学生数学创新能力培养

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摘要：本文就如何学习和中考复习数学学科，提高中考质量，探索了几个方面的工作：熟悉教材摸清知识结构；结合教研通讯抓住考查的数学思想方法；抓住考试要求，突出重点和化解难点；进行试卷结构分析；注重方法，培养能力；做好阶段性复习。

关键词：数学中考复习能力

教书育人，复习考试，时常进行。它不仅仅是用来衡量学生掌握知识多少的重要途径，同时，也反映了教育者的教学效果。因此，教育者不仅要有良好的师德、扎实的事业心和精湛的专业技术能力，还应有苦干的敬业精神，即在“如何组织好总复习，去迎接每次考试”的问题上下功夫。其中，根据数学学科“知识点多，计算量大，方法灵活，难于归纳总结”的特点及多年来的认识和体会，主要总结以下几点复习方法：

一、熟悉教材，摸清知识结构

总复习是把全部知识点进行系统化、条理化、纲目化和综合化，并且进一步归纳总结的一种复习方法。于是，在组织总复习之前必须摸清全部知识结构，在复习过程中才能够保证做到“多而不散，快而不漏，繁而不难。”从而保持清醒的头脑，有条不紊地按计划进行组织复习。根据《大纲》的要求，中考数学考查的知识结构大致如下：

数与式

代数部分方程与方程组

函数及其图像

统计初步

数学相交直线与平行线

直线形三角形

四边形

几何部分相似三角形

解直角三角形

圆

二、结合教研通迅，抓住考查的数学思想方法

由于现行初中数学教学大纲把数学思想纳入到了基础知识范畴，因此，近年来的中考知识特别注重对数学方法的考查。诸如方程、数形结合、换元法、待定系数法、转化、运动变化、分类讨论、函数等思想方法。数学思想和方法不仅渗透在上述几个方面，事实上，它渗透到了中学数学教与学的每一个方面。因此，在中学数学教学活动中，教师应主动自觉地向学生渗透数学思想和方法。

三、抓住考试要求，突出重点和化解难点

考试要求根据《大纲》的教学要求和云南省的实际情况提出，并把考试的具体要求与教学的具体要求一致起来。考试要求分为四个不同层次，由低到高依次为了解、理解、掌握、灵活运用。了解：对知识的含义有感性的、初步的认识，能够说出这一知识是什么，能够（或会）在有关问题中识别它；理解：对概念和规律（定理、公式、法则等）达到理性认识，不仅能够说出概念和规律是什么，而且能够知道它是怎样出来的，它与其他概念和规律之间的联系有什么用途；掌握：一般而言，是在理解的基础上，通过学习，形成技能，能够（或会）用它去解决一些问题；灵活应用：是指能够综合运用知识并达到灵活运用程度，从而形成能力。

四、进行考试形式及试卷结构分析

中考数学考试，有史以来都是采用闭卷笔试形式，但全卷分值和结构不断有所改变，自2001年以来，全卷满分改为120分，试卷结构由二卷合为一卷，考试时间恒为120分钟。全卷试题分为选择题、填空题和解答题三种题型。选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推理过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，它要求写出文字说明、演算步骤或推理过程。三种题型分数的百分比约为：选择题30%，填空题30%，解答题40%。试题按其难度分为易、中、难三个档次，其中，难度为0.7以上的为容易题；难度为0.4－0.7之间的题为中等题；难度为0.4以下的题为难题，三种试题分值之比约为5:3:2，全卷难度为0.60左右。所以，复习时应该是狠抓基础，不偏重繁难题目，不钻牛角尖。

五、注重方法，培养能力

根据教学大纲在教学中对培养学生能力的要求，中考数学试题内容体现了对运算能力、逻辑思维能力、解决简单实际问题的能力、作图能力、综合运用代数与几何知识及数学思想和方法能力的要求。根据考生实际，还设计一些联系实际问题和开放性、探究性问题的试题，不出繁难的计算题和证明题。

5.1、培养运算能力。在中考数学试题中，绝大多数的代数试题、几何试题中的计算题代数几何综合题，都要涉及运算。所以培养学生的运算能力时，不仅要求学生要熟记并掌握运算法则、公式及一定的程序、步骤、技巧，而且要求学生要理解运算的推理过程，让学生能够根据题目寻求合理、简捷的运算途径。最终能够掌握运算题的基本类型及解答各种类型题的一般规律。诸如多年来的考题中的“解答题”部分——化简和解方程（组）或不等式（组），就是考查学生的就应算能力，难度在0.4—0.7之间，因此，复习时应作重点训练，让各层次的学生都能拿到相应的高分。

