数学研究论文

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数学研究论文范文第1篇

【关键词】科学哲学/数学哲学/数学哲学的革命

【正文】

本文有两个互相关联的目标：第一，对科学哲学对于数学哲学现展的重要影响作出综合分析；第二，对新的研究与基础主义的数学哲学进行比较，从而清楚地指明数学哲学现展的革命性质。

一、从一些具体的研究谈起

如众所知，由1890年至1940年的这五十年，可以被看成数学哲学研究的黄金时代：在这一时期中，弗雷格、罗素、布劳维尔和希尔伯特等，围绕数学基础问题进行了系统和深入的研究，并发展起了逻辑主义、直觉主义和形式主义等具有广泛和深远影响的数学观，从而为数学哲学的研究开拓出了一个崭新的时代，其影响也远远超出了数学的范围，特别是，基础主义的数学哲学曾对维也纳学派的科学哲学研究产生了十分重要的影响，而后者则曾在科学哲学的领域长期占据主导的地位。

然而，在四十年代以后，上述的情况发生了重要的变化。尽管逻辑主义等学派作出了极大的努力，他们的研究规划却都没有能够获得成功，从而，在经历了所说的“黄金时代”以后，数学哲学的发展就一度“进入了一个悲观的、停滞的时期”；与数学哲学的困境相对照，科学哲学则已逐步摆脱逻辑实证主义的传统进入了一个欣欣向荣的、新的发展时期。也正因为此，科学哲学的现展就对数学哲学家产生了巨大的吸引力，并对数学哲学的现展产生了十分重要的影响。

就科学哲学对于数学哲学现代研究的影响而言，在最初主要是一些直接的推广或移植。例如，作为新方向上研究工作的一个先驱，拉卡托斯就曾直接把波普尔的证伪主义科学哲学推广应用到了数学的领域。尽管推广和移植的工作是较为简单的，但这仍然依赖于独立的分析与深入的研究，因为在数学与一般自然（经验）科学之间显然存在有重要的质的区别。

为了使得由科学哲学中所吸取的观念、概念、方法等确实有益于数学哲学的研究，最好的方法就是集中于相应的研究问题，也即是希望通过以科学哲学领域中某一（或某些）理论作为直接的研究背景以解决数学哲学中的某些基本问题。例如，M.Hallett的论文“数学研究纲领方法论的发展”就以拉卡托斯的科学哲学理论，也即所谓的“科学研究纲领方法论”作为直接的研究背景，但Hallett在这一论文中所真正关注的则是数学的方法论问题。因而，尽管其声称“希望能找到与科学研究纲领方法论相类似的数学发展的方法论准则”，Hallett的实际工作却与拉卡托斯的科学哲学理论表现出了一定的差异。特别是，由于Hallett清楚地认识到：“数学与经验科学之间的差异无疑是十分重要的”；“物理学可以依赖于不断增加的事实性命题，但是数学中却不存在这样的对应物。”因此，在Hallett看来，相应的科学方法论准则（即新的理论能作出某些预言，这些预言并已得到了确证），就不可能被直接推广到数学的领域。

与上述的方法论原则相对照，Hallett提出，新的理论在解决非特设性的重要问题方面的成功可以被用作判断数学进步的准则。Hallett并指出，这一准则即是对希尔伯特在先前所已明确提出的相应思想的一种改进。从而，这就确实不能被看成对于科学研究纲领方法论的直接推广。

在数学哲学领域内我们并可看到一种不断增长的自觉性，即是关于科学哲学领域中的思想或理论对于数学哲学“可应用性”或“可推广性”的深入思考。例如，H.Mehrtens在他的论文“库恩的理论与数学：关于数学的‘新编年史’的讨论”一文中，就明确提出了这样的思想：在将库恩的理论推广应用到数学时，应当首先考虑两个问题：第一，“在数学中是否存在有这类东西（按指革命）？”第二，如果答案是肯定的话，“这一概念对数学编年史的研究是否有确定的、富有成果的应用？”

显然，即使前一个问题可以说是一种直接的推广或移植，后一问题的解答则依赖于更为深入的分析和独立的研究，因为，这不仅涉及到了对库恩理论的评价，而且也直接依赖于关于应当如何去从事数学哲学（和数学史）研究的基本思想。

正是从这样的立场出发，Mehrtens提出：“尽管（数学中）存在有可以称之为‘革命’或‘危机’的现象，我对这两个概念持否定的态度，因为，它们并不能成为历史研究的有利工具。”

当然，上述的结论并不意味着Mehrtens对库恩的理论持完全否定的态度；恰恰相反，Mehrtens明确地指出，库恩所提出的“范式”和“科学共同体”这两个概念对于数学史（和数学哲学）的研究有着十分重要的意义。Mehrtens写道：“围绕着科学共同体的社会学概念具有很大的解释力量——在我看来——它们为数学编年史提供了关键的概念。”

上述的批判态度和深入分析显然表明了一种独立研究的态度，从而，与简单的推广或移植相比，这就是一种真正的进步。作为这种进步的又一实例，我们还可看基切尔（P.Kitcher）的数学哲学研究。

