高中数学竞赛
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高中数学竞赛范文第1篇
三角恒等式与三角不等式
一、基础知识
定义1
角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
定义2
角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。
弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L
，则其弧度数的绝对值|α|=
r
L
,其中r
是圆的半径。
定义3
三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x
轴的正半轴重合，在角的终边上任意取
一个不同于原点的点P
，设它的坐标为（x
,y
），到原点的距离为r,则正弦函数s
in
α=r
y
,余弦函数co
s
α=r
x
,
正切函数tan
α=
x
y
，余切函数cot
α=y
x
，正割函数se
c
α=x
r
,余割函数c
s
c
α=.y
r
定理1
同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan
α=αcot
1,s
in
α=αcsc
1，co
s
α=αsec
1
；
商数关系：tan
α=α
α
αααsin
cos
cot
,cos
sin
=
；
乘积关系：tan
α×co
s
α=s
in
α,cot
α×s
in
α=co
s
α；
平方关系：s
in
2α+co
s
2α=1,
tan
2α+1=se
c
2α,
cot
2α+1=c
s
c
2α.
定理2
诱导公式（Ⅰ）s
in
(α+π)=-s
in
α,
co
s(π+α)=-co
s
α,
tan
(π+α)=tan
α,
cot
(π+α)=cot
α;
（Ⅱ）s
in
(-α)=-s
in
α,
co
s(-α)=co
s
α,
tan
(-α)=-tan
α,
cot
(-α)=cot
α;
（Ⅲ）s
in
(π-α)=s
in
α,
co
s(π-α)=-co
s
α,
tan
=(π-α)=-tan
α,
cot
(π-α)=-cot
α;
（Ⅳ）s
in
???
??-απ2=co
s
α,
co
s
???
??-απ2=s
in
α,
tan
???
??-απ2=cot
α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3
正弦函数的性质，根据图象可得y
=s
inx
（x
∈R
）的性质如下。
单调区间：在区间??
?
??
?+
-
22,2
2πππ
πk
k
上为增函数，在区间??
?
??
?++
πππ
π232,22k
k
上为减函数，
最小正周期：2π.
奇偶性：奇函数
有界性：当且仅当x
=2kx
+2π时，y
取最大值1，当且仅当x
=3k
π-2
π
时,
y
取最小值-1，值域为[-1，1]。
对称性：直线x
=k
π+
2
π
均为其对称轴，点（k
π,
0）均为其对称中心。这里k
∈Z
.
定理4
余弦函数的性质，根据图象可得y
=co
s
x
(x
∈R
)的性质。
单调区间：在区间[2k
π,
2k
π+π]上单调递减，在区间[2k
π-π,
2k
π]上单调递增。
最小正周期：2π。
奇偶性：偶函数。
有界性：当且仅当x
=2k
π时，y
取最大值1；当且仅当x
=2k
π-π时，y
取最小值-1。值域为[-1，1]。
对称性：直线x
=k
π均为其对称轴，点??
?
?
?+
0,2π
πk
均为其对称中心。这里k
∈Z
.
定理5
正切函数的性质：由图象知奇函数y
=tanx
(x
≠k
π+
2π)在开区间(k
π-2π,
k
π+2
π
)上为增函数,
最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k
π，0），（k
π+2
π
，0）均为其对称中心。
定理6
两角和与差的基本关系式：co
s(α±β)=co
s
αco
s
β
s
in
αs
in
β,
s
in
(α±β)=s
in
αco
s
β±co
s
αs
in
β;
tan
(α±β)=
.)
tan
tan
1()
tan
(tan
βαβα
±
两角和与差的变式：2222
sin
sin
cos
cos
sin()sin()αββααβαβ-=-=+-
2222
cos
sin
cos
sin
cos()cos()αββααβαβ-=-=+-
三角和的正切公式：tan
tan
tan
tan
tan
tan
tan()1tan
tan
tan
tan
tan
tan
αβγαβγ
αβγαββγγα
++-++=
---
定理7
和差化积与积化和差公式:
s
in
α+s
in
β=2s
in
???
??+2βαco
s
???
??-2βα,
s
in
α-s
in
β=2s
in
???
??+2βαco
s
???
??-2βα,
co
s
α+co
s
β=2co
s
???
??+2βαco
s
???
??-2βα,
co
s
α-co
s
β=-2s
in
???
??+2βαs
in
???
??-2βα,
s
in
αco
s
β=21[s
in
(α+β)+s
in
(α-β)],
co
s
αs
in
β=21
[s
in
(α+β)-s
in
(α-β)],
co
s
αco
s
β=21[co
s(α+β)+co
s(α-β)],
s
in
αs
in
β=-2
1
[co
s(α+β)-co
s(α-β)].
定理8
二倍角公式：s
in
2α=2s
in
αco
s
α,
co
s2α=co
s
2α-s
in
2α=2co
s
2α-1=1-2s
in
2α,
tan
2α=
.)
tan
1(tan
22αα
-
三倍角公式及变式：3
sin
33sin
4sin
ααα=-，3
cos34cos
3cos
ααα=-
1s
i
n
(60)s
i
n
s
i
n
(60)s
i
n
34α
ααα-+=，1
cos(60)cos
cos(60)cos34
αααα-+=
定理9
半角公式:
s
in
2α=2)cos
1(α-±,
co
s
2
α
=2)cos
1(α+±,
tan
2α=)cos
1()
cos
1(αα+-±=
.sin
)cos
1()
cos
1(sin
αααα-=+
定理10
万能公式:
?
?
?
??+?
??
??=
2tan
12tan
2sin
2ααα,
???
??+???
??-=2tan
12tan
1cos
22ααα,.2tan
12tan
2tan
2???
??-???
??=ααα
定理11
辅助角公式：如果a
,
b
是实数且a
2+b
2≠0，则取始边在x
轴正半轴，终边经过点(a
,
b
)的一个角为β，
则s
in
β=22b
a
b
+,co
s
β=2
2b
a
a
+，对任意的角α.a
s
in
α+bco
s
α=)(22b
a
+s
in
(α+β).
定理12
正弦定理：在任意ABC
中有R
C
c
B
b
A
a
2sin
sin
sin
===，
其中a
,
b
,
c
分别是角A
，B
，C
的对边，R
为ABC
外接圆半径。
定理13
余弦定理：在任意ABC
中有a
2=b
2+c
2-2bco
s
A
，其中a
,b
,c
分别是角A
，B
，C
的对边。
定理14
射影定理：在任意ABC
中有cos
cos
a
b
C
c
B
=+，cos
cos
b
a
C
c
A
=+，cos
cos
c
a
B
b
A
=+
定理15
欧拉定理：在任意ABC
中，2
2
2OI
R
Rr
=-，其中O,I
分别为ABC
的外心和内心。
定理16
面积公式：在任意ABC
中，外接圆半径为R,内切圆半径为r
，半周长2
a
b
c
p
++=
则211sin
2sin
sin
sin
(sin
sin
sin
)224a
abc
S
ah
ab
C
rp
R
A
B
C
rR
A
B
C
R
=
=====++
222
1)(c
o
t
c
o
t
c
o
t
)4
c
a
A
b
B
c
C
==++
定理17
与ABC
三个内角有关的公式：
（1）sin
sin
sin
4cos
cos
cos
;222
A
B
C
A
B
C
++=
（2）cos
cos
cos
14sin
sin
sin
;222
A
B
C
A
B
C
++=+
（3）tan
tan
tan
tan
tan
tan
;A
B
C
A
B
C
++=
（4）tan
tan
tan
tan
tan
tan
1;222222
A
B
B
C
C
A
++=
（5）cot
cot
cot
cot
cot
cot
1;A
B
B
C
C
A
++=
（6）sin
2sin
2sin
24sin
sin
sin
.A
B
C
A
B
C
++=
定理18
图象之间的关系：y
=s
inx
的图象经上下平移得y
=s
inx
+k
的图象；经左右平移得y
=s
in
(x
+?)的图象（相位
变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的
ω
1
，得到y
=s
in
x
ω(0>ω)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A
倍，得到y
=A
s
inx
的图象（振幅变换）；y
=A
s
in
(ωx
+?)(ω>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A
倍，得到y
=A
s
inx
的图象（振幅变换）；y
=A
s
in
(ωx
+?)(ω,
?>0)(|A
|
叫作振幅)的图象向右平移ω
?
