数学思想历史与逻辑探析
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欧阳绛认为，历史从哪里开始，思维的逻辑也应从哪里开始．⋯数学的思想是历史地并且是合乎逻辑地发生和发展的．这是思维的辩证法，是人类认识客观世界必须遵循的基本规律，也是人类认知的基本规律，当然也是数学教育必须遵循的基本规律．这也充分表明数学史在数学教育中的重要作用和密不可分的关系．数学史的一个重要的目的就是“教育的目的”．正如莱布尼兹所说：“了解重大发现，特别是那些绝非偶然的、经过深思熟虑的重大发现的真正起源，是极为有益的．”通过历史范例，可以“促进数学发现的艺术，揭示数学发现的方法”．宋乃庆认为，新课程是一种人本化的文化教育．新课程理念下的数学教育应是一种文化意义上的全面培养学生数学素养的教育．-3数学史是认识数学的基本依据，是数学文化的重要载体，是制定数学新课程目标的有力支撑，是实现新课程目标的有效途径．数学史支持数学教育的发展，数学教育也拓展并深化数学史的价值．我国老一辈数学家余介石先生也倡导数学史的教育价值：“教师对于学理，必须考其在历史上发展之象迹，以觇人心认知之程序与限度，庶可因时指宜，善为说理，既不至使初学难以猝通，亦不至养成其谬见或误解．历史之于教学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之思，收闻风兴起之效．更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序，如何得以融和调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也．-4J，’基于此，数学教育方式的选择和运用就自然地要求顺应于数学思想本身的历史和逻辑的发展规律．数学教育方式选择的一个基本认识前提就是建立在数学史与数学教育整合的基础之上，而基本思路则是以“历史与逻辑相统一?的辩证思维基本规律为指导，基于数学思想的历史与逻辑，探究符合数学思想的历史与逻辑的，从而也符合学生认知规律的且适合学生数学潜能的开发和思维能力发展的数学教育方式，充分发掘数学教育的整体功能．研究表明，要真正地把蕴含着数学思想方法的巨大宝藏的数学史的文化教育功能发掘出来，就必须走数学史与数学教育整合的研究之路，即将历史上发生的数学的思想和方法整合进数学知识内容的教学之中，让学生在学习数学知识的同时，受到数学的精神、思想、方法的熏陶．基本思路则是对数学观、数学教育观以及数学教学观及其指导下的数学教育实践进行思考，在基于数学思想的发生发展的历史与逻辑以及数学家创立新数学理论的思维过程的基础上，揭示其对数学教育的迁移和教育作用(即如何将数学家的思维方式转化为数学的教育形态)，并将这一基本认识迁移到我们的数学教育教学实践中，形成“基于数学思想的历史与逻辑的数学教育”教学模式．
2．实施途径——基于历史相似性理论的数学教学
“基于数学思想的历史与逻辑的数学教育”教学模式实施的一个有效途径是设计基于历史相似性理论的数学教学．历史相似性理论认为，学生对数学知识的认知过程和历史上该知识的发展过程具有相似性．基于历史相似性理论的数学教学要求教师对知识进行解构，其根据是按照数学史上该知识形成的几个关键特征进行分析，探索学生在学习此知识时可能存在的障碍；然后对这几个特征进行重构，其标准是按照每一个特征的难易程度进行序列化，重新组织教学进程；在重构的基础上实施教学，让学习者亲历知识点形成关键时期数学家对于该知识内容的探究活动，教师适时引导和点拨，从而学生完成自组织突变的一种教学模式．基于历史相似性理论的数学教学，是要让学生做到“读、做、悟、创”，通过阅读、学习典型数学史料，感知数学知识的发现历程，理解科学发现的艰难曲折的过程．学生通过“亲历”和“重演”数学家的探究活动，建构数学知识，理解数学知识；学生通过反思亲历的探究活动，体悟数学的人文精神；通过现实应用，创新设计探究数学知识的思路和步骤，超越数学家，体验数学学习的成功喜悦感．基于历史相似性理论的教学设计对于数学教学至少有两方面的意义．一方面，可以运用历史相似性理论来反思现今教学内容顺序安排的合理性，对知识的呈现顺序进行更为合理的设计，对整体课程的设置进行更适切的把握；另一方面，历史相似性理论又指导在针对某一知识点进行教学设计时，通过研究历史对学生的认知障碍进行预先分析，然后结合丰富的史实资源来开拓学生思维，使学生对知识的理解更加多元更加深入。