一般地说，基切尔在数学哲学领域内的工作主要就是将库恩的科学哲学理论推广应用到了数学之中，特别是，基切尔不仅由库恩的理论中吸取了很多具体的成分，更吸取了一些重要的基本思想，即如关于科学活动社会—文化性质的分析等。另外，基切尔所主要关注的则是数学历史发展的合理性问题。例如，正是从这一立场出发，基切尔首先考察了什么是数学变化的基本单位。基切尔写道：“一个首要的任务，就是应当以关于数学变化单位的更为精确的描述去取代关于‘数学知识状况’的模糊说法。这一问题与关注科学知识增长的哲学家们所面临的问题在形式上是互相平行的。我认为，在这两种情形中，我们都应借助于一个多元体，也即由多种不同成分所组成的实践（practice）的变化，来理解知识的增长。”

在基切尔看来，后者事实上也就是库恩的“范式”概念的主要涵义。然而，基切尔在此并没有逐一地去寻找“范式”（或“专业质基”）的各个成分（如“符号的一般化”、“模型”、“价值观”、“范例”等）在数学中的对应物，而是对“数学实践（活动）”的具体内容作出了自己的独立分析。基切尔提出，“我以为我们应当集中于数学实践的变化，并把数学实践看成是由以下五个成分所组成的：语言，所接受的命题，所接受的推理，被认为是重要的问题，和元数学观念。”显然，这即是对库恩基本思想的创造性应用。

其次，基切尔又具体地指明了若干个这样的条件，在满足这些条件的情况下，数学实践的变化可被看成是合理的。从而，这也就十分清楚地表明了在基切尔与库恩之间所存在的一个重要区别：尽管前者从库恩那里吸取了不少有益的思想，但他所采取的是理性主义、而并非是像库恩那样的非理性主义立场。这一转变当然也是批判性的立场和独立思考的直接结果。

二、新方向上研究的共同特征

尽管在新方向上工作的数学哲学家有着不同的研究背景和工作重点，在观念上也可能具有一定的分歧和差异；但是，从整体上说，这些工作又有着明显的共同点，后者事实上更为清楚地表明了来自科学哲学的重要影响。

1.对于数学经验性和拟经验性的肯定

所谓数学的经验性，就其原始的意义而言，即是对数学与其它自然科学同一性（analogy，或similarity）的确认。这一认识事实上构成新方向上所有工作的共同出发点。

关于数学经验性的断言显然正是对于传统观念的直接否定，即数学知识不应被看成无可怀疑的绝对真理，数学的发展也并非数学真理在数量上的简单积累。从而，这也就如Echeverria等人所指出的，它将“数学从柏拉图所置于的宝座上拉下来了。”

事实上，人们曾从各种不同的角度对数学与自然科学的同一性进行了论证。诸如奎因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）的“功能的同一性”，拉卡托斯的“方法论的同一性”，基切尔的“认识论的同一性”，古德曼（N.Goodman）和托玛兹克（T.Tymoczko）的“本体论的同一性”，A.Ibarra和T.Mormann的“结构的同一性”，等等。另外，在笔者看来，对于经验性的肯定事实上也可被看成关于数学的社会—文化观念（这是在新方向上工作的数学哲学家所普遍接受的）的一个直接结论。这就是说，如果数学与其它自然科学一样，最终都应被看成人类的一种创造性活动，并构成了整个人类文化的一个有机组成成分，那么，数学的发展无疑就是一个包含有猜想与反驳、错误与尝试的复杂过程，而且，“数学的内涵与改变最终是由我们的实际利益与其它科学的认识论目标所决定的。”

其次，如果说数学的经验性集中地反映了数学与其它自然科学的同一性，那么，对于数学拟经验性（quasi-empirical）的强调则就突出地表明了数学的特殊性。

具体地说，我们在此所涉及的主要是这样一个问题：除去在实际活动中的成功应用外，就数学理论而言，是否还存在其它的判断标准？另外，拟经验的数学观的核心就在于明确肯定了数学有自己特殊的价值标准，这就是新的研究工作对于数学自身的意义，即如其是否有利于已有问题的解决或方法的改进等。显然，后者事实上也就是实际数学工作者真实态度的一个直接反映。例如，美国著名数学家麦克莱恩（S.MacLane）就曾这样写道：“数学各个领域中的进步包括两个互补的方面：重要问题的解决以及对于所获得结果的理解。”

由此可见，我们就应同时肯定数学的经验性和拟经验性。显然，就本文的论题而言，这事实上也就表明了：为了在数学哲学的研究中取得实质性的进展，我们不仅应当保持头脑的开放性，也即应当努力从科学哲学中吸取更多有益的思想、概念和问题，同时也应高度重视数学的特殊性，即在一定程度上保持数学哲学的相对独立性。

2.对于数学方法论的高度重视

理性主义与非理性主义的长期争论无疑是科学哲学现展的一个重要特点；与此相对照，理性主义的立场在数学哲学领域中却似乎没有受到严重的挑战，但是，后者并不意味着现已存在某种为人们所普遍接受的关于数学发展合理性的理论，恰恰相反，后一目标的实现还有待于长期的努力。

