数学课题教学

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摘要：数学课题探究教学是指，在教师指导下，围绕某一课题，运用探究的方法主动获取数学知识，独立、自主地解决数学问题，培养科学精神和创造性思维与能力的一种实践活动。它具有内容的开放性和方法的多样性等特点。其内容主要有数学基本概念和规律、数学中的综合问题、现实中的数学问题以及科学前沿中的数学问题等。数学课题探究教学包括教师示范指导和诱导、学生探究、师生共探三个基本环节。关键词：数学课题；探究教学Abstract:Inquiryteachingofmathematicsresearchtopicsisakindofpracticalactivity,inwhichstudentsconductresearchaboutonetopicundertheguidanceofteacherssoastogainknowledgeactively,dealwithmathematicsproblemsindependently,cultivatescientificspiritandcreativethinkingandabilityaswell.Ithasthecharacteristicsofopennessincontentsanddiversityinmethods.Itscontentscontainmathematicsbasicconceptsandregulations,theintegratedproblemsofmathematicsandmathematicalproblemsinthereality,themathematicalproblemsinthefrontierofscienceandsoon.Theinquiryteachingofmathematicsresearchtopicsinvolvesteachers’guidanceandinduction,students’inquiryandtheinquiryofteacherstogetherwithstudents.Keywords:mathematicsresearchtopics；inquiryteaching在新课程条件下，随着“探究教学”的提出与实施，传统的数学教育面临着诸多挑战。广大一线教师对如何开展课题探究教学存在着一些困惑。本文对数学教学中的课题探究进行初步探讨，以期对数学课程的实施有所裨益。一、开展数学课题探究教学的必要性当今衡量一个人学习能力、生存能力的高低，不在于他掌握了多少知识，而在于他探索、研究、创造能力的高低。因此，在数学教育中，培养学生的探究、创新能力和实践能力，成为教育的重要价值取向。研究表明，课题探究教学更有利于培养学生独立思考的习惯，激发学生的创造意识，不失为一种有效的教学方式。传统数学教育过于注重升学率的提高，大搞“题海战术”，将所有的知识点精选之后，一一灌输给学生。学生为题所困，已无暇顾及系统知识的学习，更不用说形成问题解决的能力了。《基础教育课程改革纲要（试行）》（2001年）明确提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生的主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。[1]因此，在数学教学中，可以课题探究教学为纽带，在传授系统知识的同时，注重学科的基本结构、知识间的内在、逻辑联系，从而使学生对本学科有一个全局、整体的认识，进而形成一种积极、能动地解决问题的能力，不失为一种好的方法。事实上，课题探究教学是数学教育发展的必然要求。这主要表现在：1.随着数学新课程的改革与实施，新的数学课程在课程设计、课程目标、课程实施等方面对教师和学生都提出了更高的要求。与传统的数学课程相比，新课程适应当今科学发展分化与综合的趋势，将“既重结果又重过程”的理念渗透其中，如在课程的实施方面，注重学生的探究过程、学习过程。2.