由于学生对学新难点的理解以及转化过程与历史存在相似性，所以通过研究历史上数学家所遇到的认知冲突、认识障碍来预测和解释现今学生的学习难点自然就成了数学教育工作者关注的重点问题．同时，通过了解数学家们曾面临的困难和错误，也有助于教师更加宽容地看待学生所犯的错误，给学生更多的信心和鼓励．基于历史相似性理论的数学教学可考虑从纵横两个维度展开．纵向维度即为在教学的逻辑顺序的处理上应该尽量遵循历史发生的维度，以便能够更加适合学生的认知心理．对历史相似性理论进行纵向理解，即意指围绕着知识呈现的顺序是否符合历史所给予的启示而展开的理解．这里所谓的知识呈现顺序也即通常意义上教材对学科内容先后顺序的编排，教师在教学过程中先教什么后教什么的问题，就中学阶段所学习的数学知识而言，可以理解为如何安排代数、几何、概率统计三者的教学先后关系；进而还可以细化为如何安排几何内容中所包含的两大部分：平面几何与立体几何之间的教学先后问题；再进一步甚至可以细化到单单就立体几何知识而言究竟是选择按照元素之间的关系进行教学，诸如现在人教版新教材中使用的按照垂直和平行这两大类关系进行介绍，将点线面体穿插于其中，还是像旧版教材那样按照抓住单一元素再介绍它们之间及与其它元素之间的关系进行，即先介绍点与点之间的关系，再介绍线与线以及点与线之间的关系，进而再是面与面及点线面之间的关系．横向维度则是从单个知识点的角度考虑，学生在某些知识点的理解上会产生和前人同样的认识，甚至于也可能会重复前人的谬误，在一些知识上呈现历史上各种不同的观点，让学生自行取舍与分析，以起到深化理解的作用．对历史相似性理论进行横向理解，即意指就某一知识点的学习，学生所遇到的认知障碍或出现的多元思维常常会与前人呈现惊人的相似，诸如前面提及的“历史相似性理论”的实证研究．在诸多实验中我们都发现学生会重蹈前人覆辙，因此可以史实研究来预测学生对某一知识的认知困难，或者也可以如实地展现历史上的这些或者正确或者错误的思维片段，让学生自行分析；而另一方面，由于时代不同或者社会背景不同，对于同一问题历史上往往会出现多种不同角度的思考方式，这时我们就可以如实地向学生再现古今中外数学家们对这一知识点、知识片段的多元观点与各家争鸣，以便于学生更为系统深入地理解这一知识点．
3．实施基础——教师的数学史修养
数学史家卡约黎曾经说过，数学史对于数学教学来说是一种十分有效、不可或缺的工具J．历史能够帮助教师按自然的顺序呈现各个数学概念，尽可能地减小各个知识点之间的跨越度，为开展课堂活动提供生动而有意义的资料．因此掌握一定的数学史知识有助于教师预测学生的学习困难，设计对应的教学策略，即遵循概念的历史发生顺序的教学设计，帮助学生克服各种理解障碍．我们认为，为了有效实施基于数学思想的历史与逻辑的数学教育研究，首先，教师必须了解本学科的基本发展史．实际上，在教师教育的计划中，开设数学史的课程应该是教育取向的数学史课程，数学史教育者，尤其是教师教育者的一个重要任务就是精心选择那些和教师将来的教学有关的数学史知识，并对它们的教育意义加以分析．这个任务，需要联合数学史家和数学教育家的共同力量来完成．在这个基础上，确定其中关键的发展步骤，比如一些认知障碍的出现．然后再按照课堂和学生的实际情况重新构建这些关键步骤，直接或间接地使用历史材料设计教学方案．历史资料是教学设计教学实验的灵感来源和控制手段，但是使用历史并非简单地重复历史事件或评论历史事实，正如弗莱登塔尔所说：我们不应该重蹈发明者的足迹，而是通过改良使历史过程有更好的引导作用．对于一线教师来说，必须谨慎地对待历史和教学，考虑到两种环境的区别：历史与课堂的优势和局限分别是什么．只有做好两手充分准备，才能根据不同水平不同类型的学生，恰如其分地将历史的资料转化为教学的材料．在高师数学专业学生课程设置上，对未来的数学教师开设数学史课程是非常必要的，特别是开设的课程要注重挖掘数学史料的教育价值．对于在职教师而言，以各种形式提高它们的数学史修养也非常必要．可效仿国际上比较常用的方式，考虑以学校为中心，组织教师开展HPM的实践活动，不仅可以增强教师的HPM素养，而且可以促进教师专业发展．此外，将HPM作为在职教师培训的一个专题也是可取的．