然而，在这一方面确已取得了一定的进步，特别是，相对于早期的简单“移植”而言，现今人们普遍地更加重视对那些源自科学哲学的概念、观点和理论的分析和批判。例如，就库恩的影响而言，人们现已认识到，对于数学的社会—文化性质的确认，并不意味着我们必须采取相对主义或非理性主义的立场；另外，在肯定数学历史发展合理性的同时，人们也认识到了这种发展并不能简单地被纳入某一特定的模式。事实上，就如格拉斯（E.Glas）所指出的：“理性”本身也是一个历史的概念：“‘理性’在一定程度上是社会化建构的，……即包括有一个社会协商的过程。”从而，在此所需要的就是一种辩证的综合。例如，正是从这样的立场出发，格拉斯提出，我们应对库恩和拉卡托斯的理论进行整合：“拉卡托斯的方法论立场至少应当用像库恩那样的社会和历史的观点予以补充和平衡。”

值得指出的是，这种整合的立场事实上也就是科学哲学现展的一个重要特点，特别是，这即是科学哲学领域中所谓的“新历史主义学派”所采取的一个基本立场：他们对先前的各种理论（包括理性主义与非理性主义）普遍地采取了批评的立场，并希望能通过对立理论的整合发展出关于科学发展合理性的新理论。从而，在这一方面我们也就可以看到科学哲学对于数学哲学现代研究的重要影响。

艾斯帕瑞（W.Aspray）和基切尔这样写道：“……数学哲学应当关注与那些研究人类知识其它领域（特别是，自然科学）同一类型的问题。例如，哲学家们应当考虑这样的问题：数学知识是如何增长的？什么是数学进步？是什么使得某一数学观点（或理论）优于其它的观点（或理论）？什么是数学解释？”特别是，“数学在其发展中是否遵循任何方法论的原则？”事实上，在艾斯帕瑞和基切尔看来，如何对数学方法论作出恰当的说明就构成了在新方向上工作的数学哲学家的核心问题。显然，这一立场也是与现代科学哲学中对于科学方法论的高度重视完全一致的。

3.对于数学史的强调

如众所知，对于科学史的突出强调也是科学哲学现代研究的一个重要特征。正如克伦瓦（M.Crowe）所指出的：“在库恩以前，科学哲学长期为逻辑实证主义所支配，后者认为科学史是与他们的研究毫不相关的；但是，这种形势现在已经有了改变……科学哲学家们现已认识到了历史研究的重要性。”这就是说，“如果没有给予科学史应有的重视，科学性质的分析就是不可能的。”科学哲学的上述变化对在新方向上工作的数学哲学家也产生了极大的影响。例如，在以上所提及的各篇论文和著作中，历史案例的分析都占据了十分重要的位置。可以说历史方法事实上已成为数学哲学现代研究的基本方法之一。

作为一种自觉的努力，我们在此还可特别提及以下的四部论文集：（1）由艾斯帕瑞和基切尔所编辑的HistoryandPhilsophyofModernMathematics（1988）；（2）由J.Echeverria等人所编辑的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration（1992）；（3）由吉利斯所编辑的RevolutioninMathematics（1992）；（4）由H.Breger和E.Grosholz编辑的TheGrowthofMathematicalKnowledge（即将出版）。

这些编辑者的一个共同特点是，他们不仅认为数学方法论的任一理论都应用历史的案例加以检验，而且更大力提倡数学史家与数学哲学家的密切合作，并认为双方都可以从这种合作中得益匪浅。例如，Breger和Grosholz在他们的序言中这样写道：“这一论文集源自编辑者的这样一个信念，即数学哲学的重要论题可以由哲学家与历史学家的有组织对话得到启示。……我们希望历史的材料能在数学哲学家那里获得更为深入和系统的应用；同样地，我们也希望哲学家由历史所激发的思考能给历史学家提供新的问题和思想。”显然，这种态度与传统的把数学哲学与数学史绝对地分割开来的作法是截然相反的。

最后，我们在此还可提及所谓的“奠基于数学史之上的数学哲学”。具体地说，相关的数学哲学家在此所希望的就是能发展出关于数学知识的这样一种理论，它能正确地反映数学的历史发展，即“现代的数学知识是由初始的状态经由一系列的合理转变得以形成的”（基切尔语）。显然，按照这样的观点，数学史对于数学哲学的重要性就得到了进一步的强化：正是前者为数学哲学的研究提供了基本的素材和最终的检验。这也就是说，“数学史对于数学哲学来说，不仅不是无关的，并事实上占有核心的地位。”

4.实际数学工作者的“活的哲学”

应当指出，对于数学史的高度重视不仅直接涉及到了数学方法论的研究，而且也标志着数学哲学研究立场的重要转变。在新方向上工作的数学哲学家们几乎一致地认为，实际的数学活动应当成为数学哲学理论研究的出发点和最终依据。“哲学没有任何理由可以继续无视实际的数学活动。事实上，正是这种实践应当为数学哲学提供问题及其解决所需要的素材。”

当然，上述的转变直接反映了实际数学工作者的心声。这也就如麦克莱恩所指出的：“数学哲学应当建立在对于这一领域（按指数学）中所实际发生的一切的仔细观察之上。”

