高年级教学解答

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1.教材（五年级上册）在求最大公因数和最小公倍数时，为什么不出现短除法？

教材在编排求两个数的公因数与公倍数等内容时，没有把“用短除法分解质因数”的方法作为求最大公因数或最小公倍数的基本方法，而是用列举的方法，如下图。

请你在下表中用“△”圈出4的倍数，用“○”圈出6的倍数。12345678910

11121314151617181920

21222324252627282930

31323334353637383940

41424344454647484950

4的倍数：＿＿。

6的倍数：＿＿。

既标有“△”又标有“○”的数是＿＿，它们是＿＿和＿＿的倍数，也就是它们的公倍数；其中最小的数叫做它们的最小公倍数。

首先，需要明确的是，教材提供的列举法不仅在解决实际问题中用途广泛，而且在数学中也是很重要的。同时，它简单明了，几乎所有的学生都能够理解。对于求最大公因数和最小公倍数的问题，使用这个方法是基于学生对最大公因数和最小公倍数的理解的自然方法，既有利于对概念本身的理解，又简单易学。而短除法的根据是分解质因数，学生理解起来比较困难。如果要求每一个学生掌握，需要花费大量精力，有的学生只好去机械记忆，结果反而不利于对最大公因数和最小公倍数等基本概念的理解。

其次，根据《数学课程标准》的要求，新世纪小学数学教材对“倍数与因数”“分数加减法计算”等内容的要求进行了适当的限制。如，求最小公倍数，只要求在1～100的自然数中，能找出两个10以内自然数的公倍数和最小公倍数。再如，异分母分数加减法，两个分数的分母一般都不超过10。也正因为数据比较小，利用列举的方法找出公因数或公倍数并不麻烦。

对于教材为什么没教短除法，一线教师也有很多体会，下面是两位教师的观点，供大家参考：

教师甲：教材这样处理是有道理的。以前总是认为列举法是一种很笨的方法。从来不主张学生用，只教自己认为最简便、最有效的方法，比方说找最大公园数就用短除法。可是这套教材提倡方法多样化，而且很重视列举法，用这套教材实验后才发现：列举法用途广泛、直接、明了、易懂、不易遗忘，特别适合思维能力弱一点的学生，所以我们要消除对列举法的偏见。教师心目中最好的方法不一定适合每一个学生，说到底，择优要因人而异……

教师乙：像短除法这一类知识，虽然有用，但它不是核心的、特别重要的数学知识，以后也很少用到，所以教材将其删去了，目的是为了让学生有更多的时间和精力来学习更有价值的知识。我们应该领会教材的编写意图，慢慢学会选择。有用的知识这么多，我们总不能通通都教给学生吧，所以选择就显得非常重要了。

2.对“圆的认识”（六年级上册）这一内容，教材安排了5个课时，目的何在？如何引导学生感悟圆的特征？

“圆的认识”是学生研究曲线图形的开始，是学生认识发展的又一次飞跃。因此，教材希望通过大量的操作活动来帮助学生体验圆的特征和研究曲线图形的一些方法。

“圆的认识（一）”中，“观察与思考一”的目的是使学生通过观察日常生活中的圆形物体，建立正确的圆的表象，并通过思考圆和以前学过的图形的不同点，认识到圆是由一条曲线构成的封闭图形。“观察与思考二”呈现了“套圈”的游戏情境，引导学生思考哪一种方式更公平，让学生借助生活经验初步感受圆上各点到圆心的距离相等的本质特征以及圆与正方形的不同。教材安排的“画一画”活动，进一步使学生在动手操作中体会圆的本质特征，并引出圆心、半径和直径的概念。“观察与思考三”再次将学生的视角引向生活，引导学生思考和研究“车轮为什么是圆的”，应用所学的知识解释生活中的一些现象，进一步在解释生活现象中体会圆的本质特征。

“圆的认识（二）”主要是使学生认识到圆的对称性。教材先创设了一个“找圆心”的活动，引导学生通过折纸，找出这个圆的圆心，体会圆的轴对称性。接着，教材进一步引导学生开展折纸活动，探索圆的轴对称性以及同一个圆里半径与直径的关系，等等。在这部分内容中，教材还安排了操作活动，使学生对圆的旋转对称有所感受。

“欣赏与设计”的内容主要是鼓励学生运用所学的图形设计图案。这不仅能培养学生的想象力和创造力，使学生体会到图形世界的神奇和美丽，同时在分析图案和创造图案的过程中，学生还将进一步巩固对所学图形特征的认识。另外，“数学万花筒”中设计了用正方形纸片画圆的方法，可以帮助学生初步感受由正方形逼近圆的思想。

3.在“圆的面积”的教学中，教材为什么安排让学生先估计圆的面积？

在“圆的面积”的教学中，教材安排了一个“估一估”的活动，目的是使学生进一步体会面积度量的含义，感受“化曲为直”的思想，发展学生的估计策略，进一步理解圆的面积的含义。

教材采用了方格纸估算圆的面积的方法，呈现了一个10×10的正方形（每个方格代表1平方米），并把半径5米的圆置于其中。教材呈现了两种估计方法：第一种是利用正多边形的面积进行估计。圆的面积比圆外切正方形的面积小，比圆内接正方形的面积大。圆外切正方形的面积是100平方米，圆内接正方形的面积是50平方米，所以圆的面积大于50平方米而小于100平方米。第二种是用数方格的方法进行估计，并渗透通过估计部分来估计整个圆的面积。先用数格子的方法数出圆的的面积约是20平方米，再估计整个圆的面积约是80平方米。

4.如何认识平移、旋转和轴对称？它们的基本要素是什么？

平移、旋转和轴对称是三个基本的全等变换。如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形进行的变换叫做全等变换。全等变换的本质是原图形上任意两点之间的距离不发生变化。

具体什么叫平移、旋转和反射，我们不给出严格的定义，而是直观地给予解释，并指出这些变换的基本要素。

如上图，如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线方向相同，长度也相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形平移前后“每一点和与它对应的点之间的连线互相平行且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。对于平移，需要说明：(1)基本图形，是什么图形发生了平移；(2)方向，向什么方向发生了平移；(3)距离，平移了多远。

如上图，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要两个要素：旋转中心、旋转角（有方向）。对于旋转，需要说明：(1)基本图形，是什么图形发生了旋转；(2)旋转中心，是绕哪个点旋转的；(3)方向，向什么方向发生了旋转，是顺时针还是逆时针；(4)角度，旋转了多大的角度。顺便提一句，旋转中心不一定是基本图形上的顶点，可以是平面上的任意一点。有的教师认为旋转中心就是图形的顶点，这是错误的。

如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为反射变换。垂直平分对应点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，反射变换的基本特征是“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定反射变换的关键在于找到对称轴。