“数学为大众”这一发展特点，对教师提出了新的要求。1983年，德国数学家达米洛夫首次提出“大众数学”这一口号，这标志着数学教育不能只为少数尖子，而让多数人去陪少数人，数学教育应面向大众。1984年，在澳大利亚举行的第五届国际数学教育大会设立了“为大众的数学”专题讨论组，并确定它为数学教育的主要问题之一。在此背景下，数学教学中教师需更多地考虑每一个学生未来发展的需要，但也要注意到：这绝不是降低要求，而是要使人人都受到高水平的数学教育。这就要求充分发挥每一个学生的积极性，激励他们自主学习，主动地去探索和研究。3.数学知识应用和科学技术的发展推动了数学教学的改革。传统数学过分强调数学抽象结构的“新数”运动，只注意数学本身的特点和结构，而忽视了数学的发展和科学技术发展的需要，从而使数学的价值受到学生的怀疑。这促使人们去思考，去探索数学教学中的深层次问题：数学教学不只要传授数学知识，更为重要的是，要教会学生如何思维。所以，“问题解决”以及“探究教学”的提出不仅成为20世纪80年代数学教育的口号和中心，而且直到现在，还是数学教学研究的热点问题之一。二、数学课题探究教学的内涵与特征（一）数学课题探究教学的内涵作为一种在教师指导下，以学生自主探究为主的教与学的方式，探究教学由来已久。它的思想渊源可追溯到孔子和苏格拉底的教学思想中。而明确把“探究学习”作为一种教学方式的则是美国生物学家、课程专家、芝加哥大学教授施瓦布。他认为探究教学是指这样一种教学活动：儿童通过自主地参与知识的获得过程，掌握研究自然所必需的探究能力，同时形成认识自然的基础──科学概念，进而培养探索世界的积极态度。我国学者也有类似的定义，如“所谓探究教学，就是为儿童提供真实的问题情境，让儿童通过探究事物、现象和观点而自主地获得科学知识并形成探究技能和态度的过程”，[2]“探究教学是指在教师指导下学生运用探究的方法进行学习，主动获取知识，发展能力的实践活动”，[3]以及“探究教学是指学生在教师的指导下，以类似科学研究的方式去获取知识和运用知识的学习方式”，等等。尽管对于探究教学的涵义，不同的人有不同的看法，但都包含两个方面的要义：一是必须有教师的指导──教师提供必要的专业引领，使学生在探究中有明确的方向；二是以学生的“学”或“探究”为主──学生自主去思考、探究，而不是被教师直接引向问题的答案。数学课题探究教学则是在教师指导下，围绕某一课题，学生运用探究的方法主动获取知识，发展能力的实践活动。其目的是让学生在学习数学知识的同时，掌握知识间的内在逻辑联系，从而对本学科有一个全面、系统的理解，培养科学精神和态度，逐步形成独立、能动地解决数学问题的能力。（二）数学课题探究教学的特征数学课题探究教学作为一种以课题为纽带的探究教学，不仅具备一般探究教学的内涵和特点（共性），同时还有自身的特点（个性）。1.各学科课题探究教学的共性（1）面向全体学生，提高科学素养。探究教学的根本目的不在于把少数学生培养成为尖子和精英，而是面向全体学生，使每一个学生都成为有科学素养的公民。科学素养包括科学知识、科学方法、科学态度、科学精神。探究教学就是要求学生自己动手去做，自己动脑去思考。学生在参与探究的过程中既学习了科学知识，又养成了主动、积极的科学态度和科学精神。这样，在探究教学中，逐渐发展学生的观察能力、建立假设的能力、推理和预测的能力，从而提高科学研究的能力。（2）结果与过程并重。传统教学特别注意结果，在很大程度上忽视了知识获得的过程。探究数学则注重知识获得的过程，把学习方法和思维的训练放在首位。（3）重视学以致用。探究教学尤其注重发展学生运用科学知识解决实际问题的能力。美国教育心理学家加涅把学习分为8个层次，其中最后3个层次分别是：①概念学习，即通过概念来了解事物的本质；②规则学习，即懂得概念与概念之间的联系；③问题解决学习，即运用概念和规则来解决问题。探究教学非常注重这后3个层次的学习，尤其是问题解决。这是它与一般的知识、技能学习的根本区别之一。与一般的掌握知识、解答问题的学习活动相比，它更符合人们的生活和社会的实际需要，因而有利于提高学生学以致用的本领。