等腰三角形的性质

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇等腰三角形的性质范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

等腰三角形的性质范文第1篇

一、 活动内容设计

由等腰三角形的一些性质，通过师生对话及一系列问题的提出，逐步把问题引向深入．促使学生根据已学的有关知识，运用一般化、特殊化等思想方法，在自主探索过程中不断地发现一些有趣的性质，最后得到三角形的费马点。

例题：已知：ABC中，AB=AC，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线.求证：BD=CE。

在给出了以上例题后，教师与学生一起由浅入深、由此及彼，逐步探讨如下一系列问题：

问1：题设、结论各是什么？你能按题意画出图形吗?

问2：如何来证明？

问3：有另外的证法吗？

问4：题中条件不变，你还能推出什么结论？

问5：回到原题，你能用文字语言叙述一下吗？

问6：如题中条件稍作变化，你能否得到相应的结论呢？

问7：刚才，我们证明了等腰三角形两腰上的高相等，试问，点B到直线AC的距离与点C到直线AB的距离相等吗？

问8：固定三角形，让点B移动到点P（底边BC上一点），试问，点P到AC的距离与点C到AB的距离有何关系？若PN、PM分别是P到AB、AC的距离，那么PN、PM与CE之间有何关系？

问9：能否证明你的猜想？

问10：你能想出几种不同的证法？

问11：若点P继续运动到BC的延长线上，又会有什么结论呢？

问12：若ABC是等边三角形，你又有什么新发现？

问13：若ABC中AB>AC，点P在边BC上，你有什么猜测？

问14：若点P为任意ABC内一点，它到三边距离之和为PD+PE+PF，对此，你又有什么认识？

问15：若改为点P到ABC三顶点的距离之和，你又有什么想法？什么时候PA+PB+PC为最小？能证明吗？

二、 活动过程设计

“问1”、“问2”意在培养学生的审题、画图、证明等基本素养。活动过程中应重视学生“双基”的训练。

“问3”“问4”则重在培养学生的发散性思维。“问3”是解法开放，应积极引导学生调动自己头脑中已有的知识经验，探寻多种解法。“问4”也就是结论开放，应引导学生展开联想，大胆猜想。

“问5”在于培养学生的语言转换能力。让学生换个角度去叙述问题，把数学符号语言转换成文字语言，学生就较容易想到相应的线段如中线、高是否有同样的等量关系。于是，学生就可能会思考如“问6”的问题。

“问6”与“问7”之间，教师把学生引导到“距离”这一概念上去，加深学生对“距离”概念的认识，另一方面，把问题从“高”这一角度转移到“距离”这一角度，也是一种语言转换。这一转换，“问7”、“问8”也就顺应而出。在此，应使学生意识到问题的不断转换，将有助于新问题的提出，有助于获得新发现。

“问9”、“问10”应使学生通过探寻不同的解法，让学生回顾复习证两线段之和等于一条线段的常用方法（或一般规律）：截取、延长、平移、对称等等，从中探寻一般规律。

“问11”渗透运动的观点，用动态的观点去处理点P跃过点C时的情况。教学中可通过多媒体辅助手段显示点P的运动及PN、PM的变化，让学生通过观察，得出相应猜测及证明。

“问12”、“问13”让学生从特殊化、一般化的角度去加强或减弱条件，并猜测其可能的结果。学会特殊化，学会一般化，学会类比，学会联想，学会猜测。

“问14”中的点P更富有一般性。此时，使学生认识到其结论一般也更具不确定性，但应引导学生思考“是否具有最大值与最小值呢？”

“问15”运用类比，把点到直线的距离变为点与点之间的距离，从而提出了“费马点”。

等腰三角形的性质范文第2篇

八年级上册第12章是“轴对称”，“等腰三角形”是本章第3节的内容.本节是在学习了轴对称图形、线段和角的轴对称性的基础上安排的.主要内容是：（1）在实际探索中发现等腰三角形的性质；（2）研究等腰三角形的判定；（3）研究等边三角形的相关知识.