最后，值得指出的是，艾斯帕瑞和基切尔并曾从这样的角度对数学方法论研究的意义进行了分析。他们这样写道：“如果我们具有了这样的原则，历史学家就可以此为依据对实际历史与理想状况之间的差距作出研究，从而发现这样的有趣情况，在其间由于某些外部力量造成了对于方法论的偏离。另外，数学家们则可能会发现以下的研究具有一定的启示意义，即他们所选择的研究领域是如何由过去的数学演变而生成的，某些方法论的原则又如何在核心概念的更新中始终发挥了特别重要的作用。并非言过其实的是，这些答案……—还可能对数学家关于各种研究途径合理性及某些观念意义的争论起到一定的启发作用。”显然，这一认识与现代科学哲学中对于方法论的强调是完全一致的。

三、数学哲学的革命

从整体上说，与先前的基础主义数学哲学相比，新方向上的研究无论就基本的数学观，或是就研究问题、研究方法和基本的研究立场而言，都已发生了十分重要的变化。我们就可以说，数学哲学已经历了一场深刻的革命。

1.研究立场的转移，即由与实际数学活动的严重分离转移到了与它的密切结合。

由于深深地沉溺于对已有的数学理论和方法可靠性的疑虑或不安，因此，逻辑主义等学派在基础研究中普遍地采取了“批判和改造”的立场，即都认为应当对已有的数学理论和方法进行严格的批判或审查，并通过改造或重建以彻底解决数学的可靠性问题。从而，基础主义的数学哲学主要地就是一种规范性的研究，而也正因为此，基础研究在整体上就暴露出了严重脱离实际数学活动的弊病。

与此相对照，在新方向上工作的数学哲学家普遍采取了相反的立场，即是认为数学哲学应当成为实际数学工作者的“活的哲学”，也即应当“真实地反映当我们使用、讲授、发现或发明数学时所作的事”（赫斯语）。显然，基本立场的上述转移事实上也就意味着数学哲学性质的重要改变：这已不再是实际数学工作者所必须遵循的某些先验的、绝对的教条。

2.对于数学史的高度重视。

由于逻辑主义等学派所关注的主要是数学的逻辑重建，因此，在这些学派看来，数学的真实历史就不具有任何的重要性，或者说即是与数学的哲学分析完全不相干的，而数学哲学家所唯一应当重视的则就是逻辑分析的方法。

与基础主义者的上述作法相对立，在新方向上工作的数学哲学家则普遍地对数学史给予了高度的重视。例如，这就正如Echeverria等人所指出的：“对于数学活动的历史和社会层面的关注清楚地表明了‘新’的数学哲学与传统的新弗雷格主义倾向的区别，而后者在本世纪前半叶曾在这一学科中占据支配的地位。”显然，这事实上也就可以被看成上述的基本立场的一个直接表现。

更为一般地说，人们并逐步确立了这样的认识：“没有数学史的数学哲学是空洞的；没有数学哲学的数学史是盲目的。”（拉卡托斯语）这不仅标志着方法论的重要变革，而且也为深入开展数学哲学（和数学史）的研究指明了努力的方向。

3.研究问题的转移。

由于对已有的数学理论和方法可靠性的极大忧虑构成了逻辑主义等学派的基础研究工作的共同出发点，因此，基础主义的数学哲学主要地就是围绕所谓的“数学基础问题”展开的。这也就是指：如何为数学奠定可靠的基础，从而彻底地解决数学的可靠性问题？

与此相对照，现代的数学哲学家一般不再关心数学的可靠性问题，而这事实上也就是数学工作者实际态度的直接反映。这就正如斯坦纳（M.Steiner）等人所指出的，这是数学哲学研究的一个明显和无可辩驳的出发点，即人们具有一定的数学知识，这些数学知识并已获得了证实，从而就是可靠的。

对于力图为实际数学工作者建立“活的哲学”的数学哲学家来说，数学哲学研究的核心问题无疑就在于：如何对数学（活动）作出合理的解释？托玛兹克说：“数学哲学始于这样的思考，即是如何为数学提供一般的解释，也即提供一种能揭示数学本质特性并对人们如何能够从事数学活动作出解释的综合观点。”显然，这也就表明了，方法论的问题何以会在数学哲学的现代研究中占据特别重要的位置。

4.动态的、经验和拟经验的数学观对于静态的、绝对主义的数学观的取代。

尽管逻辑主义等学派对什么是数学的最终基础有着不同的看法，但是，从总体上说，他们所体现的又都可以说是一种静态的、绝对主义的数学观，因为，他们都希望能通过自己的工作为数学奠定一个“永恒的、可靠的基础”，这样，数学的进一步发展也就可以被看成无可怀疑的真理在数量上的单纯积累。

如果说静态的、绝对主义的数学观在基础主义的数学哲学中占据了主导的地位，那么，由于把着眼点转移到了实际的数学活动，人们现已不再把数学的发展看成是无可怀疑的真理在数量上的简单积累；与此相反，作为人类的一种创造性活动，数学发展显然是一个包含有猜测、错误和尝试、证明和反驳、检验与改进的复杂过程，并依赖于个体与群体的共同努力。从而，这种动态的、经验和拟经验的数学观就已逐渐取代传统的静态的和绝对主义的数学观在这一领域中占据了主导的地位。