个单位得到y
=A
s
in
ωx
的图象。
定义4
函数y
=s
inx
?
?
???-∈2,2ππx
的反函数叫反正弦函数，记作y
=a
r
c
s
inx
(x
∈[-1,
1])，
函数y
=co
s
x
(x
∈[0,
π])
的反函数叫反余弦函数，记作y
=a
r
cco
s
x
(x
∈[-1,
1]).
函数y
=tanx
?
??
?
?-
∈2,2ππx
的反函数叫反正切函数。记作y
=a
r
ctanx
(x
∈[-∞,
+∞]).
函数y
=co
t
x
(x
∈[0,
π])的反函数称为反余切函数，记作y
=a
r
ccotx
(x
∈[-∞,
+∞]).
定理19
三角方程的解集，如果a
∈(-1,1)，方程s
inx
=a
的解集是{x
|x
=n
π+(-1)n
a
r
c
s
ina
,
n
∈Z
}。
方程co
s
x
=a
的解集是{x
|x
=2kx
±a
r
cco
s
a
,
k
∈Z
}.
如果a
∈R
，方程tanx
=a
的解集是{x
|x
=k
π+a
r
ctana
,
k
∈Z
}。
恒等式：a
r
c
s
ina
+a
r
cco
s
a
=
2π；a
r
ctana
+a
r
ccota
=2
π.
定理20
若干有用的不等式：
（1）若???
?
?∈2,
0πx
，则s
inx
（2）函数sin
x
y
x
=在(0,)π上为减函数；函数tan
x
y
x
=在(0,)2
π
上为增函数。
（3）嵌入不等式：设A+B+C=π，则对任意的x,y,z
∈R
，
有2
2
2
2cos
2cos
2cos
x
y
z
yz
A
xz
B
xy
C
++≥++
等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.
二、方法与例题
1．结合图象解题。
例1
求方程s
inx
=lg
|x
|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y
=s
inx
与y
=lg
|x
|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2
设x
∈(0,
π),
试比较co
s(s
inx
)与s
in
(co
s
x
)的大小。
【解】
若??
?
?
??∈ππ,2x
，则-1所以s
in
(co
s
x
)
≤0,又02x
π?
?
∈
??
?
，则因为s
inx
+co
s
x
=2s
in
(x
+
4π)≤2π，
所以co
s(s
inx
)>co
s(
2
π
-co
s
x
)=s
in
(co
s
x
).
综上，当x
∈(0,π)时，总有co
s(s
inx
)3．最小正周期的确定。
例3
求函数y
=s
in
(2co
s|x
|)的最小正周期。
【解】
因为co
s(-x
)=co
s
x
，所以cos
|x
|=co
s
x,
所以T
=2π是函数的周期；
4．三角最值问题。
例4
已知函数y
=s
inx
+x
2cos
1+，求函数的最大值与最小值。
【解法一】
令s
inx
=???
??≤≤=
+ππ
θθ4304
sin
2cos
1,cos
22
x
,
则有y
=).4
sin(2sin
2cos
2π
θθθ+
=+
因为
ππ
4304≤≤，所以ππθπ≤+≤42，所以)4
sin(0π
θ+≤≤1，
所以当πθ43=，即x
=2k
π-2π(k
∈Z
)时，y
m
in
=0，当4πθ=，即x
=2k
π+2
π
(k
∈Z
)时，y
m
ax
=2.
【解法二】
因为y
=s
inx
+)cos
1(sin
2cos
1222
x
x
x
++≤
+=2（因为(a
+b
)2≤2(a
2+b
2)），
且|s
inx|≤1≤x
2cos
1+，所以0≤s
inx
+x
2cos
1+≤2，
所以当x
2cos
1+=s
inx
，即x
=2k
π+2
π
(k
∈Z
)时,
y
m
ax
=2，
当x
2cos
1+=-s
inx
，即x
=2k
π-2
π
(k
∈Z
)时,
y
m
in
=0。
5．换元法的使用。
例5
求x
x
x
x
y
cos
sin
1cos
sin
++=
的值域。
【解】
设t
=s
inx
+co
s
x
=).4sin(2cos
22sin
222π+=???
?
??+x
x
x
因为,1)4
sin(1≤+
≤-π
x
所以.22≤≤-t
又因为t
2
=1+2s
inxco
s
x
,所以s
inxco
s
x
=212-t
，所以2
1121
2-=+-=t
t
x
y
，所以
.212212-≤≤--y
因为t
≠-1，所以121-≠-t
，所以y
≠-1.所以函数值域为.212,11,212??
?
??--???-+-∈
y
6．图象变换：y
=s
inx
(x
∈R
)与y
=A
s
in
(ωx
+?)(A
,
ω,
?>0).
例6
已知f
(x
)=s
in
(ωx
+?)(ω>0,
0≤?≤π)是R
上的偶函数，其图象关于点???
??0,43πM
对称，且在区间??
?
???2,0π上是单调函数，求?和ω的值。
【解】
由f
(x
)是偶函数，所以f
(-x
)=f
(x
)，所以s
in
(ωx+?)=s
in
(-ωx
+?)，
所以co
s
?s
inx
=0，对任意x
∈R
成立。又0≤?≤π，解得?=2
π
，
因为f
(x
)图象关于??
?
??0,43πM
对称，所以)43()43(x
f
x
f
++-ππ=0。
取x
=0，得)4
3(πf
=0，所以sin
.024
3=???
??+πωπ
所以243ππωπ+=k
(k
∈Z
)，即ω=32(2k
+1)
(k
∈Z
).
又ω>0，取k
=0时，此时f
(x
)=sin
(2x
+
2π)在[0，2
π
]上是减函数；
取k
=1时，ω=2，此时f
(x
)=sin
(2x
+2π)在[0，2
π
]上是减函数；
取k
=2时，ω≥310，此时f
(x
)=sin
(ωx
+2π)在[0，2
π
]上不是单调函数，
综上，ω=3
2
或2。
7．三角公式的应用。
例7
已知sin
(α-β)=
135，sin
(α+β)=-
135，且α-β∈???
??ππ,2，α+β∈??
?
??ππ2,23，求sin
2α,cos
2β的值。
【解】
因为α-β∈??
?
??ππ,2，所以cos
(α-β)=-.1312)(sin
12
-=--βα
又因为α+β∈??
?
??ππ2,23，所以cos
(α+β)=.1312)(sin
12=+-βα
所以sin
2α=sin
[(α+β)+(α-β)]=sin
(α+β)cos
(α-β)+cos
(α+β)sin
(α-β)=169
120
,
cos
2β=cos
[(α+β)-(α-β)]=cos
(α+β)cos
(α-β)+sin
(α+β)sin
(α-β)=-1.
例8
已知ABC
的三个内角A
，B
，C
成等差数列，且B
C
A
cos
2cos
1cos
1-=+，试求2
cos
C
A
-的值。
【解】
因为A
=1200-C
，所以cos
2
C
A
-=cos
(600-C
)，
又由于)
120cos(cos
cos
)120cos(cos
1)120cos(1cos
1cos
10
00C
C
C
C
C
C
C
A
-+-=+-=+
=
222
1)2120cos()
60cos(2)]2120cos(120[cos
21)60cos(60cos
2000000-=---=-+-C
C
C
C
，
所以232
cos
22cos
242--+-C
A
C
A
=0。解得222cos
=-C
A
或8232cos
-=-C
A。
又2
cos
C
A
->0，所以222cos
=-C
A。
例9
求证：tan
20?+4cos
70?
【解】
tan
20?+4cos
70?=??20cos
20sin
+4sin
20?
?
??+=+=20cos
40sin
220sin
20cos
20cos
20sin
420sin
?
???+=++=20
cos
40sin
10cos
30sin
220cos
40sin
40sin
20sin
.320cos
20cos
60sin
220cos
40sin
80sin
==+=?