（4）学生独自学习为主。在探究教学中，教师不再是传统的“传道、授业、解惑”的知识传授者和管理者，而是学生进行探究学习的促进者和合作者。作为促进者，教师的主要任务是把握正确的探究方向，激励学生勇于探索和创造的动机，引导学生进行探究。当然，教师要根据每个学生的特点进行不同的指导和引导。而作为合作者，教师要自觉地把自己当做学习团体中的一员，与学生一起共同学习、探索和讨论。学生作为具有创造能力的学习社会中的主体，教师应充分信任他们，相信他们在一定程度上有能力进行自主地探索和研究。因此，探究教学非常注重培养学生的主体意识，充分发挥他们的主动性和积极性，把探索和研究深入下去。（5）注重发展性评价。传统教学评价注重标准化测试。这种评价方式过分强调学习和思维方式的统一性，压抑了个性，不利于学生创造能力的培养。而探究教学则强调评价的开放性与多元化，即更注重发展性评价。它在评价的方式和评价的标准上都是开放的、多元的。它既重视正式评价，也注重非正式评价，如小组评价、小组互评、学生自评等。在评价标准上，考虑到学生的个体差异，则采用多层次的评价标准，从而使评价标准具有弹性化、人性化的特征。2.数学课题探究教学的个性（1）数学课题的开放性。课题的开放性要求教师不应把学习内容限制在某些方面，只要与数学有关，学生力所能及的，都可以成为课题探究的内容。同时教师也不要因为学生提出的课题“不够水平”或“不够深刻”而去干涉他们。实际上，数学史上许多有重大意义的问题开始并不为人们所理解。因此，教师应积极鼓励和肯定学生的问题意识和创新精神，不要让这些思想一开始便被扼杀在摇篮里。（2）数学课题探究方法的多样性。作为一门基础学科，数学课题探究教学尤其注重学生的数学思维方式。思维方式不同，探究的方法也就不同。常见的方法主要有：数学演绎与归纳法、数学分析与综合法、数学化归方法、数学公理化方法等等。演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的推理方法。演绎推理的重要形式是由大前提、小前提推出结论的三段论推理。这在中学数学中可大量使用。因此，在课题探究中要加强这种演绎方式的训练。归纳推理则是由个别的命题推出一般性命题的推理方法。一般根据概括对象是否完全而分为完全归纳法与不完全归纳法。完全归纳法是根据某一类事物的全体对象作出概括的推理方法，如数学上的穷举法。总之，数学课题探究教学在解决问题的同时，加强了学生思维能力的训练，这样又有利于学生提出新的课题，进而进行新的探究学习，从而形成良性循环。（3）数学课题探究需要进行抽象。与其他学科相比，数学课题探究的抽象程度更高一些。例如，数学模型就是通过对原型的模拟或抽象而得来的，它是一种形式化和符号化的模型。在数学课题探究教学中，很多数学课题源于现实生活，而大多数学生通常在进行纯粹的数学计算、变换和推演时可能感到困难不大，可一接触到现实中有待解决的数学问题，往往束手无策。不少学生感到所学的概念、公式、定理等与实际问题对不上号。这时，教师需要引导学生对实际问题进行抽象，去掉一些无关紧要的枝节问题，把问题的本质突出出来，从而利用已学过的概念、公式、定理、方法来解决问题。

三、数学课题探究教学内容的选择与其他学科一样，数学课题探究教学的内容十分丰富。归纳起来，可以从以下四个方面考虑。（一）数学基本概念和规律数学中的基本概念和规律既是探究教学的起点和基础，又是探究的对象。在教与学中，教师如果在基本概念和规律的学习过程中渗透探究思想，就会使学生加深对概念和规律的理解与掌握。例如，在学习圆的定义时，教师可先引导学生观察实际生活中与圆有关的物体的特征：自行车的钢圈和小飞轮、台扇的外壳。通过测量中心到圆周的距离（忽略误差），学生会发现圆的一个显著特征：圆周上的点到圆心的距离处处相等。这时教师就可以引导学生归纳得出圆的定义了。（二）数学中的综合问题相对于知识点比较单一的问题而言，综合性问题更有利于学生去探索和研究，也更有利于培养学生的敏锐洞察力和思维能力。例如，“要证明AB=CD，∠1=∠2,△ABC∽△DEF,AB∥CD……有哪些方法，可用哪些定理？”