综上可见，相对于基础主义而言，现代的数学哲学无论就研究问题、研究方法，或是就研究的基本立场和主要观念而言，都已发生了质的变化。因而，我们可以明确地断言：在数学哲学的现展中已经发生了革命性的变化。由于所有这些变化都与来自科学哲学的影响有着十分紧密的联系，因此，这也就最为清楚地表明了这种影响对于数学哲学现展的特殊重要性。

【参考文献】

1.M.Hallett,"TowardsaTheoryofMathematicalResearchProgrammes",inTheBritishJournalforPhilosophyofScience,30[1979],p.2

2.H.Mehrtens,"T.Kuhn''''sTheoriesandMathematics:aDiscussionpaperonthe‘NewHistoriography’ofMathematics",inHistoriaMathematica,3[1976],p.301,305,312

3.P.Kitcher,"MathematicalNaturalism",inHistoryandPhilsophyofModernMathematics,ed.byW.Aspray&P.Kitcher,UniversityofMinnesotaPress,1988,p.299,315

数学研究论文范文第2篇

一、对中学数学思想的基本认识

“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。

通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。

关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。

属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。

从质的方面说，还可分成表层认识与深层认识、片面认识与完全认识、局部认识与全面认识、孤立认识与整体认识、静态认识与动态认识、唯心认识与唯物认识、谬误认识和正确认识等。

二、数学思想的特性和作用

数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例)以及数学方法的本质性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。

(一)数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法

我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。

(二)数学思想深刻而概括，富有哲理性

各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。

(三)数学思想富有创造性

借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。当时，数学家们在作这些探讨时是很难的，是零零碎碎的，有时为了一个模型的建立，一种思想的概括，要付出毕生精力才能得到，这使后人能从中得到真知灼见，体会到创造的艰辛，发展顽强奋战的个性，培养创造的精神。

三、数学思想的教学功能

我国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》明确指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。根据这一要求，在中学数学教学中必须大力加强对数学思想和方法的教学与研究。

(一)数学思想是教材体系的灵魂

从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。

(二)数学思想是我们进行教学设计的指导思想

笔者认为，数学课堂教学设计应分三个层次进行，这便是宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想的飞跃和创造。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数学思想发生、发展过程的模拟和简缩。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。又如高中阶段的函数概念，便渗透了集合关系的思想，还可以是在现实数学基础上的概括和延伸，这就需要搞清楚应概括怎样的共性，如何准确地提出新问题，需要怎样的新工具和新方法等等。对于这些问题，都需要进行预测和创造，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学思想作为指导。有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能适应瞬息万变的技术革命的要求。靠一贯如此设计的课堂教学培养出来的人才，方能在21世纪的激烈竞争中立于不败之地。

(三)数学思想是课堂教学质量的重要保证

数学思想性高的教学设计，是高质量进行教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。随着新技术手段的现代化，学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的。面对这些活泼肯钻研的学生所提的问题，教师只有达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化，复杂的问题简单化；才能敏锐地发现学生的思想火花，找到闪光点并及时加以提炼升华，鼓励学生大胆地进行创造，把众多学生牢牢地吸引住，并能积极主动地参与到教学活动中来，真正成为教学过程的主体；也才能使有一定思想的教学设计，真正变成高质量的数学教学活动过程。

有人把数学课堂教学质量理解为学生思维活动的质和量，就是学生知识结构，思维方法形成的清晰程度和他们参与思维活动的深度和广度。我们可以从“新、高、深”三个方面来衡量一堂数学课的教学效果。“新”指学生的思维活动要有新意，“高”指学生通过学习能形成一定高度的数学思想，“深”则指学生参与到教学活动的程度。

数学研究论文范文第3篇

[论文摘要]:爱因斯坦说过“兴趣是最好的老师”。数学概念引入的好坏往往直接影响着学生对整个概念理解的效果，好的引入可以集中学生的注意力，启发他们的学习动机，使学生听课能抓住重点，产生强烈的求知欲望。文章主要针对数学概念的引入举例讲授几种常见的方法并且分析其优点。

数学概念是数学思维的细胞，是形成数学知识体系的基本要素，是数学基础知识的核心。数学定理、公式和方法都是反映数学对象和数学概念间的关系，只有具有正确明晰的概念，才能牢固的掌握基础知识。同时，在深入理解数学概念的过程中使得学生的抽象思维得到发展。在教学过程中，学生学习概念有一个准备过程，这个过程就称为“概念的引入”。

一、从与概念有关的趣事引入

兴趣可以唤起某种动机，兴趣可以培养人的意志，改变人的态度，引导学生成为学习的主人。因此我们在备课时要充分挖掘知识的趣味因素，找一些有关本节概念的，易于理解的趣题作引例，牢牢抓住学生注意力，调动其积极思维，使学生既对概念感兴趣，又大致了解这个概念的知识用途。

