抛物线的标准方程

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抛物线的标准方程范文第1篇

关键词：抛物线；翻转课堂；教学设计

一、研究背景及意义

圆锥曲线是高中课程的重要内容，抛物线是圆锥曲线之一，与之前学习的椭圆与双曲线相比相对比较复杂。此外，抛物线在初中阶段学习一元二次函数的时候接触过，学习者很可能将抛物线错误地定义为“二次函数的图像”。因此，如何更好地讲解《抛物线及其标准方程》显得尤为重要。

总结前人[1][2][3]所做的研究可以发现对于抛物线的教学设计研究者大都是在传统课堂的基础上进行的。《抛物线及其标准方程》这一节内容难度较大，整节内容需要学生充分理解和掌握的知识点比较多。因此，仅利用课堂上45分钟时间，学生很难真正掌握这部分内容。

翻转课堂是教学流程变革所带来的，教学环节包括课前、课中、课后三个主要教学环节以及评价、诊断两个辅助教学环节[4]。利用“翻转课堂”进行《抛物线及其标准方程》教学。

通过课前，课中，课后这三阶段的教学，学生可以分步骤掌握这部分内容；另外，可以反复观看视频加深对内容的理解程度。这样可以达到分解知识内化的难度，增加知识内化的次数，从而有利于促进学习者更好的获得知识。因此，在翻转课堂的教学模式下研究抛物线及其标准方程是具有一定意义的。

二、教学案例

（一）教材分析

《抛物线及其标准方程》是选修2-1的第二章《圆锥曲线与方程》。教材内容的顺序是：曲线与方程-椭圆―双曲线―抛物线。可以减少了学生的认知障碍。

（二）学情分析

学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识。并且对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识。

（三）教学目标

（1）动手实践，体验抛物线的形成过程从中抽象出抛物线的几何特征；（2）掌握抛物线的定义和标准方程；（3）进一步感受类比，数形结合的重要思想方法；（4）感受抛物线的广泛应用与文化价值，体会数学美。

（四）教学重难点

教学重点：1.掌握抛物线的定义与相关概念；2.掌握抛物线的标准方程。

教学难点：1.从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义；2.建立合适的坐标轴求解抛物线的解析式。

（五）教学过程

1.课前教学过程的设计（问题引导，观看视频）

（1）问题引人，温故知新。

教师活动1：思考以下几个问题：？做出函数 的图象。？求到点F（0，2）与直线l： 距离相等的点的轨迹方程，并作出其图象。

设计意图：激发学生的学习兴趣。

教师活动2：根据学生的回答，对以上问题进行总结，并且提出新问题：我们可不可以把抛物线定义为二次函数的图像呢？为什么？

设计意图：纠正学生头脑中“抛物线就是二次函数的图像”这一错误观念。

（2）动手操作，探究新知。

教师活动3：提问：那么抛物线到底是如何形成的呢？播放微视频（首先呈现生活中的抛物线，接着演示抛物线的形成过程，并给出操作步骤）。

设计意图：调动学生的学习兴趣，提高他们的动手实践能力。

教师活动4：提出问题：1.在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？哪些动了？2.在作图过程中，绳长，|AP|，|PF|，|CP|中，哪些量没有变？哪些量变了？

