不息之河

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇不息之河范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

不息之河范文第1篇

优雅，一种高贵的美丽

奥黛丽・赫本，著名电影女演员、奥斯卡影后，晚年曾任联合国儿童基金会特使。身为好莱坞最著名的女星之一，她以高雅的气质与有品位的穿着著称。奥黛丽・赫本晚年投身慈善事业，是联合国儿童基金会亲善大使的代表人物。作为亲善大使，她不时举办一些音乐会和募捐慰问活动，关爱贫困地区儿童，足迹遍及亚非拉许多国家。

奥黛丽・赫本对儿童慈善事业的关注源自内心深处的真诚，这占用了她晚年的大部分时间和精力，即使在弥留之际，她也未曾忘怀。1993年1月20日，奥黛丽・赫本因结肠癌在瑞士去世。天使离开人间，但是她的心灵与人格犹如她在无数影片中的形象一样，永远绚烂美丽。奥黛丽・赫本之子西恩回忆她在去世前一天的情景：“我问她有没有什么遗憾，她说：‘没有，我没有遗憾……我只是不明白为什么有那么多儿童在经受痛苦。’”

奥黛丽・赫本在给女儿的遗言中曾说过：“你想要优美的嘴唇，就要讲亲切的话语；你想要有可爱的眼睛，就要看到别人的好处；你想要有苗条的身材，就要把食物分给饥饿的人；你想要有优美的姿态，就要记住，走路时行人不止你一个。”

优雅是一种风骨，一种气度，包括文化品位、气质内涵、生活修养等诸多因素，它是一种由内向外折射出的个性光彩。优雅不但包括美丽、聪慧和自信，还包括善良、宽容和豁达。

奥黛丽・赫本被誉为世界上最高雅、最有品位的女人，时装大师休伯特・纪梵希曾赞叹：“奥黛丽・赫本即使只是披着一个装土豆的口袋，也能够显露出高雅的气质。”人们之所以对奥黛丽・赫本有这么高的评价，不单单是因为她的美丽、聪慧，更因为她有一颗有修养的慈善的心。

由此可见，优雅不仅仅是一种“回眸一笑百媚生”的情调，更是一种“不施粉黛，而颜色如朝霞映雪”的素养和品质。

慎独是一种高境界的道德修养

|汉时，荆州刺史杨震听说王密德才兼备就举荐他为茂才。几次升迁，杨震做了东莱太守。当他去东莱上任的时候，路过昌邑，原来由他所推荐为茂才的王密现任昌邑县的县令。为了感谢杨震的知遇之恩，王密深夜一人前来拜见，带着一些黄金要赠送给杨震。杨震说：“老朋友，我了解你是怎么样的人，你却不了解老朋友我，为什么呢？”王密说：“您是我的伯乐，没有您的举荐，就没有我的今天。现在已是深夜，不会有看见和知道的人，您就放心收下吧。”杨震一脸正色：“天知，地知，你知，我知，怎么能说没人看见、没人知道呢？你走吧。”王密羞愧地快速离去。杨震后来调为涿州太守，品性公正廉洁，不接受私下的拜见。子孙常常只食用蔬食，出行步行，长辈中有人想要让他为子孙置办产业，杨震不肯，说：“让后世的人称他们为清白官吏的子孙，把这个节操留给他们，不是更宝贵的财富吗？”

慎独是一种高境界的道德修养，《礼记》中记载：“莫显乎微，故君子慎其独也。”历览前贤，莫不慎独。圣人孔子不仅在朝堂之上严遵君君臣臣之仪，在颠沛流离之途也坚守君子之礼，席不正不坐，语非礼不言；诗人屈原虽身处浊世，横遭罢黜流放，但仍能“沐后弹冠，浴后更衣”；四知堂上杨震一声断喝：“天知，地知，你知，我知，何谓无人知！”令其美德彪炳千古，成为“君子慎独”的最好注解。

