部与他密切相关。《九章算术》由于有了刘徽注，从此中国传统数学有了自己的理论体系；他在注《九章算术》时补撰“重差”，其单行本即《海岛算经》。刘徽注《九章算术》时，十分讲究数理之道要有明确的思想依据。在《九章算术》注原序中，刘徽说：“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。”在“圆田术”注中，刘徽写道：“不有明据，辩之斯难”，于是，他在创造“割圆术”的同时，还告诉人们此种创造是有依据的：“谨接图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬。故置诸检括，谨详其记注焉。”在“开立圆”（由球的体积以开立方的方法求其直径）注中，刘徽创立了“牟合方盖”理论，他不仅介绍了有关方法，而且还言明思想依据，“互相通补，……观立方之内，盒盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。”但他又担心依据不足，惟恐理法相违，专门作了交待，以待后人获得更严密的依据：“欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者”。从中我们不仅见到先哲们对探讨数理的思想依据的重视，也深深领悟到他们治学严谨的高尚风范。在谈到将割圆术作为解决有关极限问题的工具时，刘徽也阐述了其思想依据：“数而求穷之者，谓以情推，不用算筹”（“阳马术”注）。意思是说，数学中凡解决有关无穷之类问题时，不必用算筹去计算，应当用数学思想去把握。再拿《海岛算经》来说，刘徽为什么要写《海岛算经》呢？其思想依据是什么?在《九章算术》刘徽注原序中，刘徽清楚的说明“苍等为术犹未足以博尽群数也”，于是“辄造重差，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下”，“以阐世术之美”。而造“重差”此术的思路是：要测量不可到达目的物的高和远时，一次测望不够，于是采用二次测望、三次测望、四次测望，即“度高者重表，测深者累矩”（“重表”或“累矩”就是用表或矩测望两次）、“孤离者三望”、“离而又旁求者四望”。更为深刻的是，刘徽并不是勉强、被动地去考究数学知识之思想依据的，他认为数学思想与数学知识之间本身具有非常紧密的联系，他用庖丁解牛来阐述此层道理：“更有异术者，庖丁解牛，游刃理间，故能历久其刃如新。夫数犹刃也，易简用之则动中庖丁之理，故能和神爱刃，速而寡尤”（《九章算术》方程术注）。

自刘徽之后，“算经十书”的著者都较注意阐述算理要有明确的思想依据，如四库总目提要中称：《张丘建算经》之体例，皆设为问答，以参校而中明之，简奥古质，与近求不同，而条理精密，实能深究古人之意。正因为此书注意讲究数学的思想依据，因而对掌握数学知识的来龙去脉很有益处，“故唐代颁之算学，以为专业”。就是在我国近年的中学数学课本中，还列有《张丘建算经》的题目。

此外，“算经十书”中关于数学证明的部分，也讲究要有明确的思想依据。[3]