等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质.等腰三角形的轴对称性及“两个底角相等”、“三线合一”，是等腰三角形的重要性质，是今后证明角相等、线段相等及两条直线垂直的重要依据，这也是全章的重点之一.教材通过剪纸、折叠、观察、思考等一系列的探究活动，在问题串的引导下，由学生发现并概括出这些性质，这都是要求学生必须牢固掌握的.

本节内容分两小节，其中第一小节等腰三角形分两课时，第一课时主要研究等腰三角形的性质.本节课，让学生通过折纸、剪纸等实验活动，探索发现几何结论，经历知识的“再发现”过程.在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形的认识与图形证明有机整合.

在对教材作以上分析的基础上，可以确定出本节课的教学目标是：

1、经历探索等腰三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角相等等性质.

2、经历探索等腰三角形性质的过程，掌握这个性质，并能给出证明.

3、在经历探索等腰三角形性质的过程中，发展学生合情推理和演绎推理能力.

4、在运用等腰三角形性质解决问题的过程中，发展应用意识.不断增强学好数学的自信心.

教学重点：等腰三角形的性质.

教学难点：探索并证明等腰三角形的性质.

2 学情和学法分析

2.1 学生在学习中常见的认识误区和思维障碍

（1）对等腰三角形的轴对称性理解不深刻

关于等腰三角形的轴对称性要求学生做到全面理解，既要认识到它是轴对称图形，又要说出其对称轴来，为此，学生应明确以下两点：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线.对于第①点，学生通过动手操作可以很容易发现，而对于第②点则往往出现认识、理解不深刻的现象，从而导致错误.常出现下面的错误认识“等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高”.

（2）不能正确理解“三线合一”的性质

等腰三角形的“三线合一”的性质是指等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线重合.这里的“线”都是指线段，对于这一点，初学的同学往往出现认识上的问题，如出现类似下面的错误判断：

因为等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，所以也是底边上的垂直平分线.

事实上，在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的高和底边上的中线是同一条线段，它垂直于底边，而底边的垂直平分线是垂直于底边的直线，这是两个不同的概念.

2.2 学法指导

（1）鼓励学生自主探究，自己归纳、总结、发现等腰三角形的性质.对于等腰三角形的性质，教师可通过适当的素材（问题串），给学生提供思考的空间，鼓励学生自己独立解答，然后进行相互交流，在相互交流中加深对等腰三角形性质的理解.

（2）引导学生在独立思考的基础上进行合作交流.为防止出现对等腰三角形的性质理解不深刻的现象，可在同学们总结、归纳出等腰三角形的性质后，给出一些判断性的问题，让学生去甄别真假.

（3）注重认识结构的优化.关于等腰三角形的概念在七年级下册已经学过，学完等腰三角形的性质以后，引导学生进一步加深对等腰三角形有关概念的认识，以扩充学生原有的数学认识结构.

3 导学过程设计

3.1 创设情境，激发兴趣

出示一些精美的建筑图片（金字塔、房屋侧面、高架桥等），让学生仔细观察图片中显示的主要是一些什么图形？

点评 爱因斯坦有句至理名言：“兴趣是最好的老师.”数学教学必须把培养学生的学习兴趣放在首位.由于学生在小学已经接触过等腰三角形，他们能比较容易的从建筑图片中抽象出等腰三角形.该设计能激发起学生的学习兴趣，在最短的时间内把学生的注意力吸引到课堂中来，这是提高课堂教学效率的第一步.

教师此时板书题目：1231等腰三角形（1）.

3.2 问题引导，探究发现

（1）引导学生进行实验操作

把一张长方形的纸按图1中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的三角形有什么特点？

点评 《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手操作、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.”在引起学生学习兴趣的基础上，教师及时安排一个动手操作的实验活动，让学生通过折纸、剪纸、观察得到等腰三角形，使学生感知等腰三角形的特征是两边相等，培养了学生观察分析、概括总结的能力.

教师画出ABC并标出腰、底、顶角、底角，为后面探究等腰三角形的性质做准备.

（2）合作交流，自主探究.