勿以善小而不为

美国福特公司的创始人福特大学毕业后去一家汽车公司应聘，和他一同应聘的三四个人都比他学历高，当前面几个人面试之后，他觉得自己没有什么希望了。但既来之，则安之，他敲门走进了董事长办公室，发现门口地上有一张纸，他弯腰捡了起来，发现是一张渍纸，便顺手把它扔进了废纸篓里。然后走到董事长的办公桌前，说：“我是来应聘的福特。”董事长说：“很好，很好！福特先生，你已被我们录用了。”福特惊讶地说：“董事长，我觉得前几位资质都比我好很多，可是您为什么偏偏录用了我呢？”董事长说：“福特先生，前面三位的确学历比你高，且仪表堂堂，但是他们的眼睛只能看见大事，而看不见小事。你的眼睛能看见小事，我认为能看见小事的人将来自然能看到大事，一个只能看见大事的人，他会忽略很多小事，他是不会成功的。”福特就这样进了这个公司。这个公司不久就扬名天下，福特把这个公司改为“福特公司”，也相应改变了整个美国国民经济状况，使美国汽车产业在世界独占鳌头。一张纸决定一个人的命运，这虽然有其偶然性，但这也是必然的，一个人的修养可以对他成功与否起到决定性的作用。通过一个人的细微动作来展现其修养，固然有偶然因素，但也是由其自身修养的必然决定的，所以福特的成功不是靠运气，而是由其自身素质所决定的。

好的修养需要有包容的气度

不息之河范文第2篇

作文，在小学阶段没有被称为“作文”，而被称为“习作”，在强调小学的作文是一种练笔的同时，更在着意强调小学作文的“童”性。“儿童生态习作”，是对“练笔”原则的遵从，更是习作中“童”性的放大与重视。

在习作教学上，潘文彬老师多年来一直都在提倡“呵护天性，生态习作”。对潘老师在习作上的这种提倡，我是这样理解的：一个两三岁的婴孩，即使是在非常正式的场合，只要他不舒服了，他就会放声地哭；只要他高兴了，他就会咯咯地笑；在他想小便的时候，或站或蹲，随时随地都可以来，还可能会蹲在那里饶有兴趣地去玩……他只是随着自己性子而来，才不管这种场合该不该哭，能不能笑，大庭广众便尿是不雅行为，玩尿尿在成人眼里更是一种不可理喻的行为。呵护儿童天性，在小学阶段习作中，那就是要让儿童在习作中保持这份生命的稚朴，书写自己眼中的童真、童趣，而不去写那种具有“格”“套”痕迹的文，不努力去作像成人一样才有的思想文或是写到成人心坎里的那种话，而只是把用笔写话当做一种非常好玩的游戏来做，是儿童生命本真的表述和流露。在对儿童生命特点给予尊重的前提下，我们要对这种生命状态下情感文字的表述给与认可与赞赏，并引导其逐渐向“作文”靠拢。学生要能生态作文，外界必须对这种本真有一颗认可与尊重的心，给予孩子表达这种言语的空间与环境，才能让孩子的认知与情感自然地流淌出来。“妈妈是一杯酒，/爸爸喝一口，/就醉了”是“童心”与“灵性”结合的“作品”，《淘气包小宝》《怀念我的奶瓶》等，都是儿童生态生活与情感的呈现。在这些作品中，我们读到的是“趣”与“乐”，而不是思想的崇高与意义的重大。这是“儿童生态习作”之魂，也是教者包容之心、赏识之情下儿童习作的必然产物。