?
例10
证明：7
cos77cos521cos335cos
64cos
x
x
x
x
x
+++=
分析：等号左边涉及角7x
、5x
、3x
、x
右边仅涉及角x
，可将左边各项逐步转化为x
sin
、
x
cos
的表达式，但相对较繁.
观察到右边的次数较高，可尝试降次.
证明：因为,cos
33cos
cos
4,cos
3cos
43cos
3
3
x
x
x
x
x
x
+=-=所以
从而有x
x
x
x
x
226cos
9cos
3cos
63cos
cos
16++=
=
)2cos
1(2
9
)2cos
4(cos
326cos
1x
x
x
x
+++++
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos
20cos
2cos
30cos
4cos
12cos
6cos
2cos
64,
2cos
992cos
64cos
66cos
1cos
327
6+++=+++++=
.
cos
353cos
215cos
77cos
cos
20cos
153cos
153cos
65cos
65cos
7cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+++=++++++=
评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷.
另本题也可利用复数求解.
令
77)1
(cos
128,,1cos
2,sin
cos
z
z
z
z
i
z
+=+=+=αααα从而则，展开即可.
例11
已知.
20012tan
2sec
:,2001tan
1tan
1=+=-+αααα求证
证明：)4tan()22
sin()22cos(12cos
2sin
12tan
2sec
απαπαπ
αααα+=++-=+=+.
2001tan
1tan
1=-+=αα.2001tan
1tan
1=-+=
αα
例12
证明：对任一自然数n
及任意实数m
n
k
m
x
k
,,,2,1,0(2
=≠
π为任一整数），
有
.2cot
cot
2sin
14sin
12sin
1x
x
x
x
x
n
n
-=+++
思路分析：本题左边为n
项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多
中间项.
证明：,2cot
cot
2sin
2cos
cos
sin
2cos
22sin
2cos
cos
22sin
122x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-=-=-=
同理
x
x
x
4cot
2cot
4sin
1-=
……
x
x
x
n
n
n
2cot
2cot
2sin
11-=-
评述：①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.
②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：
n
n
n
n
-=
-+++α
α
ααααααtan
tan
tan
)1tan(3tan
2tan
2tan
tan
.
1cot
1cos
89
cos
88cos
12cos
1cos
11cos
0cos
1.
2cot
2cot
2tan
22tan
22tan
2tan
1122=+++-=++++++ααααααn
n
n
n
例13
设ABC
?的内角A
B
C
,,所对的边,,a
b
c
成等比数列，则
sin
cot
cos
sin
cot
cos
A
C
A
B
C
B
++
的取值范围是（
）
A.
(0,)+∞
B.
C.
D.
)+∞
[解]
设,,a
b
c
的公比为q
，则2,b
aq
c
aq
==，而sin
cot
cos
sin
cos
cos
sin
sin
cot
cos
sin
cos
cos
sin
A
C
A
A
C
A
C
B
C
B
B
C
B
C
++=
++
sin()sin()sin
sin()sin()sin
A
C
B
B
b
q
B
C
A
A
a
ππ+-=
====+-．
因此，只需求q
的取值范围．
因,,a
b
c
成等比数列，最大边只能是a
或c
，因此,,a
b
c
要构成三角形的三边，必需且只需a
b
c
+>且
b
c
a
+>．即有不等式组
22,a
aq
aq
aq
aq
a
?+>??+>??即22
10,10.q
q
q
q
?--解得q
q
q
q
，因此所求的取值范围是．故选C
例14
ABC
内接于单位圆，三个内角A
、B
、C
的平分线延长后分别交此圆于A
1、B
1、C
1，
则C
B
A
C
CC
B
BB
A
AA
sin
sin
sin
2cos
2cos
2cos
111++?+?+?的值为（
）
A
．2
B
．4
C
．6
D
．8
解：如图，连BA
1，则AA
1=2sin(B+
)2
2cos(2)222sin(2)2C
B
C
B
C
B
A
A
-=-+++=
)2
cos(2cos
2cos
2cos
)22cos(22cos
1C
B
C
A
C
B
A
A
C
B
A
AA
-=-++-+=-=π
,sin
sin
)2cos(B
C
B
+=-+π
同理,sin
sin
2cos
1C
A
B
BB
+=,sin
sin
2
cos
1B
A
C
CC
+=
),sin
sin
(sin
22cos
2cos
2cos
111C
B
A
C
CC
B
BB
A
AA
++=++原式=.2sin
sin
sin
)
sin
sin
(sin
2=++++C
B
A
C
B
A
选A.
例15
若对所有实数x
，均有sin
sin
cos
cos
cos
2k
k
k
x
kx
x
kx
x
?+?=，则k
=（
）.
A
、6；
B
、5；
C
、4；
D
、3．
解：记()s
i
n
s
i
n
c
o
s
c
o
s
c
o
s
2
k
k
k
f
x
x
k
x
x
k
x
x
=?+?
-
，则由条件，()f
x
恒为0，取2
x
π
=，得
()s
i
n
12k
k
π=-，则k
为奇数，设21k
n
=-，上式成为sin
12n
ππ?
?-=-
???，因此n
为偶数，令2n
m
=，则
41k
m
=-，故选择支中只有3k
=满足题意．故选D
例16
已知()()
2222212f
x
x
a
b
x
a
ab
b
=++-++-是偶函数，则函数图象与y
轴交点的纵坐标的最大值是
A
B.
2
C.
解：由已知条件可知，2
2
10a
b
+-=，函数图象与y
轴交点的纵坐标为2
2
2a
ab
b
+-。令,s
cos
in
b
a
θθ==
，
则2222
2sin
cos
sin
cos
2sin
2c
s
2o
a
ab
b
θθθθθθ+=+=--+≤
选
A。
例17
已知,R
αβ∈，直线
1sin
sin
sin
cos
x
y
αβαβ+=++与1cos
sin
cos
cos
x
y
αβαβ
+=++
的交点在直线y
x
=-上，则cos
sin
c
in
s
s
o
ααββ+++=。
解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)x
x
-，且,in
s
s
co
αα为方程
00
1sin
cos
x
x
t
t
ββ
-+=++，
的两个根，即为方程2
0sin
c
(cos
)sin
os
(cos
)i
0s
n
t
t
x
ββββββ-++-=+的两个根。
因此cos
(sin
sin
cos
)ααββ+=-+，即cos
sin
c
in
s
s
o
ααββ+++=0。
1
、＝。
2、已知函数)45
41(2)cos()sin()(≤≤+-=
x
x
πx
πx
x
f
，则f
(x
)的最小值为_____。
3、已知
3sin
)2sin(=+αβα，且),(2
,21Z
k
n
n
k
∈+≠+≠π
πβαπβ。则
ββαtan
)tan(+的值是_
__.
4、设函数f
(x
)=3sin
x
+2cos
x
+1。若实数a
、b
、c
使得af
(x
)+bf
(x
?c
)=1对任意实数x
恒成立，则a
c
b
cos
=
5、设0)cos
1(2
θθ
+的最大值。
6、求证：.112tan
312tan
18tan
18tan
3=++
7、已知a
0=1,
a
n
1
n
-(n
∈N
+)，求证：a
n
>
2
2+n
π
.
8、已知.
cos
sin
)tan(:,1||),sin(sin
A
A
A
-=+>+=ββ
βαβαα求证
9、若A
，B
，C
为ABC
三个内角，试求s
inA
+s
inB
+s
inC
的最大值。
10、证明：.2
sin
21sin
)2sin()sin()2sin()sin(sin
β
ββαβαβαβαα++
=
+++++++n
n
n
11、已知α，β为锐角，且x
·（α+β-2π
）>0，求证：.2sin
cos
sin
cos
?
??+?
??x
x
αββα
12、求证：①16
1
78cos
66cos
42cos
6cos
=
②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.10641(45?