5.2、培养学生的逻辑思维能力。在中考数学试题中，无论是几何中的证明题，还是几何中的计算题及代数中的解答题，都需要进行必要的逻辑推理，特别是几何中的证明题更为突出，需要根据已知条件和所学过的定义、公理、定理等，按照一定的程序与步骤进行推理，思维不容紊乱。几何证明题是数学中考试题中必不可少的题型，其难度也是在0.4—0.7之间，所以，复习时必须加以强化练习，让各层次的学生都掌握其解题思路及方法。

5.3、培养学生解决实际问题的能力。数学知识源于实践又为实践服务，在九年义务教育数学教学大纲中明确指出：“要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力形成数学的意识。”在近几年的中考数学试题中，考察学生应用数学能力的题目逐年明显增加。（在6.2中给予逐一加以说明。）

5.4、培养学生作图或画图的能力。作图的试题，虽然在中考试题中不一定专题出现，但它却是中考试题解答题中的一种常见题型，也是数学教学大纲中要求的一种能力。此类题型主要体现在“添辅助线”、“设计”等方面。

5.5、培养学生综合运用代数、几何知识及数学思想和方法的能力。这种能力，主要体现在中等难度试题和较难的试题上。一般而言，考查这种能力的试题，往往题目较长，条件也比较多。解答时，首先是要求学生认真审题，弄清题目的条件和结论，迅速联想到相关的知识及数学思想和方法。其次是提醒学生要注意挖掘隐含条件，利用所学知识沟通结论与条件的内在联系，寻求可行的解题思路，将思路组织、归纳后，清晰、明确、规范地表达出来。此类题型分值较高，难度属于中上，并且在每年中考的“解答题”中都要有1－2题，所以，在复习时要让中等和中等以上的学生都加以强化训练。

5.6、培养学生解答探究型等灵活的能力。随着素质教育的不断深入及教育对培养学生能力的要求，中考试题中探究型等灵活试题不断涌现。这种题型具有开放性，条件复杂隐蔽，结论多样，解题思路无现成模式可套，因此，解题时教师应该结合新课程标准，注重开放探究，引导发现创新，并要求学生做到：在动中求静，变中求恒，学会对基本图形的剖析，提高识图能力，要立足课本，灵活变通。此类题目属于压逐题，难度较大，是为中上水平的学生而设计的。在复习中一定要鼓励学生勇于探索，勤于总结，不断提高自身的数学素养和创新能力，增加思维的发散性和深刻性，从而形成解答探究型等灵活试题的能力。

以上各方面能力，都是中考试题内容中所考查的范围，教师只有引导学生运用观察、发现、归纳和实践等方法，组织学生多训练，并且有意识地加强对学生学习策略的指导，让他们在学习或训练过程中逐步学会如何学习，最终，才能在实战中正常灵合发挥。

六、安排好阶段性复习。

中考数学复习，一般分为五个阶段安排，即基础知识复习阶段，专题复习阶段，综合创新复习阶段，题组训练复习阶段和模拟训练复习阶段。

6.1、基础知识复习阶段。从中考试题结构来看，基础知识的分值占50%以上，所以，这个阶段是一个非常重要的复习阶段，一定要对所学知识进行系统复习，顺序可与教材知识体系相一致，目的是巩固基础知识，训练基本技能，熟悉常见题型，掌握一般解法。选用的题目要以教材上典型例子和习题为主，适当配备一些课外题目。并且要求每个学生对于不掌握的题目一定要反复练习，最终人人都应该拿到基础分。

6.2、专题复习阶段。此阶段是把所学知识按内容进行分类，分成若干个知识块，使知识条理化、纲目化，便于理解和记忆。至于所划分的知识块，可因人而异：可结合教材分块，也可以是教师自己划定知识类别分块，或是结合《云南省高中（中专）招生考试说明与复习指导》——数学（下面简称《中考考试说明》）一书中各章节的“知识与方法提要”分块。这个阶段的复习非常关键，因为初中数学知识点非常多，要抓住各知识点间的链接关系很困难，所以这个阶段选用的题目一定要突出每个知识间的小综合，认真归纳总结常见题型及解法。

下面主要谈谈应用型问题这个知识块。常见的应用型问题主要有四类：利用数与式解决应用型；利用方程（组）及不等式（组）解决应用型；利用函数及其图像解决应用型；几何中的应用型。

(1)利用数与式解决应用型问题。此类问题主要用来解决储蓄、贷款、税收等实际问题。解决时可以参阅某些关于储蓄、贷款、税收等专业书籍，当某些问题看似玄妙时，不妨列代数式试一试，另一方面掌握相关的公式或会找出各量间的相等关系。

