几何体的体积数学教案

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一、教学目标

1、知识与技能

（1）通过对空间几何体（柱、锥、台和球体）的研究，掌握它们之间的体积关系及体积公式；

（2）掌握公式法求体积的方法，会用隔补法求空间几何体的体积，会用等积法求点到平面的距离；

（3）通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

2、过程与方法

（1）通过创设情境（长方体的体积）引入其它几何体的体积关系。

（2）通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式和面积公式的方法。

3、情感与价值观

通过自主探索和学习，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心。

三、教学重点、难点

重点：推导空间几何体的体积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

四、学法和教学用具

1．学法：学生通过阅读教材，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤，借助课件进一步体会。

2．教学用具：多媒体辅助教学

五、教学过程

（一）创设情境

1、取一摞书堆放在桌面上，组成一个长方体，观察改变前后的体积是否发生变化？

回忆长方体的体积公式或．

2、推动一下，改变形状，保持高不变，体积是否改变？

3、两个底面积相等、高也相等的棱柱，它们的体积是否一样？

（二）探究柱、锥、台的体积公式

1、棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．

柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积和高的积，即．

2、类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等．棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为，高为的棱柱的体积，所以．

3、台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算．如果台体的上、下底面面积分别为，高为，可以推得它的体积是．

4、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：

（三）探究球的体积与面积公式

1．球的体积：

探索底面半径和高都为球半径的圆柱、圆锥与半球三者体积之间的关系，得到半径是R的球的体积公式：

结论：

2．球的表面积：

借助分割思想来推导球的表面积

图1

（1）若将球表面平均分割成n个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.

（2）若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.

（3）半径为R的球的表面积公式：

结论：

四、数学运用

（一）例题讲解

例1．有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8．已知底面六边形边长是12，高是10，内孔直径是．那么约有毛坯多少个？（铁的比重是）

分析六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由此比重算出一个六角螺帽毛坯的重量即可．

解：因为

所以一个毛坯的体积为

．

约有毛坯（个）．

答：这堆毛坯约有251个．

例2．如图（见课本）是一个奖杯的三视图（单位是cm），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积。(精确到0.01cm)

解：采用斜二测画法。先画底座，这是一个正四棱台；再画杯身，是长方体；最后画出球体。

为

所以这个奖杯的体积为

（二）巩固深化、反馈矫正

教材P56—练习3、4，

（三）课堂小结

1、柱、锥、台、球的体积公式及其相互关系，球的表面积公式

2、几何体的体积和球的表面积公式的推导的思想方法，以及利用公式

解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。

（四）评价设计

P60—2、5（3）、9、10