南开大学自主招生

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南开大学自主招生范文第1篇

浙江省数学特级教师，嘉兴市数学会副会长.

在现实世界中，相等是相对的，不等是绝对的．不等关系是现实生活中最普遍的数量关系，不等式是刻画不等关系的一种重要数学模型．不等式与数、式、方程、函数、导数等知识都有着天然紧密的联系，是学习高等数学的重要基础．在自主招生考试中，不等式问题主要分为三类：利用不等式求最值、解不等式、证明不等式．在本期内容中，我们讨论用均值不等式和柯西不等式解决这三类问题．

一、均值不等式和柯西不等式

均值不等式：ai>0（i＝1，2，…，n） ，记a1到an这n个正实数的平均数如下：调和平均数Hn＝■＝■，几何平均数Gn=■=■，算术平均数An=■=■，平方平均数Qn=■=■，且有Hn≤Gn≤An≤Qn，当且仅当a1=a2=…=an时，Hn=Gn=An=Qn．其中，An≥Gn，即■≥■的使用频率比较高．

柯西不等式： ai，bi（i＝1，2，…，n）为实数，则■■■■≥■aibi2． 若ai≠0，当且仅当■=■=…=■时，等号成立；若ai=0，默认bi=0，等号也成立.柯西不等式的二维形式为（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad＝bc 时，等号成立．

二、利用均值不等式和柯西不等式求最值

利用均值不等式求最值时，要对所求的函数或代数式进行适当的“凑配”，“凑配”主要以“和为定值，积最大”“积为定值，和最小”为依据，在函数或代数式的转化过程中找到定值．

利用柯西不等式求最值时，也要对系数进行适当的“凑配”，“凑配”的主要目的是把目标函数向柯西不等式的形式转化．

利用均值不等式和柯西不等式求最值时，都要注意等号成立的条件．

例1 （2008年南开大学自主招生考试试题） 已知正数a，b，c满足：a2+ab+ac+bc＝6+2■，则3a+b+2c的最小值为 ．

解析：由题意可知（a+b）（a+c）＝6+2■，即a+b与a+c的乘积为“定值”． 3a+b+2c＝（a+b）+2（a+c）≥2■＝2■+2■，当且仅当a+b＝2（a+c）时，等号成立. 3a+b+2c的最小值为2■+2■.

例2 （2007年复旦大学自主招生考试第81题） 给定正整数n和正常数a，若a1，a2，a3，…成等差数列｛an｝且｛an｝满足不等式■+■≤a，则和式■ai的最大值为

（A） ■（n+1） （B） ■n

（C） ■（n+1） （D） ■n

解析：根据题意，设｛an｝的通项公式为an＝a1+（n-1）d，则由题意得■ai＝■＝■＝■． 如何把■与■+■联系起来呢？将■视作（-a1）2，在■+■前面乘以系数（32+12），根据柯西不等式的二维形式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，可得（3an+1-a1）2≤（32+12）・［■+（-a1）2］≤10a，即3an+1-a1≤■. 当an+1＝-3a1，■+■＝a时等号成立． ■ai的最大值为■（n+1）． 选A．

三、利用均值不等式和柯西不等式求解代数式

利用均值不等式和柯西不等式解题时，若等号成立，不等式便可转化为等式．据此，我们可以求出一些代数式的值．

例3 （2002年上海交通大学自主招生考试第10题） 若a，b满足关系：a■+b■=1，则a2+b2= ．

解析：直接对a■+b■=1进行两边平方化简，很难求出a2+b2的值． 如果我们联想到a2+（■）2＝1，b2+（■）2=1，则由柯西不等式可得（a■+b■）2≤（a2+1-a2）（1-b2+b2）＝1.又由条件a■+b■＝1可知不等式a■+b■≤1能取到等号， ■＝■，化简得a2+b2=1．