习作技能的获得，不是靠老师的一味讲解或灌输，而是要靠孩子在不断地用文字书写心声、表达情感的拆解中，让孩子把笔头写顺，把由情感、思想向文字转化过程中的障碍一点点削平，从而一点点达到一种用文字随心所欲地表达情感和思想的自由状态。要实现这种自由状态，在我看来，有两个环节是必不可少的，那就是写的行为和量的积累，说白了就是要用，好好地用，大量地用“写”这一行为。所不同的是，才智高的孩子与才智低的孩子对量的需求是不同的；如果是要达到同一目标，才智高的孩子所需的这种量的积累要少，而才智稍低的孩子对这种量的积累可能要多许多才能实现；而若是在同等量的前提下，才智高的学生会有其超常的表现，而才智低的学生则可能刚好达到我们设置的目标。“呵护天性，生态习作”，就是从习作的本源出发，让孩子写自己愿说的话、喜说的话，用自己乐意用的语言表达方式表达出来，把孩子的思想和情感通过文字表达的方式“放”出来。当孩子们熟悉用笔书写心声这种表达方式之后，再逐渐用作文固有的特点来规范这种“放”出来的文字。如果孩子在习作时本身就写不出多少字来，所有的规范和目标都将落空。而我们的传统作文教学，对字词句段表达规范的过分看重，一定程度上会影响孩子表达上的自由度，自由度的受限，必然挫伤这种表达的积极性，致使学生以一种消极的态度来完成这一任务，在孩子写出来的文字量的积累受到极严重影响的同时，孩子对用文字表达思想与情感这种方式的熟练程度就难以得到保障，其后果就必然会大大削弱习作能力提升的效果。就如孩子学步，当孩子跌跌撞撞地迈出第一步时，我们首先关注的不是他先迈的是左腿还是右腿，而是怎样诱导他还能向前走几步的这一行为。孩子只要迈出可喜的第一步，随着时日的推移，他会走出第二步、第三步以及更多的步子，最后让他的行走变得越来越稳健。但是，如果孩子一开始学走路时，我们就要求他走路时一定要先出右脚，当他迈出左腿时我们就伸手将之打回去，或者一开始就以走正步的要求来要求孩子，孩子学走路的效果也就可想而知了。任何学习的过程，都是一个由易而难的过程，也是一个循序渐进的过程。在这个过程中，“趣”是第一位的，有“趣”才有“乐”；有“趣”有“乐”，孩子才愿意去做，只要肯做了，能力的拥有也就顺理成章了。在这个过程中或“帮”或“扶”，教者要把握时机，使用好“帮”“扶”措施，要建立好阶梯，更要有让孩子乐于、肯于走完这一段段阶梯的坚持。这样，教者就可以坐在阶梯的顶端，耐心地等待幸福时刻的到来。

“呵护天性，生态习作”，无疑是符合了这一教学规律，从习作的本源上降低难度，给予学生生命的尊重、表达的自由。从潘老师及其工作室成员的成果表现来看，习作教学的源是找到了，在日后的研究过程中，要紧紧围绕这一“源”建立有序的“阶梯”机制，让目前提出来的“儿童生态习作”所有观点与元素建立各种有机的联系，而不是成员间各自的切入点与各自成果间的疏散。一个整体构架下的集体努力，更容易形成强大的合力，也更容易结出硕大的果实。这算是我对以潘文彬老师为核心的“儿童生态习作”提出的一点建议和期望吧。

不息之河范文第3篇

［关键词］事业机构 质量管理体系 内部审核 内审员

［中图分类号］F253.3 ［文献标识码］A ［文章编号］1009－5349（2012）11－0088－01

质量管理体系是通过审核确定质量管理水平的，其中内部审核是审核中的关键一环，在外部审核进入之前，事业机构要进行内部审核，按照质量体系的要求定期对自身进行检查，目的就是通过内部审核检验生产过程是否在按质量计划进行，有偏离及时修正，有问题及时解决。可以说外部审核只是一次成果检验，而内部审核则更是维持事业机构质量体系正常运行的保证。目前有的单位不太重视内部审核的作用，认为和外部审核重复，单纯依赖外部审核，这样不但增加了事业机构管理成本，更使事业机构迟迟通不过外审，质量水平上不来，更损失了经济效益。

内部审核有其自身的关键程序，对这些关键程序予以重视才能认识到内部审核的作用，也才能做好内部审核工作。

一、事业机构最高管理者首先要端正思想，正确认识

事业机构的最高管理者是事业机构的总指挥和总调度，对事业机构管理至关重要，也是事业机构质量管理体系的总负责人。事业机构的质量方针是由最高管理者的，它要与事业机构的组织方针相一致，因此都是由最高管理者确立的，因此，最高管理者的思想方向，决定着事业机构的组织方向，也决定着事业机构的质量管理方向。最高管理者对事业机构的质量管理给予多少的重视程度，就会投入和调拨多少的资源用于质量管理，质量管理的质量就会有相应的变化。最高管理者重视质量管理，就会通过其领导的作用创造事业机构全员重视质量的氛围，创造全员参与的环境，协调事业机构各部门进行协作，提供财力物力的支持，使事业机构内部审核得以顺利进行。可以说，最高领导者的端正态度，思想上的重视是从根源上保证内部审核正常有效开展下去。

二、建立高素质的内部审核队伍，保证内部审核质量

在质量体系审核中，审核员的“质量”将直接影响到质量管理体系的审核质量，进而影响到事业机构的质量管理水平，因此为保证内部审核的高效高质，建立相应高素质的内部审核队伍是关键。合格的内审员除具有一定的学历水平和培训资格外，更重要的是内审员自身的素质和经验，这决定了内审员对标准与实际工作的结合、尺度的把握、解决实际问题的能力。