设计意图：引导学生发现抛物线的几何特征。

教师活动6：提出问题：试着给抛物线下个定义。

2.课中教学设计：（继续探究，小组讨论，观看视频）

（1）类比迁移，自主探究。

教师活动1：给出抛物线的定义。提问：类比之前学过的椭圆以及双曲线，试着选择合适的坐标系并求解抛物线的方程？

学生活动1：学生自己选择建系方式，并求出对应的抛物线方程，然后小组讨论，选出最佳建系方式，并求出其相应的抛物线方程。

教师活动2：播放微视频（总结学生可能会想到的三种建系策略，并用以前学习的二元一次函数图像的平移来解释选择坐标系的原因。）

设计意图：培养学生用类比法解决问题的能力；体现学生的主体地位。

教师活动3：思考：椭圆与双曲线各有两种标准方程，抛物线有几种呢？并思考原因。

学生活动3：小组讨论。并汇报各小组探究的结果。

教师活动4：思考抛物线的标准方程与其焦点坐标与准线方程的关系。

设计意图：加快解题速度。

（2）课堂作业，学以致用。

教师活动5：例1：？抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标与准线方程；

？一直抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。

（3）学生总结，教师提炼。

教师活动6：要求学生回忆本节课的教学，鼓励学生进行总结。对学生的小结进行补充。

3.课后教学设计（问题探究，拓展知识）

拓展作业：

初中我们已经知道对于一元二次方程y=ax2+bx+c的图像是抛物线，a影响其开口方向和开口大小，类比a对一元二次方程y=ax2+bx+c的图像的影响试着研究对于抛物线y2=2px，p对抛物线的影响。

设计意图：将课堂的数学探究活动延伸到课外，使学生进一步体会类比思想方法对于数学研究中的意义。

三、小结

《抛物线及其标准方程》整节内容需要学生充分理解和掌握的知识点比较多。传统课堂的45分钟显然不能使学生完全理解掌握全部知识点。因此，本节课笔者采用翻转课堂。课前，学生通过反复观看微视频进行深入的思考，并在老师的引导下，体会抛物线的基本特征，最后给抛物线下定义；课中，讨论与交流建系策略以及标准方程，通过观点的相互碰撞深化学生的认知。课后，布置相应的探究题，拓宽学生的思维。这样学生可以分阶段分步骤掌握这部分内容；另外，可以反复观看视频加深对内容的理解程度。这样可以达到分解知识内化的难度，增加知识内化的次数，从而有利于促进学习者更好的获得知识。

参考文献：

[1]刘为宏，赵瑜.《抛物线及其标准方程》教学新设计[J].中学数学研究，2013（5）：27-32

[2]武湛.《抛物线及其标准方程》教学实录与反思[J].福建中学数学，2015（12）：26-18

抛物线的标准方程范文第2篇

一、引思――训练思维的流畅性

师：请同学们思考两个问题：

1、我们对抛物线已有了哪些认识？

2、二次函数的图像抛物线的开口方向是什么？

生：在初中数学中，抛物线是二次函数的图象；在二次函数中研究的抛物线，有开口向上或向下两种情形。

师：（通过课件展示图片）实际上，在生活中存在着各种形式的抛物线，随处可见。比如绽放的烟花、结实的拱桥、美丽的彩虹、探照灯的轴截面等，还有一些运动形成的抛物线，投篮运动、抛球运动等形成的轨迹都是抛物线，说明抛物线在实际生活中无处不在，那么今天我们就对于抛物线进一步研究，体会抛物线的美妙。

通过图片的展示，使学生切实感受到了现实生活中确实存在许许多多的抛物线，这样真实的感受让学生能够认识到学习抛物线的现实意义和必要性，为学生下面进行积极的思维奠定了良好的基础。

师：下面我们来看抛物线可以怎样画出（演示抛物线的形成），请同学们仔细观察画图的过程，给出抛物线的定义。

生：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

师：（再引导）由前面椭圆、双曲线的学习我们可以知道这里的定点及定直线通常叫做什么？

生：定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。

评述 课堂上对定义的教学，一般都是老师讲，学生被动听，这种被动的学习方式扼杀了学生思维的积极性和主动性，难以焕发出思维的活力，更谈不上学生的积极参与，他们在认识上只是依赖浅层次的策略。引导学生积极思维，得要让学生有直观的认知，具备一定的基础知识，以达到训练思维的流畅性。

二、顺思――训练思维的层次性

师：为了能够顺利的对抛物线进行研究学习，并研究与抛物线相关的问题，下面我们来求出抛物线的标准方程。这实际是求曲线方程的问题，首先要考虑求曲线方程轨迹的基本步骤是什么？

