勾股定理证明方法

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇勾股定理证明方法范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

勾股定理证明方法范文第1篇

勾股定理在几何学中有着重要的地位，因此证明勾股定理在我们学习几何数学中非常重要。千百年来有许多数学家对勾股定理进行证明，证明方法多种多样。对勾股定理的证明在1940年出版的《毕达哥拉斯命题》中就收集到了367种之多，但是这还不是全部的证明方法，根据不完全统计到目前为止证明勾股定理的方法已经达到了500多种。当然各种证明方法都有自己独特的优点，有的丰富有的简洁。在西方国家勾股定理还被人们称为毕达哥拉斯定理，这是因为毕达哥拉斯是最先发现直角三角形的勾股定理并且给出了严格的证明。

关键词：勾股定理

勾股定理在我国也称“商高定理”，因为在中国商高是最早发现和利用勾股定理的人，商高曾经说过：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”。这就是人们后面说的“勾三股四弦五”。勾股定理的应用十分广泛，到目前为止对勾股定理的证明方法非常多，美国总统伽菲尔德证明勾股定理在历史上也是很有名的。勾股定理的证明体现了数型结合得思想，这体现了在学习数学得过程中我们必须要重视思维方式的培养，以及对各种思维方式的应用，达到举一反三的效果。在学习勾股定理的过程中我们要领会数学思维的规律和方法，提高数学思维的灵活性。利用勾股定理解题的时候，常常要把有关的已知量和未知量通过图形结合起来解决问题，也就是说我们必须要数型结合才能更好的解决勾股定理的问题。在研究问题的时候把数和形结合起来考虑，并且把图形的性质转化为数量关系，可以使得复杂的问题简单话，抽象问题具体化，所以数型结合是一个重要的数学思想。

在早期的人类活动中，其实人们就认识到了勾股定理的一些特征，传说在公元前1000多年前我国就发现了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”来确定直角。但是有数学家对此也表示怀疑，例如美国的M・克莱因教授就曾经说过：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人，但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实。”不过在大约2000多年前的古巴比伦的泥版书上，经过考古专家的考证，在其中一块泥版书上记录着这样的问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”很明显这是一个勾股定理的例子。还有一块泥版上刻着一些奇特的数表，在表中一共有四列十五行数字，不难看出这是一组勾股数，从右边到左边一共有15组勾股数，从这里可以看出勾股定理实际很早就被人们所认识。

对勾股定理进行分类讨论可以对有可能出现的问题考虑得比较的完整，在解决问题的时候做到“不漏不重”。

证明勾股定理的方法很多，一一例举是不可能的，本论文只简单的讨论了几种简单易懂的证明方法。那么，接下来我们来看一下证明勾股定理的这几种方法。

1.通俗易懂的课本证明

2.经典的梅文鼎证法

例2：做四个全等的直角三角形，两条直角边边长分别是a、b，斜边为c。把这些三角形拼成如下图所示的一个多边形，使D、E、F在一条直线上，过C作AC的延长线交DF于点P。

8.总结

勾股定理作为中学数学的基本定理之一，是我们学习数学的必修课程。本文讨论了勾股定理的一些证明方法，简单的阐述了勾股定理的背景，这可以让我们对勾股定理能够由更深的了解。本文证明勾股定理的这几种方法都是比较简单和常见的，但是也是从不同的方面进行的验证，这会带领大家更加深入的了解勾股定理的证明，启发学生对学习的思考，养成多方面看待问题的思维习惯。通过本文主要是想让学生能够学好勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题。学好勾股定理对我们今后的学习和研究由很大的帮助，所以我们学者对勾股定理的研究就显得很有必要，也具有相当大的价值。

参考文献

[1]赵爽.周脾算经注.2006.

[2]王工一.论《九章算术》和中国古代数学的特点[J].丽水学院学报.2006.

[3]王凯.勾股定理玉中国古代数学[J].邵阳学院学报.2005.

[4]张俊忠.史话勾股定理[J].中学生数理化.2002.

勾股定理证明方法范文第2篇

1本章内容概述

直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.

本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.

在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.

历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.

根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.

2编写时考虑的几个问题

2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程

勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.

教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.

这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.

2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感

我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.

我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.

本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果.