引导学生仔细观察图2中的ABC，折痕记作AD，思考下面的问题：

①等腰三角形ABC是轴对称图形吗？

②∠BAD与∠CAD相等吗？为什么？

③∠B与∠C相等吗？为什么？

④折痕所在直线AD与底边BC有什么位置关系？

⑤线段BD与线段CD的长相等吗？

⑥你能总结一下折痕所在直线AD具有的性质吗？

点评 学生通过观察、思考等探究活动，在以上6个问题的引导下，能自主发现并概括出等腰三角形的轴对称性及“两个底角相等”、“三线合一”等重要性质，这是今后证明角相等、线段相等及两条直线互相垂直的重要依据.这样安排学生便经历观察、实验、探究、归纳、推理等认识图形的全过程，对于培养学生自主探究的学习品质和观察分析问题、概括总结、合情推理的能力都是非常有益的.

此时，教师板书：等腰三角形的两个底角相等.

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）尝试证明，规范格式

①语言叙述性命题的证明步骤有哪些？

②你能证明等腰三角形的两个底角相等吗？（画图，写出已知、求证，写出你的证明过程.）

③与同组的同学交流证明方法.

点评 问题（1）复习巩固了语言叙述性命题的证明步骤，为把问题（2）的文字语言正确转化成图形语言做准备，进一步引导学生回顾证明角相等的方法，分析选择怎样的证明方法，如何添加辅助线，让学生体会数学具有严密的逻辑性.（3）利用投影仪展示学生的三种不同的证法：①作BC边的中线，用“SSS”证明全等；②作ADBC于D，用“HL”证全等；③作角平分线，用“SAS”证明全等.针对不同的证明方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性.同时，师生共同纠正错误，规范证题格式，由辅助线的不同作法，也为性质2“三线合一”的教学作铺垫.

（4）用数学符号表示等角对等边.

点评 培养学生的文字语言、符号语言及图形语言之间相互转化的能力.真正掌握等边对等角.

（5）学以致用，巩固练习

1.已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长是 .

2.已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角为

（ ）

A.40° B.80° C.40°或100° D.100°

点评 本组练习考察学生掌握等腰三角形的性质1的情况，看学生是否能和三角形三边关系、三角形内角和综合运用，培养学生应用知识的能力.重视对数学基本思想的渗透是《标准》的要求，学生在解答问题2的过程中，能体验到分类讨论的思想在解题中的应用.

3.3 合作交流，再探新知

（1）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.可转化成几个命题？

点评 引导学生把结论2这个复杂的命题，转化成三个命题，降低了难度，使学生真正理解等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的真正含义，也锻炼了学生的语言表达能力.教学中注意强调这三种线段的定语，可以让学生画图说明.

（2）请选择一个你喜欢的命题，并写出证明过程

点评 让学生选择一个自己喜欢的命题证明，为不同层次的学生提供了参与数学活动的平台，充分发挥了学生的积极性、主动性.符合《标准》提出的让“不同的人在数学上得到不同的发展”的要求

（3）根据图2填空

①在ABC中，因为AB=AC，ADBC，所以 （或 ）

②在ABC中，因为AB=AC， ，所以ADBC（或BD=DC）

③在ABC中，因为AB=AC， ，所以ADBC（或AD平分∠BAC）

点评 进一步巩固“三线合一”，培养学生三种语言的转化能力，增强理性认识，提高演绎推理的能力.完成填空后，同桌间叙述、交流，进一步从理性上认识“三线合一”，形成知识体系.

（4）学以致用，巩固练习

①在ABC中，AB=AC，ADBC，∠BAD=40°，BD=2cm，则BC= ∠C= ；

点评 以填空的形式出现，让学生再次理解等腰三角形的“三线合一”性质的内涵.加深对性质2的理解，学会性质的应用.

②如图3，已知在ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，AD=AE，求证：BD=CE.

点评 等腰三角形的“三线合一”性质，包含有线段相等、角相等、垂直等关系，涉及量多，应用广泛，是证明线段相等、线段的倍数关系、角相等、角的倍数关系、垂直等常用的方法.本题在进一步巩固“三线合一”性质的基础上，引导学生分析解题方法的优劣，优化解题过程，努力寻找解决问题的最佳方案.在对“三线合一”的认识不断深化过程中，提高了学生的概括能力，以促使学生形成一个系统性强、相互联系的数学认知结构.在体验解决问题方法的多样性的过程中，逐步发展了创新意识.