生：①、建立直角坐标系，设动点为(x,y)；②、写出适合条件的x,y的集合；③、列方程f(x,y)=0；④、化最简（并注明条件）；⑤、证明（常常省去）。

师：那我们现在遇到的第一个问题就是如何适当的建立坐标系，使求出的抛物线标准方程最简呢？设焦点到准线的距离为常数P(P>0)。

生：取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，准线为y轴。

师：很好！这是我们的一般方法，但是回想在初中学习的二次函数图象的顶点在坐标原点时，二次函数的表达式才是最简的，由此可以想象取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，垂足为K，线段KF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，所得方程更为简单。（展示了思维的层次性）

在这里，老师将学生的习惯思维和原有的知识作以对比，引导学生通过不同的角度思考问题，有助于学生思维层次的提高，考虑问题显得更加细致周到。

师：下面我们就进行推导，

如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设动点M的坐标为（x，y） ，由抛物线的定义可知，化简得此处推导简洁到位，同时对于旧知识也进行了复习，处理得当。

师：我们再按照最先想到的做法进行推导，与前面的结论作以对比。

如图，若以准线所在直线为y轴，则焦点F(P,0),准线L:x=0由抛物线的定义，可导出抛物线方程为比较之下，显然方程 更为简单。

此处让学生动手实践，通过自主对比找出最简结果，通过这样的体验能够加深学生对结果的理解认识，并再次熟练了推导的过程，培养了学生探索的精神。

评述 通过从不同的角度对问题进行深入的思考，先产生一个直觉上的认识，再进行实践，对比结果发现最优结果，增强知识的系统性，对相关问题进行联系。同时，让学生对所考虑的问题进行自主研究，从而使思维达到一个较高的层次。

三、延思――训练思维的变通性

师：我们所推导的方程

叫做抛物线的标准方程。其中 p 为正常数，它的几何意义是：焦点到准线的距离。

方程 表示的抛物线，其焦点位于X轴的正半轴上，其准线垂直于X轴的负半轴，即焦点为准线为。

但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。请同学们思考抛物线的标准方程还有哪些形式? 其它形式的抛物线的焦点与准线呢？（鼓励与激发全班同学参与）

一石激起千层浪，此处的提问使学生又一次的展开了思维，在考虑到各种情形后，进入到对方程的研究，学生自然的想到能否利用前面的结果加以解决，这样的变化让学生的思维也发生了一些变通。