课本习题是一种重要的教学资源。在总复习教学中，通过探索课本典型习题的知识生长点、能力发展点、思想方法蕴涵点，挖掘课本典型习题的潜在教学价值，有利于激发学习兴趣，提高复习教学效率；通过反思、拓展、应用，完成习题教学的第二次飞跃。培养学生探究质疑精神，提高创新意识和实践能力。下面就一课本习题教学进行的再认识和再设计问题予以探究.

题目现行华师大版9年级《数学》上第24章《图形的相似》复习题C组第20题：

（1）已知，如图1，MN是ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足，求证：AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如图2），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.

图1图21质疑证法

华师大版配套教师用书提示：记O为ABCD两条对角线的交点，过O作OO′MN，垂足为O′。

（1）由梯形中位线定理，易证所需结论.

（2）由梯形中位线定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可证AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.

根据提示，运用梯形中位线定理是关键，证明如下：

图3（1）证一：连结AC、BD交于O，过O作OO′MN，垂足为O′.

因为BO=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.

证二：如图3，分别连结AC、BD交于P，过P作PHMN于H，连结C′P，并延长交A′A的延长线于W。因为BP=PD，BB′∥PH∥DD′，则B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位线。所以BB′+DD′=2PH.

又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位线，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。证明（转化法）：如图2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分别延长AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）证得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.

问题分析对（1）的两种证明，关键性依据是“过梯形一腰的中点且平行于两底的直线必平分另一腰”，然后利用中位线性质获证，证明看似顺畅简洁，但现行华师大版数学教材中始终没有这样的学习内容，造成推理无依据，难消学生心中的疑虑。证法二中用到的结论“过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边”可以在教材P67开头部分找到依据.

这些结论如果补证，会增加学生负担；如果直接告诉这个结论，会增加学生理解难度。其实，还有适合学生的其他证法.

图4改进证法（1）如图4，分别过C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因为BB′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）可仿（1）证明.

2质疑猜想

问题（2），在不给学生任何提示的前提下，学生的思考几乎呈散放、无序的状态，又测量因误差，容易导致误猜，实践证明学生很难获得有效的猜想。中科院院士张景中认为，一个题目，光想不动手，往往不得其门而入，动手做，常会有启发，代数问题，把字母代成数试一试，几何问题，多画几个图看一看，这比你冥思苦想效果好得多，学生通过数学实验，动手算一算、画一画、量一量，手脑并用，获得直接的感性认识，能最大程度地发挥其主观能动性，有利于右脑的开发，并能由此引发奇思妙想，产生大胆的猜想和创新。正所谓“直觉的产生要以逻辑分析为‘前奏曲’”。由此可见，猜想不是凭空乱想。教学中要教给学生猜想的方法和猜想的途径。猜想的方法主要有：归纳、类比、合情推理。猜想的途径主要是：观察、实验、探索。教学改进设计如下：

（1）实践操作，感知确认。试一试，测量这些线段，通过计算，它们有什么的关系呢？有人测得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。还有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。谁的猜想更合理呢？再画一个图形试一试，发现：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.

（2）通过引入辅助元素，转化为熟悉的问题或已经解决了的问题，通过推理获得猜想.

3变式探究

变式1：如果再作如下移动又如何呢？若直线MN向上移动，使点C、D在直线一侧，A、B点在直线另一侧（如图5），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.

勾股定理证明方法范文第3篇

关键词：勾股定理 应用 证明 代数

勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a2＋b2＝c2

1、数学史上的勾股定理

1．1勾股定理的来源

勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。

1．2最早的勾股定理应用

中国最早的一部数学著作――《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方和。

1．3在代数研究上取得的成就

例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。公元1世纪，我国数学著作《九章算术》中记载了一种求整勾股数组的法则，用代数方法很容易证明这一结论。由此可见，你是否想到过，我们的祖先发现勾股定理，不是一蹴而就，而是经历了漫长的岁月，走过了一个由特殊到一般的过程。

2、勾股定理的一些运用

2．1在数学中的运用

勾股定理是极为重要的定理，其应用十分广泛.同学们在运用这个定理解题时，常出现这样或那样的错误。为帮助同学们掌握好勾股定理，现将平时容易出现的错误加以归类剖析，供参考。

2．1．1错在思维定势

例1一个直角三角形的两条边长分别是5和12，求第三条边的长。

错解：设第三条边的长为a，则由勾股定理，得a=52+122，即a=13，亦即第三条边的长是13。

剖析：由于受勾股定理数组5、12、13的影响，看到题设数据，一些同学便断定第三条边是斜边.实际上，题目并没有说明第三边是斜边还是直角边，故需分类求解。

正解：设第三条边的长为，（1）若第三边是斜边，同上可求得=13；（2）若第三边是直角边，则12必为斜边，由勾股定理，故第三条边的长是13或12.