3.4 拓展提高

如图4，线段OB的一个端点O在直线a上，以OB为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？

点评 由于学生的层次不同，掌握知识的能力也不同，设计拓展提高题，满足学有余力的学生的发展需求，进一步提高学生的发散思维能力，实现由知识到能力的转化.

3.5 梳理反思，总结升华

畅所欲言，共同分享：

（1）你有哪些收获？还有哪些不足？（知识技能、解题方法、数学思想、解题技能，辅助线的添加、情感态度、合作学习等.）

（2）写出本节课的学习反思.

点评 数学家弗赖登塔尔指出：“反思是数学创造性思维的重要表现，它是一种高层次的数学创新活动，是数学活动的动力，必须教育学生对自己的判断与活动进行思考并加以证实，以便使他们学会反思.”这就要求培养学生具有严密的、全面的能自我反省的思维品质以及在问题面前迅速作出正确判定的思维品质.学生在学习过程中不断反思自己的学习行为、学习方法、自我评价等，以此来指导今后学习活动，不仅加强了知识的深化与内化，提高了学生良好的思辨思维习惯，而且是提高数学素养的一种重要手段.

3.6 布置作业：（省略）

点评

1.充分尊重了学生的主体地位

本节课注重探索等腰三角形性质的形成过程，先让学生通过折叠剪纸来认识等腰三角形，再观察折叠的等腰三角形，猜测它的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生经历了一个观察、实验、探究归纳、推理、认识图形的全过程，由发展学生的合情推理能力到发展学生的演绎推理能力，真正实现学生为主体的教学宗旨，培养学生自主探究学习的优秀品质和严谨的逻辑思维能力.

2.注重了学习方式的转变

《标准》特别强调要转变学生的学习方式，本设计在探究等腰三角形性质的过程中较好的体现了这一理念.对于问题（1），先由学生自己思考、猜想，然后相互交流自己的看法，师生共同总结出等腰三角形的性质——等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线.这个性质包含两部分，前面的部分说明等腰三角形是轴对称图形，后面的部分是说明对称轴的位置或是怎样形成的，这一点同学们往往不够重视，从而出现这样或那样的错误.一个图形的对称轴是一条直线，既然等腰三角形是轴对称图形，就需要进一步明确对称轴的位置.这条直线就是等腰三角形底边的垂直平分线.一定要向同学们交代清楚等腰三角形的对称轴是一条直线，而不是线段，这样学生就不会误认为等腰三角形的对称轴是底边上的中线了.

问题（2）—（5）反映了等腰三角形的“三线合一”和“底角相等”的性质.这些结论的获得过程都可以采用合作交流的学习方式，可在学生充分思考、猜想、讨论的基础上，通过全班交流加以肯定.

在引导学生“已知底边和底边上的高用尺规作等腰三角形”时，应先引导学生回顾已经学过的四种基本尺规作图，然后就本作图题展开讨论，通过交流使学生认识到：问题的关键是作出等腰三角形的三个顶点，在作出线段AB=a后，关键是确定顶点C的位置.

3.加强对学生推理能力的培养

等腰三角形的性质范文第3篇

关键词：分类讨论；等腰三角形；直角三角形

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学方法，同时也是一种重要的解题策略。这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。下面我以特殊三角形为例，浅显地谈谈分类法的应用。

一、等腰三角形的腰或底边不定时需要分类讨论

在等腰三角形中求边长时，要看给出的边长是否确定为腰长或底边，若已确定，则直接利用等腰三角形的性质定理求解；若没有指出所给的边是腰还是底边，要分两种情况讨论，并三角形内角和三边的关系检验其是否能构成三角形。

例1.已知在等腰三角形中，（1）若一边长等于4 cm，另一边等于5 cm，求它的周长；（2）若周长为20 cm，一边长为5 cm，求它的三边长。

分析：不能确定已知边是腰还是底边，因此分两种情况讨论：

（1）若底边长为4 cm，则腰长为5 cm，这时它的周长为4+5+5=14 cm；若腰长为4 cm，则底边长为5 cm，这时它的周长为4+4+5=13 cm，所以这个三角形的周长等于14 cm或13 cm.