举例说明：介绍“点的轨迹”。老师事先准备好一段麻绳和一个彩色小球，将彩球绑在麻绳的一端。教师从一进教室可以边走边演示——彩色小球不停地旋转。这样一来，学生注意力一下子被吸引，并且表现出极大兴趣。老师在讲桌前站定后，便立即停止演示，随后要求学生解释刚才的现象。学生的思维被调动起来。在对学生的解释作出评价后，引出课题“点的轨道”然后引导学生结合生活中常见的“点的轨道”现象给下定义。这样，一个抽象的概念就在有趣的实验中得到充分的展示，学生对于点的轨迹也有了形象的理解。从实物引入概念，反映了概念的物质性、现实性，符合认识规律，给学生留下的印象比较深刻持久。

二、问题引入

波利亚说过：问题是数学的心脏。先提出一个典型问题，让学生动脑思考，在问题的解决中引入概念，使得学生对概念的理解更加深入。

举例说明：按比例分配的概念。在学习按比例分配时，老师可以提出这样的问题：“同学们，今天老师带了12个乒乓球作为礼物送给3个同学，应该如何分配？”“平均分。”“假如把这12个乒乓球作为奖品，奖给在运动会中获得一二三等奖的同学，又该如何分配呢？”在学生积极思考后，老师可以说：“其实，在我们的日常生活、工农业生产、经济建设等各项工作中，都会遇到很多不能平均分配的问题。例如，我们喝的酸奶中的水、牛奶、糖的成分会一样多吗？”由此就可以引出按照比例分配的概念，这样使得学生在思考的过程中加深对概念的理解！

三、旧知引入

中国古典小说，在每章节末说，“要知后事如何？且听下回分解”。在每回开头“上回讲到------且说-------。”短短的几句话，承先启后，衔接自然，使人看了上章想看下章，恨不得一口气把这本书读完。这种古老的说书技巧，也可以用来引入概念，使新旧概念自然街按，连为一体。

举例说明：几何概念的贯穿。在学习几何知识时，按照一条线----二条线（平行与垂直）------三条线（三角形）-----四条线（四边形）-----多于四条线（多边形）-----圆这样的结构，且用数量关系、位置关系作支柱，随着知识的增加，新知识不断纳入原有的认知结构中去。比如还可以在已经学习了“平行四边形”的概念的基础上引入“矩形”、“菱形”、“正方形”等等。利用学生已有的知识经验，以定义的方式给出，让学生主动地与自己的头脑中原有的知识相互联系、相互作用，理解它的意义，从而获得新概念。

四、联系实际引入

新课程标准要求：“数学教育应努力激发学生的学习情感，将数学与学生生活、学习联系起来，学习有活力的、活生生的数学”。那么，用生活中的实际例子来引入数学概念，联系生活实际讲数学，把生活经验数学化，把数学问题生活化，更有利于学生掌握和理解概念。

举例说明：比例的意义与性质。老师说：“同学们，我们已经学习了比，在我们人体上有许多有趣的比。例如：拳头滚动一周的长度与脚的长度的比是1：1，身高和胸围长度比大约是2：1。这些有趣的比作用非常大，比如你到商店去买袜子，只要将袜底在你的拳头上绕一周，就会知道这双袜子是否适合你穿。而这些奥秘是用比例知识来计算的，今天我们就来研究比例的意义和性质。”老师选取一些生动形象的实际例子来引入数学概念，既可以激发学生的学习兴趣和学习动机，又符合学生由感性到理性的认识规律。

五、通过类比引入

根据新旧知识的连结点、相似点，采用类比的方法引入概念。数学有着严密的科学体系，数学知识的连贯性很强，多数概念都产生于或者发展与相应的原有知识的基础上，所以用类比引入新概念有利于学生在思维中将一定的知识和技能从已知的对象迁移到未知的对象上去，有利于培养学生的探索发现能力。

举例说明：（1）类比“方程”和“不等式”：方程：含有未知数的等式；不等式：表示两个数或两个代数式不相等的算式。（2）类比“分数”和“分式”：分数：把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份,分子表示取了其中的几份；分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么称为分式。这种方法导入自然，使学生能从类推中促进知识的迁移，发现新知识，从而掌握新知识。

参考文献

[1]吴宪芳.中学数学教学概论[M].湖北教育出版社,2005.

数学研究论文范文第4篇

1.创设情境，培养兴趣

以创设情境为主线，根据教材的特点、教学的方法和学生的具体学情，把学生引入一种与问题有关的情境中，让学生通过观察，不断积累丰富的感性认识，让学生在实践感受中逐步认知，发展，乃至创造，以提高学生的数学素质。在数学课堂教学中情境教学的运用，可以达到提高学生的数学素质的目的。教育学家乌申斯基说：没有丝毫兴趣的强制学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。兴趣是学习的重要动力，也是最好的老师。在实践中，我经常巧妙地创设情境，引导学生从害怕数学到爱学数学，提高学生学习数学的兴趣，取得了事半功倍的效果。如常常用实际问题或设置悬念导入新课来激发学生的求知欲；或者在教学过程中为研究需要而临时产生一些尝试性的研究活动，以及在教学过程中，学生提出了意想不到的观点或方案等。显然，关键在教师要创设好问题情境，必须要从学生的学习兴趣出发，