对于这类问题的回答，就要求突破教材的结构，重新以问题为线索建构知识体系。这样，学生头脑中的认识结构就会变得更加适合于扩散性思维，也更有利于学生问题解决能力的提高。[4]（三）现实中的数学问题现实生活中的数学问题可谓无处不在。数学就是从生活中的这些实际问题开始的。中国古代的数学著作《周髀算经》和《九章算术》，都是为解决生产和生活中的问题凝结成的成果。当今时代，生产和生活中同样有许多问题可成为数学探究教学的对象。例如，电话费的计费方式如何用函数来表示，银行储蓄的税后利息的计算，球队的比赛场次计算，等等。在教学中对这些问题的探究可激发学生的兴趣，有利于培养发现问题的能力和应用数学知识解决问题的能力。（四）学科前沿中的数学问题选取一些与学科前沿有关的内容作为探究的方向，可扩大学生的知识面，开阔学生的视野。如选取哥尼斯堡七桥问题、计算机中的二进制问题、模糊数学的有关问题等。四、数学课题探究教学的基本环节探究是科学的本质特征之一，没有探究就不会有发现。作为中学生，一般不可能达到真正意义的探究，因而实施课题探究的重心就在于诱导学生发现数学规律。当前有不少师生认为开展课题探究是课堂之外的事情，其实这是一种误解。事实上，在课堂教学中，同样可以开展课题探究。数学课题探究教学的关键在于让学生独立自主地学习，强调个人独立学习活动，教师加以引导，师生共同探究教学规律、原理。其基本教学程序可以总结如下：1.创设情境，提出课题；2.引出假设或猜想；3.实验探究，验证、论证；4.归纳结论，应用提高。数学课题探究教学过程就是在教师有目的、有组织的指导下，学生主动发现规律的过程。这里举一个简单例子加以说明。首先创设情境：；；。然后提出课题：自然数从1连续加到100或更进一步加到数等于多少？接着过渡到第二步，学生从中发现规律，进行假设或猜想：；。然后激励学生探究为什么。通过观察，学生会发现1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，55+56=101，其中共有个101。因此推导出上面的结果。最后，教师可引导学生总结规律，进而加以推广应用。例如求2+3+4+5+…+=？2+4+6+8+……+2=？等等。笔者根据近年来有关数学课题探究教学的研究，就以下三个环节的具体实施做进一步探讨。（一）教师示范指导、诱导在这一环节里，教师的主导作用非常重要。关于探究课题的提出，教师要根据教学内容，一般可从学生已有的知识中引出所要探究的课题。例如，在证明梯形中位线定理时，先提出：梯形中位线定理与三角形中位线定理有何异同？进而提出如何把两者结合起来的课题。然后教师引导学生根据学过的有关几何知识，对问题进行假设、猜想，并展开讨论，设计出作各种辅助线的方案。接着学生在教师的指导下，分组独立进行验证、证明。最后，学生获得新的概念、定律及证明的思想、方法，从而解决数学问题。在整个环节中，教师要充分调动学生的积极性，有意识地激发其兴趣。心理学研究表明，兴趣是促进学生主动学习的内部动力，学生只有对所探究的课题产生浓厚的兴趣，才能想学、乐学、善学。当然，探究教学过程不一定严格按照上述步骤进行，可针对具体问题具体分析，灵活运用。数学课题探究教学中，通过一次探究性教学，可以使学生深入地理解一些重要的原理，掌握一些重要的数学思维方法。这些突破点是引导学生进入科学殿堂的指示灯。例如，可把研究一所学校学生的身高作为一个课题，从中引出统计学中的平均数、方差以及分组、样本估计等基本概念与规律及其应用。（二）学生探究，注重思维发展在上一个环节中，学生会感到他和教师一样都在进行课题探究，于是就会以主人翁的态度积极地、主动地并有极大可能从各种角度去审视、参与教学活动。在这种情形下，学生就会围绕问题积极思考，于是学生的思维过程自由展示的机会就增多了。教师可根据学生思维中的漏洞、偏差，不失时机地加以点拨，同时引导其他学生共同探讨，使他们处于积极的思考状态中，独立地观察、分析、类比、联想、辨析、归纳等，以便最大限度地发挥学生自身的创造潜能。（三）“师生共探”，学会反思与感悟这一环节中，学生对问题已基本明了，但他们会或多或少存在一些困惑。