初中数学建模的内容设计与实施原则

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摘要:初中数学建模活动是培养初中生数学建模能力的有效路径。与高中数学建模活动相比，初中数学建模活动没有明确的活动内容、教学要求、实施策略等。基于初中数学建模活动的内涵分析，将初中学段的建模活动内容划分为构建数学模型、应用数学模型、主题综合实践等三类，指出初中数学建模活动应遵循抽象性、阶段性、适切性、发展性等组织原则。

关键词:初中数学建模活动内容设计组织原则数学建模能力

在初中课程内容中，数学建模活动既没有明确的课程定位、目标要求，也未设置专题活动内容，更没有明确的教学要求、实施策略等，致使很多一线教师对初中数学建模活动的内涵、内容设计和组织原则等认识模糊，甚至将应用题教学与数学建模活动简单地画上等号。因而，正确理解初中数学建模活动的内涵，明确建模活动内容，掌握组织原则，才能取得预期的活动成效。

一、初中数学建模活动的内涵

数学建模活动由数学、建模、活动三个关键词构成。“数学”凸显数学学科本质属性，蕴含着数学眼光、数学思维、数学语言等诸多含义，最终指向用数学知识分析和解决实际问题；“建模”是指运用数学符号系统建立数学模型；“活动”是指为实现学习目标而采取的行动。初中数学建模活动是指初中生（以下简称“学生”）在实际情境（生活情境、社会情境、科学情境和数学情境）中，从数学的视角发现和提出问题，用数学的方法分析问题，简化、假设、抽象出数学问题，建构数学模型，确定参数、求解验证，最终解决实际问题的学习活动。2011年版义务教育数学课程标准中使用了“模型思想”的表述，将数学建模活动看成是一种思想，包括从现实问题到数学问题、从数学问题到数学模型，数学模型求解及结果验证三个过程。2017年版高中课程标准指出数学建模活动是一种过程，分为现实问题的数学抽象（实际模型）、数学表达（数学问题）、建构模型求解问题三个阶段。从建立和求解模型的过程与形态可以看出，模型思想的建立过程与数学建模活动过程的本质是一致的，都包含对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达形成数学问题，用数学方法建构数学模型，计算求解模型并解释现实问题的活动过程。事实上，模型思想必然形成于数学建模活动的过程中。

二、初中数学建模活动的内容设计

1.构建数学模型活动

数学建模中的“建模”是指建构数学模型[1]。数学知识本身就是一种数学模型，从数学知识属性维度看，数学模型一般分为概念模型、方法模型和结构模型。因此，学生对数学知识的学习本质是一种构建数学模型的学习活动，构建数学模型是学生习得数学知识的基本途径。从初中数学建模活动（以下简称“数学建模活动”）的过程看，构建数学模型活动本身不是严格意义上的数学建模活动，而是数学建模活动过程的某个阶段或某个环节。在这类建模活动中，活动重点是渗透模型思想，使学生学会建构数学模型，为完成完整的数学建模活动奠基。案例1：《数学》（苏科版）八年级上册“6.2一次函数”问题1.给汽车加油的加油枪流量为25L/min.如果加油前邮箱里没有油，那么在加油过程中，邮箱里的油量与加油时间之间有怎样的函数关系？如果加油前邮箱里有6L油呢？问题2.汽车以100km/h的速度匀速行驶，行驶时间与行驶路程有怎样的函数关系？问题3.汽车邮箱内有油40L，每行驶100km耗油10L，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程有怎样的函数关系？问题4.这些函数关系式有什么共同的特征？以汽车油箱油量为现实情境，提出问题，使学生在经历数学模型建构的过程中感悟相同问题情境中不同数学视角下的数量关系。问题1中油箱的油量分为两类情况：无油、有油，从数学建模的过程看，是对实际问题的一种假设。提出的问题是油箱里的油量与加油时间之间的函数关系，这就要求学生将两个研究对象进一步数学化，用数学符号进行第一次抽象，用y（L）表示油箱里的油量、x（min）表示加油时间，接着根据情境进行第二次抽象（数学符号表达），获得数学关系式y=25x、y=25x+6。在问题1的基础上，从问题2、问题3中容易获得数学关系式s=100t、Q=40-s10。问题4是对函数表达式（数学关系）的再抽象，即学生对数学关系的进一步抽象与表达，从而获得稳定的数学结构：y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），形成概念模型———一次函数。