内审员可以是事业机构内部人员或外聘，但都必须是与待审领域无关的人员，以保证审核的客观性。内审员必须取得内审资格，并具有一年以上的质量管理经验。内审员必须是责任心强，对待问题公正客观，坚持原则的，同时思路开阔，思维敏捷，对事物判断准确。内审员必须熟知质量体系及其文件、程序、组织结构、职能关系、评判准则、检验标准以及相关法律法规，同时也要了解事业机构生产的过程、产品和服务。

内审员不仅是内部审核的执行者，也是事业机构质量标准的宣传者、质量体系的体检师，是事业机构质量工作的推动者，因此事业机构要重视内审员的选择、内审队伍的组建，选择满足上述条件的高素质内审员，保障事业机构内审工作的顺利实施。

三、建立明晰的审核程序，便于实施

内部审核是一套系统工程，涉及事业机构各部门，人员众多，项目也很多，因此建立起明确清晰的内部审核程序，使程序不因人而转移，才有利于整体的实施以及工作的接续，更有利于问题的发现和解决，有利于质量体系的运行。防止因人员变动造成工作无法进行，保证工作富有成效。

首先做好内部审核的准备，好的开始是成功的一半，也为后续工作定下了良好基调。聘任满足上述条件的有资格的无领域交叉并且业务熟练的内审员，组建高素质内审团队；必须由事业机构最高管理者担任内审团队的领导者，负责内审计划的审批和实施管理，明确团队成员分工，各司其职，按照内审计划按期按地实施内审工作；将内审所需文件表格准备齐全，首先是内审计划，其次有记录表，会议签到表，不合格项报告、审核报告等，使审核工作更有效率。

接下来是内审工作的正式实施，内审工作的首次会议、内审组会议和末次会议这三个会议贯穿了内审工作的整个过程，因此对内审工作的整体进行具有重要的掌控作用，必须开好。首次会议要向参会者解释清楚审核的所有内容，使事业机构更好配合内审工作，将内审安排落实到位；期间内审组要召开内审组会议，对现场审核期间的情况进行总结，对发现的问题予以归纳，形成不符合项报告，对现行质量体系运行情况进行评价；最后在末次会议上通报审核结果，提出不符合项整改措施，答谢各部门的支持配合，内部审核工作圆满结束。

不息之河范文第4篇

关键词：内部审计；内部控制；风险管理

一、内部审计和内部控制关系

中国内部审计师协会在最新的《内部审计定义》中将内部审计定义为：“内部审计是一项独立、客观的鉴证和咨询服务，其目标在于增加价值并改进组织的经营。它通过一套系统、规范的方法评价和改进风险管理、控制和治理过程的效果，以帮助组织达到目标。”可以看出，内部审计职能不仅包括传统的监督职能，更要强调通过评价而促进经营管理活动效率和效果的提高。

内部控制，简单来说，就是为实现组织目标而提供合理保证的一系列控制方法、措施和程序。中国《企业内部控制基本规范》对内部控制的定义内部控制是由企业董事会、证监会、经理层和全体员工实施的、旨在实现控制目标的过程。内部控制的目标是合理保证企业经营管理合法合规、资产安全、财务报告及相关信息真实完整，提高经营效率和结果，促进企业实现发展战略。并且提出了内部控制五要素内容，即内部环境、风险评估、控制活动、信息和沟通以及内部监督。

基于以上对内部审计和内部控制的定义，我们可以得知：

1.内部审计是内部控制的重要组成部分。内部审计在内部控制中属于内部环境要素范畴，是单位自我独立评价的一种活动，内部审计本身就是一种控制，它按照内部控制要求，通过内部控制制度为其制定的审计程序和方法及要完成的任务、达到的目标，协助单位最高管理者监督内部控制政策和程序的有效性，来促成好的控制环境的建立，并为改进内部控制提供建设性意见。内部审计在风险管理中发挥不可替代的独特作用，没有内部审计的评价、监督，就不能形成良好的企业内部控制制度。