实战演练答案
1、解：根据题意要求，2
605x
x
+≥+，2
0571x
x
+≤+≤。于是有2
715x
x
+=+。因此
cos01==。因此答案为
1。
2、解：实际上)4541(2
)4sin(2)(≤≤+-=x
x
π
πx
x
f
，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x
ππx
x
g
，则g
(x
)≥0，g
(x
)在]43,41[上是增函数，在]4
5
,43[上是减函数，且y
=g
(x
)的图像关于直线43=x
对称，则对任意]43,41[1∈x
，存在
]45,43[2∈x
，使g
(x
2)=g
(x
1)。于是)(2)(2)(2)()(22
212111x
f
x
x
g
x
x
g
x
x
g
x
f
=+≥+=+=，而f
(x
)在]45,43[上是减
函数，所以554)4
5
()(=
≥f
x
f
，即f
(x
)在]4
5
,41[上的最小值是554。
3、解：
.213131sin
)2sin(1sin
)2sin(]sin
)2[sin(21]
sin
)2[sin(21
sin
)cos(cos
)sin(tan
)tan(=-+=-+++=-+++=?+?+=+α
βααβααβααβαβββαββαb
a
4、解：令c=π，则对任意的x
∈R
，都有f
(x
)+f
(x
?c
)=2，于是取2
1
==b
a
，c=π，则对任意的x
∈R
，af
(x
)+bf
(x
?c
)=1，
由此得1cos
-=a
c
b。
一般地，由题设可得1)sin(13)(++=?x
x
f
，1)sin(13)(+-+=-c
x
c
x
f
?，其中20π2
tan
=?，
于是af
(x
)+bf
(x
?c
)=1可化为1)sin(13)sin(13=++-+++b
a
c
x
b
x
a
??，即
0)1()cos(sin
13cos
)sin(13)sin(13=-+++-+++b
a
x
c
b
c
x
b
x
a
???，
所以0)1()cos(sin
13)sin()cos
(13=-+++-++b
a
x
c
b
x
c
b
a
??。
由已知条件，上式对任意x
∈R
恒成立，故必有??
?
??=-+==+)3(01)2(0
sin
)1(0cos
b
a
c
b
c
b
a
，
若b
=0，则由(1)知a
=0，显然不满足(3)式，故b
≠0。所以，由(2)知sin
c
=0，故c=2k
π+π或c=2k
π(k
∈Z
)。当
c=2k
π时，cos
c
=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2k
π+π(k
∈Z
)，cos
c
=?1。由(1)、(3)知21
=
=b
a
，所以1cos
-=a
c
b。
5、【解】因为020π
θ
，所以s
in
2θ>0,
co
s
2
θ>0.
所以s
in
2θ（1+co
s
θ）=2s
in
2θ·co
s
22
θ
=2cos
2cos
2sin
22222θθ
θ???
≤3
22232cos
2cos
2sin
22??
???
?
?θθθ=.9342716=
当且仅当2s
in
2
2θ=co
s
22θ,
即tan
2θ=22,
θ=2a
r
ctan
22时，s
in
2
θ
(1+co
s
θ)取得最大值934。
6、思路分析：等式左边同时出现
12tan
18tan
、
12tan
18tan
+，联想到公式β
αβ
αβαtan
tan
1tan
tan
)tan(-+=+.
证明：
12tan
312tan
18tan
18tan
3++
112tan
18tan
)12tan
18tan
1)(1218tan(312tan
18tan
)12tan
18(tan
3=+-+?=++=
112tan
18tan
)12tan
18tan
1)(1218tan(312tan
18tan
)12tan
18(tan
3=+-+?=++=
1
18tan(3
t
18(tan
3=+?=+=
评述：本题方法具有一定的普遍性.
仿此可证)43tan
1()2tan
1)(1tan
1(
+++22
2)44tan
1(=+
等.
7、【证明】
由题设知a
n
>0，令a
n
=tana
n
,
a
n
∈??
?
??2,
0π，
则a
n
=
.tan
2tan
sin
cos
1tan
1sec
tan
1tan
111
1111
12n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
==-=-=
-+-------
因为21-n
a
，a
n
∈???
??2,0π，所以a
n
=121-n
a
，所以a
n
=.210a
n
??
?
??
又因为a
0=tana
1=1，所以a
0=4π，所以n
n
a
??
?
??=21·4π。
又因为当0时，tanx
>x
，所以.2
2tan
22++>=n
n
n
a
ππ
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x
∈??
?
??2,
0π时，有tanx
>x
>s
inx
，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。
8、分析：条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A
”入手.
证法1：
),sin(sin
βαα+=A
),sin()sin(βαββα+=-+A
),
cos(sin
))(cos
sin(),sin(sin
)cos(cos
)sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A
A
cos
sin
)tan(,0)cos(,0cos
,1||A
A
A
-=+≠+≠->βββαβαβ从而
cos
sin
)tan(,0)cos(,0cos
,1||A
A
A
-=+≠+≠->βββαβαβ从而
cos
sin
)tan(,
0)cos(,
0cos
,
1||A
A
A
-=+≠+≠->βββαβαβ从而
.
cos
sin
)tan(,0)cos(,0cos
,
1||A
A
A
-=+≠+≠->βββαβαβ从而
证法2：αβαβββαβααββββsin
)sin(cos
sin
)sin()sin(sin
cos
sin
sin
sin
-++=+-=-A
).
tan(sin
)cos(sin
)sin(])sin[()sin(cos
sin
)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin
)cos(sin
)sin(])sin[()sin(cos
sin
)sin(βαββαβ
βαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin
)cos(sin
)sin(])sin[()sin(cos
sin
)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=
9、【解】
因为s
inA
+s
inB
=2s
in
2B
A
+co
s
2sin
22B
A
B
A
+≤-,
①
s
inC
+s
in
2
3sin
22
3cos
2
3sin
23
π
π
π
π
+≤-+=C
C
C
,
②
又因为3
sin
24
3cos
43sin
22
3sin
2
sin
ππ
π
π
≤-
-++
++=+++C
B
A
C
B
A
C
B
A
，③
由①，②，③得s
inA
+s
inB
+s
inC
+s
in
3π≤4s
in
3
π
,
所以s
inA
+s
inB
+s
inC
≤3s
in
3π=233,当A
=B
=C
=3
π
时，（s
inA
+s
inB
+s
inC
）m
ax
=233.
注：三角函数的有界性、|s
inx
|≤1、|co
s
x
|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调
性等是解三角最值的常用手段。
10、证明：)],2
cos()2[cos(212sin
sin
βαβαβ
α--+-=
)]sin()2sin()sin([sin
2
sin
,,
)]2
1
2cos()212[cos(212sin
)sin(,
)]2
3
cos()25[cos(212sin
)2sin()],2cos()23[cos(212sin
)sin(βαβαβααβ
βαβαββαβαβαββαβ
αβαβ
βαn
n
n
n
+++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+
各项相加得类似地
.2
1
sin
)2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n
n
n
.
2
1sin
)2sin()]
2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--+
+-=n
n
n
所以，.2
sin
21
sin
)2sin()sin()sin(sin
βββαβαβαα++=+++++n
n
n
评述：①类似地，有.2
sin
)2cos(21sin
)cos()cos(cos
β
βαββαβααn
n
n
++=
+++++
②利用上述公式可快速证明下列各式：2sin
21
cos
2sin
cos
3cos
2cos
cos
θ
θθθθθθ+=++++n
n
n
.21
97cos
95cos
93cos
9cos
.2
1
75cos
73cos
9cos
等=+++=++ππ
πππππ.
2197cos
95cos
93cos
9cos
.
2
175cos
73cos
9
cos
等=+++=++πππππππ
11、【证明】
若α+β>2π，则x
>0，由α>2π-β>0得co
s
απ-β)=s
in
β,所以0又s
in
α>s
in
(2π-β)=co
s
β,
所以0β
sin
cos
0,所以βαsin
cos
>1。
又0β
sin
cos
>1，
所以2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
=???
?
?+?
??x
，得证。
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
12、证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°
54cos
78cos
42cos
?
.