（2）若底边长为5 cm，则腰长为7.5 cm.

（3）若长为5 cm的边是腰，则底边长为10 cm，因为5+5=10 cm，即两边之和等于第三边，不符合三角形三边关系，因此三角形不存在，所以它的边长为5 cm，7.5 cm，7.5 cm.

例2.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

分析：已知条件并没有指明哪一部分是9 cm，哪一部分是12 cm，因此，应有两种情形。

若设这个等腰三角形的腰长是x cm，底边长为y cm，可得x+ x=9 x+y=12或x+ x=12 x+y=9解得x=6y=9或x=8y=5即当腰长是6 cm时，底边长是9 cm；当腰长是8 cm时，底边长是5 cm。

二、等腰三角形的顶角或底角不定时需要分类讨论

在等腰三角形中求边角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角，若已确定，则直接利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质定理1（等边对等角）求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理。

例3.已知等腰三角形的一个内角度数，计算三角形的另外两个角的读数。

（1）已知一个角是30°；（2）已知一个角是160°。

分析：如果已知等腰三角形的一个内角是锐角，可分两种情况，顶角是已知锐角或者底角是已知锐角；如果已知一角是钝角或者直角，那么它一定是等腰三角形的顶角。

（1）若已知角是顶角，则另外两个角是底角，度数为 ×（180°-30°）=75°；若已知角是底角，则顶角度数为180°-2×30°=120°，另一个底角为30°。

（2）由于已知等腰三角形的一个角是160°，又由于两个底角相等，因此这个角只能是顶角，因此这个角只能是顶角，因此两个底角度数都是 ×（180°-160°）=10°

三、等腰三角形的形状不定时需要分类讨论

由于等腰三角形类型的不同，高线所处的位置也不同。如果是锐角三角形则高线在三角形内部；如果是直角三角形，高线就是一条直角边；如果是钝角三角形，高线在三角形外部。所以在等腰三角形中求高线时，要看给出的三角形是否确定，若已确定，则直接利用三角形高线的位置进行求解；若没有指出则要分三种情况讨论。

例4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，求底边上的高线长。

解析：题目没有确定三角形的类型，所以这个等腰三角形需分三种情况进行讨论。

（1）如图1，若ABC是锐角三角形时，已知AB=AC，BEAC，∠ABE=30°，ADBC，求AD的长。

因为腰长为a，∠ABE=30°，故腰上的高为 a，且顶角为60°，从而ABC是等边三角形，所以底边上的高为 a。

（2）如图2，若是钝角三角形，已知AB=AC，BEAC，∠ABE=30°，ADBC，求AD的长。

因为∠ABE=30°，所以∠BAC=90°+30°=120°.又因为AB=AC，所以∠BAC=30°。因为ADBC，所以AD= AC= a。

（3）若顶角为直角，显然是不成立的。

综上所述，底边上的高为 a或 a。

由以上的几个例子我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

参考文献：

等腰三角形的性质范文第4篇

本节课主要采用“开放型的探究式”教学模式，让学生通过观察、实验、操作等方式亲身经历数学知识的形成过程。整堂课力求为学生创造一个宽松、自由发展的空间，鼓励学生自主探究、合作交流，在学生“动手”“动脑”“动口”中发现问题、解决问题，真正体现学生的主体地位。