四、利用均值不等式和柯西不等式证明不等式

利用均值不等式和柯西不等式可以拓宽不等式证明的思路：借助均值不等式可以实现“和”与“积”的转换，借助柯西不等式则能起到“降次、升幂、去分母”的作用．

例4 （2011年“华约”自主招生考试第13题） 已知函数f（x）=■，f（1）=1，f■=■，令数列｛xn｝满足xn+1＝f（xn），x1＝■．（1） 求数列｛xn｝的通项；（2） 求证：x1・x2・…・xn>■．

解析： （1）由f（1）=1，f■=■解得a=1，b=1， f（x）=■．由x1＝■，xn+1＝f（xn）解得x2＝■，x3＝■，x4＝■，故猜想xn＝■．用数学归纳法证明：当n=1时，x1＝■=■成立；假设n=k时猜想成立，即xk＝■． xk+1=f（xk）=■=■=■， 当n=k时，猜想成立. ｛xn｝的通项公式为xn＝■ ．

（2） 要证x1・x2・…・xn >■，只需证■

到这里，解此题必用的结论■1+■n=e登场了，作为课外补充，该结论需要同学们牢记.

■1+■n=e， 1+■1+■・…・1+■■．

例5 （2008年南开大学自主招生考试试题） 设a，b，c为正数且a+b+c＝1．求证：a+■2+b+■2+c+■2≥■．

解析：首先来分析待证不等式的结构特征．由于不等式左边是二次代数式的和，右边是常数，而已知条件是一次代数式的和，所以我们要设法把不等式左边的二次式降为一次式，再把一次式降为常数，这样柯西不等式才会有用武之地．

a+■2+b+■2+c+■2=■（12+12+12）a+■2+b+■2+c+■2≥■1・a+■+1・b+■+1・c+■2=■1+■+■+■2=■・1+（a+b+c）■+■+■2≥■1+■・■+■・■+■・■22＝■（1+9）2＝■．

解题过程中两次使用了柯西不等式，第一次等号成立的条件是a+■＝b+■＝c+■，结合a，b，c为正数和a+b+c＝1，解得a＝b＝c＝■．第二次等号成立的条件是a＝b＝c＝■．两次等号成立的条件相同，故所证不等式成立．

例6 （2010年浙江大学自主招生考试第5题） 有小于1的正数x1，x2，…，xn且x1+x2+…+xn=1，求证：■+■+…+■>4 ．

解析：待证不等式右边为常数4，左边是一些分式的和，形式复杂，难以通分求和. 我们考虑从不等式左边的分母着手，使之与已知条件相关联：将不等式左边的分母x1-■，x2-■，…，xn-■相加，和式中就出现了x1+x2+…+xn的形式.

由柯西不等式可得［（x1-■）+（x2-■）+…+（xn-■）］■+■+…+■≥n2． x1+x2+…+xn=1， （x1-■）+（x2-■）+…+（xn-■）＝1-（■+■+…+■）． 0

通过以上讲解，我们发现，在求解不等式问题的过程中，均值不等式和柯西不等式起着“神来之笔”的作用．另外，排序不等式、琴生不等式的用处也很大，如果你掌握了它们，在自主招生考试中，或许会有意想不到的收获．

排序不等式：

设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，则有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1（反序乘积和）≤a1br1+a2br2+a3br3+…+anbrn（乱序乘积和）≤a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn（同序乘积和）． 当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时，等号成立．

琴生不等式：

南开大学自主招生范文第2篇

关键词：试点学院；教育教学改革；借鉴

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）36-0101-02

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010―2020年）》的标明高等教育将进入全方位注重教育质量的新阶段。人才培养作为高等教育的基本职能，是高等教育的核心任务，人才培养的质量问题是高等教育的核心问题[1]。提高人才培养质量是高等教育内涵式发展的必然要求，它要求大学不应再一味地追求规模、强调硬件，而必须潜心地追求教学质量[2]。然而，随着高校的扩招，人才培养的质量问题不断凸显，主要存在规模结构不合理、办学特色不突出、条件保障不健全等问题，大大阻碍了高等教育事业的发展。而破解高等教育发展深层次矛盾，关键在于深化体制机制改革。为此教育部于2011年启动了试点学院改革项目，以创新人才培养体制为核心、以学院为基本实施单位，在所选取的17所高校试点学院推行综合改革，并于2012年11月出台《关于推进试点学院改革的指导意见》，提出24项支持性政策措施，进一步明确了改革的目标和要求。这项改革将是推进高等教育体制机制创新的重要突破口，对高等教育全面内涵式发展具有巨大的推动作用。本文将结合教育部试点学院的先进经验，探索高等教育改革的有效途径。