16154cos
4)183cos(4154cos
478cos
42cos
18cos
=?==
.16154cos
4)183cos(4154cos
478cos
42cos
18cos
=?==
.16
154cos
4)
183cos(4154cos
478cos
42cos
18cos
=?=
=
②sin1°sin2°sin3°…sin89°
=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°
=4
387sin
6sin
3sin
)41(29?
60sin
30sin
)87sin
33sin
27(sin
)66sin
54sin
6)(sin
63sin
57sin
3(sin
3)4
1
(30=
45)54sin
36)(sin
63sin
27)(sin
72sin
18)(sin
18sin
9(sin
3)41(81sin
18sin
9sin
3)41(4040???=??=
45sin
)54sin
36)(sin
63sin
27)(sin
72sin
18)(sin
18sin
9(sin
3)41(81
sin
18sin
9sin
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高中数学竞赛范文第2篇
一思新教材内容
新教材内容总体偏多，部分内容的编排不尽合理，新课程包括5个必修模块和4个选修系列，5个必修模块基本涵盖了以往课程的内容，而这4个选修系列中不仅涉及了以往课程内容，大部分都是以往课程中没有的。2009年，江苏省教育厅提出“五严规定”，严格执行国家课程计划，严格控制学生在校集中学习时间，在总的教学时间不增反减的情况下，教学内容偏多和教学时数之间的矛盾日益突出。笔者根据这六年的实验教学经验认为可以删除一些内容。
1.孤立的知识点。删除后不影响高中数学整体逻辑结构，对学生发展也不会产生太大的影响。如矩阵与变换、统计案例在高中阶段现有的知识与时间限制下，难以完成完整的内容，只能进行机械性操作。
2.重叠的内容。如三视图与初中阶段学习重叠，流程图与算法中的程序框图本质上是相通的，也与信息技术课程重叠。
3.蜻蜓点水式的内容。如定积分，高中阶段课时太少难以讲解清楚，大学将系统学习，属非主干的内容，删除后不影响整个高中数学的学习。
但是，另一方面考虑到规模日益扩大的高校自主招生考试与数学竞赛，在相关章节可以链接引申一些内容，如函数的凸凹性、反函数、函数及数列极限的定义（免得一些高校对大一新生单开江苏补习班）、复数的三角形式与指数形式、重要不等式（柯西不等式、排序不等式）、圆锥曲线的光学性质、随机变量的概率、均值与方差等。（这些内容对绝大多数学生是不作要求的。）
二思新教材的顺序、衔接与进度
1.新教材的顺序
（1）整体模块的顺序
新教材模块化设置及以螺旋上升的方式安排知识，不少章节内容和顺序被打乱，知识的逻辑链条被人为割断。如将“解三角形”与“数列”、“不等式”这些数学知识和思想方法没有内在联系的内容捆绑在一起，安排在必修5中，显然属典型的人为制造的知识割裂现象。在必修2《平面解析几何初步》中列出了有关空间直角坐标系的内容，不仅与章节名称不符，而且这里的空间直角坐标系与理科的选修2―1中“空间中的向量与立体几何”相关内容相隔太远，可调整到选修2―1。而文科后面压根就没有涉及空间直角坐标系的相关内容，因此文科这部分内容干脆删掉！新教材将解一元二次不等式与简单的线性规划、均值不等式集中在一起安排在必修5，使得重点与难点过于集中（一元二次不等式、数学5中的等差数列、等比数列、基本不等式等内容均属C级要求），而且还造成相关知识的割裂。
关于必修模块顺序设置，《普通高中数学课程标准（实验稿）》（下称《标准》）中指出：“数学1是数学2、数学3、数学4和数学5的基础，对其余4个模块的顺序未作原则上要求，在不影响相关联系和知识准备的条件下，学校可以根据具体实际情况进行安排。”（一般以地级市为单位统一安排，便于期中期末统考。）
笔者认为：数学2中综合了立体几何与解析几何两大块内容，高一学生难以接受，数学3中概念性的知识太多，算法等新增内容也比较陌生，所以考虑把这两个模块移后教学。而数学4中的三角函数，学生在学完数学1的函数后，比较容易接受三角函数的知识，因为三角函数也是一类特殊的函数，从一般到特殊，学生比较容易接受，而三角变换与三角函数又有密切的联系，所以先学数学4中的三角函数与三角变换，其中的平面向量置后到与数学2的直线与圆一起学习，因为它们同属平面几何，也便于用向量的观点研究平行与垂直这两种特殊而重要的位置关系。原来平面向量放在三角恒等变换之前不过是用平面向量证明两角差的余弦公式。
数学的内在联系以及六年两轮的教学经验，都证明了1、4、5、2顺序的相对合理性，而数学3算法语言相对独立，顺序放置有一定的自由度。但一般放在高二上学期，这样可以与信息技术课程及考试同步（高二上学期12月份的最后一个周末举行信息技术考试）。然而，目前流行的几种模块顺序，在教学中都有其可能产生困难的地方。例如，1、2、3、4、5的顺序会导致第一学期安排的内容偏多偏难；解析几何分在两处，距离时间太长；没有任意角的三角函数，讲解立体几何和直线方程有困难。1、4、5、2、3和1、4、5、3、2，1、3、4、5、2的顺序会导致：未学数学2中的线直程，学习数学5中的线性规划内容就有困难。上述讨论表明，无论怎样排列都会出现矛盾，我们要“挖根”，要从《标准》上解决问题，消除模块化结构的负面影响，重新调整模块的顺序和内容，使模块顺序与内容相对协调。另外文科与理科内容应保持相对的统一性、协调性。因此建议选修1-1、l-2与选修2-1、2-2内容上应完全一致，只是教学要求不同。
（2）个别教学内容的顺序调整
例如，在模块1中学习集合之后，我们把模块5中的一元二次不等式移到这里教学，但是并非全章照搬，只介绍几类简单的不等式的解法，目的是只有学了常用的几类不等式的解法之后，才可以解决许多集合问题及函数定义域的问题。不然有的学生初中没有学，在这时就会遇到困难．也有的学校组织编写了从初中到高中的衔接教材，对这方面的内容加以补充。再如为了分散数学5“数列与不等式”的难点，也考虑到线性规划与直线的关联性，可以将数学5不等式中线性规划穿插到数学2“直线与圆”中学。
2.新教材的衔接
高中课程内容与顺序的安排要考虑与初中和大学的衔接，要兼顾初中、大学的学习，更要关注学生自身的终身发展。
（1）初高中教学内容的衔接
