方程的根与函数的零点数学教案

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教学目的：

1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；

2、根据具体函数的图象，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

教学重点：函数的零点的概念及求法；能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。

教学难点：利用函数的零点作简图；对二分法的理解。

课时安排：3课时

教学过程：

一、引入课题

1、思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2、指出：

（1）方程x2-2x-3=0的根与函数y=x2-2x-3的图象之间的关系；

（2）方程x2-2x+1=0的根与函数y=x2-2x+1的图象之间的关系；

（3）方程x2-2x+3=0的根与函数y=x2-2x+3的图象之间的关系.

二、新课教解

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有如下关系：

判别式

△=b2-4ac

△>0

△=0

△<0

二次函y=ax2+bx+c

的图象

x

y

x1

x2

x

y

x1=x2

y

x

与x轴有两个交点（x1,0）,(x2,0)

与x轴有唯一的交点（x1,0）

与x轴没有交点

一元一次方程

ax2+bx+c=0

的根

有两个不等的

实数根x1，x2

x1<x2

有两个相等实数

根x1=x2

没有实数根

2、函数零点的概念

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint).

方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点

3、连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.

练习：P103第1、2题．

思考：怎样求解方程lnx+2x-6=0？

4、二分法

对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

步骤：1、确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε

2、求区间(a,b)的中点x1

3、计算f(x1);

(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点

(2)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1))

(3)若f(b)·f(x1)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b))

4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4。

例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程

的近似解（精确到0.1）。

练习：P106第1、2题．

三、归纳小结，强化思想

本节主要学习了函数的零点的概念及求法；借助计算器或

计算机用二分法求相应方程的近似解。

四、作业布置

1．必做题：教材P108习题3．1（A组）第1－6题．

2．选做题：教材P109习题3．1（B组）第2题