师：大家已经想到了还有开口方向朝左、朝上和朝下几种情形（展示抛物线的各种形式），我们先来考虑开口朝左的情形。请问大家从图象上观察与朝右的情形有什么联系？

生：（急切的回答）关于y轴对称！

师：那对于方程的研究有什么帮助呢？

生：（脱口而出）图象关于y轴对称，即图象上的点是关于y轴对称，而关于

y轴对称的点横坐标相反，纵坐标不变！故开口朝左的方程为

师：很好！大家的思维非常棒！看来同学们是用形与数的关系解决的，那么对于开口朝上的又如何考虑呢？能否用刚才的办法呢？（激发学生的思维）

生：（对比图象之后）开口朝上的图象可以看作是将开口朝右的图象按照逆时针方向旋转90°而得到的！

师：观察得很好！可是我们并没有学习过旋转变化呀！那么能不能把这个旋转变化归于我们学习过的对称变化呢？请大家再观察。（进一步激发学生的思维）

生：由于是逆时针方向旋转的了90°，因此可以看作是关于直线对称！

师：非常好！那么我们的问题就可以得到解决了！具体如何给出方程呢？

生：关于直线对称的两点互换了横纵坐标，因此将开口朝右的方程中的x、y互换位置即可！即方程为。（展示了思维的灵活性）

师：分析的非常到位，那最后一种情形很容易就可以给出结果了！我们一起来完成下面的表格，巩固知识。

通过引导和提问，使学生积极的思维，自主观察研究解决问题，提高了思维的变通性，激发了学生的学习热情！

师：想一想，怎样把抛物线的位置特征(标准位置）和方程特征（标准方程）统一起来？以便我们记忆！

生：从开口方向来看可分为上下型和左右型；上下型x带平方，左右型y带平方；朝负方向带负号，朝正方向则不带！

师：很好！通过这样的统一归类，我们记忆起来就更加的容易了！

通过归类研究，培养了学生提炼知识的能力，养成了学生总结的习惯。

评述 这部分内容是本节课的重点，在教学的处理上也是难度比较大的，直白的给出使学生接受时比较困难，也不利于以后的记忆和应用，通过一系列的引导，使学生充分的参与进来，积极的思考，在高效的学习过程中，不知不觉中提高了学生思维的变通性，能够应对不断变化的问题，使知识的反馈面更加广泛，知识的综合运用性更加深化，达到了训练学生思维变通性的目的。同时，利用旧方法，通过迁移解决新问题，极大的提高了学生的能力，这正是高考考察的重点！

四、反思――训练思维的深刻性

知识点学习结束，不能看成是相应的数学活动终结，也不能意味着学生真正的掌握了知识，还要通过具体的问题对知识加以深化和巩固。

师：下面我们通过具体例子深化对抛物线方程及相关量的认识并巩固之。

例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程

师：若已知抛物线的标准方程，求其焦点坐标和准线方程；或是已知焦点坐标和准线方程，求其抛物线的标准方程，应该注意什么呢？（训练思维的深刻性）

生：“先定位，后定量”。

师：很好！我们先研究形的特点，然后再结合所学知识，解决相应的问题，这样一来，思路就能够十分流畅，而且还增强了严谨性。下面再通过一个例子来感受“先定位，后定量”。

例3：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。

分析：由点在第二象限，结合图形知抛物线开口有朝上和朝左两种情形。

解:(1)设抛物线的标准方程为

师：下面我们来看两道高考题，希望同学们以最快的速度给出结果！（训练思维的敏捷性）

练习:(2003• 天津卷) 抛物线的准线方程是y=2 则a的值为

（A） （B） （C）8 （D）-8

思考:(2000 • 全国卷)过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p、q则 等于

（A） 2a （B） （C） 4a（D）

生：练习中先将方程化为标准式，可知选B。

生：思考中同样先将方程化为标准式，再由直线的任意性，可取垂直于对称轴的直线加以计算，可知选 C。

师：非常好！说明我们对知识有了一个系统的掌握，希望在课后再加强练习以巩固本节课所学的知识点。

评述 通过反思，可以认识到训练思维品质的重要性，要使学生的思维具有严谨性、深刻性、灵活性、发散性、敏捷性，教师必须把课堂作为训练学生思维的主要阵地，让课堂焕发出思维的活力！

抛物线的标准方程范文第3篇

关键词：探究学习；小组合作；问题意识

探究学习可以增加学生对数学的理性认识，加深对数学问题的理性思考，有助于培养数学思维意识. 本文从分析“抛物线及其标准方程”一节教学实录出发，充分体现学生数学思维的培养，体现学生在当今课堂中的主体地位.

1.创设情境，导入新课

活动一：

师：在初中我们学习过二次函数的图象就是抛物线.请同学们思考一下，生活当中，有没有抛物线的的影子呢？请大家举例.（学生思考片刻后，回答踊跃）

生1：拱桥、彩虹.

生2：投篮所形成的弧线.

师：很好，大家举的例子都符合.

（课件展示图片（大桥、彩虹、喷泉、投篮）和Flas：投篮运动，并配以优美的音乐）.

师：这节课我们将从曲线和方程的角度来学习抛物线.（引出本节课题：抛物线及其标准方程）.

【设计意图】通过创设情境，激发学生的学习兴趣，感受数学来源于生活.

2.问题引导，共探新知

活动二：

师：课前让大家思考了教材64页“信息技术应用”中提出的问题.（用ppt展示）

已知：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂

直平分线交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？

师：请同学们仔细观察！（利用几何画板演示画图过程）

（学生观察画图过程，积极思考并讨论）

师：谁来谈谈自己的看法？

生4：点M随着H的运动，始终有|MH|=|MF|.也就是点M与定点F和定直线的距离相等.

