数形结合法在初中数学中应用

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数学学科具有抽象性和逻辑性的特点，在初中生学习这一学科时，通常会因为其中某些过于抽象性或过于逻辑性的知识而停滞不前，使得初中生在数学学科的学习方面较弱，但即使这样，初中生也不应该放弃对数学学科的学习。初中生在解决数学学科当中的实际问题时，其可以将数形结合这一方法运用到自己的解题过程当中，通过数形结合法将实际问题当中的数据利用图形显现出来，进而使其能够更容易地理解题意，这有助于其解决实际问题。

一、初中数学教学中数形结合思想内涵

伴随国家教育工作的持续完善和进步，各个阶段的教育教学获得了长足发展，在面向社会培养现代化人才方面也做出了积极贡献。不过培养合格人才并不是短时间内可以完成的任务，需做到循序渐进将其作为一种长期工程来抓，尤其是要打牢基础。众所周知，初中阶段的教育教学是整个教育系统当中非常基础和关键的部分。数学是初中教育当中难度大但却非常重要的学科，特别是在学生考取大学以及研究生的过程中有着非常突出的价值。对于数学教学来说，很多时候并不是考验学生对教材知识的掌握，而是看学生的数学思维能力，而数形结合这一思维就逐步进入人们的视野。所谓数形结合思想，就是把抽象化的数学语言与数学量间的关系用直观化的图形表示的一种思想与思维方法。数和形可谓是数学当中两个最古老和最为基本的研究对象，它们在一定条件之下是能够相互转化的。数形结合作为数学思想方法，在实际应用当中主要涉及到两种情况，分别是以数解形和以行助数。数形结合方法能够让复杂问题简单化，也可以把抽象问题具体化，让学生能够轻松找到最为理想的解题方法。在初中阶段的解题实践当中，数形结合法可以用在解决集合、函数、方程和不定式、三角函数、线性规划、数列、集合、分数、解析几何、立体几何、绝对值等类型的数学问题中。

二、数形结合法在初中数学解题中的应用策略

（一）在函数中运用数形结合法

对于数形结合这一方法，其适用于很多类型的题，而函数题就是其中的一种题型。在初中生遇到与函数相关的问题时，其便可以利用数形结合法来解决实际问题。其可以首先逐字逐句地阅读题意内容，并在阅读的过程中将题目当中重点数据勾画出来，在此之后，其可以再次阅读题目内容，然后根据题目内容和勾画出的重点内容来画出图形，然后了解题目当中的关系，最后再结合所画图形和题目内容来解决实际问题。初中生在利用数形结合法来解决函数问题，便可以大大降低题目的难度，有助于初中生更快、更高效地解决函数问题，有助于提升其解题能力。在初步讲解数形结合这种方法时，因为学生对这种解题方法不够熟悉，在自主运用方面会出现疑问，于是可以先选取典型的函数例题，并引导学生利用数形结合技巧逐步完成问题解答任务，从而梳理解题思路和解题技巧，提高对数形结合方法的应用准确度。教师在示范教学当中应该将画图和讲解结合起来，并给学生参与和发挥的空间。例1：已知二次函数y=x2-6x+8，设此二次函数与x轴的交点分别为A、B，现已知在图像上取一点C，然后连接AB，AC，BC，得到一个三角形，且此三角形的面积为1，试求C点的坐标。解析：此题为二次函数题，我们在遇到这一问题时，首先想到的应该是将二次函数的图像和A、B、C三点的坐标标出来，然后再进行问题的求解。如图1即为此题图像。解：在作出图1后，我们可以首先令y=0，求出x1=2，x2=4，所以此二次函数与x轴的交点分别为（2，0）、（4，0），而其与x的交点即为A、B的坐标，在此之后，我们可以列出三角形的面积方程12×AB×C'F×yc=1，由此可以解出x3=3±姨2，验证可知，当C在图像顶点时同样成立，此时x4=3，所以坐标分别为（3±姨2，1）、（3，-1）。例2：已知函数y1=|x|，y2=x+，在y1＞y2时，试求x取值范围？解析：针对本道函数题的求解，我们可以选择借助不等式性质来进行求解，即将给定的y1=|x|，y2=x+代入y1＞y2当中后采取分类讨论的方式去掉绝对值，以此来推导出x的取值范围。但是这种计算方式会增加我们的计算量，并且很容易出现计算失误，整个解题过程非常复杂。如果我们换个角度思考问题，在求解问题过程中首先绘出y1=|x|，y2=x+两个函数的具体图象，之后可以对照图象来直观地对比二者的大小情况。解：在平面直角坐标系中绘制出y1=|x|,y2=x+，可得图2，并且可以得到图中A和B点的坐标分别为（-1,1）和（2,2），同时作一条平行于y轴的直线，并将该条线进行平移，这样可以直观地得到本道题的正确答案为：x＜-1或x＞2。由此可知，在我们遇到求解某些比较复杂的不等式相关函数问题时，要尽量不直接采取求解不等式的方式求解问题，而应该换个角度思考问题，灵活地运用数形结合思想，采取作图的方式将函数问题转化为几何问题进行直观求解问题，这样可以大大简化问题求解过程，降低我们解题的难度。