2．2勾股定理在生活中的用

工程技术人员用的比较多，比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算，设计工程图纸也要用到勾股定理，在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向…古代也是大多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车等等

农村盖房，木匠在方地基时就利用了勾股定理。木匠先是量出一个对边相等的四边形，这样就保证这个四边形是平行四边形，为了再使它是矩形，木匠就在临边上分别量出30公分、40公分的两段线段，然后再调整的另外两个断点间的距离使他们的距离成50公分即可。在这个过程中，木匠实际上即用到了平行四边形的判定、矩形的判定，又用到了勾股定理。

2．3宇宙探索

几十年前，有些科学家从天文望远镜中看到火星上有些地区的颜色有些季节性的变化，又看到火星上有运河模样的线条，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。当时还没有宇宙飞船，怎样和这些智慧生物取得联系呢？有人就想到，中国、希腊、埃及处在地球的不同地区，但是他们都很早并且独立的发现了勾股定理。科学家们由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的话，他们也许最早知道勾股定理。火星是否有高度智慧生物？现在已被基本否定，可是人类并没有打消与地球以外生物取得联系的努力，怎样跟他们联系呢？用文字和语言他们都不一定能懂。因此，我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直角三角形。两千年前发现的勾股定理，现在在探索宇宙奥秘的过程中仍然可以发挥作用。

看来，勾股定理不仅仅是数学问题，不仅仅是反映直角三角形三边关系，她已成为人类文明的象征，她已成为人类智慧的标志！她是人们文化素养中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是现代文明人！

3、对勾股定理的一些建议

3．1掌握勾股定理，利用拼图法验证勾股定理；

经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。拼图的过导学生自主探索，合作交流。这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，有效地激发学生的思维积极性。鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识。

3．2发展合情推理的能力，体会数形结合的思想；

了解勾股定理的文化背景．思考在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．教师在进行数学教学活动时，如果只以教材的内容为素材对学生的合情推理能力进行培养，毫无疑问，这样的教学活动能促进学生的合情推理能力的发展，但是，除院校的教育教学活动（以教材内容为素材)以外，还有很多活动也能有效地发展学生的合情推理能力，例如，人们日常生活中经常需要作出判断和推理，许多游戏很多中也隐含着推理的要求，所以，要进一步拓宽发展学生合情推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“合情推理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。

在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究体会数形结合思想，激发探索热情。回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高。

3．3能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，提高数学应用能力；

勾股定理及其逆定理是中学数学中几个重要的定理之一，在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理。所谓逆定理，就是通过定理的结论来推出条件，也就是如果三角形的三边满足a2+b2=c2那么它一定是直角三角形.这个定理很重要，常常用来判断三角形的形状.它体现了由“形”到“数”和由“数”到“形”的数形结合思想.勾股定理在解决三角形的计算、证明和解决实际问题中得到广泛应用，勾股定理的逆定理常与三角形的内角和、三角形的面积等知识综合在一起进行考查.对于初学勾股定理及其逆定理的学生来说，由于知识、方法不熟练，常常出现一些不必要的错误，失分率较高.下面针对具体失误的原因，配合相关习题进行分析、说明其易错点，希望帮助同学们避免错误，走出误区。

4、小结

总体来说，勾股定理的应用非常广泛，了解勾股定理，掌握勾股定理的内容，初步学会用它进行有关的计算、作图和证明。应用主要包括：

1、勾股定理在几何计算和证明的应用：（1）已知直角三角形任两边求第三边。（2）利用勾股定理作图。（3）利用勾股定理证明。（4）供选用例题。

2、在代数中的应用：勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率和宇宙探索。

3、勾股定理在生活中的应用：工程技术人员用的比较多，比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算，设计工程图纸也要用到勾股定理，在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理 物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向…古代也是大多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车、农村盖房，木匠在方地基时就利用了勾股定理。勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为90°）转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2.。利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段长；利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理。

