向量的加法与减法数学教案

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一．教学目标

1．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；

2．能利用向量减法的运算法则解决有关问题；

3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

4．过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．

二．教学重点：向量的减法的定义，作两个向量的差向量；

教学难点：对向量减法定义的理解．

三．教具：多媒体、实物投影仪

四．教学过程

1．设置情境

上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法（板书课题：向量的减法）

2．探索研究

（1）向量减法

①相反向量：与长度相等，方向相反的向量叫做相反向量。记作

规定：零向量的相反向量仍是零向量

注意：1°与互为相反向量。即

2°任意向量与它的相反向量的和是零向量。即

3°如果、是互为相反向量，那么

②与的差：向量加上的相反向量，叫做与的差

即

③向量的减法：求两个向量的差的运算叫做向量的减法

④的作法：已知向量、，在平面内任取一点O，作，则。即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量

⑤思考：为从向量的终点指向向量的终点的向量是什么？（）

师：还可以从加法的逆运算来定义，如下图所示，因为，所以就是，因而只要作出了，也就作出了．

要作出，可以在平面内任取一点，作，，则．

师：若两向量平行，如何作它们的差向量？两个向量的差仍是一个向量吗？它们的大小如何（的几何意义）？方向怎样？

生：两个向量的差还是一个向量，的大小是，是连接、的终点的线段，方向指向被减向量．

练习：（投影）

判断下列命题的真假

（1）．（）

（2）相反向量就是方向相反的向量．（）

（3）（）

（4）（）

参考答案：√、×、×、×

（2）例题分析

【例1】已知向量、、、，求作向量，

师：已知的四个向量的起点不同，要作向量与，首先要做什么？

生：首先在平面内任取一点，作，，，

作、，则，

【例2】如图所示，中，，用、表示向量、．

师：由平行四边形法则得

由作向量差的方法

得

练习：（投影）

对例2进行变式训练

变式一，本例中，当、满足什么条件时，与互相垂直？

变式二，本例中，当、满足什么条件时，？

变式三，本例中，与有可能相等吗？为什么？

参考答案：

变式一：当为菱形时，即时，与垂直．

变式二：当为长方形时，即．

变式三：不可能，因为的对角线总是方向不同的．

3．演练反馈（投影）

（1）△中，，，则等于（）

A．B．C．D．

（2）下列等式中，正确的个数是（）

①；②；③；④；⑤．

A．5B．4C．3D．2

（3）已知，，则的取值范围是_____________．

参考答案：（1）B；（2）B；（3）［3，13］

4．总结提炼

（1）相反向量是定义向量减法的基础，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量：

（2）向量减法有两种定义：①将减法运算转化为加法运算：②将减法运算定义为加法运算的逆运算：如果，则．从作图上看这两种定义没有本质区别，前一个定义就是教材采用的定义法，但作图稍繁一点；后一种定义便于作图和记忆，两个有相同起点的向量相减，所得向量是连接两向量终点，并且指向被减向量的终点．