（二）在代数中运用数形结合法

代数题也是初中数学学习中比较多见的一种题型，多以选择题或填空题的形式出现。在求解这类数学题型中，如果我们按照解应用题的思路来求解问题，那么整个过程比较耗时，并且最终的结果准确度无法保证。此时如果我们可以想办法灵活应用数形结合思想，那么可以简化代数题的求解过程，提高我们解题的准确度。例3：已知函数y=x2姨-6x+34+x2姨-2x+5，试求y的最小值_____。解析：这道题是考查我们求解代数式最值能力的一道例题，求解中我们可以直接运用代数式求值的方式来对这道题进行求解，即首先对题目给定函数y中的两个根号进行配方，得到y=(x-3)2姨+25+(x-1)2姨+4，要使y值达到最小值，那么要保证两个根号同时取得最小值。这样的求解思路很容易使我们陷入解题困境，此时如果我们可以认真观察题目中的根号特征，并联想平面中任意两点的坐标公式，那么可以快速构造出相应的函数图像来简化这道题的求解过程，提高我们解题的准确度与效率。解：∵y=x2姨-6x+34+x2姨-2x+5，∴y=(x-3)2姨+25+(x-1)2姨+4∴y=(x-3)2+(0-5)2姨+(x-1)2+(0-2)2姨基于该式，可知只需要在坐标系的x轴上面确定一点C（x,0），使其到坐标A（3,5）和B（1,2）两点之间的距离之和达到最小值即可，所以这时候我们可以灵活地应用数形结合思想，构造图3所示的坐标系。然后可以直接利用“两点之间线段最短”这一数学定理来快速判断C点所在的位置。经过求解可以得到此时C点坐标为（117，0）。图3由此可知，在我们求解代数题的时候可以对代数式的相应形式进行认真观察，如果发现其中涉及到距离模型，那么这时候可以联想“将军饮马”问题的求解，巧用数形结合思想来将代数问题求解转换为几何问题求解，这样可以大大降低我们的求解难度，提高整体的解题准确度与效率。

（三）在应用题中运用数形结合法

应用题与简单的选择题、填空题不同，通常大多数的选择题、填空题都是一些比较简单的题目，在初中生做这些题型时，通过简单的计算便可以解决，甚至直接观察便可以得出答案，但对于应用题，无论简单或是复杂，其都需要进行一定的理解和计算，而在此时，初中生便可以利用数形结合法来解决问题。在利用数形结合法来解决问题时，其可以首先根据题目数据来画出图形，然后通过图形来简单地观察和判断题目当中的一些位置关系等，再利用这些得出的结论来解决实际问题。通过这一方法，便能够大大简化初中生的解题步骤，进而提升初中生的解题速度。当然这种方法还可以让学生今后再面对应用题时，消除胆怯抵触的情绪，思考可以运用的解题技巧，把握数学知识点之间的内在联系。例4：已知有一个三角形ABC，做出它的高为AD，然后分别做∠A和∠B的角平分线，其交BC与AC分别为E、F，且AE与BF相交于点O，∠CAB=°，∠C=°，试求∠DAE和∠BOA的度数。解析：在我们遇到这一问题时，如果凭空想象，那么无法快速找到解题的突破口，因为其中涉及到的都是抽象的几何知识，所以求解的时候可以尝试采用数形结合思想，将复杂问题进行直观化处理，这样可以帮助我们快速求解问题。解：首先，要根据题意内容画出图像，图像如图4所示。

（四）在线性规划题中运用数形结合法

线性规划题便是一个典型的利用数形结合法来解决的数学问题，在遇到这一问题时，初中生必须要根据题目内容画出图形，然后在此之后再去解决特定问题。在遇到此类问题时，初中生首先就应该根据题目内容来画出正确的图形，找出正确的区域，然后再根据题目要求计算出问题的答案。由此可知，在线性规划类的题型中，利用数形结合法来解决问题是十分重要的，只有画出了正确的区域，才能够根据问题的要求逐步得出问题的答案。因此，初中生在遇到这类问题时，应该牢记利用数形结合法来解决问题，只有这样，才能够正确快速地解决问题。综上所述，初中生在解决实际问题时，只要懂得将自己所学到的知识进行变通，不断的探索，而后不断获得更多简便的解题技巧，最终利用自己探索出来的解题技巧来解决实际问题。在解决一些实际问题时，初中生便可以利用数形结合这一方法，通过这一方法将题目当中的重要数据更直观地展现出来，最终使其能够更清楚地理解题意内容，最终提升其数学学科的解题能力。

作者:徐建国 单位:如东县实验中学