在教材内容上，由于初中的课程标准与高中接轨不严密，导致有些知识脱节。如初中没有介绍一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，乘法公式的学习仅局限于平方差公式与完全平方公式，减少了立方和差、三数和的平方、两数和与差的立方等公式。根式的学习中，也缺少了分母（子）有理化等研究，二元二次方程组的解法，十字相乘法分解因式等知识和方法没有学，平面几何中更是减少了许多内容，如平行线截线段成比例定理、三角形四“心”、圆中的垂径定理及切割线定理等等，而这些内容高中经常用到，内容出现脱节，衔接不上。有些相同内容称谓不一致，如三视图，初中称主视图、左视图，高中则称正视图、侧视图。
（2）初高中教学方式的衔接
初中由于内容较少，难度较低，一般学校大都采取“课前预习――课上展示――课后作业”的山东杜郎口教学模式，教学较为轻松愉快。但与初中相比，高中数学内容多、难度大、节奏快、注重逻辑思维和分析理解，一些学校教师很少用新课标倡导的教学方式，除非上级检查或是上各类公开课、评优课，初高中的教学方式不能很好地衔接，使得学生在刚进入高中阶段的学习显得比较吃力。
（3）高中与其他学科知识的衔接
部分高中数学内容与其他学科知识衔接不好。一方面，其他科目用到的数学知识，数学没有学到，例如，高一上学期物理（必修）力的分解问题，涉及到数学中的三角函数，而三角函数问题在高一下（必修4）才会学到。物体做匀加速直线运动的位移公式s=v0t+1/2at2中加速度a的数学意义a=v′（t）不理解，因为导数未学到。另一方面，数学用到其他科目的知识，其他科目还没有学到，例如数学4“三角函数”在讲函数y=Asin（?棕x+?渍）的图像时，提到物理中的简谐运动、交流电等都与物理课程不同步。
（4）高中与大学的衔接
大学与高中数学的衔接脱节更为严重，主要的表现有以下情况：（1）两头不管：对高中未学知识（函数与数列的极限），大学教材的编著者误以为是高中的必修内容，在自己的教材中未予补充，从而造成了大学和高中两头不管的结果。（2）前后不一致：对同一内容，高中和大学的表述、名称或符号等不一致。
3.新教材的进度
现在有些地方为了高三有更多的总复习时间，高一高二的教学进度太快，尤其是高一每学期要学两本书，学生刚刚从初中升入高中，进度、难度骤然大增，思维方式、学习方式骤然改变，学生很不适应，很难很好地衔接，“水过地皮湿”，造成很多“夹生饭”。还有的地方高二过早文理分科，造成文科“肤皮蹭痒磨洋工”，理科“紧锣密鼓赶进度”。个别学校或教师垂青于过程华丽泡沫，片面追求短期利益，高三一轮复习偏快，高三上学期就早早地结束了一轮复习，没有到边到沿、稳扎稳打、步步为营，为二三轮的复习埋下隐患。这些做法都给整个高中数学的学习造成很大的被动！这需要调整高中三年教学的整体进度，严格执行课程计划，不能提前分科！
三思新教材与“三考”
1.新教材与高考
高考的目的有两个：一是为高校选拔人才，二是对高中教学的导向与评价。高考的目的决定了其性质是一种常模参照性考试，即将个人考试分数与参考人员全体作比较，报告个人在全体中的相对位置。江苏高考现行的模式就是“大圆套小圆”，4C1合格是大圆，选修1B1C是小圆，语数外达线是更小的圆，而数学就是这个更小的圆的圆心！因为在这种高考模式下，“成也数学败也数学”，“得数学者得天下”已成广泛的共识！
那么作为一线的数学教育者我们首先只能适应高考，一方面我们要把握好教材进度，注意与初中的衔接，夯实基础，文理分科不宜过早，高三不要急功近利，要稳扎稳打、步步为营；另一方面在基础年级不要动辄搬上高考题，美其名曰“瞄准高考”，孰不知高考题是到高三毕业时学生才能达到的水平（较基础的题目除外），平时多加强定时训练，只有“平时高考化”的严格规范，才能获得“高考平时化”的淡然与从容。另一方面我们也要通过各种正常渠道向命题者反映中学教学的呼声，使他们的命题以纲为纲、以本为本，多多调研中学教学，一切从实际出发。
2.新教材与大学自主招生考试
一张高考试卷，重点大学、普通本科院校、专科学校都靠它招生，这样的试卷要具有各方面的兼容性，同时也有很大的局限性。大学自主招生便应运而生，然而大学自主招生，没有传统的考纲与模式，命题有很大“自由度”。这给学生带来很大的烦恼，无法作应试准备。
自主招生考试以中学教育中的知识板块为基础，但范围更为宽泛；自主招生考试注重考查学生综合运用知识的能力，通过这个层面来了解考生的学术潜力；因此，需要帮助学生对中学阶段的知识进行系统梳理，作合理、有效的深化和拓展，对特殊的技能和技巧加以总结、研究，从而对考生给予指导和点拨。可以在新教材相关章节链接引申一些内容，如函数的凸凹性、反函数、函数与数列极限定义、复数的三角形式与指数形式、重要不等式（柯西不等式、排序不等式）、圆锥曲线的光学性质、随机变量的概率均值与方差等。
指导学生参加高校自主招生考试要从高一开始，不能靠高三突击，还要注意以下问题：自主招生考试要高于高考，低于竞赛；以高考中档题为起点，避开竞赛的技巧性，关注自主招生命题的创新性；着力于思维的发展，通性通法的运用，数学本质的揭示；避免繁杂的计算训练，寻求简洁优化的解法；不求面面俱到，只求突出核心内容；既关注高中阶段基础内容，也关注与高等数学衔接内容。
3.新教材与数学竞赛
数学竞赛虽然在高考中不加分，但一流高校对获奖者很是情有独钟，可以参加其自主招生，或者干脆直接保送上大学，因此一些生源较好的中学对数学竞赛尤为重视，但大多学校存在一个误区，就是到高三才搞竞赛，事实上高一高二才是基础与关键。2010年我校数学竞赛获得了较好的成绩就得益于我们从高一就物色竞赛苗子，有针对性地辅导育苗，这是其一。其次，在新教材系统深入学习的基础上，学校要配备专职的奥数教练员，毕竟数学竞赛有其独立的竞赛大纲与竞赛教程。教练员可以创造性地开展工作，如组织“每周一题”、“有奖攻擂”活动，成立数学兴趣小组，自主学习、合作交流与教练指导相结合，鼓励学生研读与数学竞赛有关的专业报刊杂志，大胆撰写数学小论文等等；最后还要争取学生家长的支持，利用节假日积极参加省市官方组织的数学竞赛培训，如夏令营、冬令营，因为这需要一定的经济支出。
另外数学竞赛不要孤立于高中教材的教学与大学自主招生考试之外，数学竞赛的辅导最好做到高考、大学自主招生与数学竞赛“一石三鸟”。
综合考虑新教材的内容、顺序衔接与进度以及新教材与“三考”，高中数学课程内容与顺序可大致安排如上表。
说明：1.数学1―数学5是指重组后的必修模块，而不是原课标模块；2.A类课程为文科类、理科类参加高考的学生设置，B类课程为文科类、理科类参加高考、大学自主招生考试的学生设置，C类课程为文科类、理科类参加高考、大学自主招生考试、数学竞赛的学生设置。
没有破茧的阵痛，就没有化蝶的精彩！任何改革都有痛苦，数学新课程改革也不例外。痛定思痛，我们既要锐意改革，又要冷静“三思”，更要思而后行！使新教材更好地为数学教育教学服务，使我们的数学新课程改革尽快开花结果！
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）.北京：人民教育出版社，2003.
