二倍角的正弦余弦正切数学教案

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（一）教学具准备

投影仪

（二）教学目标

1．应用倍角公式解决本章开头的一个应用问题．

2．活用倍角公式，推求半角公式．

（三）教学过程

1．设置情境

请同学看教材第3页上的一段文字，它叙述的是一个生活中的实际问题：

“如图1，是一块以点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上画出一个内接矩形辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点、落在半圆的圆周上．已知半圆的半径为，如何选择关于点对称的点、的位置，可以使矩形的面积最大？”根据教材提示应用所学的倍角公式，同学们能尝试解答它吗？

2．探索研究

分析：要使矩形的面积最大，就必须想办法把面积表示出来，不妨利用我们所学的三角知识，从角的方面进行考虑，设，则，，所以可以用表示．

解：设则

∵∴

当时，即，

这时，

答：点、分别位于点的左、右方处时取得最大值．

变式：把一段半径为的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？

生：根据上题的结果可知这时圆内接矩形为内接正方形时面积最大．

以上是倍角公式在实际生活中的运用，请同学们观察以下例题，并分析、思考后能否得出证明．

3．例题分析

【例1】求证：

（1）；（2）；

（3）．

思考，讨论．

我们知道公式中是任意的，所以我们可以用来替换，这样就得到

即

上面三式左边都是平方形式，当的值已知，角的终边所在象限已知时，就可以将右边开方，从而求得：

以上两式相除又得：

这三个式子称之为半角公式，“±”号的取舍得由终边所在象限确定．

【例2】求证：

．

分析：从例1引出例2，，右边是同一个三角函数，并且还要附上正负号，而所要证明的式子右边有两个三角函数，不带正负号．故我们不能利用上法，得另想办法．

师：（边叙述边板书）

∴

上式不含根号也不必考虑“±”号选取，通常用于化简或证明三角恒等式，同样可作半角公式运用．

【例3】已知：，求，，．

解：

说明：①例1中（1）、（2）两式使用频率极高，正、逆使用都非常普遍．习惯从左到右，常称“扩角降幂公式”，从右到左常谓“缩角升幂公式”，

②半角公式是二倍角公式的另一种表达方式，倍半关系是相对的．

练习（投影）

1．已知：（），

求：（1）；（2）．

2．若，求：的值．

3．求：的值．

参考答案：

解：1．∵

两边平方得∴

又∵∴

∴∴

2．∵∴

原式

（3）

另解：设……………………①

……………………②

①＋②得…………………………③

①－②得……④

③＋④得∴

4．总结提炼

（1）本节课我们由倍角公式出发解决了实际应用问题，得出结论“在一个圆的所有内接矩形中，以内接正方形的面积为最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，从而推导出半角公式，公式“±”号的选取决定于终边所在的象限，例2的应用也很广泛，大家可根据题目的条件选择使用较为方便的形式．

（2）从半角公式可以看出，半角的正弦、余弦、正切公式都可以用单角的余弦来表示．

（3）若给出的是象限角，则可根据下表决定符号．

的终边

一

二

三

四

的终边

一或三

一或三

二或四

二或四

若给出的是区间角，则先求所在区间再确定符号．

若没有给出确定符号的条件，则应在根号前保留“±”号．

（五）板书设计

二倍角的正弦、余弦、正切

1．复述二倍角公式

2．由，推出半角公式