参考文献：

[1]郁祖权．中国古算解题[M]．北京.科学出版社，2004．

[2]周髀算经[M]．文物出版社．1980年3月，据宋代嘉定六年本影印．

[3]杨通刚．勾股定理源与流[J]．中学生理科月刊，1997年Z1期．

[4]张维忠．多元文化下的勾股定理[J]．数学教育学报，2004年04期．

[5]朱哲．基于数学史的数学教育现代化研究[D]．浙江师范大学，2004年．

勾股定理证明方法范文第4篇

【关键词】初中数学；高效课堂

对于勾股定理新授课教学，我做过多角度探讨．紧扣课本，设计最佳环节是我的目标．上好这一课不一定要拓展面积计算的专门理论知识，也不需要高难度构图设计技巧．如果做好课前预备，课堂上的难点突破，重点把握，都可以放手让学生完成．也就是说，在勾股定理新授课堂上，学生并不是也发现了毕达哥拉斯的奇妙图案，就被载上一辆马车奔驰着去藏宝地发掘到一个奇思妙想，最后，赵爽告诉他，想法很好也很对，并送了一个小风筝玩具，往回走时又看了伽菲尔德一个小魔术．我认为，好课堂不一定要做得像是带领学生逛一次迪斯尼乐园一样热闹！

勾股定理是数学的几个重要定理之一．它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系．它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据，在生产生活实际中应用很大．由于勾股定理反映了一个直角三角形三边之间的关系，它也是直角三角形的一条重要性质．同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切的联系起来，因此在理论上也有重要的地位．

勾股定理这节内容，在教材设计中，它贯穿着发现规律、拓展思路、猜想命题、证明定理四个环节．

（1）故事化导入很是耐人寻味，毕达哥拉斯朋友家的地面砖铺图案非常漂亮．无论是几何形状还是色块搭配，它们都已经传承了几千年，可谓厚重的文化底蕴．地板基本上可以看出由两种等腰直角三角形和正方形铺设而成，而且大小多样．所谓：看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理．可以猜想，毕达哥拉斯正好站在中间的那个重要的等腰直角三角形上看四周的色块与图案．再换个位置站着看一下，与它有着同样展示效果的图案原来很多！如果引导教学设计得当，学生也会对踏在脚底下那平常不起眼的地砖图案感兴趣！

（2）接着学生看到网格边看格点正方形，要求计算其中那些斜放着的正方形面积并借此探究那个类似的结论．它所呈现出的新颖大方定会让学生眼前一亮，进而跃跃欲试、兴趣盎然．在知识层面上它与七年级教学内容中的镶嵌的探索与应用是接轨的．除了图形结构认识上的难度略大一点．只要专注于部分与整体的思想就能解决问题（不需要求证斜放的是正方形，更不必刻意要求找出类同赵爽弦图的面积算法，只要能感知它们得正确性和实用就行）．

（3）接着就是猜想命题．它要求学生能用简明扼要的文字概括描述课堂上得到的结论，能分析命题的题设与结论，再画图、写出已知、求证．它在几何的理论学习中是重点，在几何初步知识中是教学难点．

（4）赵爽这位老人，它带来的不只是用来证明定理的弦图．他那独特的构图方法能吸引学生、教师，还有所有喜欢它的人深思．他不仅指导我们做了一个漂亮的纸风筝，而且他所采用的原材料，那套矩形组合模板中的各部件，连同他老人家精湛的手艺深深地引着我们．

若把这些比作一幕舞台剧，则它就是融合古今中外东西方文明的一次大合奏！

在课堂教学实际过程中，本节课教学任务的实施环节部分教学中存在4大难点：

第一，让学生发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

第二，让学生发现图形结构并计算以斜边为边长的正方形面积的方法．

第三，得到猜想命题，赏析赵爽的动态构图和他对于定理的证法思想．

第四，拓广美国总统伽菲尔德以及几何原本中对于此定理的证明方法．

对此，课本的编排意图是：

先让学生发现以直角三两直角边为边长的正方形面积与以斜边为边长的正方形之间的面积关系，走实践出真知的路线并能够作为技术性的缓冲．然后迅速抓住他所带来的存在与特殊直角三角形中的结论──三边关系．

在计算网格中以斜边为边长的正方形面积时把它作为格点正方形，探究它与周边材料构图的方法．以此突破算法技巧并迅速掌握它所带来的存在于边长为任意的直角三角形中的图形结构与数据结构．再以其简洁明快型动态效果图证明勾股定理，借以激发学生的兴趣．