二、教学思路

导入新课―观察猜想：探究验证―证明猜想：动手操作―例题欣赏：联系巩固―归纳小结：深化新知。

三、活动目标

1.通过操作、观察、猜想、论证等数学活动，进一步发展学生的合情推理能力和初步演绎推理能力。让学生在经历等腰三角形性质的探索过程中，体会解决问题的多样性。

2.培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生的学习兴趣，体验探索成功后的快乐。

四、活动重点、难点

1.重点：等腰三角形的性质及应用。

2.难点：等腰三角形性质的探究与证明。

五、活动准备

多媒体课件、剪刀、长方形纸片。

六、活动过程

（一）创设情境，导入新课

播放现实生活中等腰三角形的有关图片，并指出等腰三角形的概念，提出问题（你能用一张长方形纸片，通过折叠只剪一刀，剪出一个等腰三角形吗？）

设计意图：通过动手操作，让学生进一步体会等腰三角形的性质，同时剪三角形的过程也保留了中间折叠的痕迹，为后面性质证明时添加辅助线做好铺垫。

继续提出问题，（等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还有哪些特殊性质？）点出课题。

设计意图：点出课题，激发学生的好奇心和求知欲，引领学生投入到本节课的学习中去。

（二）观察猜想：探究验证

把剪好的等腰三角形沿着折痕对折，你发现了什么？能用自己的语言描述出来吗？

设计意图：通过观察、猜想，学生自己发现等腰三角形的性质。

（三）证明猜想：动手操作

1.找出命题（2）的题设和结论，并结合图形写出已知和求证。

2.我们以前学习了哪些证明角相等的方法？

3.请写出证明过程。

设计意图：帮助学生顺利地由文字语言转换成符号语言。引导学生把新的问题转化成已学知识来解决，向学生渗透转化的数学思想。

（四）例题欣赏：练习巩固

教师出示例题，并用学到的数学知识解决数学问题。

设计意图：教师的解题过程起示范作用，它引导学生体会数学的严谨。

（五）归纳小结：深化新知

等腰三角形的性质范文第5篇

一、教学实录

1.巧设问题，力透基础

问题1：用一条直线将一个三角形分成两个三角形，怎样分？

生1：过三角形的顶点作直线.

问题2：用一条直线将一个三角形分成两个等腰三角形，怎样分？

生2：这题是不是条件不足？

师：你来加个条件吧！

生2：（思考了一会儿）三角形的各内角是36°、72°、72°.

问题3：用一条直线将内角分别为36°、72°、72°的三角形分成两个等腰三角形.

生3：作72°角的角平分线.

问题4：用一条直线将内角分别为25°、50°、105°的三角形分成两个等腰三角形.

生4：将105°角分成25°和80°，分成两三角形的内角分别是25°、25°、130°和50°、50°、80°

问题5：顺利正确解决刚才两个问题的同学请举手，采访你一下：你怎么这么厉害，就分成功了？

生5：我觉得最小的角是不能分的；根据所给内角的度数，先分出一个等腰三角形，再去证明另一个也是等腰三角形.

问题6：你太棒了！请同学们设计一个三角形，使之能被分成两个等腰三角形.

生6：108°、36°、36°.

生7：10°、20°、150°.

生8：45°、45°、90°.

生9：任意的直角三角形.

师：（看着始终跃跃欲试的学生们）因时间关系，同学们不妨将自己的设计写下来，并请思考：任何三角形都能被分成两个等腰三角形吗？

生齐答：不是！

师：证明一个假命题的方法是什么？

生：举反例！

师：请证明“任何三角形能被分成两个等腰三角形”是一个假命题.

生10：等边三角形.

生11：一个三角形的内角为105°、5°、75°.

师：反例也可以举出无数种，到底怎样的三角形能被分成两个等腰三角形呢？

问题7：探究一个三角形能被分割成两个等腰三角形的条件.

评析：好的复习课，要兼顾全体学生；本节课前7个问题的设计，让不同程度的学生都能有所得.既梳理了图形分割的基本思路，又强化了对几何问题的本质理解，能较好地促进学生对知识方法的接受和内化，这种问题驱动式的复习方式，值得借鉴！

2.鼓励猜想，小心验证

在ABC中，设∠A=α，∠B=β，∠C=γ，（α

过点B作直线l，交BC于点D如图.可先令∠ABD=α（先定一个），则∠BDC=2α，接下来须让BCD也满足为等腰三角形，开始分类讨论.

生12：我觉得应该分三种情况，①当γ=2α时；②当β-α=2α时；③当β-α=γ时.

师：ABC的特点呢？

生12：第一种情况的三角形中，一内角是另一内角的2倍；第二种情况可化为β=3α，即一内角是另一内角的3倍；第三种情况可化为β=α+γ=90°，即ABC是直角三角形.