高中数学竞赛范文第3篇
身边总有人问：你儿子这么优秀，你是怎么培养的？其实，用我儿子的话说，他不过是个普通得不能再普通的菜鸟。如果非要说有什么经验，我觉得就是在他的中小学阶段，我针对他的自身情况，扬长避短，让他走出了一条适合他自己的道路而已。
了解儿子，我走了一步险棋
2005年，15岁的儿子张小林考进了南开中学理科实验班。
自从考进天津市这所最棒的中学后，他每天放学回家都兴奋地给我讲班里的见闻：谁谁中考时总分差两分满分，谁谁已经通过了英语托福考试，谁谁的钢琴已经达到了八级……语气里充满由衷的佩服和自愧弗如的羞惭。我静静听着，一边为儿子有这么多出色的同学而高兴，一边暗想：在这个优秀的新集体中，如何帮助儿子展示出他的优势，绽放出他独特的光彩呢？
很快机会来了。开学一周后，老师通知大家要进行摸底考试，并让大家报名竞聘班干部和课代表。儿子争强好胜，况且他向来是“数学王子”——以前获得过天津市初中数学联赛一等奖，中考时更是以119分的好成绩成为当年天津市的数学冠军。这个理科尖子生，热切地想在新集体中展示自己，得到老师和同学们的肯定和欣赏。
我的儿子我了解。张小林喜欢戴高帽，别人一表扬就上劲儿，但是他不是一个越挫越勇的人。在小学和初中阶段，老师一直反映他坐不住、贪玩，而他的各科成绩也就是中等而已。也许在学校挨的批评太多，无形中他形成了差生心理：平时考试只要不是倒数就很泰然，常说的一句话是：还有谁谁在我后面呢！我们当父母的听了非常痛心。我知道我儿子并不差，他天资聪颖，学习时非常专注，只是好动、粗心、懒散而已。现在他上高中了，最好有个小职务来约束他，让他在老师和同学的肯定中严格要求自己，阳光灿烂地开始高中生活，所以我比儿子更希望他能当上数学课代表。
但我低估了天性和习惯的力量。生性粗心大意、懒散贪玩的张小林，从小学到初中，考得最好的两次就是小升初和中考，他的平时成绩都是中等。所以，进入高中后的这第一场考试，虽然他自以为认真地检查了多遍，但成绩还是让人沮丧——全班45人，他的总分是全班第33名；数学平均分75分，他考了76分。数学课代表自然与他失之交臂。
这次考试让儿子大受打击，此后几天他一直情绪低落，连打篮球都懒洋洋的。同时，我发现，晚上该学习的时间他都在玩电脑游戏，起初说他他还关机，后来他似乎在其中找到了不可替代的乐趣，每天吃完晚饭后干脆躲在自己房间里，自顾自地沉醉在虚拟的网络世界里。
我好说歹说都不起作用，看他整晚沉浸在电脑游戏中，我非常着急。我想，我必须帮他找到学习的乐趣和自豪感，否则，他会被电脑游戏毁掉的！
要想帮助儿子找到学习的乐趣，就必须了解他学习上的长处。我总结了一下，发现儿子的优点是：理性思维好，有短时间内快速掌握知识的能力，解难题时优势明显，关键性大考不掉链子，沉着冷静；缺点是自控能力差，贪玩，粗心。
分析了儿子的优缺点后，我想不妨先强化孩子的理科，让他先在这些学科上脱颖而出，找回自信，然后带动其他学科。孩子在摸底考试中受到打击，以为自己不是学习的好材料，才有了放弃学习的想法。现在，他需要一个有更高难度的考试来证明自己的实力。
正好一周后全区有个高一、高二年级的数学学科竞赛，难度相当于全国“希望杯”中学数学竞赛难度，而20天后天津市还有一个高中数学联赛预赛。这让我眼前一亮。
我故作轻松地对正忙着玩电脑游戏的儿子说，就像跳水比赛，咱挑难度系数高的参加吧，参加高二数学竞赛和高中数学联赛。我当时是这样想的：挑难的考，考好了是意外惊喜，考砸了也有理由，避免他因为失败再受打击。
儿子其实是心智成熟晚的孩子，听我这么一说，惊疑地停下游戏，问：“妈，你没病吧？就我？”
尽管我心里没底，但依然用充满信心的语气坚定地说：“对，妈看好你，你一定能行！今晚你赶快做完作业，咱们各做半套高一和高二的数学‘希望杯’竞赛题就知道了。”
这是一步险棋，我是利用了孩子在大事上对我的一贯信任！
言之凿凿，我赢得了儿子的信任
记得张小林在小学四年级时，我托人把他从普通小学转到市重点小学。虽然在转学考试中他成绩不错，但普通学校和重点学校的教学水平差距在短期内还是凸显出来，比如数学，他在原来学校只学过课本内容，而重点小学却从小学一年级开始就同时学习一本数学发散思维方面的课外教材。
怎样帮孩子尽快缩小和新同学之间的差距？我还没来得及想出解决问题的办法，就被告知：下个礼拜六将有一场全区的小红花数学学科竞赛预赛，为增大参赛基数，老师建议同学们都参加。班主任询问后发现，全班只有我儿子一个是从没上过课外辅导班的。
全区进复赛名额有50个，我当然希望儿子能进复赛。但是临时找老师辅导已经来不及了，我仔细研究了近几年天津市小红花数学学科竞赛的试题难度和类型，然后去书店挑了一本竞赛教材。次日是星期六，早上八点，我叫醒儿子，用鼓动性的语气说：“儿子，快起来，咱们用这两天的时间做完这本竞赛教材，你肯定能进入复赛！”
10岁的孩子，正处在容易相信妈妈话的年龄。那两天，他真的除了吃饭睡觉，就是乖乖地和我一起看书做题：每一章节，我们都一起看例题，看书中讲解的方法，然后趴在床上消灭课后习题。基本上，不等我抄完下道题，他已经做完了上道题。每做完一章，我们都击掌庆贺。看到自己攻克了一道道难关，听到妈妈的由衷赞美，儿子学得十分开心。
两天时间，他真的顺利吃掉了整本竞赛教材。结果他的预赛成绩全区第一，并获得特等奖。在此后的天津市小红花数学学科竞赛中，他以满分成绩获得了一等奖。
就这样，我以这种系统突击学习的方式，以一本合适的课外教材为老师，不但快速帮助儿子补齐了和新同学的差距，还让儿子一下子树立了强大的信心。
通过这次实践，儿子对我的预言深信不疑。
从小学四年级到六年级，他又连续4次获得天津市本年级和高一年级的数学学科竞赛一等奖，被学校老师和同学们称为“数学大王”。
儿子再次被我的预言说中，是在2005年的春天。他那时上初三。因为他不喜欢化学，每次考试化学成绩都在六七十分徘徊，我很着急，化学老师也因此多次找我。在化学老师再一次找我之后，我决定动员儿子参加三天后的全区化学竞赛预赛——我是想以这种方式，促使儿子在短时间内把所学的化学知识复习一遍。
但是儿子坚决不干，说自己化学基础差，而且预赛马上就到了，时间太紧。我黔驴技穷，只好妥协，并装出很有把握的样子告诉他：“这样吧，你只要把我挑出的20道题认真做了，我保证你能进复赛！”
20道题，题量不大，孩子想了想觉得能接受，就勉强答应了。但是为了挑这20道题，我翻了多本教材，用尽了心思。结果几天后，儿子高兴地告诉我：“妈，你真是个预言家！”他以全区第二名的成绩进入复赛。从那以后他对化学兴趣大增，成绩自然水涨船高。而我换来的是，儿子对我的顶礼膜拜和对我的预言深信不疑。
所以此次看我言之凿凿，他可以入围高二数学竞赛和天津市高中数学联赛预赛，儿子爽快答应，打完这局游戏就做题。
接连夺冠，儿子一路洒满阳光
让儿子选择高年级竞赛，我的设想是有现实基础的。像其他孩子一样，儿子中考后的那个暑假，也是在课外辅导班中度过的。不同的是，我给他报的班是名师讲授的高三复习班——高三复习班是从高一第一章第一节开始学习的，而且有各种深化内容的小综合专题。儿子性格中有种不畏难、喜欢挑战的特性，他的学习热情空前高涨，在这个几乎全部来自天津知名重点学校的高三学生中，他每次做题都是第一，频频得到老师的表扬。短短一个暑假，他就学完了高二上学期的全部内容。
这天晚上，做完文科作业，还不到晚上9点。儿子去洗了个澡，然后郑重地坐在灯下，开始做高二年级往届的“希望杯”竞赛题。谢天谢地，我看到前面的题，儿子几乎都是在秒杀。40分钟后，他做完并检查了考试时间为120分钟的整套试卷。几乎满分！我和儿子击掌庆贺。那一刻，我们都有点百感交集。
基于以往的经验，我知道要打赢一场竞赛，必须选一本适合的教材。现在教辅书鱼目混珠，如何分辨？我在网上搜索大量的相关信息，从数学吧到竞赛高手的博客，最后功夫不负有心人，我搜到一本高中数学《奥赛兵法》。这本书被往届参加数学竞赛的高手称之为“武功秘籍”。
为了让儿子多点时间准备竞赛，我去学校和他的数学、物理老师沟通，得到了儿子可以暂时不做这两门功课的作业的允许。
从这天起，每天放学回家儿子都先玩一小会儿游戏，然后写校内作业，这之后就专注地自学《奥赛兵法》，一天两章，雷打不动。
每完成一章，儿子都会给我一个大大的拥抱，疲惫的脸上洋溢着快乐。我则会在他所学的章节目录前画上小红花，签上日期，和他一起分析此章中哪几道题解法精妙，并做上标注；他较薄弱的知识点，我也都一一记着，在闲聊时提醒他，起到复习作用。就这样，儿子每天进步一点点，顽强向前。
一周后，高一年级的张小林在全区高二年级的数学竞赛中成绩高居榜首，一时名声大振。
儿子大受鼓舞，满怀信心地迎接了不久之后的全市高中数学联赛预赛。那些日子，每天他在灯下飞速做题，一杯杯地喝咖啡，疲乏至极，放下书本，躺在床上瞬间入睡——我为孩子的坚忍而感动，也为他的进步和成长而欣慰。
在高中联赛预赛中，儿子顺利进入复赛。2005年10月，在进入高中一个月后，在和天津市高二、高三学长的激烈竞争中，他过五关斩六将，最终获得天津市高中数学联赛一等奖，取得了名牌大学的保送资格，并成为他们学校历史上第一个高一就拿到高中联赛一等奖的学生。
2006年10月，进入高二的儿子再次获得天津市高中数学联赛一等奖，并以高一时参加高中数学联赛的方法，把高中阶段的物理学习顺利学完，在和高二、高三学长的激烈竞争中，获得2006年天津市高中物理竞赛一等奖。
省市级高中数学、物理竞赛一等奖，是含金量很高的奖项。而高中阶段，就能获得省市级高中数学、物理一等奖的，天津市不过两三人。正是这样的成绩，使儿子提前接到了清华大学的录取通知书，并成为天津市保送生中唯一免笔试、免面试的学生。
进入清华大学后，儿子再次迎来新的机遇。世界著名科学家、图灵奖（相当于计算机界诺贝尔奖）得主姚期智先生亲自出题、面试，从当年清华大学所有新生中进行挑选，组建“软件科学实验班”，后更名为“计算机科学实验班”，这个班也被清华师生亲切地称为“姚班”。“姚班”只有30人，致力于培养具有与麻省理工大学、斯坦福大学同等水平的世界顶尖计算机科学人才。
高中数学竞赛范文第4篇
一、有良好的学习兴趣
两千多年前孔子说过:“知之者不如好之者,好之者不如乐之者。”意思说,干一件事,知道它,了解它不如爱好它,爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意学,喜欢学,这就是兴趣。兴趣是最好的老师,有兴趣才能产生爱好,爱好它就要去实践它,达到乐在其中,有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数学学习中,我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程,这自然会变为立志学好数学,成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢?