生5：点M的轨迹是抛物线.

师：很好，你们观察得很仔细，值得称赞.（学生鼓掌）请同学们尝试一下，给抛物线下个定义.

生5：到点 F 的距离和到直线L 的距离相等的点的轨迹叫做物线.

师：这样归纳完整吗？

生6：平面内到一个定点F 和到一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做物线.

生7：还要注意定点不能在定直线上.

师：为什么啊？

生8：如果这样，就只能找到一个点.

师：我们继续来思考：若定点F恰好在定直线上，轨迹会是什么图形？（学生积极思考，相互讨论）

生8：当定点F在定直线上时，满足条件的点的轨迹是一条直线.

生9：且是过点F垂直于直线的一条直线.

师：大家觉得这两名同学的想法可以统一吗？（大家七嘴八舌，观点基本一致）

师：说得很好！这里F 叫做物线的焦点，定直线L 叫做物线的准线.（教师板书：抛物线的定义：把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.）

【设计意图】首先利用几何画板动画演示抛物线的生成过程，可以起到化解难点作用.其次经历了一次让学生自行归纳、完善定义的过程，使他们对抛物线的定义有更准确的把握，印象更为深刻，同时也锻炼了学生类比、归纳总结的能力.

活动三：

师：了解了抛物线的定义，接下来我们最想知道的就是抛物线的方程了，那么如何求抛物线的方程呢？

师：请同学们回想一下，之前我们学过的求曲线方程的基本步骤是怎样的？

生8：建系；设点；列式；化简；证明.

师：很好.类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，我们该如何建系呢？（小组讨论，集中探索）

（教师巡视，一段时间后用实物投影展示学生作品）

方案（一） 方案（二） 方案（三）

师：大部分小组都是上面三种建系方案中的一种.猜想一下，哪个好呢？

生9：方案二比较简单.

生10：方案一比较简单，它是以定直线为y轴，定点F在x轴上设计的，结果应该比较简单.

生11：方案三以抛物线的顶点为原点，定点F在x轴上，具有一定的对称性，结果应该更好一些.

师：看来大家的意见不是很统一啊！那就让我们亲自验证一下吧！请同学们按照求曲线方程的步骤得出三种方案的抛物线方程.（提示：不妨设焦点F到准线的距离为p（p>0）.）

（一段时间后，找小组代表上黑板展示过程，师生共同点评）

方案一 方案二 方案三

师：同学们，哪种简单啊？

生众：方案三.

【设计意图】这一环节，通过有启发性的活动，使学生在分析探究中，不断获得解决问题的方法，有效解决教学重难点.

师：我们把方案三得到的方程叫抛物线的标准方程.注意这里标准的规范是顶点在原点，图象关于x 轴对称.（教师板书：抛物线的标准方程）

3.新知应用，巩固提高

例1：求下列抛物线的焦点坐标、准线方程：

（1）， （2）

【设计意图】熟悉焦点、准线与标准方程的关系.强调解决抛物线问题时要先转化为标准方程.

例2：请同学们参照上面的例题，自编一道题目.

【设计意图】培养学生创新、发散思维.

l结语

为了充分调动学生的积极性，本节采用“引导探究”式的教学模式，贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过教师的适时引导，生生、师生间的交流互动，启迪学生思维；让学生构建自己的知识体系，体验合作学习的快乐.

参考文献

抛物线的标准方程范文第4篇

关键词： 非退化二次曲线 标准方程 切线方程

高中数学中解析几何这部分内容里常有计算曲线的切线类问题，通用的方法是用代入法，即先把直线方程代入曲线方程，消去一元y后，得到关于x的一元二次方程，再利用判别式=0确定切线斜率，展开运算.这种方法运算量相当大，很容易出错.下面对非退化二次曲线的切线问题进行归类比较，得出简单的公式，可以帮助我们轻松地解决此类问题.