2.应用数学模型活动

数学建模活动更强调的是建立模型和解决问题的过程[2]。数学模型的价值在于将现实世界与数学的壁垒打通，通过数学模型连接现实世界与数学世界，使学生体悟数学建模的现实意义。现行初中数学教材注重数学与现实世界的联系，设置了大量的应用类问题，为学生应用数学模型解决实际问题提供了良好的载体。比如苏科版初中数学教材中勾股定理的简单应用、用一次函数解决问题、锐角三角函数的简单应用、收取多少保险费才合理等属于应用数学模型活动。虽然这些应用类问题具有封闭的、数据清楚、信息正好、结果唯一等特点，不同于真正的数学建模问题，但应用数学模型活动也属于数学建模过程的重要阶段，解决应用类问题所考查的能力往往正是数学建模过程中某些环节所需要的能力[3]。教师要利用好这些素材，开展有意义的数学模型应用活动，在活动中渗透数学建模思想，重点提升学生建构数学模型解决应用题的能力。案例2：《数学》九年级上册“一元二次方程解决问题”问题1.某服装超市销售一批衬衫，在每件盈利40元的情况下，平均每天可售出服装20件。为了增加盈利，超市采取了扩大销售，降价促销的措施。假设在一定的范围内，衬衫的单价每降1元，超市平均每天可多售出2件。如果降价促销后超市销售这批衬衫每天可盈利1250元，那么衬衫降价促销前的单价是多少元？问题2.根据龙湾风景区的旅游信息：旅游人数不超过30人，人均收费800元；人数超过30人，每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于500元。某旅行社组织一批游客到该风景区旅游，支付给龙湾风景区售票处28000元。你能确定参加这批游客的人数吗？问题1是一道应用题，从数学建模内容看，属于应用数学模型解决实际问题。这类问题往往与现实生活中的实际情况有很大差异，甚至有老师怀疑问题情境的真实性。事实上，教材编写者在设置应用类问题时，要处理好两个互相矛盾的问题：一方面要设置一些真实的实际问题情境，让学生经历用数学知识解决实际问题的过程，感悟数学的应用价值，培养学生数学建模能力；另一方面受制于学生的数学认知水平、心理特点等，呈现的实际问题不可能是原生态的现实问题，需将其进行一定的抽象、简化、假设，以符合学生的认知水平。在教学中，将引导学生建构数学模型做为教学重点，驱动学生经历建立数学模型求解实际问题的活动过程，培养学生建立和求解数学模型的能力。问题2也是一道应用题，从呈现信息的方式来看，更符合现实世界中的信息原型。在教学时，要注重引导学生获取有效信息，用数学符号分别表达“不超过30人”和“超过30人”的收费情况，从而获得一元二次方程模型，经历建立模型、求解模型、检验结果、解释问题的数学建模过程，培养学生的阶段性数学建模能力。

3.主题综合实践活动

主题综合实践活动是指以现实世界中实际问题为研究对象，明确具体研究主题，综合应用学科知识（不限于数学知识）解决实际问题的实践活动。在初中阶段，主题综合实践活动是数学建模活动的主要形式，是学生参与完整的数学建模活动，培养学生数学建模能力的重要途径。主题综合实践活动内容源于杂乱无序的现实世界，学生需从“原生态”的现实情境中抽象出数学问题，我们一般将其称为数学化能力。数学化能力是数学建模的关键成分，在主题综合实践活动设计中应予以重点关注。每个学期开展1~2次主题综合实践活动，有利于促进学生经历完整的数学建模活动过程，培养数学建模能力。案例3：综合实践主题“苏州市出租车收费”（1）问题背景苏州市某出租车公司大众小型出租车把收费标准张贴在后排车窗玻璃上。（2）信息整理已知苏州市某出租车公司的大众小型出租车起步价为10元（不确定是否含燃油附加费），超起租里程3km后单价每千米1.8元，超过5公里后单程加收50%空驶费。（3）提出问题问题1.大众小型出租车是如何收费的？问题2.如何为乘客制定费用最低的打车策略？（4）建模活动团队协作，分阶段完成以下活动流程：分析问题———提出假设———确定参数———建立模型———求解模型———检验结果——改进模型——解决问题。综合实践主题的选题源自学生熟悉的现实生活，符合学生的生活经验和认知水平。综合实践活动有利于激发学生的学习兴趣，培养应用意识和数学建模能力，具有积极的现实意义。比如在分析问题环节，先梳理影响出租车收费的相关因素，再确定主要因素（里程数），调查收集燃油附加费的收费标准。在提出假设环节，假设出租车收费只受里程数影响，不存在乘客主观因素的影响；假设打车策略以费用为唯一标准，不考虑顾客的主观感受，也不考虑出租车公司的有关优惠活动。主题综合实践活动任务给学生提供了“原生态”的问题情境，能有效驱动学生从现实世界中发现和提出有意义的实际问题，运用数学知识建立数学模型，从而解决实际问题。从主题综合实践活动的整个流程看，学生经历了相对完整的数学建模活动过程，有效弥补了以上两种阶段性建模活动在培养学生数学建模能力上的不足，对培养学生数学建模能力至关重要。