1.课前预习,对所学知识产生疑问,产生好奇心。
2.听课中要配合老师讲课,满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中的疑问,把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐。及时回答老师的课堂提问,培养思考与老师的同步性,提高学习兴趣,把老师对你的提问的评价,变为鞭策学习的动力。
3.思考问题注意归纳,挖掘你学习的潜力。
4.听课中注意老师讲解时的数学思想,多问为什么要这样思考,这样的方法是怎样产生的?
5.把概念回归到自然中。所有学科都是从实际问题中产生归纳的,数学概念也应回归于现实生活,如角的概念、直角坐标系的产生、极坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能使对概念的理解切实可靠,在应用概念判断、推理时会准确。
二、建立良好的学习数学习惯
习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯,会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是:多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间,以便加宽知识面和培养自己再学习的能力。
高中数学竞赛范文第5篇
关键词：高中数学 学科特点 学习方法
数学是一门最能够体现一个人的逻辑思维能力、综合判断能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力的学科，同时数学也直接影响着我们国民的生活质量与基本素养。良好的数学修养将会为我们的人生奠定稳固的基础。所以在中学学习阶段，对数学的学习显得格外重要。
一、高中数学的学科特点
1.高度的抽象性
所谓抽象就是在思想中分出事物的一些属性和联系而撇开另一些属性和联系的过程。[1]利用抽象的特点，我们可以除去很多不重要的因素，抽取事物的本质特征，并且用“纯粹”的方式单独地研究它们，由此来发现事物的发展规律。高中数学首先以其研究的基本内容的高度抽象性来反映其抽象性的特点。由于高中数学高度的抽象性这一特点，在平时的教学中，必须要以发展中学生的抽象能力作为突破口，从具体的事物中提炼出数量关系和空间形式，把实际问题转化成数学抽象问题，从中来培养学生的空间想象能力与抽象能力。初中数学主要是通过形象、通俗的语言来表述的，但是高中数学却充斥着大量的函数语言、集合符号语言以及图像语言，大大增加了数学的抽象性。
2.严密的逻辑性
在高中教学中，逻辑的严密性表现为思考过程中严格的逻辑规律，研究问题的时候必须要准确、严密。数学是严密逻辑性的学科，其根本特点之一就是思维的严密性。可是，由于高中学生的心理特点和对待问题的认知水平不同，他们处理和思考问题的过程中，思维并不严密，常常出现概念模糊、推理错误等等现象。初中数学中很多题目都有统一的解题模式，但是高中数学却在解题方法上灵活多变，思维方式有了很大的改变，在逻辑思考过程中要求更加严密。
3.应用的广泛性
在平时的工作、生活以及日常生产过程中，普遍存在着数量关系和空间形式，数学都具有广泛的应用。随着信息技术的发展，数学已经与各行各业产生了紧密联系。从卫星到核电站，从天气预报到家用电器，新技术的高精度、高速度、高自动、高安全、高质量、高效率等特点，无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算控制来实现的。[2]从一定意义上来说，信息技术就是数学技术，信息技术的发展也依赖着数学技术的进步。
二、高中数学的学习方法
1.培养良好的学习兴趣
教育学家乌申斯基曾经说过：“没有丝毫兴趣的强制学习，将会扼杀学生探求真理的欲望”。兴趣是最好的老师，有了兴趣才能对学习投入百分百的主动和积极性。对于学习高中数学，喜欢它的人就要比不喜欢它的人更容易接受，而且在学习的过程中更容易收获到快乐。如何让中学生对数学产生浓厚的兴趣呢，主要从以下几个方面：课前预习，对遇到的问题产生疑问，引发自身的好奇心；在上课的过程中，带着预习产生的疑问，配合老师的教学，特别是在老师提问的时候，保持高度的同步性，并且把老师的提问当成一次有效的锻炼，不断鞭策自己，时刻保持上课时候的兴奋感与紧迫感；注意归纳总结，得出自己的结论观点，挖掘自身潜力；遇到不懂的，多提问题，在提问解惑的过程中，领悟知识；把抽象的数学理论知识回归于现实生活，切实理解所学的数学概念、解题思路。
2.建立良好的学习习惯
习惯是经过长时间重复练习而养成的不易改变的生活方式。建立良好的学习高中数学习惯，将会让学生在学习的过程中不会杂乱无章，反而秩序井然并且轻松快乐。学习高中数学的良好习惯应该是：善于提问、勤于思考、乐于动手、注重归纳、擅长运用。中学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。[3]同时，还要保证一定的空余时间来自学，拓宽自身的知识面，培养自学能力。
3.合理规划学习内容与目标
由于高考的压力，高中时期的学习更为紧张而忙碌，每个学生都要投入大量的时间与精力，如果没有一个合理的规划，很多学生都会因为盲目而无从下手，最终大致成绩上不去。要想成绩得到迅速进步，就要根据自身情况制定一个合理的、可行的、长远的学习计划以及学习目标。今天要掌握哪些内容、下次考试成绩要达到什么样的水平，等等。除此之外，还要规划好自己的学习时间，利用好上课时间以及课余时间，同时也要保证一定的空余时间，以作出合理的微调。
4.锻炼自己各方面的数学能力
数学能力包括逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力等五大能力。[4]初中数学主要是靠多多练习，而高中数学则要求学生要有领悟能力。在日常的学习和生活中，可以经常参加一些数学竞赛、智力游戏等学习实践活动，在活动过程中，学生一定要全身心的投入其中。同时也要注意观察身边的事物，通过抽象实体、推理分析，锻炼自身的学习理解能力，时刻注意培养各方面的数学能力，最终达到各方面的数学能力全面发展。
三、结语
数学是美的，它的美体现在高度的抽象性、严密的逻辑性、应用的广泛性。正因为的它的美，很多人都想把学好。特别是在中学阶段，高中数学又有着它独特的学习方式。只有掌握了正确的学习高中数学的方法，才能将数学应用自如。
参考文献：
[1]黄翠松，放大数学学科特点，提升实践探究能力――新课改下高中数学探究性教学策略运用[J].考试周刊，2011（48）：21
[2]周景明，数学教育要回归数学学科特点[J].内蒙古教育，2013（3）：29