一、试点学院概述

试点学院是教育部设立的“高等教育教学改革特别试验区”，也是高等学校里的“改革特区”。教育部共设立了17个试点学院，分别是：清华大学理学院、北京大学物理学院、上海交通大学机械与动力工程学院、中山大学管理学院、华中科技大学光电子科学与工程学院、北京师范大学教育学部、天津大学精密仪器与光电子工程学院、同济大学土木工程学院、南开大学泰达学院、上海大学钱伟长学院、中国科技大学物理学院、浙江大学基础医学院、四川大学生命科学学院、北京航空航天大学能源与动力工程学院、北京交通大学经济管理学院、苏州大学纳米科学技术学院和黑龙江大学中俄学院。

17个试点学院来自“985”高校、“211”高校、其他高校的比例分别是13∶3∶1，涵盖工、理、经管、教育、医学等5个学科门类（另1个综合实体学院――南开大学泰达学院、1个培优类学院――上海大学钱伟长学院、1个国际学院――黑龙江大学中俄学院），比例为6∶4∶2∶1∶1，主要分布在华北、华东地区，占比分别是41%和35%。

二、试点学院改革举措

围绕教育部《关于推进试点学院改革的指导意见》，试点学院改革主要针对直接影响人才培养质量的生源、师资、培养模式以及体制机制保障等四个方面展开，立足各学院自身特点，实施了一系列改革措施。

1.招录与选拔机制改革。在本科生生源招录选拔方面，主要以创新基于国家统一高考的自主招录方式为主，北京航空航天大学能源与动力工程学院强调从学校、学科、企业三个角度全面观察选拔学生，设立了“三三制”自主招生委员会[3]；北京师范大学教育学部实行按一级学科大类招生[4]；天津大学精密仪器与光电子工程学院以实施工程科学“夏令营”和“冬令营”为抓手，选拔具有潜力的学生[5]。在研究生生源招录选拔方面，主要以多元化评价方式为主，北京航空航天大学能源与动力工程学院优先鼓励招收具有创新实践活动经历的学生，破格录取具有特殊能力的学生[3]；北京师范大学教育学部采取硕士自主命题招生，博士试行“推荐―审核”招生，并单列招生计划[4]。

2.人才培养模式改革。试点学院对人才培养模式的改革主要集中在改革课程体系、实践教学、个性化培养以及文化素质培养等方面。如中国科学技术大学物理学院建立了以课程组为主导的教学与管理模式，即课程由教授“组团”来完成授课，每个教授至少参加两个课程组以参与一线教学活动，同时制定了教授值班制度，以“Open Hour”的形式为学生提供与教授面对面交流的平台[6]；北京交通大学经济管理学院通过组建本、硕、博相互融合的新型学生学业团队培养学生的学习规划、科学研究和社会实践能力[7]；天津大学精密仪器与光电子工程学院强调校企深度协同合作，建立融合社会资源的工程实践基地，企业参与学生培养的同时学生可参与真实的企业实践训练，理论联系实际，提高培养质量[5]；北京航空航天大学能源与动力工程学院强调学生的差异化对待和个性化培养，通过不同类型（科学型、技术科学型、工程型）导师的自由选择，获得适合自身特点和兴趣爱好的“个性化培养方案”，进行差异化培养[3]；浙江大学基础医学院建立“知识、能力、视野、人文”四位一体的人才培养体系，强调提升培养拔尖创新人才能力[8]。