1.圆的标准方程x■+y■=R■，过圆上一点P（x■，y■）的切线方程为xx■+yy■=R■.

这个结论容易证明.

证明：直线OP的斜率K■=■

过P点的切线方程为：y-y■=-■（x-x■）=-■（x-x■）

整理得xx■+yy■=R■.

圆的切线可以用求导函数的方法求斜率，但根据垂直二线的斜率积为-1，再利用过切点的半径与切线垂直这一性质，就更加容易了.

2.椭圆的标准方程为■+■=1，过椭圆上一点P（x■，y■）的切线方程我们猜想为■+■=1.

证明：曲线在第一象限部分的函数方程为y=b■

求导得：y′=-■■

过P的切线斜率为k=-■■

过P点的切线方程为：y-y■=-■■（x-x■）

又■+■=1

整理化简得■+■=1

和抛物线一样，椭圆在第二、三、四象限部分的函数解析式略有不同，其证明方法相同.焦点在y轴上的椭圆的标准方程为■+■=1，其切线方程为■+■=1.

3.双曲线的标准方程为■-■=1，过双曲线上一点P（x■，y■）的切线方程为■-■=1.

证明方法和椭圆的切线一样.焦点在y轴上的双曲线的标准方程为■-■=1，曲线的切线方程为■-■=1.

4.抛物线标准方程为y■=2px，过抛物线上一点P（x■，y■）的切线方程为yy■=px+px■.

证明：如图，不妨取P（x■，y■）为第一象限点

曲线在第一象限部分的函数方程为y=■x■

求导得：y′=■■x■

过P的切线斜率为k=■

过P点的切线方程为：y-y■

=■（x-x■）

又y■■=2px■

整理化简得yy■=px+px■.

这个结论是把标准方程为y■=2px化为y■=px+px之后，就容易想到了.证明中省略了对第四象限的部分，其证明方法相同.

抛物线的标准方程范文第5篇

【关键词】考查的知识、能力、思维；思维障碍，试题解析思路，一题多解，变式与拓展，反思总结

题目：已知抛物线C：x2=2pyp>0上一点S（m，4）（m>0）到焦点F的距离为|SF|=174.

1.求p，m的值；

2.设抛物线C上一点P的横坐标为t（t>0）过P点的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值.

波利亚在《数学的发现》的序言中写道：“中学数学教学首要的任务就是加强解题的训练.”从近几年的高考试题看，注重对教材中的基础知识，基本技能，基本方法和基本思想的考查.这道题设计巧妙，知识覆盖面广.对于教师把握新课标要求更高，思维能力更强.能有效检测教师的专业能力，教学能力和教研能力.同时又能考查学生基础知识，基本技能，及解题时注重通性通法.还能培养学生的思维能力，提高学生的综合素质，达到真正有效的教学.此题通过以下三个方面考查：

（一）考查要求

从知识方面：

（1）考查抛物线的定义，标准方程和简单的几何性质；

（2）直线方程，曲线的切线方程及导数的几何意义，曲线与方程、不等式等多种知识之间的交叉、渗透和综合.

从能力方面：

（1）培养学生运算求解能力；

（2）数形结合能力及识图、析图数据处理能力；

（3）化归转化能力，使学生知识形成系统性，各种能力得到整合，获得全面发展.

从思想方法：

（1）几何问题代数化；

（2）数中有形，形中有数，数与形的完美结合的思想；

（3）函数与方程的基本思想.

（二）学情分析

（1）第一小题考查抛物线的定义及几何性质难度中等偏易的题，学生易错点是求抛物线的准线方程，正确理解抛物线的定义；

（2）第二小题涉及太多点的坐标是未知的，首先应克服心理关.注意解题时的通性通法.繁难的计算如何逐步分解，尽量减少未知量分别求出Q，M，N的坐标，对于MN是曲线的切线，利用切线的几何意义的处理.大部分的学生有一定的困难，或者理解M点在过N点的切线方程.涉及函数方程的思想方法求t的最小值是此题的难点，如何突破难点？怎样让学生构建一个有序的网络化的知识体系，使学生各种能力得到整合，获得全面的发展.通过对本题分析讲解，一题多解，拓展与变式得以巩固.