要从知识的形成过程出发，要贴近学生生活，要带有激励性和挑战性。只有这样，才能引发学生的自主性学习，使学生的认知过程和情感过程统一起来。

2.自主探究，建构新知

“以学生的发展为本”是新课程理念的最高境界，要发展学生智力，培养学生能力，教师在教学过程中，始终把学生放在主体的位置，教师所做的备课、组织教学、教学目标的确定、教学过程的设计、教学方法的选用等等工作，都从学生的实际出发，要在课堂上最大限度地尽量地使学生动口、动手、动脑，极大地调动学生学习的积极性和主动性，养成良好的自学习惯，培养刻苦钻研精神。促进学生主动参与、主动探索、主动思考、主动实践。如果创设的情境达到了前面的要求，那么学生会自然地产生一种探究的欲望。教师只要适当地组织引导，把学习的主动权交给学生，让学生自主地尝试、操作、观察、动手、动脑，完成探究活动。因为学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，教师是学生意义建构的帮助者、促进者。

3.合作交流，完善认知

在教学中，通过创设问题情境，合作小组内自主探索、交流、对话，获得成效。小组之间互相交流、评价，达到教学互动、互促，形成比、学、赶、帮的学习氛围，从而使学生在合作交流的过程中学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果，体会在解决问题过程中与他人合作的重要性和感受获得成功的喜悦。组织学生合作交流要注意以下几点：①合理分组。按学生学习可能性水平与学生品质把学生分成不同层次，实行最优化组合，组建“学习合作小组”；②培养和训练学生的合作技能。即要提出合作建议让学生学会合作，小组合作交流要充分体现学生的自主性，而且要求学生按一定的合作程序有效地开展活动；③教师的激励性的评价是进一步促进合作的催化剂。评价应是更多地重视对小组的评价，注重小组成员的参与度及活动结果中的成果，从而培养学生的合作精神，缩小优差生的距离；④教师要参与学生的小组活动。教师既要巡视并检查学生对问题的解决情况，又要收集学生的学习信息，以便适时引导、点拨，促进其思维的不断深化，完善认知。

数学研究论文范文第5篇

关键词：新课改疑虑问题

新一轮基础教育改革给我们每一位教师带来了严峻的挑战和不可多得的机遇。本次课程改革，不仅改变了教师的教育观念，而且还改变了老师们每天都在进行着的习以为常的教学方式、教学行为。因此，对我们每一位教师提出了更高的要求，教师只有在教学中解决了这几方面的问题，才能更好地开展教学。

一、课堂教学中探究学习实施的疑虑

疑虑一:关于探究中的错误

传统教育是"永远正确"的教育，是消灭错误、鄙视错误的教育，这种教育让学生在错误面前得到的是紧张、羞愧，而不是理性的分析与反思。科学的历程正是在无数的失败与对成功的批判中发展的。教育背景中学生的失败是让他们掌握得到真理方法的重要途径，美国教育家杜威说过："失败是有教导性的。真正懂得思考的人，从失败和成功中学得一样多。"所以，教师要善待学生在探究中的错误，要指导学生去发现错误，并以此引导他们掌握验证的方法与对错误的坦诚态度。

疑虑二：关于学生探究前的知识基础

探究学习不仅需要一定的知识为基础，而且要求学习者具备应用知识的能力。但是，我们不能因为学生缺乏知识基础，就放弃探究学习本身，实际上，科学家在进行某项科学探究活动前，也不一定就完全具备了进行探究的知识基础，他必须在探究中不断学习，才能弥补知识上的缺陷。所以，在学生进行探究活动前，教师要做充分的准备，特别需要了解：

（1）即将进行的探究学习需要的知识基础是什么？

（2）目前学生的知识基础能够达到什么水平？还缺少哪些？

（3）学生可以通过什么途径掌握那些知识？

（4）不同基础的学生可能存在的差异是什么？

疑虑三：关于探究能力

能力的形成需要一个过程，这一点大多数教师都有亲身体会，不论是培养学生解数学题的能力，还是解决物理问题的能力，或者是语文教师提高学生写作的能力，都需要一个较长的过程。探究能力也是如此，应当尽可能早地进行这种能力的培养，最好从幼儿园、小学就开始。可惜的是，过去幼儿园与小学还不够重视，因此进入初中的学生非常缺乏探究的经验与能力。这就需要我们教师们花费一定的时间补上这一课。

疑虑四：关于教学进度

要花时间，必然影响教学进度。问题是：大多数学校在安排每学年教学进度时，并没有考虑这一点。还是按照大纲中的知识要求与课本知识章节排出一学年的教学进度。这种以知识为中心的进度安排，本身就违背了新课程以能力发展为核心的要求。因此，要面对本地本校的实际，实事求是地构建切实可行的课改方案。我认为：每学期开头的几周要将进度放慢一点，特别是起始年级，要调查研究这个年级学生探究能力的基本水平，选择本学习期望达到的能力目标，在开学的三周内，进行必要的探究技能，包括：自学、讨论、图书资料查询、网络运用、解释、实验等）培训。后面的教学再进一步强化学科探究的技能，一旦学生能力形成，学习的效率必然会得到提高，教学进度的问题也就好解决了。