2.内部审计又是对内部控制的控制。内部审计独立于会计控制之外，代表管理层对整个企业内部控制制度的健全性、有效性及其遵循情况等进行评价，具有其他任何部门和控制所无法代替的重要作用。目前，内部审计范围已从传统的财务收支审计扩展到经营管理的各方面。内部审计促进内部控制，通过分析问题产生的原因和影响，协助单位上层管理者完善内部控制，促进内部控制的健全，维护内部控制的建设。

3.二者相辅相成，缺一不可。内部审计需要内部控制，内部控制素质比任何其他因素更能决定审计的形式。没有健全的内部控制制度作基础，审计就无法开展；没有良好的内部控制，会计、财务信息会出现失真，管理人员责任会不明确，管理会出现混乱现象等，不仅会加重内部审计工作量，而且会加大内部审计的风险，从而制约了内部审计的发展。同理，内部控制需要内部审计，没有内部审计对内部控制设计的健全程度和运行的有效程度的评审和进一步完善强化内部控制的建议，内部控制也只能原地踏步，造成与现实不符，效果不佳，甚至形同虚设，或因内部控制的局限性，给不法之徒以可乘之机，造成内部控制失控。

4.内部审计的角色由监督者逐步转变为控制者。国家审计署原审计长李金华曾讲过，要把内部审计定位为四个字“管理+效益”，将内部审计作为一个控制系统而不仅是一个检查系统。内部审计师的主要作用是“确认和建议”，而不再是以往的“监督和复核”。他们通过咨询活动，为管理当局提供专业服务，为风险管理出谋划策，降低企业风险，从而在实质上促进财务报告内容的确定性和质量的提高。

二、如何通过内部审计强化内部控制

那么，在一个单位内部，如何开展内部控制的专题审计呢？

1.要明确内部审计对内部控制的评价是基于内部管理的要求。

2.评价范围是全方位的，包括单位所有的内部控制。即内部审计要以整个单位内部控制系统为评价对象，检查和评价内部控制制度的设计和运行情况。

3.审计的内容是内控的完整性、合理性、有效性。通过对内控的完整性、合理性、有效性进行评价，能够不断促进内控的建立健全，帮助企业内部各部门有效地履行各自管理职能，强化企业管理。

4.方法。与外部审计类似，即运用检查、访谈、观察以及重新执行等程序。检查即是指通过检查交易和事项的凭证来反证内部控制的有效性；访谈和观察是指就企业内部控制设计和执行等方面的情况向相关人员调查、了解，并进行实地观察，从中发现内部控制实际运行情况；重新执行是指选择相应的交易和事项，重新通过要审查的内部控制系统，验证内部控制在运行上是否有效。

5.程序。内部审计对被审计单位的内部控制制度的分析与评价分四个步骤：

(1)了解企业的内部控制情况，并做出相应的记录。这是内部控制制度审计的第一步，其主要目的是通过一定手段，了解被审计单位已经建立的内部控制制度及执行的情况，并做出记录、描述。

(2)初步评价内部控制的健全性。确认内部控制风险，确定内部控制是否可依赖。在对控制环境、控制程序和会计系统进行调查了解，对被审计单位内部控制有了一个初步的认识的基础上，应对内部控制风险和内部控制的可依赖程度做出初步评价。

(3)实施符合性测试程序，证实有关内部控制的设计和执行的效果。通过对内部控制进行初步评价，可基本掌握被审计单位内部控制的强弱环节，为进行符合性测试确定一个前提。

(4)评价内部控制的强弱，评价控制风险，确定在内部控制薄弱的领域扩展审计程序，制定实质性审计方案。首先，在准备阶段由内部审计人员制定评价实施方案，明确本次评价的目的、范围、准则、时间安排和相应的资源配置，准备必要的工作文件，包括评价问卷、抽样计划、单位内部控制体系文件和相关记录等；其次，由内部审计人员按照既定的评价方案实施评价，对被评价项目进行测试，对有关数据进行确认和分析，并予以记录；最后由审计人员根据评价实施情况，对单位的内部控制制度进行综合评价后，撰写并提交评价报告，包括对存在问题的分析和改进的合理建议，还要与管理层沟通，核对数据，确认事实，以帮助其提升管理的效率效果。