（三）析题

切入点：对问题（1）准确理解抛物线的定义，求m，p；对问题（2）减少未知量使用，用t表示P，Q，M，N点的坐标，利用数形结合，把几何问题代数化.

关键点：分别求出P，Q，M，N的坐标，准确理解MN是曲线C的切线与N的导数值关系.存在P点就是PQ的斜率存在，关于k的方程有解.利用函数方程的思想，求t的最小值.

（四）解题

图1

（1）解抛物线的准线y=-p2，则FS=4+P2=174，P=12又S（m，4）在抛物线上，m2=4（m>0），m=2.

方程x2=y，所以m=2，p=12.

（2）过P点（t，t2）斜率存在的直线方程可设y-t2=kx-t，联立y-t2=k（x-t），x2=y，得x2-kx+kt-t2=0.设Qx1，y1，MX0，O，Nx2，y2.

x1，t是方程的两根，则x1t=kt-t2，x1=k-t，所以Qk-t，k-t2，Mkt-t2k，0.

直线QN与PQ垂直直线QN的方程y-（k-t）2=-1k（x-k+t），联立方程组y-k-t2=-1kx-k+t，x2=y，得x2+1kx-k-t2+tk-1=0.

则又x1+x2=-1k，x1=k-t，x2=-1k-k+t，

N-1k-k+t，-1k-k+t2，kMN=-1k-k+t2-1k-k+t2k，

MN是C的切线，kMN=2x2，-1k-k+t2-1k-k+t2k=2（-1k-k+t）整理k2+kt-2t2+1=0.

关于k的方程有解则，Δ=t2-4×-2t2+1≥0.

9t2-4≥0；t≥23或t≤-23（舍去），t≥23，t的最小值23.

点评先确定PQ的直线方程，联立方程组求出M，Q点坐标.QN与PQ垂直，确定QN的直线方程，求出N点坐标.直线MN与曲线C相切，利用导数的几何意义，整理出关于t，k的方程，方程有解，从而求t的最小值.解题时注意通性通法，在不同知识交汇处要进行有效整合.解析几何常常用“山重水复疑无路，柳暗花明又一村.”

第二小题解法2：设Pt，t2，Qx，x2，Nx0，x20，则直线MN的方程y-x20=2x0x-x0.

令y=0，得Mx02，0，所以kPM=t2t-x02=2t22t-x0，kNQ=x20-x2x0-x=x0+x.因为NQQP，且两直线斜率存在，所以kPM・kNQ=-1.即2t22t-x0・x0+x=-1.整理，得x0=2t2x+2t1-2t2.又Qx，x2在直线PM上，则MQ与MP共线，得x0=2xtx+t.由得2t2x+2t1-2t2=2xtx+t（t>0）.所以t=-x2+13x，所以t≥23或t≤-23（舍去）.所以所求t的最小值23.

点评分别设出P，Q，N的坐标，利用直线MN，求出M点坐标，直线PM与NQ互相垂直，又M，Q，P三点共线，用t表示x0，整理得关于x，t的函数利用均值不等式求t的最小值.第二种解法利用三点共线应用曲线方程与不等式知识的有效结合.

（五）变式与拓展

变式1已P知抛物线C：x2=2pyp>0，其焦点F到准线的距离12.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过M（0，1）作两条直线l1，l2，l1与抛物线交于点A，B，l2与抛物线交于E，F，且直线AE，BF，且直线AE，BF交于点P，直线AF，BE交于Q点，求证：MP・MQ是定值.

变式2已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（C>0）到直线l：x-y-2=0的距离为322，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）当点Px0，y0为直线l上的定点时，求直线AB的方程.