三、初中数学建模活动的组织原则

1.阶段性原则

阶段性原则是指根据初中数学教学内容，参照数学建模过程将数学建模活动分为不同的阶段，发挥数学建模活动的教育价值[4]。数学建模活动是一个完整的解决实际问题的过程，具体包括现实原型———实际模型———数学模型———模型求解———检验解释等。在初中数学学习中，受数学知识与数学能力所限，我们不可能也没必要使学生经常性地经历完整的数学建模活动过程[5]。在平时数学知识的教学中，注重渗透数学模型思想，引导学生经历数学建模的某个环节或某个阶段，体现数学建模活动的阶段性原则。初中数学建模活动一般分为三个阶段：标准数学模型学习阶段、用数学模型解决实际问题（应用题）阶段、主题建模实践阶段。三个阶段由低到高、层层递进，教学中应根据数学建模活动的内容特点，对建模活动目标精准定位，分阶段、分层次培养学生的数学建模能力。

2.适切性原则

适切性原则是指数学建模活动内容应源于学生熟悉的、真实的实际情境，符合学生的认知基础、智力水平和心理特点，注意学生解决问题能力上的差异[6]。从实际情境的视角看，选用的问题情境要符合实际情况，是学生熟悉的情境。对于综合性实际情境，应具备一定的挑战性，有利于促进学生主动学习数学、物理等相关学科知识，但建立数学模型时涉及的数学及跨学科知识应符合其认知水平，不能随意提高数学建模活动的要求。从数学建模的教育价值看，数学建模活动应在学生解决实际问题能力的基础上，运用数学知识又不限于数学知识主动连接现实世界，感受数学建模的应用价值。

3.发展性原则

发展性原则是指组织的数学建模活动应能驱动学生积极主动参与建模活动，发展学生的数学建模能力。发展性原则属于数学建模活动的目标范畴，即为什么组织、为谁组织数学建模活动？发展学生的数学建模能力是数学建模活动的出发点和落脚点，在组织不同类型的数学建模活动时，都应遵循发展性原则，提高数学建模活动立意，将活动目标落到实处。比如在构建数学模型的活动中，活动的内容设计应有利于引导学生经历现实问题到数学问题再到数学模型的抽象过程，特别是对数学对象的第二次抽象时，教师应将教学重心放在引导学生用数学符号建构数学结构（数学模型）上，分阶段发展学生数学建模能力水平。

参考文献

[1]孙凯.从问题类属谈初中生数学建模能力培养[J].数学通报，2020，59（12）：30-33.

[2]张景斌，王尚志.中学数学建模活动为中学生创造发展空间[J].数学教育学报，2001，10（01）：11-15.

[3]张艳娇.谈“数学建模活动与数学探究活动”如何在教科书中落实[J].中学数学杂志，2020（09）：1-7.

[4]刘伟.初中生数学建模能力培养研究[D].曲阜：曲阜师范大学，2020：132.

[5]温建红，邓宏伟.“综合与实践”教学中渗透模型思想的策略与建议[J].中学数学月刊，2021（03）：52-55.

[6]张硕，杨春宏.谈谈数学建模能力培养的阶段性与题目的层次性[J].数学教育学报，2000，9（01）：98-102.

作者：孙凯  单位：江苏省苏州市阳山实验初级中学校