例题（2003,玉溪）张大妈参加了2003年4月18日经中国保监督管理委员会批准的人保理财——金牛投资保障型（3年期）家庭财产保险。她一次投资金2000，投保3年，每年须交保险费12元，期满后，保险公司从收益金中扣除每年须交的保险费，连同保险投资金张大妈一共能领到2096元，试问：(1)张大妈投保3年期的年收益率是多少（收益金=投资金×年收益率×保险年数）？

(2)若张大妈把这2000元存入银行，存期3年，又从经济的角度考虑，请你为张大妈算一算，上述两种投资，哪种更合算（利息=本金×年利率×储存年数。3年期年利率是2.52%，利息税是20%）？

此题中已经给出了公式，只要加以分析就能解决了。但是考试时不一定给出公试，所以，平时一定要牢记公试（解法从略）。

(2)利用方程（组）及不等式（组）解决应用型问题。此类问题主要是考查学生的方程思想，大部分应用题基本都是靠列方程（组）来解决，所以，要求学生一定要熟悉有关计算公式，同时，掌握写出等量关系的常用方法——译式法和列表法；掌握列方程（组）解应用题的常用技巧——逆推求解、整体思考、设参数、利用比例关系等。

例题（1999，昆明）甲乙二人相距8千米，二人同时出发，同向而行，甲2.5小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？

此题的解法，只要熟悉公式s=vt，再通过画图和列表分析，就能轻松解决了（解法从略）。

(3)利用函数及其图像解决应用型问题。此类问题主要是考察学生正确识别图表和图像，因此，熟练掌握函数的性质及其图像作法是解决此类问题的关键。值得注意的是在画实际问题中的函数图像时，一定要注意自变量的取值范围。

例题（2001，云南）某商店试销一种成本单价为100元/件的运动服，规定试销时的销售价不低于成本单价，又不高于180元/件。经市场调查，发现销售量为y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系满足一次函数y=kx+b（k≠0），共图像如图所示。

（1）根据图像，求一次函数y=kx+b的解析式；

（2）当销售单位x在什么范围内取值时，销售

量y不低于80件。

此题着重是要结合实际找出自变量的取值范围，然后据相关的函数关系式进行解答即可（解法从略）。

(4)几何中的应用型问题。此类问题主要是考查学生正确运用几何知识和三角函数思想解决实际问题的能力，在教材中此类题型较多，通过练习，归纳总结一些基本型，如“架管饮水”，“航海”问题等。

例题（2001，昆明）建设中的昆明高速公路，在某施工地段沿AC方向开山修路，为加快施工速度，要在山坡的另一边同时施工，如图所示，从AC上的一点B取∠ABC=150度，BD=380米，∠D=60度，那么开挖点E离D多远，正好使A、C、E成一直线？ABCE

此题考查了三角函数的特殊值及

直角三角形的性质，只要添加辅助线

把图补全，问题就解决了（解法从略）。D

6.3、综合创新复习阶段。此类题目，在最近年的数学中考试题中常常出现，并且题量多，分值大。常见的题型有：条件探究型；设计方案型；观察归纳型；阅读理解型；跨学科型。其特点是：题目较长，条件多（包括隐藏条件），问题多，难于归纳总结。目的是要求学生掌握各分支的内在联系，解决时需要基础知识、基本技能和基本方法。所以此阶段是训练学生综合运用所学知识，使学生形成数学能力和中考应试能力的重要阶段。训练的着眼点应放在解题思路上，训练的方法应以独立思考、互相研究为主，形成独立解决问题的能力。下面具体介绍各自的解题思路。

(1)条件探究型问题。目的是要求学生掌握基础知识、基本技能以及观察、分析、综合、归纳、分类、抽象、概括等基本的探究问题方法。学生要通过实践，增强探究和创新意识，学习科学研究方法，拓展综合运用能力。例如，2003年的省中考题第21、24、26三个小题都是条件探究型问题。此类题型属于“新题型选编”内容，这正是新课改命题的趋向。

(2)设计方案型问题。目的是要求学生要发掘题目所提供的信息，把实际问题抽象成为数学问题，主要通过动脑分析，动手实践，建立相应的数学模型来解决问题。例如，2004年的省中考题第18小题的第(1)题“花圃设计”。随着新课改的走向，我相信，此类题型将会在考题中明显增多。所以，要要加以防范。

(3)观察归纳型问题。此类问题的思维特点是由特殊到一般、由具体到抽象。学生要通过观察分析、处理、概括的方法，拓展思维能力。例如，2003年的省中考题第17小题，就是典型的观察归纳型问题。