疑虑五：关于探究学习的尺度

在探究学习的视野中，课本就是探究的资源之一，但是，仅仅坐在课堂里，是得不到探究学习所需要的丰富资源的。探究学习需要学生走出教室，走进大自然、走进社会、走进图书馆、走进实验室、走进网络世界。不过，不论学生走到哪里，学校与教师依然要重视资源的开发问题。教师可以筛选确定适合学生水平的资源库。当然，学生亲身经历对自然或社会的探究，收集第一手的资料，与在图书馆、网络或资源库的第二手资料结合起来，因为，这两种资料及其收集能力，都有不可替代的价值。

疑虑六：关于探究学习的资源开发

在探究学习的视野中，课本就是探究的资源之一，但是，仅仅坐在课堂里，是得不到探究学习所需要的丰富资源的。探究学习需要学生走出教室，走进大自然、走进社会、走进图书馆、走进实验室、走进网络世界。这就要求学校与教师依然要重视资源的开发问题，精心选择最有利于学生进行探究学习的教学平台，教师还可以筛选确定适合学生水平的资源库。当然，学生亲身经历对自然或社会的探究，收集第一手的资料，要与在图书馆、网络或资源库的第二手资料结合起来，因为，这两种资料及其收集能力，都有不可替代的价值。

疑虑七：关于考试与评价制度改革

考试与评价改革似乎是教师们反对探究学习最有力的理由，但是，高考已经发展到能力为评价核心的阶段，注重能力的培养将逐步成为教学的中心任务，考试与评价制度本身将进行改革，学分制等更注重学习过程的发展性评价，将取代过去以考试为主的评价。新的评价机制主要突出两点：一是强调综合评价；二是强调过程性评价。用发展的眼光对学生进行评价。在强调综合性评价，过程性评价的同时，也不要忽视必要的甄别和选拔考试，只是不要把它看成唯一的标准。目前，我国还没有取消甄别和选拔考试，选拔考试仍然是我国选拔人才有效的办法之一。

二、课堂教学中教师存在问题

问题一：流于形式。教师已经有意识地把新课程引入课堂，但是，仔细观察就会发现，在部分教师的课堂上，只是一种形式，缺乏实质性改变。教学只求“表面热闹”。有的教师上课表面看起来课堂气氛异常活跃，盲目追求课堂教学中提问题的数量，一定程度上忽视了学生的参与度不均衡，学生间的合作不够主动等问题，不能给学生充裕的时间，忽视对学生技能的训练与培养。其实，“活而不乱”才是新课程背景下课堂教学追求的理想目标。

问题二：过于追求教学的情境化。创设教学情境，不仅可以使学生容易掌握数学知识和技能，而且可以使学生更好地体验教学内容中的情感，使原来枯燥的、抽象的数学知识变得生动形象、饶有兴趣。但部分教师过于注重教学的情境化，为了创设情境可谓是“冥思苦想”，好像数学课脱离了情境，就不是新课程理念下的数学课。事实说明，有些教师辛辛苦苦创设的情境，并没有起到应有的作用。往往因为被老师创设的情境所吸引，而久久不能进入学习状态。

问题三：教师在课堂上不敢张口讲话。不知从何时起，我们的数学教学很忌讳老师的“讲”。不少老师把“少讲”或“不讲”作为平时教学的一个原则，因为他们知道，讲了就会有“灌输”“填鸭”之嫌。从学习方式看，学生的数学学习可以分为两种基本形式：一种是有意义的接受学习，一种是有意义的发现学习。无论是有意义的发现学习，还是有意义的接受学习都是数学学习中的重要学习方式。在改革的同时，我们要注意对传统的继承和发展。课堂上是不是讲，真正的问题在于讲什么、怎样讲。一般来说，陈述性的、事实性的知识，可以让学生运用接受学习的方法进行学习。教师该引导的要引导，该问的要问，该点的要点，该讲的要讲，要充分发挥教师和学生两方面的主动性和创造性。

问题四：教学过于追求手段现代化。运用多媒体计算机辅助教学，能较好地处理好大与小，远与近，动与静，快与慢，局部与整体的关系，使学生形成鲜明的表象，启迪学生的思维，扩大信息量，提高教学效率。为此，讲课教师不惜花费一周甚至数周的时间精心制作课件。可结果并不理想，有的课件不过是课本搬家，只是起到了替代小黑板的作用；有的教师把界面搞得五彩缤纷，以为这样可以吸引学生的学习兴趣，结果适得其反，学生的注意力被鲜艳的色彩所吸引，忘记了听老师讲课，而忽略了课堂教学中应掌握的知识。计算机辅助教学要用在点子上，要注重实效。使用新技术并不一定代表新的教学思想。屏幕不能代替必要的板书，学具操作不能代替必要的教具演示，教师只有把现代化教学手段与传统的教学手段（教具、学具、黑板）有机结合起来使用，优势互补，使教学手段整体优化，才能提高课堂教学效率。