6.关于内部审计人员的配备。现代内部审计要求内部审计人员必须具备广博的知识和多元化的技能，不仅要掌握财会审计等专业的知识，还需要掌握管理等方面的知识，要能够熟悉企业战略、目标和计划，了解企业经营管理的各项职能，因为只有这样才能为不同层次以及不同职能部门的管理者提供他们所需要的服务。除此之外，处理人际关系的能力和技巧也是必需的，只有与被审计单位以及企业管理层和内部各个职能部门保持良好关系，才能使内部审计职能得以发挥，内部审计报告得到重视，内部审计增值目标得以实现。所以，企业一定要重视对内审人员的培训，使其知识结构更加合理，以便能够更好地发挥内部审计的职能，帮助企业提高其管理的效率效果。

三、结束语

随着社会经济的发展，内部审计的边界在不断扩展，层级在不断提升。现代内部审计，确认和咨询是其两大服务领域，以“为组织增加加值，促进组织目标的实现”为宗旨，是融合风险管理审计、内部控制审计和公司治理审计于一体的全面内审，在继续维持其传统领域的同时，还要整合内控、风险管理和公司治理，并且要加强全面沟通，为组织创造更大的价值。所以，对于内部审计和内部控制的关系以及内部审计如何在内控方面风险管理方面更好地发挥作用，仍有很多内容挖掘，本的还远远不够，还需要我们继续不断地探讨。

参考文献:

[1]关 萍:健全内控制度 强化内部审计[J].冶金财会，2007，(7)：40-41.

[2]王桂云:浅谈企业内部审计存在的问题及对策[J].财会研究，2007，(3)：102-103.

[3]王家斌:强化企业内部审计防止内部控制失效[J].工业审计与会计，2007，(4)：26-27.

不息之河范文第5篇

浙江省数学特级教师，嘉兴市数学会副会长.

在现实世界中，相等是相对的，不等是绝对的．不等关系是现实生活中最普遍的数量关系，不等式是刻画不等关系的一种重要数学模型．不等式与数、式、方程、函数、导数等知识都有着天然紧密的联系，是学习高等数学的重要基础．在自主招生考试中，不等式问题主要分为三类：利用不等式求最值、解不等式、证明不等式．在本期内容中，我们讨论用均值不等式和柯西不等式解决这三类问题．

一、均值不等式和柯西不等式

均值不等式：ai>0（i＝1，2，…，n） ，记a1到an这n个正实数的平均数如下：调和平均数Hn＝■＝■，几何平均数Gn=■=■，算术平均数An=■=■，平方平均数Qn=■=■，且有Hn≤Gn≤An≤Qn，当且仅当a1=a2=…=an时，Hn=Gn=An=Qn．其中，An≥Gn，即■≥■的使用频率比较高．

柯西不等式： ai，bi（i＝1，2，…，n）为实数，则■■■■≥■aibi2． 若ai≠0，当且仅当■=■=…=■时，等号成立；若ai=0，默认bi=0，等号也成立.柯西不等式的二维形式为（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad＝bc 时，等号成立．

二、利用均值不等式和柯西不等式求最值

利用均值不等式求最值时，要对所求的函数或代数式进行适当的“凑配”，“凑配”主要以“和为定值，积最大”“积为定值，和最小”为依据，在函数或代数式的转化过程中找到定值．

利用柯西不等式求最值时，也要对系数进行适当的“凑配”，“凑配”的主要目的是把目标函数向柯西不等式的形式转化．

利用均值不等式和柯西不等式求最值时，都要注意等号成立的条件．

例1 （2008年南开大学自主招生考试试题） 已知正数a，b，c满足：a2+ab+ac+bc＝6+2■，则3a+b+2c的最小值为 ．

解析：由题意可知（a+b）（a+c）＝6+2■，即a+b与a+c的乘积为“定值”． 3a+b+2c＝（a+b）+2（a+c）≥2■＝2■+2■，当且仅当a+b＝2（a+c）时，等号成立. 3a+b+2c的最小值为2■+2■.