可见，这些难点的突破关系到课堂教学的实质性效果．不仅要使学生自主探索发现事物、认识事物的方法还要培养学生的观察能力和局部与整体的认知能力．

教材编排给读者留下了广阔的思考空间．每个环节独立成段，整个过程又浑然一体．学生在定理的产生、发展、成型的过程中又有了些许的困惑．究其原因在教师用书相关章节中已经提及：勾股定理证明方法很多，这里介绍的是一种面积法，学生以前没见过这种方法，会感到陌生，尤其是觉得不像证明．这主要是因为教科书没有专门将面积的理论，推理的根据造成的．

不难发现：勾股定理的新授课本着从发现到发展并形成猜想命题及证明的严谨治学思想，贯穿着从特殊到一般的捕捉信息、认识事物、从现象到本质的常规治学方法．笔者认为这堂课有必要追根溯源，紧扣直角三角形自身存在的问题：面积算法与斜边长的关系，再从图形结构和数据结构入手，进而归纳猜想，并完成对命题的证明．

我赋予这堂课的主题思想是：“图案与场景及定理”．顾名思义，教学活动将从等腰直角三角形这个最特殊的图案出发，不断探索发现有利于下一步思考或猜想或证实结论的场景进而直逼定理．在这其中又贯穿这两个目标：找到几何表达与数字信息相结合紧密达到完备状态的图案，实现数形结合无处不在的思想．本节课的终极目标是证明直角三角形的三边关系．它无论在几何表达还是在数学描述方面他都要到达一个尖峰．

勾股定理证明方法范文第5篇

【关键词】面积法；证明；几何定理

Application area method certificate several axioms



Yang Dao-liang

【Abstract】In mathematics teaching material in the high school that everyone be familiar with of hang up an axioms and sine axioms be use an area method certificate of, use an area method certificate several some axioms with try simple clear, this text will use an area method certificate 6 several axioms

【Key words】Area method;Certificate;Several axioms

所谓面积法就是用面积相等的关系式推导得出所需结论的方法。大家熟知的中学数学教材中的勾股定理和正弦定理就是用面积法证明的。用面积法证明某些几何定理和试题简单明了，面积法是解决一部分几何定理和试题的有效途径和方法。本文将用面积法推理证明6个几何定理。

（1）等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。

如图1，已知ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C。

证明： 12·AB·BC·Sin∠B

＝12·AC·BC·Sin∠C

Sin∠B＝Sin∠C

∠B＝∠C或者∠B＋∠C＝180°

∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＞0°

∠B＋∠C＝180°不成立，

故∠B＝∠C。

图1

（2）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图2，已知AB∥CD∥EF，求证：AC/CE＝BD/DF。

证明：连结AD、BC、CF和DE，

作DCAE交AE于G，CHBF

交BF于H，则SACD SCDE＝ 12AC·DG12CE·DG

＝ ACCE， SBCD SCDF＝ 12BD·CH12DF·CH＝BDDF ，

又AB∥CD∥EF

SACD＝SBCD，SCDE＝SCDF，

AC/CE＝BD/DF。

图2

（3）三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图3：已知AD是ABC中∠A的平分线，求证：BD/DC＝AB/AC。

证明：作AEBC于E，

BDDC＝ 12AE·BD12AE·DC＝ SABD SACD

＝12AB·AD·Sin∠BAD12AC·AD·Sin∠DAC＝AB AC，

BD/DC＝AB/AC。

图3

（4）同理可证明三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，则这两条线段和相邻的两边对应成比例（证法略）。

（5）三角形重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中心点的距离的两倍。

如图4，已知G是ABC的重心，求证：AGGD = 21， BGGE = 21， CGGF = 21。

图4

证明：SADC＝21SABC＝SBCE

SAGE＝SBDG

作CHAD且交AD于H

又SBDG＝SCGD，SAGE＝SCGE

AGGD＝CH ·AG/2CH ·GD/2＝ SAGCSCGD

＝2·SAGESAGE＝21；

同理可证BGGE＝ 21，CGGF＝21 。

（6）四边形的面积等于二对角线与其夹角正弦的积的一半。

证明：如图5

图5

SABCD＝SABE＋SBCE＋SCDE

＋SADE＝12AE·BE·Sin∠1

＋ 12BE·CE·Sin（180°－∠1）

＋ 12 CE·DE ·Sin∠1＋ 12AE·

DE·Sin（180°－∠1）＝

12AE（BE＋DE）Sin∠1＋ 12CE

（BE＋DE）Sin∠1＝ 12AC·BD·