(4)阅读理解型问题。解决此类问题，要求学生要熟练掌握阅读、分析、综合、归纳、概括等的解题方法。解题的关键是要准确挖掘所给材料提供的信息，找出规律，并利用规律解题。例如，2004年的省中考题第19小题，其特点是：题目较长，所涉及的量较多，难以理解。平时要多加强阅读理解能力训练。

(5)跨学科型问题。解决此类问题之前，要求学生要对其他学科的相关概念的理解，从而将数学与其他学科知识融为一体，不断提高综合运用知识的能力。

例题在某一电路中，保持电压不变，电流I与电阻R成正比例。当电阻R=3Ω时，电流I=1A。（1）求I与R之间的函数关系式；（2）当电流I=0.2A时，求电阻R的值。

此题涉及到物理学科的内容，如果不理解“殴姆定理”的内容，不知道殴姆公式R=U/I，就无法完成这两个小题。

6.4、题组训练复习阶段。此阶段的复习特别关键，主要是按学科常见题型进行强化训练，以培养学生形成解答各种题型的能力。中考数学题组中常见的题型有填空题、选择题和解答题三大类。其中，解答题还可以分为计算题、证明题、问答题、作图题等。至于这些题组的来源，主要是靠教师通过《中考考试说明》，《大纲》要求及教研通迅的一些可靠信息，从而结合教材和有关资料进行研究编制而成。数学题组的一般顺序为：

代数题组

节题组章题组综合题组。

几何题组

事实上，在《中考考试说明》一书中安排的“题型示例”和“练习题”及《招生考试标准》一书中安排的“典型例题”和“模拟练习”都是节题组。这些例题和练都习都是通过教研专家们的认真研究而编排出来的，具有一定的代表性，无论题目的难度，还是解答的要求都有重要的参考价值，所以，复习时一定加以特别训练。同时，不要忽视教科书中的典型例题、习题及重要定理，因为，这些例题和习题都是经过编者精心选定的，不仅具有一定的典型性和代表性，也是中考题的主要出处，例如，在1998年的省中考试题22小题就是初三几何教P27中的例4，另一方面还是编拟中考题的重要材料；对于一些重要定理一定要掌握其推理过程，例如，在2001年的省中考试题第23小题和2002年的省中考试题第25小题就是分别对“三角形中位定理”和“多边形内角和定理”的推理过程的直接考查。所以，在复习中一定要认真对待，千万不要掉以轻心。

在每个题组的各大题型中都有不同难度的试题，教师应要求各层次的学生作重点训练。目的是要让学生明确每个知识块中各个知识点的基础知识、基本技能及其应用。对于基础知识，应熟练到见到题目就立即想到有关知识，并且知道如何应用。知识块形成了，按知识发生发展的顺序，知识串也就形成了，就构成了知识系统，从而形成了应有的数学能力，这就是中考取得理想成绩的基础。

6.5、模拟训练复习阶段。一般来说，这是最后一个复习阶段，主要是选择近年来的中考试卷作为模拟试题，这些试题都是经过命题专家们的认真磨合，题目的难度、编排顺序、解答要求、标准答案和评分方法都是极为宝贵的财富。试题尽管不同，但各份试卷都是以《大纲》和《中考考试说明》为依据的，都体现了中考改革的精神。

做模拟训练时，要像正式参加中考一样，要努力防止差错，克服“会而不对，对而不全”的现象，模拟考试后要认真总结经验教训，对于重犯的错误，特别要加以注意，认真反思。

模拟训练也是一次心理训练，有利于考生把稳定的情绪带进考场，进入最佳状态。如果从模拟训练中逐步把握这些要求，相信学生会在中考中取得好成绩。

在各个复习阶段，教师都要正确评价学生，通过评价使学生学会分析自己的成绩与不足，明确努力的方向。同时，要引导好学生在学习过程中进行自我评价并根据需要调整自己的学习目标和学习策略。

目前，中考复习资料发行的套数很多，所以，教师可以结合实情，选择某套含金量较高的资料作为参考组织复习。总之，教书育人，教无定法，复习也无定法，但是，只要每位教育者都忠诚于国家的教育事业，怀有为国家教育事业贡献毕生精力的精神和愿望，强化教书育人的意识，积极探索教学规律，并着眼于教育教学质量的提高为出发点，我相信，最终一定会是棋开得胜，如我所愿。

参考文献：[1]、云南省教育科学研究院编：《云南省高中（中专）招生考试说明与复习指导》——数学。教育科学出版社出版，2004年。

[2]、邓宗福和吴晓燕著：《中考数学专项练习》，北京，中国人民大学出版社出版，2005年，第3页至第6页和第165页。

[3]、《初中几何教材》，2003年，第27页。

[4]、1998年至2004年的云南省中考试卷