例2 （2007年复旦大学自主招生考试第81题） 给定正整数n和正常数a，若a1，a2，a3，…成等差数列｛an｝且｛an｝满足不等式■+■≤a，则和式■ai的最大值为

（A） ■（n+1） （B） ■n

（C） ■（n+1） （D） ■n

解析：根据题意，设｛an｝的通项公式为an＝a1+（n-1）d，则由题意得■ai＝■＝■＝■． 如何把■与■+■联系起来呢？将■视作（-a1）2，在■+■前面乘以系数（32+12），根据柯西不等式的二维形式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，可得（3an+1-a1）2≤（32+12）・［■+（-a1）2］≤10a，即3an+1-a1≤■. 当an+1＝-3a1，■+■＝a时等号成立． ■ai的最大值为■（n+1）． 选A．

三、利用均值不等式和柯西不等式求解代数式

利用均值不等式和柯西不等式解题时，若等号成立，不等式便可转化为等式．据此，我们可以求出一些代数式的值．

例3 （2002年上海交通大学自主招生考试第10题） 若a，b满足关系：a■+b■=1，则a2+b2= ．

解析：直接对a■+b■=1进行两边平方化简，很难求出a2+b2的值． 如果我们联想到a2+（■）2＝1，b2+（■）2=1，则由柯西不等式可得（a■+b■）2≤（a2+1-a2）（1-b2+b2）＝1.又由条件a■+b■＝1可知不等式a■+b■≤1能取到等号， ■＝■，化简得a2+b2=1．

四、利用均值不等式和柯西不等式证明不等式

利用均值不等式和柯西不等式可以拓宽不等式证明的思路：借助均值不等式可以实现“和”与“积”的转换，借助柯西不等式则能起到“降次、升幂、去分母”的作用．

例4 （2011年“华约”自主招生考试第13题） 已知函数f（x）=■，f（1）=1，f■=■，令数列｛xn｝满足xn+1＝f（xn），x1＝■．（1） 求数列｛xn｝的通项；（2） 求证：x1・x2・…・xn>■．

解析： （1）由f（1）=1，f■=■解得a=1，b=1， f（x）=■．由x1＝■，xn+1＝f（xn）解得x2＝■，x3＝■，x4＝■，故猜想xn＝■．用数学归纳法证明：当n=1时，x1＝■=■成立；假设n=k时猜想成立，即xk＝■． xk+1=f（xk）=■=■=■， 当n=k时，猜想成立. ｛xn｝的通项公式为xn＝■ ．

（2） 要证x1・x2・…・xn >■，只需证■

到这里，解此题必用的结论■1+■n=e登场了，作为课外补充，该结论需要同学们牢记.

■1+■n=e， 1+■1+■・…・1+■■．

例5 （2008年南开大学自主招生考试试题） 设a，b，c为正数且a+b+c＝1．求证：a+■2+b+■2+c+■2≥■．

解析：首先来分析待证不等式的结构特征．由于不等式左边是二次代数式的和，右边是常数，而已知条件是一次代数式的和，所以我们要设法把不等式左边的二次式降为一次式，再把一次式降为常数，这样柯西不等式才会有用武之地．

a+■2+b+■2+c+■2=■（12+12+12）a+■2+b+■2+c+■2≥■1・a+■+1・b+■+1・c+■2=■1+■+■+■2=■・1+（a+b+c）■+■+■2≥■1+■・■+■・■+■・■22＝■（1+9）2＝■．

解题过程中两次使用了柯西不等式，第一次等号成立的条件是a+■＝b+■＝c+■，结合a，b，c为正数和a+b+c＝1，解得a＝b＝c＝■．第二次等号成立的条件是a＝b＝c＝■．两次等号成立的条件相同，故所证不等式成立．

例6 （2010年浙江大学自主招生考试第5题） 有小于1的正数x1，x2，…，xn且x1+x2+…+xn=1，求证：■+■+…+■>4 ．

解析：待证不等式右边为常数4，左边是一些分式的和，形式复杂，难以通分求和. 我们考虑从不等式左边的分母着手，使之与已知条件相关联：将不等式左边的分母x1-■，x2-■，…，xn-■相加，和式中就出现了x1+x2+…+xn的形式.

由柯西不等式可得［（x1-■）+（x2-■）+…+（xn-■）］■+■+…+■≥n2． x1+x2+…+xn=1， （x1-■）+（x2-■）+…+（xn-■）＝1-（■+■+…+■）． 0

通过以上讲解，我们发现，在求解不等式问题的过程中，均值不等式和柯西不等式起着“神来之笔”的作用．另外，排序不等式、琴生不等式的用处也很大，如果你掌握了它们，在自主招生考试中，或许会有意想不到的收获．

排序不等式：

设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，则有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1（反序乘积和）≤a1br1+a2br2+a3br3+…+anbrn（乱序乘积和）≤a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn（同序乘积和）． 当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时，等号成立．

琴生不等式：