因此教师应适时引导学生进行反思与感悟，以便加深对该课题的认识，从而促进迁移。教育是哲学，是艺术，是诗篇，是思想与思想的碰撞，是心灵与心灵的交流，是生命与生命的对话。［5］因此，教师需要本着和学生共同研讨的精神，调动并发挥学生在探究教学中的主动性。通过优化“教学互动”的方式，通过调节师生关系及其相互作用，形成和谐的师生互动、生生互动、学习个体与教学中介的互动，强化学生与环境的交互影响，产生教、学协同与共振，从而切实提高教学效率。［6］五、数学课题探究教学应注意的几个问题为了使数学课题探究教学更加有效，教师首先需要更新教育观，即数学观、数学教育观和数学教学观。在数学观方面，要用动态的观点认识数学。正如《人人关心数学教育的未来》中指出的：“数学是一门有待探索的、动态的、进化的思维训练，而不是僵化的、绝对的、封闭的规则体系，数学是一种科学，而不是一堆原则；数学是关于模式的科学，而不仅仅是关于数的科学。”在数学教育观方面，数学教育不仅是为了学数学知识，还在于根据本学科的特点使人们用数学的知识、方法，去认识自然、社会，最终达到培养人，发展人，从而促进整个人类发展的目的。在数学教学观方面，为了改进学生的学习，面向大众，教师在课堂教学的组织形式、课堂练习的水平，尤其在课堂提问的技巧和师生互动等方面，应多做些研究。此外，教师还要有意识地引导学生，培养与发展其怀疑、猜测和实践的意识和能力，因为疑是创新的起始点，猜测和想象是创新的突破点，行是创新的立足点。在数学课题探究教学时应注意以下几个问题。（一）倡导怀疑怀疑是创新的心理动力，是思维独立性、批判性的体现。数学家笛卡儿说“怀疑是方法”。比如，在柯西那个时代，几乎所有数学家都相信，凡是连续函数一定可微（当然要除去像y=1x中的x=0那样的孤立点），可是后来有一些数学家，如德国的外尔斯特拉斯就不以为然。他专门构造了一个处处连续又处处不可微的函数，于是否定了前人的传统认识。因此，在数学教学中，教师要大力倡导学生对书本、对以往的结论敢于怀疑的精神，勇于提出自己的观点。（二）鼓励猜测和想象数学中的猜测是根据已知数学条件和数学原理对未知的量及其关系的似真判断。这种猜测富于创造性，能够提供大量新观点、新思维、新方法。正如数学家徐利治先生在《数学方法论选讲》中指出的：“数学创造往往开始于不严格的发散思维，而继之以严格的逻辑分析思维，即收敛性思维。”［7］想象是创造的源泉，在某种程度上，没有想象就没有科学发现。爱因斯坦认为：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”[8]（三）引导行动“千里之行，始于足下。”有了好的课题与猜想，就要立即行动起来，搜索有关信息，扎扎实实地进行探究活动。当然，这需要学生有一定的知识储备，较强的学习动机，否则，只能是一句空话。因此，教师要引导学生不轻易放过某个看似荒诞、离奇的想法，引导学生积极探究，举一反三。授之以鱼，不如授之以渔，教是为了不教，数学课题探究教学可以很好地培养学生优良的思维品质，教会他们怎样思维。总之，课题探究教学为学生提供了一个自我发现、自主学习的机会，与传统的教学形式相比，它有更为鲜明的特点，值得我们去研究和探索。参考文献：［1］中华人民共和国教育部.基础教育课程改革纲要（试行）［S］.2001.［2］张华，石伟平，马庆发.课程流派研究［M］.济南：山东教育出版社，2000.134.［3］李森，于泽元.对探究教学几个理论问题的认识［J］.教育研究，2002，（2）：83—88.［4］张庆林.当代认知心理学在教学中的应用：如何教会学生学习和思维［M］.重庆：西南师范大学出版社，1995:67—68.［5］袁振国.教育新理念［M］.北京：教育科学出版社，2002.179.［6］查有梁.“交流—互动”教学模式建构［J］.课程·教材·教法，2001，21（4）：1—6.［7］徐利治.数学方法论选讲［M］.武汉：华中工学院出版社，1988.182.［8］爱因斯坦文集［M］.许良英，范岱年，编译.北京：商务印书馆，1976.284.