师：（将学生的回答板书出来）你真厉害！归纳得井井有条.让我们根据这一规律对刚才同学们所举的三角形作一下判断，顺便也做个验证.请同学试试，并简略说明怎么分割.

生13：第一个三角形符合第二种情况，把108°分成36°和72°，就得到两个等腰三角形.

师：你分析得完全正确；在一个内角是另一个内角三倍的情况下，只要把三倍角分成1∶2两部分即可.

生14：第二个三角形符合第一种情况，把150°的角分成10°和140°.

师：又解决了一个问题；据同学们的方法，当一个角是另一个角的两倍时，将第三个角分出较小的一个内角的角度.打铁趁热，想请同学们分割一下如下三角形：30°、50°、100°.

生15：这是第一种情况，可是我分不出来.

师：有没有同学分割成功了？

学生都摇头，并表示不解.

生16：我知道了，我们不能分割最小角，如果一个角是另一个内角的2倍，等待被分割的第三个角不能是最小角，所以情况一还有限制条件.我觉得应该180°-3α>α，α

师：你的发现实在是太精彩了！第一种情况属于假命题，我们通过添加条件使其成为真命题，三角形中一个内角是另一个内角（小于45°）的2倍，则此三角形能被分割成两个等腰三角形.

生17：第三个和第四个三角形都属于直角三角形，只要将直角分成其余两个锐角的度数即可.

师：说得真好！让我们来观察一下被分割后的直角三角形ABC，AD=BD，CD=BD，这一结论可用直角三角形的一个性质来描述，同学们试试？

生18：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

师：我们无意间找到了证明这一性质的方法.

评析：数学离不开对数形规律的探究，好的方法能帮助我们快速厘清思路、辨明方向.这一阶段的设计，层次分明、内涵丰富，让学生较轻松地完成了规律的探求。通过有效追问，极大地丰富了学生的思维空间；而分类思想的渗透，则有助于培养学生思维的缜密性与良好品质.

3.紧扣规律，应用提高

问题8：把一个等腰三角形分成两个等腰三角形，求原等腰三角形的顶角.

学生分小组探讨3分钟后派代表发言.

生19：我们小组直接用刚才所得的结论来解题的.设等腰三角形的顶角为x°，底角为y°，得一个基本等式：x+2y=180°.如果是直角三角形，那么就有x=90°；如果一个内角是另一个内角的2倍，则有x=2y或y=2x，分别得到x=90°，x=36°；如果一个内角是另一个内角的3倍，则有x=3y或y=3x，分别得到x=108°，x=（）°；综上所述：原等腰三角形的顶角可以是90°、36°、108°和（）°.

全班鼓掌.回答的精彩程度不言而喻.

问题9：把一个正三角形分成四个等腰三角形.（用尽可能多的方法，课后完成）

评析：复习课的基本目的，一是内化知识，巩固基础；二是综合运用，提升能力.从这个要求上看，本阶段安排的两个变式练习，有助于较好地达成教学目标.特别在基本图形的提炼、解题思路的引领、基本规律的应用上，凸显了教师对几何教学本质的认识.

二、评析

本课主题明确，线索清晰，问题设置恰当；教师启发有力，学生思维活跃，教学目标达成度较高，较好地实现了数学学习中“基础、方法和能力”的有机统一.

1.精心设计问题，让学生充分经历有效的数学活动经验

问题既是数学学习的心脏，又是思维活动的起点.通过问题来驱动教学，往往是实现夯实知识基础，揭示本质特征，提炼数学方法，提升思维水平等复习要求的有效途径.本课设计的问题1到问题6，起点较低，学生参与度很高，在上课伊始，较好地活跃了课堂气氛.当然，其主要目的是铺垫，通过对问题的基础解剖、特殊练习，使学生深刻理解问题本质，为提升能力做好必要的准备.低起点、高立意的数学活动，让每一位学生觉得原本枯燥的数学，因其能轻巧参与其中而变得亲切生动起来了，是高效课堂的必然保证！

2.立足方法引领，让学生在解题中发展数学思维